第七章 式的運算

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(1)

第七章 式的運算

7-1 多項式的四則運算

多項式的基本概念 多項式的定義:

a 、n an1、…、a 、1 a 都是實數,0 n為正整數或 0,

則形如 f x( )=a xn n+an1xn1+L+a x1 +a0,稱 ( )f x 為不定元x的多項式。

不定元x不能出現在「分母」「根號」「絕對值」「指數」「對數」「三角函數」 例: 2

3

x +1 x +3|x2+5x2 |32x+1、 log(x +2)、 sin 2x 均不是 x 的多項式。

1. a 稱為k f x 中( ) x 項的k 係數,a 稱為0 f x 的( ) 常數項。

2. 若a ≠ ,則稱n 0 f x 為( ) n次多項式,n為 ( )f x 的次數,以deg ( )f x =n表示,此時a 為n f x( ) 的領導係數。

3. 若 f x( )=a0,則稱 ( )f x 為常數多項式(多項式只有常數項,其他各項係數均為 0)。

(1)若a ≠ ,則稱0 0 f x 為( ) 零次多項式(其次數為 0)。例: ( ) 3f x = 、 f x = − 。 ( ) 2 (2)若a = ,則稱0 0 f x 為( ) 零多項式(無次數可言)。例: ( ) 0f x =

零次多項式與零多項式均為常數多項式。

4. 多項式的值:將多項式 f x 中,指定一個實數( ) a為不定元x的值,則所得的結果,稱為多 項式 ( )f x 在x=a的值,以 ( )f a 來表示。

例:設 f x( )=2x2−3x+ ,則4 f(1)= ×2 12− × +3 1 4= 。 3

★ 多項式的應用 ★

f x( )=(a b x+ ) 3+(b+1)x2+(c−1)x+(a b− ) 為一次多項式,且一次項係數為 5,試求:

(1)abc之值 (2) ( )f x (3) f(2)。

(1)

0 1 0 1 5 a b b c

 + =

 + =

 − =

1 1 6 b a c

 = −

 =

 =

(2) f x( )=(6 1) x+

(

1 ( 1)− −

)

=5x+2

(3) f(2)= × +5 2 2 12=

f x( )=(a+1)x2+(b−2 )c x+(c+3) 為 零 多 項式,試求a+ +b c之值。

1 0 2 0 3 0 a b c c

 + =

 − =

 + =

1 3 6 a c b

 = −

 = −

 = −

a b c+ + = −10

(2)

多項式的係數

設多項式 f x( )a xn na xn1 n1  a x a10,則 1.常數項a0f(0)。

2.各項係數和anan1   a1 a0f(1)。 ( 1)

f  偶次項係數和奇次項係數和。

3.偶次項係數和 (1) ( 1) 2 ff

 。

4.奇次項係數和 (1) ( 1) 2 ff

 。

(1) +

( 1) f f

 



偶次項係數和 奇次項係數和 偶次項係數和 奇次項係數和

+ (1) ( 1)

: =

2 2

(1) ( 1)

: =

2 2

f f

f f





① ②

① ②

偶次項係數和 奇次項係數和

★★ 多項式的係數 ★★

f x( ) (2 x21)(x32x23x4)之 展 開 式 中,試求:

(1)常數項。

(2)各項係數和。

(3)偶次項係數和。

(4)奇次項係數和。

(1) (2 1) (1 2 3 4) 10 f       

( 1) (2 1) ( 1 2 3 4) 2 f          (1)常數項 f(0) ( 1) 4    4 (2)各項係數和 f(1) 10 (3)偶次項係數和 (1) ( 1)

2 6 f  f

 

(4)奇次項係數和 (1) ( 1) 2 4 f  f

 

f x( ) (2 x2mx4)(4x 之展開式中, 1) 試求下列各條件中之m值:

(1)各項係數和為 15。

(2)偶次項係數和為 6。

(1) (2 4)(4 1) 3 6 f   m    m

( 1) (2 4)( 4 1) 5 10 f    m     m (1) f(1) 3m 6 15  m 7 (2) (1) ( 1)

2 6 f  f

 ( 3 6) ( 5 10) 2 6

m m

     

 4m 2 6  m 1

(3)

多項式的相等 對於任意兩個實係數多項式:

f x( )a xn na xn1 n1  a x a10an  )。 0 g x( )b xm mb xm1 m1  b x b10bm  )。 0

1. ( )f xg x( )  n m ,且anbman1bm1,…,a1 ,b1 a0  。 b0 2. ( )f xg x( )  任何實數a代換x恆有 f a( )g a( )。

多項式的相等

f x( ) 5 x23bx c  ,1 g x( )ax26x ,4 若 f x( )g x( ),試求a2b3c之值。

5

3 6

1 4 a

b c

 

  

  

5 2 3 a b c

 

  

 

a2b3c18

已知 f x( ) ( a1)x2 (b 1)x c  , 2 ( ) 2 2 3 1

g xxx ,若 ( )f xg x( ), 試求a b c  之值。

1 2 1 3 2 1 a

b c

  

  

   

3 2 3 a b c

 

 

  

a b c  2

★★ 多項式的相等應用 ★★

設4x35x23x 2 a x( 1)3b x( 1)2 ( 1)

c x  ,試求: d

(1)a b c d   (2)a b c d   。 (1)令x 1 1  x2代入原式

32 20 6 2 a b c d      

a b c d   20

(2)令x  1 1  x0代入原式

 2    a b c d

a b c d    2

設(2x2 x 3)2ax4bx3cx2dx e , 試求:(1)a b c d e    (2)a b c d e    。

(1)令x1代入原式

 (2 1 3)  2     a b c d e

a b c d e    16 (2)令x 1代入原式

 (2 1 3)  2     a b c d e

a b c d e    36

(4)

多項式的四則運算

1. 加、減法運算:同次項合併,係數相加、減。

2. 乘法運算:利用指數律及乘法對加法的分配律,逐項展開相乘(係數相乘,次數相加),

再同次項合併。

3. 除法原理:設 ( )f x 、g x 為兩多項式,且( ) g x ≠( ) 0,則恰存在一組多項式 ( )q x 和r x ,( ) 使得 ( )f x =g x q x( ) ( )+r x( ),其中 ( ) 0r x = 或 deg ( ) deg ( )r x < g x

( )

f x 稱為被除式、g x 為除式、( ) q x 為商式、( ) r x 為餘式。 ( ) 即被除式=除式×商式+餘式。

4. 除法運算:先將 ( )f x 、g x 分別按降冪排列,再利用長除法(分離係數法)運算, ( ) 缺項補 0。

(1)deg

(

f x( )×g x( )

)

=deg ( )f x +deg ( )g x (2) ( )

deg deg ( ) deg ( ) ( )

f x f x g x

g x

=

g x ≠( ) 0

★ 多項式的加減法 ★

f x( )=2x3−3x2+5x− ,4 g x( )= −2x2+ ,3 試求:(1) ( )f x +g x( ) (2) ( )f xg x( )。

(1) f x( )+g x( )=2x3−5x2+5x−1 (2) f x( )−g x( )=2x3x2+5x−7

f x( )=4x3−2x2+ ,1 g x( )= −x3+2x+3, 試求:(1) ( )f x +g x( ) (2) ( )f xg x( )。

(1) f x( )+g x( )=3x3−2x2+2x+4 (2) f x( )−g x( )=5x3−2x2−2x−2

★ 多項式的乘法 ★★

試求(3x4x3+2x−3)( 3− x3+5x+2)乘開後,

x 項的係數。 4

x4項的係數= × + − × + × −3 2 ( 1) 5 2 ( 3) 5

= −

已知(x3+mx2+3x−5)(x2+5x−2)乘開後,

x 項的係數為3 − ,試求4 m之值。

x3項的係數= × −1 ( 2)+m× + × = −5 3 1 4

m = −1

(5)

★ 除法原理 ★ 多項式 ( )f x 除以x2−5x+ ,得餘式6 2x +5,

試求 (2)f 之值。

f x( )=(x2 −5x+6)×q x( ) 2+ x+5

f(2)=(4 10 6)− + ×q(2) 4 5+ + =9

多項式 ( )f x 除以x2+2x− ,得商式1 x + ,2 1 餘式3x +1,試求 (1)f 之值。

f x( )=(x2+2x−1)(x2+1) 3+ x+1

f(1)=(1 2 1)(1 1) 3 1 8+ − + + + =

★ 多項式的除法 ★

設多項式 f x( )=x4 +3x3−5x+2,試求 ( )f x 除以x2+2x− 的商式和餘式。 1

∴ 商式=x2+x−1,餘式= −2x+1

試求多項式2x3x2+2x+5除以 x2− − 的x 1 商式和餘式。

∴ 商式=2x+1,餘式=5x+6

★★ 多項式的除法 ★★

x2− +x 1 除 x4−2x2+ax b+ 之 餘 式 為 2x +3,試求a b+ 之值。

∵ 餘式為2x +3

∴ 3 2

2 3 a

b

 − =

 + =

 ⇒ 5

1 a b

 =

 =

a b+ =6

若 2x3+3x2+ax b+ 除 以 x2+x+ 之 餘 式 為1 3x −5,試求a b+ 之值。

∵ 餘式為3x −5

∴ 3 3

1 5 a

b

 − =

 − = −

 ⇒ 6

4 a b

 =

 = −

a b+ =2 1 + 1 2

1 1 1− + 1 + 0 2 + a + b 1 1 + 1

1 3 + a 1 1 + 1

2 + (a −1) + b 2 + 2 2 (a −3) + (b +2) 1 + 1 1

1 2 1+ − 1 + 3 + 0 5 + 2 1 + 2 1

1 + 1 5 1 + 2 1 1 4 + 2 1 2 + 1 2 + 1

2 + 1 1 1 1− − 2 1 + 2 + 5

2 2 2 1 + 4 + 5 1 1 1 + 5 + 6

2 + 1

1 1 1+ + 2 + 3 + a + b 2 + 2 + 2

+ 1 + (a −2) + b + 1 + 1 + 1 (a −3) + (b −1)

(6)

綜合除法

1. 綜合除法:當除式為一次式時,可利用「綜合除法」快速求得商式和餘式。

(1)演算綜合除法時,被除式按降冪排列,取其係數,遇缺項則以「0」補之。

(2)除式x b− ,將b置於右上角位置,若除式為x b+ ,則可改寫成x− −( b),而將−b置於 右上角位置。

(3)書寫時,上下排列要對齊;運算時,上下數字相加。

(4)以ax b− (a ≠0)除多項式 ( )f x ,其商式相當於以 b

xa除以 ( )f x 所得的商式再除以a

餘式等於 b

xa除 ( )f x 的餘式。

2. 綜合除法的應用:以x為不定元的多項式 ( )f x 可改寫成以x b− 為不定元之多項式,即

1

1 1 0

( ) n( )n n ( )n ( )

f x =a x b− +a x b +L+a x b− +a ,其中a 、n an1、…、

a 、1 a 可利用連續綜合除法求得。 0

★ 綜合除法 ★

設多項式 f x( )=x4−3x2 +x+ ,試求3 f x 除( ) 以x +2的商式和餘式。

利用綜合除法

2

1 0 3 1 3

2 4 2 2

1 2 1 1 5

+ − + +

− + − +

− + − +

∴ 商式=x3−2x2+x−1,餘式=5

求多項式x3−2x2−6x+ 除以5 x −3的商式和 餘式。

利用綜合除法 3

1 2 6 5

3 3 9

1 1 3 4

− − +

+ + −

+ − −

∴ 商式=x2 +x−3,餘式= −4

★★ 綜合除法 ★★

設多項式 f x( )=3x3+7x2−4x− ,試求5 f x( ) 除以3x +1的商式和餘式。

利用綜合除法 3 7 4 5 1

1 2 2 3

3 3 6 6 3

1 2 2

+ − −

− − + −

+ − −

+ −

∴ 商式=x2+2x−2,餘式= −3

試求多項式4x4+2x3− + 除以x 5 2x −1的商式 和餘式。

利用綜合除法 4 2 0 1 5 1

2 2 1 0 2

2 4 4 2 0 5 2 2 1 0

+ + − +

+ + + +

+ + + +

+ + +

∴ 商式=2x3+2x2+x,餘式=5

(7)

★★★ 連續綜合除法 ★★★

f x( )=3x3x2−6x−4=a x( −1)3+b x( −1)2 ( 1)

c x d

+ − + ,試求a+ − +b c d 之值。

利用連續綜合除法 3 1 6 4 1

3 2 4 3 2 4 8

3 5 3 5 1

3 3 8

d

c b a

− − − + + −

+ − − →

+ +

+ + →

+

+ →

a b c d+ − + = + − + −3 8 1 ( 8)=2

f x( )=x3+2x2+3x+4=a x( +1)3+b x( +1)2 ( 1)

c x d

+ + + ,試求a+ − −b c d之值。

利用連續綜合除法

1

1 2 3 4

1 1 2

1 1 2 2

1 0 1 0 2

1 1 1

d

c b a

− + + +

− − −

+ + + →

− +

+ + →

− →

a b c d+ − − = + −1 ( 1) 2 2− − = −4

( B ) 1. 下列何者為多項式? (A)|x +2 | (B) 4 (C) x −2 2 (D) 2 1 x + 。 ( C ) 2. 設f x 與( ) g x 皆為( ) x的非零多項式,下列敘述何者正確?

(A)deg

(

f x( )+g x( )

)

=deg ( ) deg ( )f x + g x (B)deg

(

f x( )+g x( )

)

=deg ( ) deg ( )f xg x (C)deg

(

f x( )g x( )

)

=deg ( ) deg ( )f x + g x (D)deg

(

f x( )g x( )

)

=deg ( ) deg ( )f xg x ( D ) 3. 多項式f x 除以( ) x2−2x− ,其餘式為3 2x +5,則 (3)f = (A) 5 (B) 7 (C) 9

(D) 11。

( C ) 4. 若多項式f x 除以多項式( ) g x ,得商式為( ) q x ,餘式為( ) 8,則以 f x 除以( ) 2 ( )g x 得 餘式為 (A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16。

5. 設 f x( )=(a−2)x4+(b+1)x3+5x2− 為二次多項式,則7 a b+ = 1 。 6. 設 f x( )=(a−2)x2+3x+(c+1),g x( )=x2+(b+1)x+ ,若6 f x( )=g x( ),則

a b c− + = 6 。

7. 若x2+4x+ =3 a b x+ ( −1)+c x( −1)(x+1),則a b− +c= 5 。

8. 設(x2−2x+3)2 =ax4+bx3+cx2+dx+ ,其中e abcde為常數,則 a+ + +b c d+ =e 4 。

9. 若x3+4x2−5x−2=a x( −1)3+b x( −1)2+c x( −1)+d,則a b− + −c d = 2 。 10. 求(2x3+4x2 − +x 3)(x4−4x2+2)乘積中,各項係數總和為 −8 。

*題目難度較高

(8)

11. 試求(x3+4x2+3)(2x2− −x 5)展開式中x 項係數為4 7 。

12. 設(x2+2x+3)(x5−6x4+ax3−3x2+7x−8)乘開後x 項的係數為4 −25,則a =2 。 13. 已知多項式 ( )f x 除以x +1得商式為x2−2x+2,餘式為2x +3,則

( )

f x = x3x2 +2x+5 。

14. 以3x2− + 除x 2 6x4−8x3+6x2− 之餘式為3 4x −3 。 15. 若x2+x+ 能整除1 x3+3x2+ax b+ ,則a b− = 1 。

16. 設 f x( )=x3−3x2−2x− ,2 g x( )=(ax b x+ )( 2+x+1),若 ( )f x 除以g x 得商為( ) 1,餘式 為x +2,則2a b+ = −2 。

*17. 若多項式 f x( )=x3+2x2+3x+4可表為a x( +1)3+b x( +1)2+c x( +1)+d,則 (1)a = 1 ,b = −1 ,c = 2 ,d = 2 。

(2) ( 2 1)f − = 4 2 。

*18. 若x = 2 1 ,則x4−3x2+6x+ 的值為2 4 。

*19. 若x = −2 3,則(x2−4x+3)2的值為 4 。

20. 多項式x3−3x2+5x− 除以6 f x ,得商式( ) x −1,餘式2x −5,則 (2)f = 1 。

7-2 餘式與因式定理

餘式定理

1. 多項式 f x 除以( ) xa的餘式為 ( )f a 。 2. 多項式 f x 除以( ) ax b− 的餘式為 ( )b

f a ,其中a ≠0。 3. f a 可以表示為多項式( ) f x 除以( ) xa的餘式。

若代入後數字太複雜難以計算,可改用綜合除法求餘式。

★ 餘式定理 ★

試求多項式 f x( )=3(x+2)5−2x+ 除以3 x +3 的餘式。

餘式= f( 3)− = × − +3 ( 3 2)5− × −2 ( 3) 3+ 3 6 3 6

= − + + =

試求多項式 f x( )=x100−7x9+9x5−2x3−10除 以x +1的餘式。

餘式= f( 1) 1 7 9 2 10− = + − + − = −9

(9)

★ 餘式定理 ★ 若 f x( )=x3kx2+x+k 除 以 x −2得 餘 式 為

2

− ,試求k之值。

餘式= f(2)= −8 4k+ +2 k= −2

k =4

多項式 f x( )=x3+ax2−5x+ ,以8 x +1除之餘 3,試求a之值。

餘式= f( 1)− = − +1 a+ + =5 8 3

a = −9

★★ 餘式定理的應用 ★★

f x( )=3x4−5x3+7x2+ ,試求: 2 (1) f(1) (2) 1

( ) f −3 。 (1) f(1)= − + + =3 5 7 2 7

(2) 3 5 7 0 2 1 1 2 3 1 3 3 6 9 3 3

− + + +

− + − + −

− + − +

∴ 1

( ) 3 f −3 =

f x( )=x5−4x4−72x3−56x2+15x−36, 試 求:(1) ( 1)f − (2) f(11)。

(1) f −( 1)= − − +1 4 72 56 15 36− − − = −40 (2) f(11) ⇒ f x( ) (÷ x−11)之餘式

1 4 72 56 15 36 11 11 77 55 11 44

1 7 5 1 4 8

− − − + −

+ + + − +

+ + − + +

f(11)=8

★★ 餘式定理的應用 ★★

f x( )=3x3+ax2+bx− ,以7 x −2除 ( )f x 餘 式為 13,以x −1除 ( )f x 餘 式 為−3,試求

a+2b之值。

(2) 13 (1) 3 f

f

 =

 = −

 ⇒ 24 4 2 7 13

3 7 3

a b a b

+ + − =



+ + − = −

⇒ 2 2

1 a b a b

+ = −



 + =

a = −3,b =4

a+2b=5

f x( )=2x3+x2+mx+ ,以n x +2除 ( )f x 餘 式為−5,以x除 ( )f x 餘式為 3,試求mn之 值。

( 2) 5 (0) 3 f

f

− = −



 = ⇒ 16 4 2 5

3

m n n

− + − + = −



 =

⇒ 2

3 m n

 = −

 =

mn= −5

(10)

★★ 餘式定理的應用 ★★

多項式 ( )f x 以x +3除之餘 2− ,以x −2除之 餘 8,試求 ( )f x 除以(x+3)(x−2)的餘式。

f x( )=(x+3)(x−2)×q x( )+ax b+ 又 ( 3) 2

(2) 8 f

f

− = −



 = ⇒ 3 2

2 8

a b a b

− + = −



 + =

a =2,b =4

∴ 餘式為2x +4

多項式 ( )f x 以x −1除之餘 7,以x +2除之餘 5

− ,試求 ( )f x 除以(x−1)(x+2)之餘式。

f x( )=(x−1)(x+2)×q x( )+ax b+ 又 (1) 7

( 2) 5 f

f

 =

 − = −

 ⇒ 7

2 5

a b a b

 + =

− + = −

a =4,b =3

∴ 餘式為4x +3

因式定理

1. xa是多項式 ( )f x 的因式 ⇔ f a =( ) 0。

2. 設a ≠0,ax b− 是多項式 ( )f x 的因式 ⇔ ( )b 0 f a = 。

3. 設ab, (xa x b)( − )是多項式 ( )f x 之因式 ⇔ f a( )= f b( )= 。 0

★ 因式定理 ★

x +2f x( )=kx3+x2 −2kx+12之因式,試 求k之值。

x +2f x( )之因式

f( 2)− = −8k+ +4 4k+12=0

k =4

已 知 f x( )=x3kx2+5x−7 可 以 被 x −1整 除,試求k之值。

f x( )可以被x −1整除

f(1) 1= −k+ −5 7=0

k = −1

★★ 因式定理的應用 ★★

已 知 f x( )=x4+ax2+bx−4能 被x2− −x 2整 除,試求a b+ 之值。

f x( )能被x2− −x 2整除 又 x2− −x 2=(x−2)(x+1)

∴ (x −2)、(x +1)亦為 f x( )之因式

⇒ (2) 0 ( 1) 0 f

f

 =

 − =

 ⇒ 16 4 2 4 0

1 4 0

a b a b

+ + − =



+ − − =

a = −1,b = −4

a b+ = −5

x − 為2 1 f x( )=x3+mx2+nx− 之因式,試5 求m2n之值。

x −2 1為 f x( )之因式 又 x2− =1 (x−1)(x+1)

∴ (x −1)、(x +1)亦為 f x( )之因式

⇒ ( 1) 0 (1) 0 f f

− =



 = ⇒ 1 5 0

1 5 0

m n m n

− + − − =



+ + − =

m =5,n = −1

m2n=7

(11)

★★★ 因式定理的應用 ★★

若 ( )f x 為二次多項式,且 f( 1)− = f(2)=4, (1) 8

f = ,試求 (3)f 之值。

f x( )=a x( +1)(x−2) 4+ (1) 2 ( 1) 4 8 f = × × −a + =

a = −2

f x( )= −2(x+1)(x−2) 4+

f(3)= −4

若 ( )f x 為二次多項次,且 f(1)= f(2)=0, (3) 6

f = ,試求 (0)f 之值。

f x( )=a x( −1)(x−2) (3) 2 1 6 f = × × =a

a =3

f x( )=3(x−1)(x−2)

f(0)=6

整係數一次因式檢驗法

f x( )=a xn n+an1xn1+L+a x1 +a0為整係數n次多項式,若ax b− 是 ( )f x 之整係數一次因 式,且ab互質,則aan的因數且b

a0的因數。

(1)各項係數和=0 f(1)=0 f x 有( ) x − 之因式。 1

(2)偶次項係數和 = 奇次項係數和 ⇔ f −( 1)=0 f x 有( ) x + 之因式。 1

(3)若 f x 為三次多項式,可以利用整係數一次因式檢驗法,先找出其中一個一次因 ( ) 式,再利用綜合除法求商式,最後即可使用十字交乘法順利分解。

★★★ 整係數一次因式檢驗法 ★★★

若6x3+7x2− − =x 2 (x a+ )(2x b+ )(3x c+ ), 試求abc之值。

f x( )=6x3+7x2− −x 2

f −( 1)= − + + −6 7 1 2=0

∴ (x +1)為 f x( )之因式 由綜合除法可求得:

( ) ( 1)(6 2 2) f x = x+ x +x

(x 1)(2x 1)(3x 2)

= + − +

比較係數得:a =1、b = −1、c =2

試因式分解 f x( )=x3+5x2+2x− 。 8 ∵ f(1) 1 5 2 8= + + − =0

∴ (x −1)為 f x( )之因式 由綜合除法可求得:

( ) ( 1)( 2 6 8) f x = xx + x+

(x 1)(x 2)(x 4)

= − + +

(12)

( C ) 1. 下 列 何 者 不 是 多 項 式 x3−2x2 − +x 2 的 因 式 ? (A) x +1 (B) x −1 (C) x +2 (D)x −2。

( C ) 2. 設mn為整數,下列何者不可能為 f x( )=2x3+mx2+nx+ 的因式? 3 (A)2x +1 (B)2x +3 (C)3x −1 (D)x −3。

( D ) 3. 以x +2除(x+3)n +x2+7x− ,則餘式為 5 (A)−8 (B)−10 (C) 12− (D) 14− 。 ( B ) 4. 設x −1為 f x( )=x3−(k+2)x+3kx− 的因式,求3 k = (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。

( D ) 5. 設

4 2

5 1 x mx

x

− +

− 能化為x之整式,則m = (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6。

6. 若x −1為x2+3x+px2+ px+q之因式,則 2 p q+ = −5 。

7. 以x +1除 f x( )=ax4+x− 及3 g x( )=2x3−3ax− 所得餘式相同,則6 a = 2 。 8. 設多項式 f x( )=x3−3x2+kx+ 除以5 x −2之餘式為 7,則k = 3 。

9. 設 f x( )=x5−15x4+27x3−14x2+12x+ ,則8 f(13)= −5 。

10. 多項式 f x 除以( ) x −1餘式為 3,除以x −2餘式為 5,則 ( )f x 除以(x−1)(x−2)餘式為 2x +1 。

11. 若x − 為2 1 x10−3x3+ax2bx+ 的因式,則4 a−2b= 1 。

*12. 設 ( )f x 為二次多項式,已知 f(0)= f(1)= 且5 f(2)= ,則9 f −( 1)= 9 。

*13. 因式分解2x3+x2−5x+2= (x−1)(x+2)(2x−1) 。

14. 若x −1為 f x( )=x6+2x5+mx2+3x+ 的因式,則n m+n= −6 。

15. 若 f x( )=x2−2ax+ 除以6 x +1的餘式為 3,則 ( )f x 除以x +2的餘式為 2 。 16. 若x −1為多項式 f x( )=x5−24x3−8x2kx+19之因式,則 ( )f x 除以x −5之餘式為

4 。

*17. 設多項式 f x( )=x5−9x4+10x3−18x2+20x+ ,則8 f

(

f(0)

)

= 40 。

*18. 設多項式 ( )f x 除以x −1餘 3, ( )g x 除以x −1餘 2− ,則2 ( ) 3 ( )f xg x 除以x −1之餘式為 12 。

*題目難度較高

(13)

7-3 分式與根式的運算

分式的運算 1. 分式的四則運算:

設 ( )f x 、g x 、( ) h x 、( ) k x 為多項式,且( ) g x ≠( ) 0、 ( ) 0k x ≠ , (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) f x h x f x k x h x g x g x k x g x k x

± = ±

× 。

(2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x h x f x h x g x k x g x k x

× = ×

× 。

(3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x h x f x k x f x k x g x k x g x h x g x h x

÷ = × = ×

× ,其中 ( ) 0h x ≠ 。 2. 已知 1

x± x,求 n 1 x n

±x 的值:

(1) 2

2

1 1 1

( )( )

x x x

x x x

− = + − 。 (2) 2 2 2

2

1 1 1

( ) 2 ( ) 2

x x x

x x x

+ = + − = − + 。 (3) 3 13 1 3 1

( ) 3( )

x x x

x x x

− = − + − 。 (4) 3 13 1 3 1

( ) 3( )

x x x

x x x

+ = + − + 。

(5) 1 2 1 2 (x ) (x ) 4

x x

+ = − + 。 (6) 4 2

4 2

1 1 1 1

( )( )( )

x x x x

x x x x

− = − + + 。

★ 分式的四則運算 ★★

化簡 2

2 2

1 1 1

x

x +xx

− + − 。

原式 ( 1) 2( 1) 2 ( 1)( 1)

x x x

x x

+ + − −

= − +

2 3 4

( 1)( 1)

x x

x x

+ −

= − +

( 1)( 4) ( 1)( 1)

x x

x x

− +

= − +

4 1 x

x

= + +

化簡 2

1 1 2

1 x+1 x+1 x

− + + 。

原式 2 2

2 2

1 x 1 x

= +

− +

4 4

=1 x

★ 分式的四則運算 ★

化簡

2 2

2 2

3 4 1

16 3 5 4

x x x x

x x x x

− + −

× ÷

− − − + 。

原式 ( 3) 4 ( 4)( 1)

( 4)( 4) 3 ( 1)( 1)

x x x x x

x x x x x

− + − −

= × ×

+ − − + −

1 x

= x +

化簡

2 2 2

2 3

2 1 1 5 6

3 1 1

x x x x x

x x x x

+ + − − +

÷ ×

− − + + 。

原式

2 2

2

( 1) ( 1) ( 2)( 3)

( 3) ( 1)( 1) ( 1)( 1)

x x x x x

x x x x x x

+ − + − −

= × ×

− + − + − +

2 1 x

x

= −

(14)

★★ ★★

設 1

5

x+ x = ,試求:(1) 2 12

x + x (2) 3 13 x + x 之 值。

(1) 2 2 2 2

1 1

( ) 2 5 2 23

x x

x x

+ = + − = − =

(2) 3 13 1 3 1

( ) 3( )

x x x

x x x

+ = + − +

53 3 5

= − × =125 15− =110

設 1

3

xx= ,試求:(1) 2 12

x + x (2) 3 13 xx 之 值。

(1) 2 (x 1) 9

x = ⇒ 2 12

2 9

x − + x =

2 12 11 x +x =

(2) 3 13 1 2 12

( )( 1 )

x x x

x x x

− = − + +

3 (11 1) 36

= × + =

部分分式

1. 部分分式:將一真分式表示成幾個真分式的和,稱為部分分式。

2. 部分分式的基本類型:

(1) ( ) ( )( )

f x A B

x a x b = x a+x b

− − − − 。 (2) 2( ) 2

( )( )

f x A Bx C

x a x bx c x a x bx c

= + +

− + + − + + 。

(3) ( ) 2 2

( )( ) ( )

f x A B C

x a x b = x a+ x b+ x b

− − − − − 。 (4) ( )3 2 3

( ) ( ) ( )

f x A B C

x a = x a+ x a + x a

− − − − 。

3. 求部分分式的步驟:

(1)將原分式化為最簡分式,若原分式為假分式,須先化為帶分式。

(2)將原分式的分母因式分解,再化為部分分式的基本類型。

(3)通分去分母,利用代值法、比較係數法、綜合除法、…等,求出未知係數。

★ 部分分式的運算 ★

設 3 1

( 1)( 2) 1 2

x A B

x x x x

+ = +

+ + + + ,試求 A B− 之 值。

兩邊同乘(x+1)(x+2)去分母得:

3x+ =1 A x( +2)+B x( +1)

x = −2代入− + =6 1 B( 2 1)− + ⇒ B =5 令x = −1代入− + =3 1 A( 1 2)− + ⇒ A = −2

AB= −7

設 2 3

( 1) 1

x A B

x x x x

− = +

− − ,試求 A B− 之值。

兩邊同乘x x −( 1)去分母得:

2x− =3 A x( −1)+Bxx =1代入− =1 B

x =0代入− = −3 AA =3

A B− =4

(15)

★★ 部分分式的運算 ★★

2

2 2

3 2

( 1)( 1) 1 1

x x A Bx C

x x x x

− − + +

= +

+ + + + ,試求

AB+C之值。

兩邊同乘(x+1)(x2+1)去分母得:

2 2

3 2 ( 1) ( 1)( )

x x A x x Bx C

− − + = + + + +

2 2

3 2 ( ) ( )

x x A B x B C x A C

− − + = + + + + +

比較係數:

x2項係數 ⇒ − =1 A+B……① x項係數 ⇒ − =3 B+C……② 常數項 ⇒ 2=A C+ ……③

由①、②、③得:A =2,B = −3,C =0

A B C− + =2 ( 3) 0− − + =5

2 2

5 3

( 1)( 1) 1 1

x A Bx C

x x x x

+ +

= +

− + − + ,試求

A+B+C之值。

兩邊同乘(x−1)(x2+1)去分母得:

5x+ =3 A x( 2+1) (+ x−1)(Bx C+ ) 比較x2項係數 ⇒ 0=A+B……① 令x =1代入 ⇒ 8=2 A……② 令x =0代入 ⇒ 3=A C− ……③ 由①、②、③得:A =4,B = −4,C =1

A+B C+ =4 ( 4) 1 1+ − + =

根式的運算

1. 根式:設 A 為多項式或有理式,n為正整數,則n A稱為根式,其中 A 稱為被開方數,n稱 為根指數。

2. 根式運算法則:設a ≥0b ≥0,且mn為正整數,則 (1)n a×nb= n ab。 (2) ( 0)

n n n

a a

b b b

= ≠ 。 (3)(na)n =a。 (4)n am =(n a)m。 (5)mnam =n a。 (6)m n a =mna

設 a R ,則 2 , 0

| | , 0 a a a a

a a

= =

<

3. 最簡根式:若在根式n A中, A 的因式無法移到根號外,且根指數也無法再化小或根號不 在分母,則稱此根式為最簡根式。

例: 2、3 4、48 是最簡根式。

381= 333.3=3 3369 =632 =33不是最簡根式。

4. 同類根式:在一些最簡根式中,被開方數與根指數都相同的,稱為同類根式。

例: 3 3 、1

2 3、 2 3− 為同類根式。

同類根式,才可以經由加、減運算合併。

5. 有理化因式:若兩根式的乘積為有理式,則此兩根式互稱為有理化因式。

例: ( a+ b)( ab)=a b− ,則 a+ b與 ab互為有理化因式。

3 2 3 2

3 3 3

( a+ b)( aab+ b )=a b+ ,則3a+3b3 a23ab+3b2 互為有理化因式。

6. 二重根式的化簡:設a>b>0,則 (a+b) 2± ab = a± b

(16)

★ 根式化簡 ★ 化簡下列各式:

(1)312×33 4。 (2)316+3 54−3128。

(1)原式 3 12 9 3 27 333 3 4

= × = = =

(2)原式=3 23×2+333×2−343×2 =2 23 +3 23 −4 23

=(2 3 4) 2+ − 3 =3 2

化簡下列各式:

(1) (1+ 2− 3)(1− 2− 3)。

(2) 1

8 18 2

+ − 。

(1)原式=[(1− 3)+ 2][(1− 3)− 2]

2 2

(1 3) ( 2)

= − −

4 2 3 2

= − − =2 2 3−

(2)原式 2 2 2

2 2 3 2

2 2

= × + × −

×

2

2 2 3 2

= + − 2

1 9

(2 3 ) 2 2

2 2

= + − =

★★ 有理化因式 ★★

化簡 3 2

2 1− 3 1

− + 。

原式 3( 2 1) 2( 3 1) ( 2 1)( 2 1) ( 3 1)( 3 1)

+ −

= −

− + + −

3( 2 1) 2( 3 1)

1 2

+ −

= −

=( 6+ 3) ( 3 1)− − = 6 1+

化簡 3 2 3 2

3 2 3 2

− +

+

+ − 。

原式

2 2

( 3 2) ( 3 2)

( 3 2)( 3 2) ( 3 2)( 3 2)

− +

= +

+ − − +

=(5 2 6) (5 2 6)− + + =10

★★ 二重根式化簡 ★★

化簡下列各式:

(1) 7 2 10+ (2) 12 6 3− 。 (1)原式= (5 2) 2 5 2+ + ×

( 5 2)2

= + = 5+ 2

(2)原式= 12 2 3− 2×3 = 12 2 27− = (9 3) 2 9 3+ − × = ( 9− 3)2 = 9− 3= −3 3

化簡下列各式:

(1) 5 2 6+ (2) 7+ 48。 (1)原式= (3 2)+ +2 3 2×

( 3 2)2

= + = 3+ 2

(2)原式= 7+ 22×12 = 7 2 12+ = (4 3)+ +2 4 3× = ( 4+ 3)2 = 4+ 3=2+ 3

(17)

( A ) 1. 化簡 1 1 24

2 2 4

x + xx =

− + − (A) 2 2

x + (B) 2 2

x − (C) 1 2

x + (D) 1 2 x − 。 ( A ) 2. 化簡 1 1

1 1

x x

− =

− + (A) 2 1

x − (B) 2 1 x

− (C)2 1 x

x − (D) 2 1

x x

− 。 ( D ) 3. 化簡 27− 48+ 75= (A) 3 (B) 2 3 (C) 3 3 (D) 4 3 。

4. 若 1 1 1

( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3) k x x + x x + x x = x x

+ + + + + + ,則k = 3

5. 設 23 7

2 15 5 3

x A B

x x x x

− = +

− − − + ,則A+2B= 5 。 6. 設 5 2

( 1)( 2)( 2) 1 2 2

x A B C

x x x x x x

− +

= + +

− − + − − + ,則A+B C+ = 0 。 7. 設

2

2 2

2 1

( 1)( 1) 1 1

x x a bx c

x x x x

+ + +

= +

− + − + ,則a+ +b c= 2 。 8. 設 1

3

x+x= ,則(1) 2 12

x +x = 7 ,(2) 3 13

x +x = 18 ,(3) 4 14

x +x = 47 。

* 9. 設x >0且 1 1

xx= ,則(1) 2 12

x +x = 3 ,(2) 1

x+x= 5 ,(3) 4 14

xx = 3 5 。

10. 若 1

( ) ( 1) f x = x x

+ ,則 (1)f + f(2)+ ⋅⋅⋅ + f(99)= 99 100 。

*11. 若 1

( )

1 f x

x x

=

+ + ,則 (1)f + f(2)+ ⋅⋅⋅ + f(24)= 4 。 12. 化簡 (1+ 3+ 5)(1− 3+ 5)= 3 2 5+ 。

13. 若x = 2+ 3,則x4−10x2 + =3 2 。 14. 設 6 2

6 2

x

= +

, 6 2

6 2

y +

=

− ,則(1)x+y= 4 (2)x2+y2= 14 。 15. 求 12− 108− 7 4 3− = 1 。

*16. 設 3 3 2 4 5 2 3

( 1) 1 ( 1) ( 1)

x x x A B C

x x x x

− + −

= + +

+ + + + ( 1)4

D + x

+ ,則A+B C+ +D= −5 。 17. 設1<x<3,則 (x−1)2 + (x−3)2 = 2 。

*18. 設 3 2 2− 的整數部分為a,小數部分為b,則 1

a+b= 2 1+ 。

*題目難度較高

(18)

( D ) 1. 下列何者為x的多項式? (A)

2

1 x

x + (B) 5x + 3 (C)| 2x −9 | (D)2 5 x − 。 3

( D ) 2. 設(a b x+ ) 2+(2a b x− ) + 為5 x的一次多項式,且一次項之係數為 6,則a b× = (A) 2 (B)− 2 (C) 4 (D)− 。 4

( C ) 3. 求(x2+2x−1)(2x3+5x2−3x+4)展開式中,x 項的係數為 3 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6。

( C ) 4. 設(x +2)為 f x( )=x4+x3−2x2+ax+2的因式,則a =? (A)−9 (B) 1− (C) 1 (D) 9。

( A ) 5. 多項式f x 除以( ) x2−5x+ 之餘式為6 2x −3,則 (2)f = (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。

( A ) 6. 已知f x( )=x4+5x3+4kx2+xk,且 (1) 12f = ,則 ( 1)f − = (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3。

( B ) 7. 若f x( )=x5−2x4x3+4x2−3x+k 除以x −2之餘式為 5,則k = (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7。

( B ) 8. 設f x( ) 11= x4−80x3+13x2+60x−32,則 (7)f = (A)− 2 (B)− 4 (C)−6 (D)−8。 ( A ) 9. 以x +2除x4+x3−2x− 所得的餘式為何? 5 (A) 7 (B) 9 (C) 12 (D) 15。

( B ) 10. 設x +1、x −2均為 f x( )=x3−2x2 +ax b+ 的因式,則a b+ = (A) 1− (B) 1 (C)−3 (D) 3。

( C ) 11. 多項式 f x 以( ) x −1除之餘 1,以x +2除之餘−5,則以 (x−1)(x+2) 除之餘式為 (A)2x (B)2x +1 (C)2x −1 (D)2x −3。

( C ) 12. 下列何者不為x3−7x+ 之因式? 6 (A)x −1 (B)x −2 (C)x −3 (D)x +3。 ( A ) 13. 用 x2− + 去 除x 1 2x3−3x2+2x−5 , 得 到 的 餘 式 為 何 ? (A) − −x 4 (B) x +4

(C)−x2− 5 (D)x + 。 2 5

( D ) 14. 若x3+px2+qx+ 可被3 x2−4x+ 整除,則3 pq= (A) 1 (B)− 1 (C) 2 (D)− 。 2 ( D ) 15. 設f x( )=mx3+nx2−2x+4,若以 (x −1)除 ( )f x 得餘式為 3,以 (x +1)除 ( )f x 得餘式

為 1,則以 (x −2)除 ( )f x 所得的餘式為何? (A)−8 (B) 4− (C) 8 (D) 16。

( C ) 16. 設

2

5 8

2 8 2 4

x A B

x x x x

− = +

− − + − ,則 A B+ = (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7。

( B ) 17.多項式4x4 +4x3+x2+ 除以3 2x −1的餘式為何? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6。

(19)

( A ) 18. 設ab為實數,若 5x+7=a x( +1)+b x( −1),則a b− =? (A) 7 (B) 8 (C)−7 (D)−8。

( A ) 19. 若x2+x+ 除1 2x3+x2+ax b+ 的餘式為−4x+5,則a+b=? (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 7。

( D ) 20. 以x2+2x+2除 x4+3x3+2x2+ + 的 餘 式 為x 1 ax b+ , 則a b− = ? (A) 0 (B) 1 (C)− 1 (D)− 。 2

( D ) 1. 設多項式 ( )f x 與g x 除以( ) (x −2)所得的餘式分別為 1 與 1− ,則 f x( ) 2 ( )− g x 除以 (x −2)所得的餘式為何? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3。

( D ) 2. 多項式135x5−420x4+26x3+62x2−18x+15除以x −3所得之餘式為 (A)−3 (B) 3 (C)−6 (D) 6。

( D ) 3. 下列何者為x3−6x2+11x− 的因式? 6 (A)x +1 (B)x +2 (C)x −4 (D)x −3。 ( D ) 4. 設 f x( )=4x4−3x3+2x2− + ,x 1 g x( )=x2− + ,若x 1 f x 除以( ) g x 的餘式為( ) r x ,( )

則 (0)r = (A) 2− (B) 1− (C) 1 (D) 2。

( D ) 5. 設

3 2

6

1 1 1

A Bx C

x x x x

= + +

+ + − + ,則A B C− + = (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8。

( A ) 6. 設

2 2

2 5

2 2 ( 1) ( 2)

x x a b

x x x x

+ +

= + +

− − + − ,則2a b+ = (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。

( D ) 7. 若x3+3x2+4x+ =3 a b x+ ( +1)+c x( +1)2+d x( +1)3,則a+ + +b c d = (A) 2− (B)−3 (C) 2 (D) 3。

( D ) 8. 設 3 2 2+ 的整數部分為a,小數部分為b,則 1 1 a bb=

+ (A) 1 (B) 1− (C) 2 (D)− 。 2

( A ) 9. 設f x( )=3x3−7x2−2x+5=a(2x+1)3+b(2x+1)2+c(2x+1)+d ,則a b c− + −d = (A) 3 (B)−3 (C) 5 (D)−5。

( D ) 10. 設多項式 f x 除以( ) (x −2)2之餘式為x +2,則 ( )f x 除以x −2之餘式為何? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。

數據

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參考文獻

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