自我評量
分配律 分配律
和的平方公式 和的平方公式
差的平方公式 差的平方公式
平方差公式
平方差公式
小學曾學過正方形與長方形的面積公 式，
如圖 1-1 ，正方形的邊長為 a ，面積為 a
2；
如圖 1-2 ，長方形的長為 a 、寬為 b ， 面積＝長 × 寬＝ ab ，
由乘法交換律可得 ab ＝ ba 。
圖 1-1 圖 1-2
圖 1-3 中，三塊長方形的面積分別是 a （ b ＋ c ）、 ab 、 ac 。
圖 1-3
它們的關係可排成如下所示 ：
a （ b ＋ c ） ＝ ab ＋ ac 由面積的計算可知： a （ b ＋ c ）＝ ab ＋ ac
再由乘法交換律也可寫成：（ b ＋ c ） a ＝ ab
＋ ac
圖 1-4 中，三塊長方形的面積分別是 a （ b － c ）、 ab 、 ac 。
圖 1-4
它們的關係可排成如下所示：
a （ b － c ） ＝ ab － ac 由面積的計算可知 ： a （ b － c ）＝ ab － ac
再由乘法交換律也可寫成：（ b － c ） a ＝ ab
－ ac
1. 觀察下面圖形的關係，並以適當的文字符號 填入下列空格中。
a （ a ＋ 2 ） ＝ ________ ＋ _________ a
22a
2. 觀察下面圖形的關係，並以適當的文字符 號填入下列空格中。
a （ a － 5 ） ＝ ________ － ________ a
25a
圖 1-5 是由四個小長方形組成的大長方形，
小長方形的面積分別為 ac 、 ad 、 bc 、 bd ， 大長方形的長為 a ＋ b ，寬為 c ＋ d ，面積 為（ a ＋ b ）（ c ＋ d ）。
圖 1-5
由面積的計算可知：（ a ＋ b ）（ c ＋ d ）
＝ ac ＋ ad ＋ bc ＋ bd
1 用數代入式子
配合習作 P4 基礎題 1利用 a ＝ 2 、 b ＝ 3 、 c ＝ 7 、 d ＝ 5 代入（
a ＋ b ）（ c ＋ d ）與 ac ＋ ad ＋ bc ＋ bd 中
，計算兩個算式，並比較算出的結果是否相等
。
解解
以 a ＝ 2 、 b ＝ 3 、 c ＝ 7 、 d ＝ 5 代入（ a ＋ b ）（ c ＋ d ）中得
（ 2 ＋ 3 ）（ 7 ＋ 5 ）＝ 5×12 ＝ 60 以 a ＝ 2 、 b ＝ 3 、 c ＝ 7 、 d ＝ 5 代入 ac ＋ ad ＋ bc ＋ bd 中得
2×7 ＋ 2×5 ＋ 3×7 ＋ 3×5 ＝ 14 ＋ 10 ＋ 21 ＋ 15 ＝ 60
由上面知道，兩式算出的結果相等。
利用 a ＝－ 7 、 b ＝ 3 、 c ＝ 6 、 d ＝
－ 2 代入（ a ＋ b ）（ c ＋ d ）與 ac ＋ a d ＋ bc ＋ bd 中，計算兩個算式，並比較算出 的結果是否相等。
（ a ＋ b ）（ c ＋ d ）
＝（－ 7 ＋ 3 ）〔 6 ＋（－ 2 ）〕
＝（－ 4 ） × 4 ＝－ 16
ac ＋ ad ＋ bc ＋ bd ＝（－ 7 ） ×6 ＋（－ 7
） × （－ 2 ）＋ 3×6 ＋ 3× （－ 2 ）＝－ 16
兩式算出的結果相等。
事實上，無論 a 、 b 、 c 、 d 為任何數，由分 配律都可得到：
（ a ＋ b ）（ c ＋ d ）＝ a （ c ＋ d ）＋ b （ c ＋ d ）
＝ ac ＋ ad ＋ bc ＋ bd 即（ a ＋ b ）（ c ＋ d ）＝ ac ＋ ad ＋ bc ＋ bd
同樣地，
（ a ＋ b ）（ c － d ）＝ a （ c － d ）＋ b
（ c － d ）
＝ ac － ad ＋ bc － bd
（ a － b ）（ c － d ）＝ a （ c － d ）－ b
（ c － d ）
＝ ac －
ad － bc ＋ bd
2 利用分配律求值 計算下列各式的值：
(1) 100 × 50 (2) 98×199 2 1 1 2
解解
(1) 100 × 50
＝（ 100 ＋ ）（ 50 ＋ ）
＝ 100×50 ＋ 100× ＋ ×50 ＋ ×
＝ 5000 ＋ 50 ＋ 25 ＋
＝ 5075 1 2
1 2 1 2
2 1 2 1
1 2
2 1
1 2 4 1
1 4
解解
(
2
)98×199 ＝（ 100 － 2 ）（ 200 － 1 ） ＝ 100×200 － 100×1 － 2
×200 ＋ 2×1
＝ 20000 － 100 － 400 ＋ 2
＝ 19502
完成下列各式的計算 ： (1) 502×996
＝（ 500 ＋ 2 ）（ 1000
－ 4 ） ＝ 500×1000 － 500×4 ＋ 2×1000 － 2×4
＝ 499992
(2) 30 ×14
＝（ 30 ＋ ）（ 15 － ） 1 3
3 2 1 3
1 3
＝ 30×15 － 30× ＋ ×15 － ×
＝ 450 － 10 ＋ 5 －
＝ 444
3 1
1 3
1 3
1 3 9 1
9 8
圖 1-6 是邊長為 a 的大正方形與兩 塊長為 a 、寬為 b 的長方形，及一塊邊長為 b 的小正方形，想利用這四塊拼成一個正方形，
其步驟如下：
圖 1-6
（ a ＋ b ）
2＝ a
2＋ ab ＋ ab ＋ b
2其中， ab ＋ ab 表示 2 倍的 ab ，記成
2ab 。
由上圖可知：（ a ＋ b ）
2＝ a
2＋ 2ab ＋ b
2
。
事實上，我們可以由分配律得到，無論 a 、 b 為任何數：
（ a ＋ b ）
2＝（ a ＋ b ）（ a ＋ b ）
＝ a
2＋ ab ＋ ba ＋ b
2＝ a
2＋ ab ＋ ab ＋ b
2＝ a
2＋ 2ab ＋ b
2（ a ＋ b ）
2＝ a
2＋ 2ab ＋ b
2，這個式子稱
為和的平方公式
解解
(1) (a ＋ b)
2＝ a
2＋ 2 ‧ a ‧ b
＋ b
2(100 )
2＝ (100 ＋ )
2＝ 100
2＋ 2
×100
×＋ ( )
2＝ 10000 ＋ 100 ＋ ＝ 10100
2 1
3 利用和的平方求值
利用和的平方公式，計算下列各式的值 ： (1) （ 100 ）
2(2) 605
2
2 1
2 1
1 2
1 2 4 1
1 4
解解
(2) (a ＋ b)
2＝ a
2＋ 2 ‧ a ‧ b
＋ b
2605
2＝（ 600 ＋ 5 ）
2＝ 600
2＋ 2 × 600 ×5
＋ 5
2＝ 360000 ＋ 6000 ＋ 25
＝ 366025
在例題 3 第 (2) 題中， 605 為什麼拆成 600 ＋ 5 ，而不拆成其他兩數的和？
因為 600
2和 5
2都比較容易計算。
配合習作 P4 基礎題 2
1. 連連看，將左邊與右邊相等的式子連起來 ：
（ 30 ＋ 5 ）
2•
（ x ＋ y ）
2•
• (A) 30
2＋ 5
2• (B) 30
2＋ 2×30×5 ＋ 5
2• (C) x
2＋ y
2• (D) x
2＋ 2xy ＋ y
22. 利用和的平方公式，在下列空格內填入適當 的數 ：
(1)205
2＝ (200 ＋ 5)
2＝ 200
2＋ 2×200×____ ＋ 5
2＝ _______
(2)83
2＝ (80 ＋ 3)
2＝ _____ ＋ 2×80×3 ＋ 3
2
＝ ___________
(3)45
2＋ 2×45×55 ＋ 55
2＝ (______ ＋ ____
___)
2
＝ ___________
5 42025
80
26889
45 55 10000
配合習作 P4 基礎題 2
3. 利用和的平方公式計算下列各數的值 ： (1) （ 30.5 ）
2(2)1002
2＝（ 30 ＋ 0.5 ）
2＝ 30
2＋ 2×30×0.5 ＋ 0 .5
2＝ 930.25
＝（ 1000 ＋ 2 ）
2＝ 1000
2＋ 2×1000
×2 ＋ 2
2＝ 1004004
配合習作 P4 基礎題 2
接下來我們由圖 1-7 中藍色面積的 變化，推導（ a － b ）
2的乘法公式
a
2（正方形的面積為 a
2）
a
2－ ab
（少了面積為 ab 的矩形）
a
2－ ab ＋ b
2（增加面積為 b
2的正方
形）
圖 1-7
a
2－ ab ＋ b
2－ ab ＝ a
2－ 2ab
＋ b
2（少了面積為 ab 的矩形）
因為剩下的藍色部分是邊長為（ a － b ）的
正方形，所以（ a － b ）
2＝ a
2－ 2ab ＋ b
2事實上，我們可以由分配律得到，無論 a 、 b 為任何數：
（ a － b ）
2＝（ a － b ）（ a － b ）
＝ a
2－ ab － ab ＋ b
2＝ a
2
－ 2ab ＋ b
2（ a － b ）
2＝ a
2－ 2ab ＋ b
2，這個式子稱 為差的平方公式
。我們把「和的平方公式」與「差的平方公式」
合稱「完全平方公式」
解解
(1) ( a － b)
2＝ a
2－ 2 ‧a ‧ b ＋ b
24 利用差的平方求值
利用差的平方公式，計算下列各式的值：
(1)397
2(2) （ 0.99 ）
2397
2＝ (400 － 3)
2＝ 400
2－ 2×400×3 ＋ 3
2＝ 160000 － 2400 ＋ 9 ＝ 157609
解解
(2) ( a － b)
2＝ a
2－ 2 ‧a ‧ b ＋ b
2(0.99)
2＝ (1 － 0.01)
2＝ 1
2－ 2 × 1×0.01 ＋ (0.
01)
2＝ 1 － 0.02 ＋ 0.0001 ＝ 0.9801
在例題 4 第 (1) 題中， 397 為什麼拆成 400 － 3 ，而不拆成其他兩數的差？
因為 400
2和 3
2都比較容易計算。
配合習作 P5 基礎題 3
1. 連連看，將左邊與右邊相等的式子連起來 ：
（ 50 － 3 ）
2•
（ x － y ）
2•
• (A) 50
2－ 2×50×3 ＋ 3
2
• (B) 50
2－ 2×50×3 － 3
2
• (C) 50
2－ 3
2• (D) x
2－ y
2• (E) x
2－ 2xy ＋ y
22. 利用差的平方公式，在下列空格內填入適 當的數 ：
(1) 98
2＝（ 100 － 2 ）
2＝ 100
2－ 2×100×_____ ＋ _____
＝ _________
(2)77
2＝（ ______ － 3 ）
2＝ 80
2－ 2×80×_____ ＋ __
______
＝ _________
2 2
29604
80
3 3
25929
3. 利用差的平方公式，計算下列各數的值 ： (1)1996
2(2) （ 49.9 ）
2＝（ 2000 － 4 ）
2＝ 3984016
＝（ 50 － 0.1 ）
2＝ 2490.01
圖 1-8 是將邊長為 a 的正方形，減去邊長為 b 的正方形，面積為 a
2－ b
2。
然後將圖 1-8 分成兩個長方形，如圖 1-9 。
再將圖 1-9 拼成圖 1-10 ，就成為長 a ＋ b 、
寬 a － b 的長方形。
圖 1-8 圖 1-9 圖 1-10 a
2－ b
2＝ a (a － b) ＋ b (a － b) ＝ (a
＋ b) ( a － b)
由上圖可知： a
2－ b
2＝（ a ＋ b ）（ a － b ）
。
事實上，我們可以由分配律得到，無論 a 、 b 為任何數：
（ a ＋ b ）（ a － b ）＝ a
2－ ab ＋ ba － b
2＝ a
2a － b
2－ b
2 2＝（ a ＋ b ）（ a － b ），這個式子
稱為平方差公式。
小明將圖 1-8 減成兩個相同的梯形，再利 用梯形面積說明平方差的公式，你知道他 是怎麼做的嗎？
a
2－ b
2＝ 2× （梯形面積）
＝ 2×
＝（ a ＋ b ）（ a － b ） 2 )
( a b) (a b
解解
（ a ＋ b ）（ a － b ）
＝ a
2－ b
25 利用平方差求值 計算 93×87 的值 。
93×87 ＝（ 90 ＋ 3 ）（ 90 － 3 ）＝ 90
2－ 3
2＝ 8100 － 9 ＝ 8091
＝ 90
90 是 93 與 87 的平均 數。
2 87
93
配合習作 P5 基礎題 4
1. 利用平方差公式，完成下列算式 ：
203×197 ＝（ 200 ＋ ____ ）（ 200 － ___
_ ）
＝（ _____ ）
2－（ __
___ ）
2＝ 40000 － _____ ＝ _ _____
3 3
200 3
9 39991
2. 利用平方差公式，求 1006×994 的值。
1006 × 994 ＝（ 1000 ＋ 6 ）（ 1000 － 6 ）
＝ 1000
2－ 6
2＝ 999964
解解
（ a ＋ b ）（ a － b ）
＝ a
2－ b
26 利用平方差求帶分數相乘的值 計算 10 × 9 的值。 1 3
3 2
)
1 3 10
( 3 )
10 1 3 (
9 2 3 1
10 10
2－（
）
23 1
＝ 100 －
＝ 99
9 1 9 8
10 2
3 ) 9 2 1 3
10
(
利用平方差公式，完成下列算式：
100 ×99 ＝（ ____ ＋ ）（ ____ － ）
＝（ _____ ）
2－
（ _____ ）
2＝ ________ － ＝
配合習作 P5 基礎題 4
1 2
2 1
2 1
2 1
1 4
100 100
100 1 2
10000
9999 4 3
解解
a
2－ b
2＝（ a ＋ b ）（ a － b ）
7 利用平方差求值
利用 a
2－ b
2＝（ a ＋ b ）（ a － b ），計算 下列各式的值：
(1)195
2－ 5
2(2) （ ）
2－（
）
226 2 1
1 2 23 (1)
195
2－ 5
2＝（ 195 ＋ 5 ）（ 195 － 5 ）
＝ 200×190
＝ 38000
解解
a
2－ b
2＝（ a ＋ b ）（
a － b ） (2)
（ ）
2－（ ）
2＝ ( ＋ ) ( － )
＝ 50×
3
＝ 150 1 2
26 23 2 1
1 2 2 26
26 1
1 2
23 23 1 2
1. 連連看，將左邊與右邊相等的式子連起來 ： 100
2－ 1
2•
(30 ＋ 5)(30 － 5) •
(x ＋ y) (x － y) •
• (A)(100 － 1)(100 － 1)
• (B)(100 ＋ 1)(100 － 1)
• (C)(101 － 1)(101 ＋ 1)
• (D)30
2＋ 5
2• (E)30
2－ 5
2• (F)x
2＋ y
2• (G)x
2－ y
22. 利用 a
2－ b
2＝（ a ＋ b ）（ a － b ），計 算下列各式的值 ：
(1)13
2－ 87
2＝（ 13 ＋ 87 ）（ 13 － 87 ）
＝ 100 × （－ 74 ）
＝－ 7400
2. 利用 a
2－ b
2＝（ a ＋ b ）（ a － b ），計 算下列各式的值 ：
(2) （ ）
2－（ ）
22 1
32 2 1 2
＝（ ＋ ）（
－ ）
＝ 35 × 30
＝ 1050 1 2
32 2 1 2
1 2
32 2 1 2
1. 分配律 ：
a （ b ＋ c ）＝ ab ＋ ac ，（ b ＋ c ） a ＝ a b ＋ ac
a （ b － c ）＝ ab － ac ，（ b － c ） a ＝ a b － ac
（ a ＋ b ）（ c ＋ d ）＝ ac ＋ ad ＋ bc
＋ bd
2. 和的平方公式 ：
（ a ＋ b ）
2＝ a
2＋ 2ab ＋ b
23. 差的平方公式 ：
（ a － b ）
2＝ a
2－ 2ab ＋ b
24. 平方差公式 ：
（ a ＋ b ）（ a － b ）＝ a
2－ b
2完全平方公式
1-1 自我評量
1. 填入適當的數 ： (1) 200 ×100
＝（ 200 ＋ ）（ 100 ＋ ）
＝ 20000 ＋ _______ ＋ _______ ＋ _______
1 2
1 2 1 2
1 2
100 50 1 4
(2) 567×999
＝ 567× （ 1000 － 1 ）
＝ _________ － __________
＝ _________
567000 567
566433
2. 把相等的式子連起來 ：
（ 1000 ＋ 5 ）
2
• （ 400 －
3 ）
2• 101
2－ 99
2• 101× 99 •
• (A)1000
2＋ 5
2• (B)1000
2＋ 1000×5 ＋ 5
2• (C)1000
2＋ 2×1000×5 ＋ 5
2• (D)400
2－ 3
2• (E)400
2－ 2×400×3 ＋ 3
2• (F)400
2－ 2×400×3 － 3
22. 把相等的式子連起來 ：
（ 1000 ＋ 5 ）
2
