勾股定理證明-G049

(1)

勾股定理證明-G049

【作輔助圖】

1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 AHKB ，以BC 為邊，向外作一正方形 CBDE ，以 AC 為邊，向外作一正方形 CAGF 。

2. 從 C 點作 HK 的垂線交 AB 於Y 點。

3. 從 H 點作 AC 的平行線交YL 於V 點，再連接 KV 。

4. 延長 DB 交YL 於U 點，從U 點作 CB 的平行線交 BK 於 M 點。

5. 延長 KB 交 CE 於 Q 點，且與 DE 延長線交於 P 點。

6. 從 C 點作 AB 的平行線交 QB 於T 點，從 M 點作 CA 的平行線交VK 於 X 點。

7. 從Q 點作 CB 的平行線交 BD 於 N 點，再從 N 作 BQ 的平行線交 DE 於 O 點。

8. 從 G 點作 AB 的平行線交 CF 於 R 點，延長 HA 交 GR 於 S 點，延長 GA 交 HV 於W 點。

A B

H

E F

G

D C

K R

S

W V

M U

X L

T Q

P

Y

N O

(2)

【求證過程】

以直角三角形 ABC 的三邊分別向外作三個正方形，證明正方形 AHKB 的區域，經 過圖形的切割，利用全等關係，可重新拼合出與正方形 CBDE 與正方形 CAGF 相等的區 域，最後由面積相等推出畢氏定理的關係式。

1. 證明VK 與 CB 平行：

因為 CV // AH ，HV // AC ，由四邊形對邊平行得到四邊形 AHVC 為平行四邊形，又 因為 CV  AH BK，且 CV // BK ，推得四邊形 BKVC 亦為平行四邊形，因此

VK // CB ,VK CB.

2. 證明三角形VLK 與三角形 BTC 全等且三角形YUB 與三角形TQC 全等：

因為VK BC，由平行關係得到 VKL  BCT且VLK90^  BTC，所以 VLK BTC

   (AAS 全等).

同理，四邊形UBQC 為平行四邊形，得到UB CQ ，由平行關係得到對應角相等，

所以

YUB TQC

   (AAS 全等).

3. 證明三角形 BUM 與三角形 BNQ 全等：

由平行關係觀察平行四邊形 CBMU 、平行四邊形CUBQ 與平行四邊形 CBNQ ，因 為平行四邊形對角線切割的三角形全等，所以

. BUM UBC QCB BNQ

      

4. 證明三角形 PBD 與三角形 ABC 全等，再證明四邊形UVKM 與四邊形 PQNO 全等：

因為 BDBC﹐PDB ACB90^，又PBD90^ CBQ ABC，所以 PBD ABC

   (ASA 全等).

得到 KB ABBP，又由作圖條件知四邊形UVKM 與四邊形 PQNO 皆為平行四邊 形，且由平行關係得到對應角均相同，又因為

,

UM QN MKKBBM BP CU BPBQPQ，得到

UVKM  PQNO

平行四邊形平行四邊形

5. 證明三角形 MXK 、三角形 QEP、三角形 NDO 全等，四邊形UVXM 與四邊形 NOEQ 全等：

因為 MK PQON，且由平行關係得到 MKX QPE NOD

     ,MXK  PEQ ODN 90^，所以

(3)

MXK QEP NDO

     (AAS 全等)﹒

又因平行四邊形UVKM 平行四邊形PQNO，將平行四邊形UVKM旋轉180^可得 UVXM  NOEQ

四邊形四邊形 ﹒

6. 證明三角形WAH 與三角形 FGR 全等：

因為 GF  AC，由平行關係得到對應角相等，所以 FGR  CAB(AAS 全等)，

又 AB AH，CAB90^ BAW  WAH,ACB AWH 90^，所以 CAB WAH

   (AAS 全等)，因此

. WAH FGR

  

7. 證明三角形 HLV 與三角形 ASG 全等：

同理， AGAC,CAY 90^ CAS  GAS,CYA GSA90^，所以 GAS CAY

   (AAS 全等)，又 AY HL，由平行關係得到對應角相等，所以 CAY VHL

   (AAS 全等)，因此

. HLV ASG

   8. 證明四邊形 AWVY 與四邊形 ACRS 全等：

因為 AY AS, AW  AC，再由平行關係得到對應角相等，因此 .

AWVY  ACRS

四邊形四邊形

9. 推導出長方形與正方形相等面積的關係：

BKLY VLK BUM UVXM

MXK YUB

BTC BNQ NOEQ

NDO TQC

CBDE

 

長方形面積＝面積＋面積＋四邊形面積

＋面積＋面積

＝面積＋面積＋四邊形面積

＋面積＋面積

＝正方形面積.

且

AHLY WAH HLV AWVY

FGR ASG ACRS

CAGF

 

長方形面積＝面積＋面積＋四邊形面積

＝面積＋面積＋四邊形面積

＝正方形面積.

10. 最後利用面積關係推出畢氏定理的關係式：

AHKB BKLY AHLY

CBDE CAGF

正方形面積＝長方形面積＋長方形面積

＝正方形面積＋正方形面積.

(4)

得到

2 2 2

, AB CB CA 即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：這個證明出自於以下書籍或期刊：

Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1897). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 4(6/7), 168-170.

2. 心得：此證明切割的元件雖多，但作輔助線的過程皆與平行有關，學生較容易看出對應角的相等關係，再加上平行四邊形的對邊等長關係，更能順利判斷三角形之間的全等性質。最後利用平移與旋轉的拼圖技巧，得到了三個正方形面積之間的畢氏定理關係。(此題圖形的分割元件與 G021 有六塊相同)。

＜此題圖形的分割方式適合作為拼圖證明的教材＞

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

● ●

4. 說明：此證明的分割方式在 Loomis 的書中多畫了 AR 與 AV 的線緞，但書中實際的 證明過程完全沒有用到，因此這個證明我們就直接省略這兩線段了。