第七章式的運算

(1)

第七章式的運算

7-1 多項式的四則運算

多項式的基本概念多項式的定義：

設a 、_n a_n₋₁、…、a 、₁ a 都是實數，₀ n為正整數或 0，

則形如 f x( )=a x_n ⁿ+a_n₋₁xⁿ⁻¹+_L+a x₁ +a₀，稱 ( )f x 為不定元x的多項式。

不定元x不能出現在「分母」、「根號」、「絕對值」、「指數」、「對數」、「三角函數」。例： 2

3

x +1、 x +3、|x²+5x−2 |、3²^x+¹、 log(x +2)、 sin 2x 均不是 x 的多項式。

1. a 稱為_k f x 中( ) x 項的^k 係數，a 稱為₀ f x 的( ) 常數項。

2. 若a ≠ ，則稱_n 0 f x 為( ) n次多項式，_n為 ( )f x 的次數，以deg ( )f x =n表示，此時a 為_n f x( ) 的領導係數。

3. 若 f x( )=a₀，則稱 ( )f x 為常數多項式（多項式只有常數項，其他各項係數均為 0）。

(1)若a ≠ ，則稱₀ 0 f x 為( ) 零次多項式（其次數為 0）。例： ( ) 3f x = 、 f x = − 。 ( ) 2 (2)若a = ，則稱₀ 0 f x 為( ) 零多項式（無次數可言）。例： ( ) 0f x = 。

零次多項式與零多項式均為常數多項式。

4. 多項式的值：將多項式 f x 中，指定一個實數( ) a為不定元_x的值，則所得的結果，稱為多項式 ( )f x 在x=a的值，以 ( )f a 來表示。

例：設 f x( )=2x²−3x+ ，則4 f(1)= ×2 1²− × +3 1 4= 。 3

★ 多項式的應用 ★

若 f x( )=(a b x+ ) ³+(b+1)x²+(c−1)x+(a b− ) 為一次多項式，且一次項係數為 5，試求：

(1)a、_b、_c之值 (2) ( )f x (3) f(2)。

(1)

0 1 0 1 5 a b b c

 + =

 + =

 − =



⇒

1 1 6 b a c

 = −

 =

 =



(2) ^{f x}^{( )}⁼^{(6 1)}⁻ ^x⁺

(

^{1 ( 1)}^{− −}

)

⁼⁵^x⁺²

(3) f(2)= × +5 2 2 12=

設 f x( )=(a+1)x²+(b−2 )c x+(c+3) 為零多項式，試求_a+ +_{b c}之值。

1 0 2 0 3 0 a b c c

 + =

 − =

 + =



⇒

1 3 6 a c b

 = −

 = −

 = −



∴ a b c+ + = −10

(2)

多項式的係數

設多項式 f x( )a x_n ⁿa x_n_₁ ⁿ^¹  a x a₁  ₀，則 1.常數項a₀  f(0)。

2.各項係數和a_na_n_₁  _ a₁ a₀  f(1)。 ( 1)

f  偶次項係數和奇次項係數和。

3.偶次項係數和 (1) ( 1) 2 f  f 

 。

4.奇次項係數和 (1) ( 1) 2 f  f 

 。

(1) +

( 1) f f

 



  





①

② 偶次項係數和奇次項係數和偶次項係數和奇次項係數和

+ (1) ( 1)

: =

2 2

(1) ( 1)

: =

2 2

f f

 



   



① ②

偶次項係數和奇次項係數和

。

★★ 多項式的係數 ★★

設 f x( ) (2 x²1)(x³2x²3x4)之展開式中，試求：

(1)常數項。

(2)各項係數和。

(3)偶次項係數和。

(4)奇次項係數和。

(1) (2 1) (1 2 3 4) 10 f       

( 1) (2 1) ( 1 2 3 4) 2 f          (1)常數項 f(0) ( 1) 4    4 (2)各項係數和 f(1) 10 (3)偶次項係數和 (1) ( 1)

2 6 f  f

 

(4)奇次項係數和 (1) ( 1) 2 4 f  f

 

設 f x( ) (2 x²mx4)(4x 之展開式中， 1) 試求下列各條件中之m值：

(1)各項係數和為 15。

(2)偶次項係數和為 6。

(1) (2 4)(4 1) 3 6 f   m    m

( 1) (2 4)( 4 1) 5 10 f    m     m (1) f(1) 3m 6 15  m 7 (2) (1) ( 1)

2 6 f  f



 ( 3 6) ( 5 10) 2 6

m m

     

 4m 2 6  m 1

(3)

多項式的相等 對於任意兩個實係數多項式：

f x( )a x_n ⁿa x_n_₁ ⁿ^¹  a x a₁  ₀（a_n  ）。 0 g x( )b x_m ^mb x_m_₁ ^m^¹  b x b₁  ₀（b_m  ）。 0

1. ( )f x g x( )  n m ，且a_n b_m，a_n_₁b_m_₁，…，a₁ ，b₁ a₀  。 b₀ 2. ( )f x g x( )  任何實數a代換_x恆有 f a( )g a( )。

★ 多項式的相等 ★

設 f x( ) 5 x²3bx c  ，1 g x( )ax²6x ，4 若 f x( )g x( )，試求_a_₂_b_₃_c之值。

5

3 6

1 4 a

b c

 

  

  





5 2 3 a b c

 

  

 



∴ _a_₂_b_₃_c_₁₈

已知 f x( ) ( a1)x² (b 1)x c  ， 2 ( ) 2 2 3 1

g x  x  x ，若 ( )f x g x( )，試求_{a b c}_{ } 之值。

1 2 1 3 2 1 a

b c

  

  

   





3 2 3 a b c

 

 

  



∴ _{a b c}_{  }₂

★★ 多項式的相等應用 ★★

設4x³5x²3x 2 a x( 1)³b x( 1)² ( 1)

c x  ，試求： d

(1)a b c d   (2)a b c d   。 (1)令x 1 1  x2代入原式

 32 20 6 2 a b c d      

 a b c d   20

(2)令x  1 1  x0代入原式

 2    a b c d

 a b c d    2

設(2x² x 3)² ax⁴bx³cx²dx e ，試求：(1)a b c d e    (2)a b c d e    。

(1)令x1代入原式

 (2 1 3)  ²     a b c d e

 a b c d e    16 (2)令x 1代入原式

 (2 1 3)  ²     a b c d e

 a b c d e    36

(4)

多項式的四則運算

1. 加、減法運算：同次項合併，係數相加、減。

2. 乘法運算：利用指數律及乘法對加法的分配律，逐項展開相乘（係數相乘，次數相加），

再同次項合併。

3. 除法原理：設 ( )f x 、g x 為兩多項式，且( ) g x ≠( ) 0，則恰存在一組多項式 ( )q x 和r x ，( ) 使得 ( )f x =g x q x( ) ( )+r x( )，其中 ( ) 0r x = 或 deg ( ) deg ( )r x < g x 。

( )

f x 稱為被除式、g x 為除式、( ) q x 為商式、( ) r x 為餘式。 ( ) 即被除式=除式×商式+餘式。

4. 除法運算：先將 ( )f x 、g x 分別按降冪排列，再利用長除法（分離係數法）運算， ( ) 缺項補 0。

(1)deg

(

f x( )×g x( )

)

=deg ( )f x +deg ( )g x 。 (2) ( )

deg deg ( ) deg ( ) ( )

f x f x g x

g x

 

= −

 

  ，g x ≠( ) 0。

★ 多項式的加減法 ★

設 f x( )=2x³−3x²+5x− ，4 g x( )= −2x²+ ，3 試求：(1) ( )f x +g x( ) (2) ( )f x −g x( )。

(1) f x( )+g x( )=2x³−5x²+5x−1 (2) f x( )−g x( )=2x³−x²+5x−7

設 f x( )=4x³−2x²+ ，1 g x( )= −x³+2x+3，試求：(1) ( )f x +g x( ) (2) ( )f x −g x( )。

(1) f x( )+g x( )=3x³−2x²+2x+4 (2) f x( )−g x( )=5x³−2x²−2x−2

★ 多項式的乘法 ★★

試求(3x⁴−x³+2x−3)( 3− x³+5x+2)乘開後，

x 項的係數。 4

x4項的係數= × + − × + × −3 2 ( 1) 5 2 ( 3) 5

= −

已知(x³+mx²+3x−5)(x²+5x−2)乘開後，

x 項的係數為3 − ，試求4 m之值。

x3項的係數= × −1 ( 2)+m× + × = −5 3 1 4

⇒ m = −1

(5)

★ 除法原理 ★ 多項式 ( )f x 除以x²−5x+ ，得餘式6 2x +5，

試求 (2)f 之值。

令 f x( )=(x² −5x+6)×q x( ) 2+ x+5

∴ f(2)=(4 10 6)− + ×q(2) 4 5+ + =9

多項式 ( )f x 除以x²+2x− ，得商式1 x + ，² 1 餘式₃_{x +}₁，試求 (1)f 之值。

令 f x( )=(x²+2x−1)(x²+1) 3+ x+1

∴ f(1)=(1 2 1)(1 1) 3 1 8+ − + + + =

★ 多項式的除法 ★

設多項式 f x( )=x⁴ +3x³−5x+2，試求 ( )f x 除以x²+2x− 的商式和餘式。 1

∴ 商式=x²+x−1，餘式= −2x+1

試求多項式2x³−x²+2x+5除以 x²− − 的x 1 商式和餘式。

∴ 商式=2x+1，餘式=5x+6

★★ 多項式的除法 ★★

若 x²− +x 1 除 x⁴−2x²+ax b+ 之餘式為 2x +3，試求_{a b}+ 之值。

∵ 餘式為2x +3

∴ 3 2

2 3 a

b

 − =

 + =

 ⇒ 5

1 a b

 =

 =



⇒ a b+ =6

若 2x³+3x²+ax b+ 除以 x²+x+ 之餘式為1 3x −5，試求_{a b}+ 之值。

∵ 餘式為3x −5

∴ 3 3

1 5 a

b

 − =

 − = −

 ⇒ 6

4 a b

 =

 = −



⇒ a b+ =2 1 ⁺ 1 ⁻ 2

1 1 1− + 1 ⁺ 0 ⁻ 2 ⁺ ^{a +} ^b 1 ⁻ 1 ⁺ 1

1 ⁻ 3 ⁺ ^a 1 ⁻ 1 ⁺ 1

⁻ 2 ⁺ (a −1) ⁺ b ⁻ 2 ⁺ 2 ⁻ 2 (a −3) ⁺ (b +2) 1 ⁺ 1 ⁻ 1

1 2 1+ − 1 ⁺ 3 ⁺ 0 ⁻ 5 ⁺ 2 1 ⁺ 2 ⁻ 1

1 ⁺ 1 ⁻ 5 1 ⁺ 2 ⁻ 1 ⁻ 1 ⁻ 4 ⁺ 2 ⁻ 1 ⁻ 2 ⁺ 1 ⁻ 2 ⁺ 1

2 ⁺ 1 1 1 1− − 2 ⁻ 1 ⁺ 2 ⁺ 5

2 ⁻ 2 ⁻ 2 1 ⁺ 4 ⁺ 5 1 ⁻ 1 ⁻ 1 ⁺ 5 ⁺ 6

2 ⁺ 1

1 1 1+ + 2 ⁺ 3 ⁺ ^{a +} ^b 2 ⁺ 2 ⁺ 2

+ 1 ⁺ (a −2) ⁺ b + 1 ⁺ 1 ⁺ 1 (a −3) ⁺ (b −1)

(6)

綜合除法

1. 綜合除法：當除式為一次式時，可利用「綜合除法」快速求得商式和餘式。

(1)演算綜合除法時，被除式按降冪排列，取其係數，遇缺項則以「0」補之。

(2)除式x b− ，將b置於右上角位置，若除式為x b+ ，則可改寫成x− −( b)，而將−b置於右上角位置。

(3)書寫時，上下排列要對齊；運算時，上下數字相加。

(4)以ax b− （a ≠0）除多項式 ( )f x ，其商式相當於以 b

x−a除以 ( )f x 所得的商式再除以a；

餘式等於 b

x−a除 ( )f x 的餘式。

2. 綜合除法的應用：以x為不定元的多項式 ( )f x 可改寫成以x b− 為不定元之多項式，即

1

1 1 0

( ) _n( )ⁿ _n ( )ⁿ ( )

f x =a x b− +a ₋ x b− ⁻ +L+a x b− +a ，其中a 、_n a_n₋₁、…、

a 、1 a 可利用連續綜合除法求得。 ₀

★ 綜合除法 ★

設多項式 f x( )=x⁴−3x² +x+ ，試求3 f x 除( ) 以x +2的商式和餘式。

利用綜合除法

2

1 0 3 1 3

2 4 2 2

1 2 1 1 5

−

+ − + +

− + − +

∴ 商式=x³−2x²+x−1，餘式=5

求多項式x³−2x²−6x+ 除以5 x −3的商式和餘式。

利用綜合除法 3

1 2 6 5

3 3 9

1 1 3 4

− − +

+ + −

+ − −

∴ 商式=x² +x−3，餘式= −4

★★ 綜合除法 ★★

設多項式 f x( )=3x³+7x²−4x− ，試求5 f x( ) 除以3x +1的商式和餘式。

利用綜合除法 3 7 4 5 1

1 2 2 3

3 3 6 6 3

1 2 2

+ − −

− − + −

+ − −

+ −

∴ 商式=x²+2x−2，餘式= −₃

試求多項式4x⁴+2x³− + 除以x 5 2x −1的商式和餘式。

利用綜合除法 4 2 0 1 5 1

2 2 1 0 2

2 4 4 2 0 5 2 2 1 0

+ + − +

+ + + +

+ + +

∴ 商式=2x³+2x²+x，餘式=₅

(7)

★★★ 連續綜合除法 ★★★

設 f x( )=3x³−x²−6x−4=a x( −1)³+b x( −1)² ( 1)

c x d

+ − + ，試求_a+ − +_{b c} _d 之值。

利用連續綜合除法 3 1 6 4 1

3 2 4 3 2 4 8

3 5 3 5 1

3 3 8

d

c b a

− − − + + −

+ − − →

+ +

+ + →

+

+ →

↵

∴ a b c d+ − + = + − + −3 8 1 ( 8)=2

設 f x( )=x³+2x²+3x+4=a x( +1)³+b x( +1)² ( 1)

c x d

+ + + ，試求_a+ − −_{b c} _d之值。

利用連續綜合除法

1

1 2 3 4

1 1 2

1 1 2 2

1 0 1 0 2

1 1 1

d

c b a

− + + +

− − −

+ + + →

− +

+ + →

−

− →

↵

∴ a b c d+ − − = + −1 ( 1) 2 2− − = −4

( Ｂ ) 1. 下列何者為多項式？ (A)|x +2 | (B) ⁴ (C) ^{x −}² ² (D) 2 1 x + 。 ( Ｃ ) 2. 設f x 與( ) g x 皆為( ) x的非零多項式，下列敘述何者正確？

(A)deg

(

f x( )+g x( )

)

=deg ( ) deg ( )f x + g x (B)deg

(

f x( )+g x( )

)

=deg ( ) deg ( )f x． g x (C)^deg

(

f x^{( )}．g x^{( )}

)

=deg ( ) deg ( )f x + g x (D)^deg

(

f x^{( )}．g x^{( )}

)

=deg ( ) deg ( )f x． g x ( Ｄ ) 3. 多項式f x 除以( ) x²−2x− ，其餘式為3 2x +5，則 (3)f = (A) 5 (B) 7 (C) 9

(D) 11。

( Ｃ ) 4. 若多項式f x 除以多項式( ) g x ，得商式為( ) q x ，餘式為( ) 8，則以 f x 除以( ) 2 ( )g x 得 餘式為 (A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16。

5. 設 f x( )=(a−2)x⁴+(b+1)x³+5x²− 為二次多項式，則7 a b+ = 1 。 6. 設 f x( )=(a−2)x²+3x+(c+1)，g x( )=x²+(b+1)x+ ，若6 f x( )=g x( )，則

a b c− + = 6 。

7. 若x²+4x+ =3 a b x+ ( −1)+c x( −1)(x+1)，則a b− +c= 5 。

8. 設(x²−2x+3)² =ax⁴+bx³+cx²+dx+ ，其中e a、_b、_c、_d、_e為常數，則 a+ + +b c d+ =e 4 。

9. 若x³+4x²−5x−2=a x( −1)³+b x( −1)²+c x( −1)+d，則_{a b}− + −_c _d = 2 。 10. 求(2x³+4x² − +x 3)(x⁴−4x²+2)乘積中，各項係數總和為 −8 。

＊題目難度較高

(8)

11. 試求(x³+4x²+3)(2x²− −x 5)展開式中x 項係數為⁴ 7 。

12. 設(x²+2x+3)(x⁵−6x⁴+ax³−3x²+7x−8)乘開後x 項的係數為⁴ −25，則_{a =} −₂ 。 13. 已知多項式 ( )f x 除以x +1得商式為x²−2x+2，餘式為2x +3，則

( )

f x = x³−x² +2x+5 。

14. 以3x²− + 除x 2 6x⁴−8x³+6x²− 之餘式為3 4x −3 。 15. 若x²+x+ 能整除1 x³+3x²+ax b+ ，則a b− = 1 。

16. 設 f x( )=x³−3x²−2x− ，2 g x( )=(ax b x+ )( ²+x+1)，若 ( )f x 除以g x 得商為( ) 1，餘式為_{x +}₂，則_{2a b}+ = −2 。

＊17. 若多項式 f x( )=x³+2x²+3x+4可表為a x( +1)³+b x( +1)²+c x( +1)+d，則 (1)a = 1 ，_{b =} −1 ，_{c =} 2 ，_{d =} 2 。

(2) ( 2 1)f − = 4 2 。

＊18. 若^{x =} ^{2 1}⁻ ，則x⁴−3x²+6x+ 的值為2 4 。

＊19. 若x = −2 3，則(x²−4x+3)²的值為 4 。

20. 多項式x³−3x²+5x− 除以6 f x ，得商式( ) x −1，餘式2x −5，則 (2)f = 1 。

7-2 餘式與因式定理

餘式定理

1. 多項式 f x 除以( ) x−a的餘式為 ( )f a 。 2. 多項式 f x 除以( ) ax b− 的餘式為 ( )b

f a ，其中a ≠0。 3. f a 可以表示為多項式( ) f x 除以( ) x−a的餘式。

若代入後數字太複雜難以計算，可改用綜合除法求餘式。

★ 餘式定理 ★

試求多項式 f x( )=3(x+2)⁵−2x+ 除以3 x +3 的餘式。

餘式= f( 3)− = × − +3 ( 3 2)⁵− × −2 ( 3) 3+ 3 6 3 6

= − + + =

試求多項式 f x( )=x¹⁰⁰−7x⁹+9x⁵−2x³−10除以x +1的餘式。

餘式= f( 1) 1 7 9 2 10− = + − + − = −9

(9)

★ 餘式定理 ★ 若 f x( )=x³−kx²+x+k 除以 _{x −}₂得餘式為

2

− ，試求k之值。

餘式= f(2)= −8 4k+ +2 k= −2

⇒ k =4

多項式 f x( )=x³+ax²−5x+ ，以8 x +1除之餘 3，試求a之值。

餘式= f( 1)− = − +1 a+ + =5 8 3

⇒ a = −9

★★ 餘式定理的應用 ★★

設 f x( )=3x⁴−5x³+7x²+ ，試求： 2 (1) f(1) (2) 1

( ) f −3 。 (1) f(1)= − + + =3 5 7 2 7

(2) 3 5 7 0 2 1 1 2 3 1 3 3 6 9 3 3

− + + +

− + − + −

− + − +

∴ 1

( ) 3 f −3 =

設 f x( )=x⁵−4x⁴−72x³−56x²+15x−36，試求：(1) ( 1)f − (2) f(11)。

(1) f −( 1)= − − +1 4 72 56 15 36− − − = −40 (2) f(11) ⇒ f x( ) (÷ x−11)之餘式

1 4 72 56 15 36 11 11 77 55 11 44

1 7 5 1 4 8

− − − + −

+ + + − +

+ + − + +

∴ f(11)=8

設 f x( )=3x³+ax²+bx− ，以7 x −2除 ( )f x 餘 式為 13，以x −1除 ( )f x 餘式為−3，試求

a+2b之值。

(2) 13 (1) 3 f

f

 =

 = −

 ⇒ 24 4 2 7 13

3 7 3

a b a b

+ + − =



+ + − = −



⇒ 2 2

1 a b a b

+ = −



 + =

⇒ a = −3，b =4

∴ a+2b=5

設 f x( )=2x³+x²+mx+ ，以n x +2除 ( )f x 餘 式為−₅，以_x除 ( )f x 餘式為 3，試求m−n之值。

( 2) 5 (0) 3 f

f

− = −



 = ⇒ 16 4 2 5

3

m n n

− + − + = −



 =

⇒ 2

3 m n

 = −

 =



∴ m−n= −5

(10)

多項式 ( )f x 以x +3除之餘 2− ，以x −2除之餘 8，試求 ( )f x 除以(x+3)(x−2)的餘式。

設 f x( )=(x+3)(x−2)×q x( )+ax b+ 又 ( 3) 2

(2) 8 f

f

− = −



 = ⇒ 3 2

2 8

a b a b

− + = −



 + =

⇒ a =2，_{b =}₄

∴ 餘式為2x +4

多項式 ( )f x 以x −1除之餘 7，以x +2除之餘 5

− ，試求 ( )f x 除以(x−1)(x+2)之餘式。

設 f x( )=(x−1)(x+2)×q x( )+ax b+ 又 (1) 7

( 2) 5 f

f

 =

 − = −

 ⇒ 7

2 5

a b a b

 + =

− + = −



⇒ a =4，_{b =}₃

∴ 餘式為4x +3

因式定理

1. x−a是多項式 ( )f x 的因式 ⇔ f a =( ) 0。

2. 設a ≠0，ax b− 是多項式 ( )f x 的因式 ⇔ ( )b 0 f a = 。

3. 設a≠b， (x−a x b)( − )是多項式 ( )f x 之因式 ⇔ f a( )= f b( )= 。 0

★ 因式定理 ★

設_{x +}₂為 f x( )=kx³+x² −2kx+12之因式，試求_k之值。

∵ ^{x +}²為 f x( )之因式

∴ f( 2)− = −8k+ +4 4k+12=0

⇒ k =4

已知 f x( )=x³−kx²+5x−7 可以被 _{x −}₁整除，試求_k之值。

∵ f x( )可以被x −1整除

∴ f(1) 1= −k+ −5 7=0

⇒ k = −1

★★ 因式定理的應用 ★★

已知 f x( )=x⁴+ax²+bx−4能被x²− −x 2整除，試求_{a b}+ 之值。

∵ f x( )能被x²− −x 2整除又 x²− −x 2=(x−2)(x+1)

∴ (x −2)、(x +1)亦為 f x( )之因式

⇒ (2) 0 ( 1) 0 f

f

 =

 − =

 ⇒ 16 4 2 4 0

1 4 0

a b a b

+ + − =



+ − − =



⇒ a = −1，_{b = −}₄

∴ a b+ = −5

若x − 為² 1 f x( )=x³+mx²+nx− 之因式，試5 求_m−₂_n之值。

∵ x −² 1為 f x( )之因式又 x²− =1 (x−1)(x+1)

∴ (x −1)、(x +1)亦為 f x( )之因式

⇒ ( 1) 0 (1) 0 f f

− =



 = ⇒ 1 5 0

1 5 0

m n m n

− + − − =



+ + − =



⇒ m =5，_{n = −}₁

∴ _m−₂_n=₇

(11)

★★★ 因式定理的應用 ★★

若 ( )f x 為二次多項式，且 f( 1)− = f(2)=4， (1) 8

f = ，試求 (3)f 之值。

令 f x( )=a x( +1)(x−2) 4+ (1) 2 ( 1) 4 8 f = × × −a + =

⇒ a = −2

∴ f x( )= −2(x+1)(x−2) 4+

⇒ f(3)= −4

若 ( )f x 為二次多項次，且 f(1)= f(2)=0， (3) 6

f = ，試求 (0)f 之值。

令 f x( )=a x( −1)(x−2) (3) 2 1 6 f = × × =a

⇒ a =3

∴ f x( )=3(x−1)(x−2)

⇒ f(0)=6

整係數一次因式檢驗法

設 f x( )=a x_n ⁿ+a_n₋₁xⁿ⁻¹+L+a x₁ +a₀為整係數_n次多項式，若_{ax b}− 是 ( )f x 之整係數一次因 式，且_a、_b互質，則_a為a_n的因數且_b為

a0的因數。

(1)各項係數和=0 ⇔ f(1)=0 ⇔ f x 有( ) x − 之因式。 1

(2)偶次項係數和 = 奇次項係數和 ⇔ f −( 1)=0 ⇔ f x 有( ) x + 之因式。 1

(3)若 f x 為三次多項式，可以利用整係數一次因式檢驗法，先找出其中一個一次因 ( ) 式，再利用綜合除法求商式，最後即可使用十字交乘法順利分解。

★★★ 整係數一次因式檢驗法 ★★★

若6x³+7x²− − =x 2 (x a+ )(2x b+ )(3x c+ )，試求a、b、c之值。

令 f x( )=6x³+7x²− −x 2

∵ f −( 1)= − + + −6 7 1 2=0

∴ (x +1)為 f x( )之因式由綜合除法可求得：

( ) ( 1)(6 2 2) f x = x+ x +x−

(x 1)(2x 1)(3x 2)

= + − +

比較係數得：a =1、b = −1、c =2

試因式分解 f x( )=x³+5x²+2x− 。 8 ∵ f(1) 1 5 2 8= + + − =0

∴ (x −1)為 f x( )之因式由綜合除法可求得：

( ) ( 1)( 2 6 8) f x = x− x + x+

(x 1)(x 2)(x 4)

= − + +

(12)

( Ｃ ) 1. 下列何者不是多項式 x³−2x² − +x 2 的因式？ (A) x +1 (B) ^{x −}¹ (C) ^{x +}² (D)x −2。

( Ｃ ) 2. 設m、n為整數，下列何者不可能為 f x( )=2x³+mx²+nx+ 的因式？ 3 (A)2x +1 (B)2x +3 (C)3x −1 (D)x −3。

( Ｄ ) 3. 以x +2除(x+3)ⁿ +x²+7x− ，則餘式為 5 (A)−8 (B)−10 (C) 12− (D) 14− 。 ( Ｂ ) 4. 設x −1為 f x( )=x³−(k+2)x+3kx− 的因式，求3 k = (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。

( Ｄ ) 5. 設

4 2

5 1 x mx

x

− +

− 能化為_x之整式，則_{m =} (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6。

6. 若x −1為x²+3x+p及x²+ px+q之因式，則 2 p q+ = −5 。

7. 以x +1除 f x( )=ax⁴+x− 及3 g x( )=2x³−3ax− 所得餘式相同，則6 a = 2 。 8. 設多項式 f x( )=x³−3x²+kx+ 除以5 x −2之餘式為 7，則k = 3 。

9. 設 f x( )=x⁵−15x⁴+27x³−14x²+12x+ ，則8 f(13)= −5 。

10. 多項式 f x 除以( ) x −1餘式為 3，除以x −2餘式為 5，則 ( )f x 除以(x−1)(x−2)餘式為 2x +1 。

11. 若x − 為² 1 x¹⁰−3x³+ax²−bx+ 的因式，則4 a−2b= 1 。

＊12. 設 ( )f x 為二次多項式，已知 f(0)= f(1)= 且5 f(2)= ，則9 f −( 1)= 9 。

＊13. 因式分解2x³+x²−5x+2= (x−1)(x+2)(2x−1) 。

14. 若x −1為 f x( )=x⁶+2x⁵+mx²+3x+ 的因式，則n m+n= −6 。

15. 若 f x( )=x²−2ax+ 除以6 x +1的餘式為 3，則 ( )f x 除以x +2的餘式為 ₂ 。 16. 若x −1為多項式 f x( )=x⁵−24x³−8x²−kx+19之因式，則 ( )f x 除以x −5之餘式為

4 。

＊17. 設多項式 f x( )=x⁵−9x⁴+10x³−18x²+20x+ ，則8 f

(

f(0)

)

= 40 。

＊18. 設多項式 ( )f x 除以x −1餘 3， ( )g x 除以x −1餘 2− ，則2 ( ) 3 ( )f x − g x 除以x −1之餘式為 12 。

(13)

7-3 分式與根式的運算

分式的運算 1. 分式的四則運算：

設 ( )f x 、g x 、( ) h x 、( ) k x 為多項式，且( ) g x ≠( ) 0、 ( ) 0k x ≠ ， (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) f x h x f x k x h x g x g x k x g x k x

± = ±

× 。

(2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x h x f x h x g x k x g x k x

× = ×

× 。

(3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x h x f x k x f x k x g x k x g x h x g x h x

÷ = × = ×

× ，其中 ( ) 0h x ≠ 。 2. 已知 1

x± x，求 n 1 x n

±x 的值：

(1) ²

2

1 1 1

( )( )

x x x

− = + − 。 (2) ² ² ²

2

1 1 1

( ) 2 ( ) 2

x x x

+ = + − = − + 。 (3) ³ 1₃ 1 ³ 1

( ) 3( )

x x x

− = − + − 。 (4) ³ 1₃ 1 ³ 1

( ) 3( )

x x x

+ = + − + 。

(5) 1 ² 1 ² (x ) (x ) 4

x x

+ = − + 。 (6) ⁴ ²

4 2

1 1 1 1

( )( )( )

x x x x

− = − + + 。

★ 分式的四則運算 ★★

化簡 2

2 2

1 1 1

x

x +x − x

− + − 。

原式 ⁽ ¹⁾ ²⁽ ^{1) 2} ( 1)( 1)

x x x

x x

+ + − −

= − +

2 3 4

( 1)( 1)

x x

+ −

= − +

( 1)( 4) ( 1)( 1)

x x

− +

= − +

4 1 x

x

= + +

化簡 2

1 1 2

1 x+1 x+1 x

− + + 。

原式 2 2

2 2

1 x 1 x

= +

− +

4 ₄

=1 x

−

★ 分式的四則運算 ★

化簡

2 2

3 4 1

16 3 5 4

x x x x

− + −

× ÷

− − − + 。

原式 ⁽ ³⁾ ⁴ ⁽ ⁴⁾⁽ ¹⁾

( 4)( 4) 3 ( 1)( 1)

x x x x x

x x x x x

− + − −

= × ×

+ − − + −

1 x

= x +

化簡

2 2 2

2 3

2 1 1 5 6

3 1 1

x x x x x

x x x x

+ + − − +

÷ ×

− − + + 。

原式

2 2

2

( 1) ( 1) ( 2)( 3)

( 3) ( 1)( 1) ( 1)( 1)

x x x x x

x x x x x x

+ − + − −

= × ×

− + − + − +

2 1 x

x

= −

−

(14)

★★ ★★

設 1

5

x+ x = ，試求：(1) ² 1₂

x + x (2) ³ 1₃ x + x 之值。

(1) ² 2 ² ²

1 1

( ) 2 5 2 23

x x

+ = + − = − =

(2) ³ 1₃ 1 ³ 1

( ) 3( )

x x x

+ = + − +

53 3 5

= − × =125 15− =110

設 1

3

x− x= ，試求：(1) ² 1₂

x + x (2) ³ 1₃ x −x 之值。

(1) ² (x 1) 9

−x = ⇒ ² 1₂

2 9

x − + x =

⇒ ² 1₂ 11 x +x =

(2) ³ 1₃ 1 ² 1₂

( )( 1 )

x x x

− = − + +

3 (11 1) 36

= × + =

部分分式

1. 部分分式：將一真分式表示成幾個真分式的和，稱為部分分式。

2. 部分分式的基本類型：

(1) ( ) ( )( )

f x A B

x a x b = x a+x b

− − − − 。 (2) ₂( ) ₂

( )( )

f x A Bx C

x a x bx c x a x bx c

= + +

− + + − + + 。

(3) ( ) ₂ ₂

( )( ) ( )

f x A B C

x a x b = x a+ x b+ x b

− − − − − 。 (4) ( )₃ ₂ ₃

( ) ( ) ( )

f x A B C

x a = x a+ x a + x a

− − − − 。

3. 求部分分式的步驟：

(1)將原分式化為最簡分式，若原分式為假分式，須先化為帶分式。

(2)將原分式的分母因式分解，再化為部分分式的基本類型。

(3)通分去分母，利用代值法、比較係數法、綜合除法、…等，求出未知係數。

★ 部分分式的運算 ★

設 3 1

( 1)( 2) 1 2

x A B

x x x x

+ = +

+ + + + ，試求 A B− 之值。

兩邊同乘(x+1)(x+2)去分母得：

3x+ =1 A x( +2)+B x( +1)

令_{x = −}₂代入− + =6 1 B( 2 1)− + ⇒ B =5 令_{x = −}₁代入− + =3 1 A( 1 2)− + ⇒ A = −2

∴ A−B= −7

設 2 3

( 1) 1

x A B

x x x x

− = +

− − ，試求 A B− 之值。

兩邊同乘x x −( 1)去分母得：

2x− =3 A x( −1)+Bx 令x =1代入− =1 B

令x =0代入− = −3 A ⇒ A =3

∴ A B− =4

(15)

★★ 部分分式的運算 ★★

設

2

2 2

3 2

( 1)( 1) 1 1

x x A Bx C

x x x x

− − + +

= +

+ + + + ，試求

A−B+C之值。

兩邊同乘(x+1)(x²+1)去分母得：

2 2

3 2 ( 1) ( 1)( )

x x A x x Bx C

− − + = + + + +

2 2

3 2 ( ) ( )

x x A B x B C x A C

− − + = + + + + +

比較係數：

x2項係數 ⇒ − =1 A+B……① x項係數 ⇒ − =3 B+C……② 常數項 ⇒ 2=A C+ ……③

由①、②、③得：A =2，B = −3，C =0

∴ A B C− + =2 ( 3) 0− − + =5

設 2 2

5 3

( 1)( 1) 1 1

x A Bx C

x x x x

+ +

= +

− + − + ，試求

A+B+C之值。

兩邊同乘(x−1)(x²+1)去分母得：

5x+ =3 A x( 2+1) (+ x−1)(Bx C+ ) 比較x²項係數 ⇒ 0=A+B……① 令x =1代入 ⇒ 8=2 A……② 令x =0代入 ⇒ 3=A C− ……③ 由①、②、③得：A =4，B = −4，C =1

∴ A+B C+ =4 ( 4) 1 1+ − + =

根式的運算

1. 根式：設 A 為多項式或有理式，n為正整數，則ⁿ A稱為根式，其中 A 稱為被開方數，n稱為根指數。

2. 根式運算法則：設_{a ≥}₀、_{b ≥}₀，且_m、_n為正整數，則 (1)ⁿ a×ⁿb= ⁿ ab。 (2) ( 0)

n n n

a a

b b b

= ≠ 。 (3)(ⁿa)ⁿ =a。 (4)ⁿ a^m =(ⁿ a)^m。 (5)^mna^m =ⁿ a。 (6)^{m n} a =^mna。

設 a R∈ ，則 ² , 0

| | , 0 a a a a

a a

 ≥

= =

− <

 。

3. 最簡根式：若在根式ⁿ _A中， A 的因式無法移到根號外，且根指數也無法再化小或根號不 在分母，則稱此根式為最簡根式。

例： 2、³ 4、⁴8 是最簡根式。

381= 333．3=3 33 、⁶9 =⁶3² =³3不是最簡根式。

4. 同類根式：在一些最簡根式中，被開方數與根指數都相同的，稱為同類根式。

例： 3 3 、1

2 3、 2 3− 為同類根式。

同類根式，才可以經由加、減運算合併。

5. 有理化因式：若兩根式的乘積為有理式，則此兩根式互稱為有理化因式。

例： ( a+ b)( a− b)=a b− ，則 a+ b與 a− b互為有理化因式。

3 2 3 2

3 3 3

( a+ b)( a − ab+ b )=a b+ ，則³a+³b與³ a² −³ab+³b² 互為有理化因式。

6. 二重根式的化簡：設a>b>0，則 (a+b) 2± ab = a± b。

(16)

★ 根式化簡 ★ 化簡下列各式：

(1)³12×³ 9÷³ 4。 (2)³16+³ 54−³128。

(1)原式 ³ ^{12 9} ³ 27 ³3³ 3 4

= × = = =

(2)原式=³ 2³×2+³3³×2−³4³×2 =2 2³ +3 2³ −4 2³

=(2 3 4) 2+ − ³ =³ 2

化簡下列各式：

(1) (1+ 2− 3)(1− 2− 3)。

(2) 1

8 18 2

+ − 。

(1)原式=[(1− 3)+ 2][(1− 3)− 2]

2 2

(1 3) ( 2)

= − −

4 2 3 2

= − − =2 2 3−

(2)原式 ² ² 2

2 2 3 2

2 2

= × + × −

×

2

2 2 3 2

= + − 2

1 9

(2 3 ) 2 2

2 2

= + − =

★★ 有理化因式 ★★

化簡 3 2

2 1− 3 1

− + 。

原式 3( 2 1) 2( 3 1) ( 2 1)( 2 1) ( 3 1)( 3 1)

+ −

= −

− + + −

3( 2 1) 2( 3 1)

1 2

+ −

= −

=( 6+ 3) ( 3 1)− − = 6 1+

化簡 3 2 3 2

3 2 3 2

− +

+

+ − 。

原式

2 2

( 3 2) ( 3 2)

( 3 2)( 3 2) ( 3 2)( 3 2)

− +

= +

+ − − +

=(5 2 6) (5 2 6)− + + =10

★★ 二重根式化簡 ★★

(1) 7 2 10+ (2) 12 6 3− 。 (1)原式= (5 2) 2 5 2+ + ×

( 5 2)2

= + = 5+ 2

(2)原式= 12 2 3− ²×3 = 12 2 27− = (9 3) 2 9 3+ − × = ( 9− 3)² = 9− 3= −3 3

(1) 5 2 6+ (2) 7+ 48。 (1)原式⁼ ^{(3 2)}⁺ ⁺^{2 3 2}^×

( 3 2)2

= + = 3+ 2

(2)原式= 7+ 2²×12 = 7 2 12+ = (4 3)+ +2 4 3× = ( 4+ 3)² = 4+ 3=2+ 3

(17)

( Ａ ) 1. 化簡 1 1 ₂4

2 2 4

x + x −x =

− + − (A) 2 2

x + (B) 2 2

x − (C) 1 2

x + (D) 1 2 x − 。 ( Ａ ) 2. 化簡 1 1

1 1

x x

− =

− + (A) 2 1

x − (B) 2 1 x

−

− (C)2 1 x

x − (D) 2 1

x x

−

− 。 ( Ｄ ) 3. 化簡 27− 48+ 75= (A) 3 (B) 2 3 (C) 3 3 (D) 4 3 。

4. 若 1 1 1

( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3) k x x + x x + x x = x x

+ + + + + + ，則_{k =} ₃ 。

5. 設 ₂3 7

2 15 5 3

x A B

x x x x

− = +

− − − + ，則A+2B= 5 。 6. 設 5 2

( 1)( 2)( 2) 1 2 2

x A B C

x x x x x x

− +

= + +

− − + − − + ，則_A+_{B C}+ = 0 。 7. 設

2

2 2

2 1

( 1)( 1) 1 1

x x a bx c

x x x x

+ + +

= +

− + − + ，則a+ +b c= 2 。 8. 設 1

3

x+x= ，則(1) ² 1₂

x +x = 7 ，(2) ³ 1₃

x +x = 18 ，(3) ⁴ 1₄

x +x = 47 。

＊ 9. 設^{x >}⁰且 1 1

x−x= ，則(1) ² 1₂

x +x = 3 ，(2) 1

x+x= 5 ，(3) ⁴ 1₄

x −x = 3 5 。

10. 若 1

( ) ( 1) f x = x x

+ ，則 (1)f + f(2)+ ⋅⋅⋅ + f(99)= 99 100 。

＊11. 若 1

( )

1 f x

x x

=

+ + ，則 (1)f + f(2)+ ⋅⋅⋅ + f(24)= 4 。 12. 化簡 (1+ 3+ 5)(1− 3+ 5)= 3 2 5+ 。

13. 若x = 2+ 3，則x⁴−10x² + =3 2 。 14. 設 6 2

6 2

x −

= +

， 6 2

6 2

y +

=

− ，則(1)x+y= 4 (2)x²+y²= 14 。 15. 求 12− 108− 7 4 3− = 1 。

＊16. 設 ³ ³ ² ₄ ⁵ ₂ ₃

( 1) 1 ( 1) ( 1)

x x x A B C

x x x x

− + −

= + +

+ + + + ( 1)⁴

D + x

+ ，則A+B C+ +D= −5 。 17. 設1<x<3，則 (x−1)² + (x−3)² = 2 。

＊18. 設 3 2 2− 的整數部分為_a，小數部分為_b，則 1

a+b= 2 1+ 。

(18)

( Ｄ ) 1. 下列何者為x的多項式？ (A)

2

1 x

x + (B) 5x + 3 (C)| 2x −9 | (D)2 5 x − 。 3

( Ｄ ) 2. 設(a b x+ ) ²+(2a b x− ) + 為5 x的一次多項式，且一次項之係數為 6，則a b× = (A) 2 (B)− 2 (C) 4 (D)− 。 4

( Ｃ ) 3. 求(x²+2x−1)(2x³+5x²−3x+4)展開式中，x 項的係數為 ³ (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6。

( Ｃ ) 4. 設(x +2)為 f x( )=x⁴+x³−2x²+ax+2的因式，則a =？ (A)−9 (B) 1− (C) 1 (D) 9。

( Ａ ) 5. 多項式f x 除以( ) x²−5x+ 之餘式為6 2x −3，則 (2)f = (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。

( Ａ ) 6. 已知f x( )=x⁴+5x³+4kx²+x−k，且 (1) 12f = ，則 ( 1)f − = (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3。

( Ｂ ) 7. 若f x( )=x⁵−2x⁴−x³+4x²−3x+k 除以x −2之餘式為 5，則k = (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7。

( Ｂ ) 8. 設f x( ) 11= x⁴−80x³+13x²+60x−32，則 (7)f = (A)− 2 (B)− 4 (C)−6 (D)−8。 ( Ａ ) 9. 以x +2除x⁴+x³−2x− 所得的餘式為何？ 5 (A) 7 (B) 9 (C) 12 (D) 15。

( Ｂ ) 10. 設x +1、x −2均為 f x( )=x³−2x² +ax b+ 的因式，則a b+ = (A) 1− (B) 1 (C)−3 (D) 3。

( Ｃ ) 11. 多項式 f x 以( ) x −1除之餘 1，以x +2除之餘−5，則以 (x−1)(x+2) 除之餘式為 (A)2x (B)2x +1 (C)2x −1 (D)2x −3。

( Ｃ ) 12. 下列何者不為x³−7x+ 之因式？ 6 (A)x −1 (B)x −2 (C)x −3 (D)x +3。 ( Ａ ) 13. 用 x²− + 去除x 1 2x³−3x²+2x−5 ，得到的餘式為何？ (A) − −x 4 (B) x +4

(C)−x²− 5 (D)x + 。 ² 5

( Ｄ ) 14. 若x³+px²+qx+ 可被3 x²−4x+ 整除，則3 p−q= (A) 1 (B)− 1 (C) 2 (D)− 。 2 ( Ｄ ) 15. 設f x( )=mx³+nx²−2x+4，若以 (x −1)除 ( )f x 得餘式為 3，以 (x +1)除 ( )f x 得餘式

為 1，則以 (x −2)除 ( )f x 所得的餘式為何？ (A)−8 (B) 4− (C) 8 (D) 16。

( Ｃ ) 16. 設

2

5 8

2 8 2 4

x A B

x x x x

− = +

− − + − ，則 A B+ = (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7。

( Ｂ ) 17.多項式4x⁴ +4x³+x²+ 除以3 2x −1的餘式為何？ (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6。

(19)

( Ａ ) 18. 設a、b為實數，若 5x+7=a x( +1)+b x( −1)，則a b− =？ (A) 7 (B) 8 (C)−7 (D)−8。

( Ａ ) 19. 若x²+x+ 除1 2x³+x²+ax b+ 的餘式為−4x+5，則a+b=？ (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 7。

( Ｄ ) 20. 以x²+2x+2除 x⁴+3x³+2x²+ + 的餘式為x 1 ax b+ ，則_{a b}− = ？ (A) 0 (B) 1 (C)− 1 (D)− 。 2

( Ｄ ) 1. 設多項式 ( )f x 與g x 除以( ) (x −2)所得的餘式分別為 1 與 1− ，則 f x( ) 2 ( )− g x 除以 (x −2)所得的餘式為何？ (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3。

( Ｄ ) 2. 多項式135x⁵−420x⁴+26x³+62x²−18x+15除以x −3所得之餘式為 (A)−3 (B) 3 (C)−6 (D) 6。

( Ｄ ) 3. 下列何者為x³−6x²+11x− 的因式？ 6 (A)x +1 (B)x +2 (C)x −4 (D)x −3。 ( Ｄ ) 4. 設 f x( )=4x⁴−3x³+2x²− + ，x 1 g x( )=x²− + ，若x 1 f x 除以( ) g x 的餘式為( ) r x ，( )

則 (0)r = (A) 2− (B) 1− (C) 1 (D) 2。

( Ｄ ) 5. 設

3 2

6

1 1 1

A Bx C

x x x x

= + +

+ + − + ，則_{A B C}− + = (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8。

( Ａ ) 6. 設

2 2

2 5

2 2 ( 1) ( 2)

x x a b

x x x x

+ +

= + +

− − + − ，則_{2a b}+ = (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。

( Ｄ ) 7. 若x³+3x²+4x+ =3 a b x+ ( +1)+c x( +1)²+d x( +1)³，則_a+ + +_{b c} _d = (A) 2− (B)−3 (C) 2 (D) 3。

( Ｄ ) 8. 設 3 2 2+ 的整數部分為_a，小數部分為_b，則 1 1 a b−b=

+ (A) 1 (B) 1− (C) 2 (D)− 。 2

( Ａ ) 9. 設f x( )=3x³−7x²−2x+5=a(2x+1)³+b(2x+1)²+c(2x+1)+d ，則_{a b c}− + −_d = (A) 3 (B)−3 (C) 5 (D)−5。

( Ｄ ) 10. 設多項式 f x 除以( ) (x −2)²之餘式為_{x +}₂，則 ( )f x 除以x −2之餘式為何？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。

第七章 式的運算