第七章二元关系第七章二元关系

(1)

1

主要内容

 有序对与笛卡儿积

 二元关系的定义与表示法

 关系的运算

 关系的性质

 关系的闭包

 等价关系与划分

 偏序关系

第七章二元关系

(2)

7.1 有序对与笛卡儿积

定义 7.1 由两个元素 x 和 y ，按照一定的顺序组成的二元组

称为有序对，记作 <x,y>.

有序对性质 :

(1) 有序性 <x,y><y,x> （当 xy 时）

(2) <x,y> 与 <u,v> 相等的充分必要条件是

<x,y>=<u,v>  x=uy=v.

(3)

3

笛卡儿积

定义 7.2 设 A,B 为集合， A 与 B 的笛卡儿积记作 AB ，且 AB = {<x,y>| xAyB}.

例 1 A={1,2,3}, B={a,b,c}

AB

={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,<3,a>,<3,b>,<3,c>}

BA

={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,<a,3>,<b,3>,<c,3>}

A={}, B=

P(A)A = {<,>, <{},>}

P(A)B = 

(4)

笛卡儿积的性质

(1) 不适合交换律

AB  BA (AB, A, B) (2) 不适合结合律

(AB)C  A(BC) (A, B, C) (3) 对于并或交运算满足分配律

A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA) A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA) (4) 若 A 或 B 中有一个为空集，则 AB 就是空集 .

A = B = 

(5) 若 |A| = m, |B| = n, 则 |AB| = mn

(5)

5

性质证明

证明 A(BC) = (AB)(AC) 证任取 <x,y>

<x,y> ∈A×(B∪C)   x∈A∧y∈B∪C

  x∈A ( ∧ y∈B∨y∈C)

  (x∈A∧y∈B) ( ∨ x∈A∧y∈C)

  <x,y>∈A×B < ∨ x,y>∈A×C

  <x,y> ( ∈ A×B) ( ∪ A×C)

所以有 A×(B∪C) = (A×B) ( ∪ A×C).

(6)

实例

例 2

(1) 证明 A=B,C=D  AC=BD

(2) A C = BD 是否推出 A=B,C=D? 为什么？

解 (1) 任取 <x,y>

<x,y>AC  xAyC  xByD  <x,y>BD (2) 不一定 . 反例如下：

A={1} ， B={2}, C = D = , 则 AC = BD 但是 A  B.

(7)

7

7.2 二元关系

定义 7.3 如果一个集合满足以下条件之一：

(1) 集合非空 , 且它的元素都是有序对 (2) 集合是空集

则称该集合为一个二元关系 , 简称为关系，记作 R.

如果 <x,y>∈R, 可记作 xRy ；如果 <x,y>R, 则记作 x y 实例： R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}.

R 是二元关系 , 当 a, b 不是有序对时， S 不是二元关系

根据上面的记法，可以写 1R2, aRb, a c 等 .

(8)

A 到 B 的关系与 A 上的关系

定义 7.4

设 A,B 为集合 , A×B 的任何子集所定义的二元关系叫做从 A 到 B 的二元关系 , 当 A=B 时则叫做 A 上的二元关系 .

2 ⁿ

2

例 3 A={0,1}, B={1,2,3}, 那么

 R

₁

={<0,2>}, R

₂

=A×B, R

₃

=, R

₄

={<0,1>}

R

₁

, R

₂

, R

₃

, R

₄

是从 A 到 B 的二元关系 , R

₃

和 R

4

也是 A 上的二元关系 .

计数 : |A|=n, |A×A|=n

²

, A×A 的子集有个 . 所以 A 上有个不同的二元关系 .

例如 |A| = 3, 则 A 上有 =512 个不同的二元关系 .

(9)

9

A 上重要关系的实例

定义 7.5 设 A 为集合 ,

(1)  是 A 上的关系，称为空关系

(2) 全域关系 E

A

= {<x,y>| x ∈A∧y∈A} = A×A 恒等关系 I

_A

= {<x,x>| x ∈A}

小于等于关系 L

_A

= {<x,y>| x,y ∈A∧x≤y}, A 为实数子集整除关系 D

_B

= {<x,y>| x,y ∈B∧x 整除 y}, B 为非 0 整数

子集

包含关系 R

_

= {<x,y>| x,y ∈A∧xy}, A 是集合族 .

(10)

实例

例如 , A={1, 2}, 则

 E

_A

= {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}

 I

_A

= {<1,1>,<2,2>}

例如 A = {1, 2, 3}, B={a, b}, 则

L

A

= {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}

D

_A

= {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}

例如 A = P(B) = {,{a},{b},{a,b}}, 则 A 上的包含关系是 R



= {<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}

类似的还可以定义：

大于等于关系 , 小于关系 , 大于关系 , 真包含关系等 .

(11)

11

关系的表示

1. 关系矩阵

若 A={x

1

, x

₂

, …, x

_m

} ， B={y

1

, y

₂

, …, y

_n

} ， R 是从 A 到 B 的关系， R 的关系矩阵是布尔矩阵 M

R

= [ r

_ij

]

_mn

, 其中

r

_ij

= 1  < x

_i

, y

_j

> R. 反之 r

ij

= 0

2. 关系图

若 A= {x

1

, x

₂

, …, x

_m

} ， R 是 A 上的关系， R 的关系图是 G

R

=<A, R>, 其中 A 为结点集， R 为边集 . 如果 <x

i

,x

_j

> 属于关系 R ，在图中就有一条从 x

i

到 x

j

的有向边 .

注意：

 关系矩阵适合表示从 A 到 B 的关系或 A 上的关系（ A,B 为有穷集）

 关系图适合表示有穷集 A 上的关系

(12)

实例

例 4

A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>},

R 的关系矩阵 M

R

和关系图 G

R

如下：

 





 







0 0

1 0

0 0

1 1

0 0

1 1

M R

(13)

13

7.3 关系的运算

关系的基本运算

定义 7.6 关系的定义域、值域与域分别定义为 domR = { x | y (<x,y>R) }

ranR = { y | x (<x,y>R) } fldR = domR  ranR

例 5 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 则 domR={1, 2, 4}

ranR={2, 3, 4}

fldR={1, 2, 3, 4}

(14)

关系运算 ( 逆与合成 )

定义 7.7 关系的逆运算

R

^1

= { <y, x> | <x, y>R } 定义 7.8 关系的合成运算

R

_

S = { <x, z> |  y (<x, y>R  <y, z>S) }

例 6 R = {<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>}

S = {<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}

R

^1

= {<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>}

R

_

S = {<1,3>, <2,2>, <2,3>}

S

_

R = {<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}

(15)

15

合成的图示法

利用图示（不是关系图）方法求合成 R

_

S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>}

S

_

R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}

(16)

关系运算 ( 限制与像 )

定义 7.9 设 R 为二元关系 , A 是集合

(1) R 在 A 上的限制记作 R ↾ ^A, 其中

 R ↾ A = { <x,y> | xRy ∧x∈A }

(2) A 在 R 下的像记作 R[A], 其中

 R[A]=ran(R ↾ ^A)

说明：

 R 在 A 上的限制 R ↾ A 是 R 的子关系，即 R ↾ A  R

 A 在 R 下的像 R[A] 是 ranR 的子集，即 R[A] ranR

(17)

17

实例

例 7

设 R={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,2>}, 则 R

↾ ^{1}

， R

↾

 ， R

↾ ^{2,

3}

R[{1}]

，  R[] ， R[{3}]

 R

↾ {1} = {<1,2>,<1,3>}

 R

↾

 = 

 R

↾ {2,3} = {<2,2>,<2,4>,<3,2>}

 R[{1}] = {2,3}

 R[] = 

 R[{3}] = {2}

(18)

关系运算的性质

定理 7.1 设 F 是任意的关系 , 则 (1) (F

^¹

)

^¹

=F

(2) domF

^¹

= ranF, ranF

^¹

= domF

证 (1) 任取 <x,y>, 由逆的定义有

<x,y> ( ∈ F

^1

)

^1

 <y,x>∈F

^1

 <x,y>∈F.

所以有 (F

^1

)

^1

=F.

(2) 任取 x,

x dom ∈ F

^¹

 y(<x,y>∈F

^¹

)  y(<y,x>∈F) x ran ∈ F

所以有 domF

^¹

=ranF.

同理可证 ranF

^¹

=domF.

(19)

19

定理 7.2 设 F, G, H 是任意的关系 , 则 (1) (F

_

G)

_

H = F

_

(G

_

H)

(2) (F

_

G)

^1

= G

^1_

F

^1

关系运算的性质

证 (1) 任取 <x,y>,

<x,y>(F _ G) _ H

 t (<x,t>∈F  G < ∧ t,y>∈H)

 t ( s (<x,s>∈F < ∧ s,t>∈G) < ∧ t,y>∈H)  t s (<x,s>∈F < ∧ s,t>∈G < ∧ t,y>∈H)  s (<x,s>∈F∧t (<s,t>∈G < ∧ t,y>∈H))  s (<x,s>∈F < ∧ s,y>∈G  H)

 <x,y>∈F  (G _ H)

所以 (F  G) _ H = F _ (G _ H)

(20)

证明

(2) 任取 <x,y>, <

 x,y> ( ∈ F

_

G)

^¹

  <y,x>∈F



G

  t (<y,t>∈F < ∧ t,x>∈G)   t (<x,t>∈G

^¹

∧ t,y>∈F <

^¹

)   <x,y>∈G

^¹

F

^¹

所以 (F



G)

^¹

= G

^¹_

F

^¹

(21)

21

关系运算的性质

定理 7.3 设 R 为 A 上的关系 , 则

  R

_

I

_A

= I

_A_

R=R 证任取  <x,y>

<x,y> ∈R



I

A

  t (<x,t>∈R < ∧ t,y>∈I

A

)

 t (<x,t>∈R∧t=y∧y∈A)

 <x,y>∈R

(22)

关系运算的性质

定理 7.4

(1) F

_

(GH) = F

_

G ∪F



H (2) (G ∪H)



F = G

_

F ∪H



F (3) F

_

(G∩H)  F

_

G∩F

_

H (4) (G∩H)

_

F  G

_

F∩H

_

F 只证 (3) 任取 <x,y>,

<

 x,y> ∈F



(G∩H)

 t (<x,t>∈F < ∧ t,y>∈G∩H)

  t (<x,t>∈F < ∧ t,y>∈G < ∧ t,y>∈H)

  t ((<x,t>∈F < ∧ t,y>∈G) (< ∧ x,t>∈F < ∧ t,y>∈H))

  t (<x,t>∈F < ∧ t,y>∈G)∧t (<x,t>∈F < ∧ t,y>∈

H)

  <x,y>∈F



G < ∧ x,y>∈F



H

  <x,y>∈F



G∩F

_

H

所以有 F



(G∩H)=F

_

G∩F

_

H

(23)

23

推广

定理 7.4 的结论可以推广到有限多个关系

 R

_

(R

₁

∪R

2

∪…∪R

n

) = R

_

R

₁

∪R



R

₂

∪…∪R



R

_n

(R

₁

∪R

2

∪…∪R

n

)

_

R = R

₁_

R ∪R

2

R ∪…∪R

n

R

_

(R

₁

∩R

₂

∩ … ∩R

_n

)  R

_

R

₁

∩R

_

R

₂

∩ … ∩R

_

R

_n

(R

₁

∩R

₂

∩ … ∩R

_n

)

_

R  R

₁_

R∩R

₂_

R∩ … ∩R

_n_

R

(24)

关系运算的性质

定理 7.5 设 F 为关系 , A, B 为集合 , 则 (1) F ↾ ^(A ∪B) = F ↾ ^A ∪F ↾ ^B

(2) F [A ∪B] = F [A]∪F [B]

(3) F ↾ ^{(A∩B) = F} ↾ ^A∩F ↾ ^B

(4) F [A∩B]  F [A]∩F [B]



(25)

25

证明

证只证 (1) 和 (4).

(1) 任取 <x,y>

<

 x,y> ∈F ↾ ^(A ∪B)  <x,y>∈F∧x∈A∪B

 <x,y>∈F ( ∧ x∈A∨x∈B)

 (<x,y>∈F∧x∈A) (< ∨ x,y>∈F∧x∈B)  <x,y>∈F ↾ ^{A <} ∨ x,y>∈F ↾ ^B

 <x,y>∈F ↾ ^A ∪F ↾ ^B

所以有 F ↾ (A ∪B) = F ↾ A ∪F ↾ B.

(26)

证明

(4) 任取 y,

  y ∈F [A∩B]

  x (<x,y>∈F∧x∈A∩B)

  x (<x,y>∈F∧x∈A∧x∈B)

  x ((<x,y>∈F∧x∈A) (< ∧ x,y>∈F∧x∈B))

  x (<x,y>∈F∧x∈A)∧x (<x,y>∈F∧x∈B)

  y∈F [A]∧y∈F [B]

  y∈F [A]∩F [B]

所以有 F [A∩B]=F [A]∩F [B].

(27)

27

关系的幂运算

定义 7.10

设 R 为 A 上的关系 , n 为自然数 , 则 R 的 n 次幂定义为

：

(1) R

⁰

= { <x,x> | x ∈A } = I

A

(2) R

ⁿ⁺¹

= R

ⁿ_

R

注意：

 对于 A 上的任何关系 R

1

和 R

2

都有 R

10

= R

₂₀

= I

_A

 对于 A 上的任何关系 R 都有 R

¹

= R

(28)

例 8 设 A = {a,b,c,d}, R = {<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求 R 的各次幂 , 分别用矩阵和关系图表示 .

 





 







0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 1

0 0 1 0 M

解 R 与 R

²

的关系矩阵分别是：

 





 







 





 





 





 







0 0 0 0

1 0 1 0

0 1 0 1

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 1

0 0 1 0

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 1

0 0 1 0 M

2

幂的求法

(29)

29

R

³

和 R

⁴

的矩阵是：

因此 M

⁴

=M

²

, 即 R

⁴

=R

²

. 因此可以得到

 R

²

=R

⁴

=R

⁶

=… ， R

³

=R

⁵

=R

⁷

=…

R

⁰

的关系矩阵是

 

 





 







 





 







0 0 0 0

1 0 1 0

0 1 0 1 ,

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 1 0

4

3

M

 





 







1 0

0 0

0 1

0 0

1 0

0 0

0 1

M

0

幂的求法

(30)

关系图

R

⁰

, R

¹

, R

²

, R

³

,… 的关系图如下图所示 .

R

⁰

R

¹

R

²

=R

⁴

=… R

³

=R

⁵

=…

(31)

31

幂运算的性质

定理 7.6

设 A 为 n 元集 , R 是 A 上的关系 , 则存在自然数 s 和

t,

使得 R^s

= R

^t

.

证 R 为 A 上的关系 ,

由于 |A|=n, A 上的不同关系只有个 . 列出 R 的各次幂

R

⁰

, R

¹

, R

²

, … , , …, 必存在自然数 s 和 t 使得 R

^s

= R

^t

2ⁿ2

R

2

ⁿ2

(32)

定理 7.7 设 R 是 A 上的关系 , m, n N, ∈ 则 (1) R

^m_

R

ⁿ

= R

^m+n

(2) (R

^m

)

ⁿ

= R

^mn

幂运算的性质

证用归纳法

(1) 对于任意给定的 m N, ∈ 施归纳于 n.

若 n=0, 则有

R

^m

_ R

⁰

= R

^m

_ I

_A

= R

^m

= R

^m+0

假设 R

^m

 R

ⁿ

= R

^m+n

, 则有

R

^m

_ R

ⁿ⁺¹

= R

^m

_ (R

ⁿ

_ R) = (R

^m

_ R

ⁿ

) _ R = R

^m+n+1

,

所以对一切 m,n N ∈ 有 R

^m

 R

ⁿ

= R

^m+n

.

(33)

33

证明

(2) 对于任意给定的 m N, ∈ 施归纳于 n.

若 n=0, 则有

(R

^m

)

⁰

= I

_A

= R

⁰

= R

^m×0

假设 (R

^m

)

ⁿ

= R

^mn

, 则有

(R

^m

)

ⁿ⁺¹

= (R

^m

)

ⁿ_

R

^m

= (R

^mn

)

_

R

ⁿ

= R

^mn+m

= R

^m(n+1)

所以对一切 m,n N ∈ 有 (R

^m

)

ⁿ

= R

^mn

.

(34)

定理 7.8 设 R 是 A 上的关系 ,

若存在自然数 s, t (s<t) 使得 R

^s

=R

^t

, 则 (1) 对任何 k N ∈ 有 R

^s+k

= R

^t+k

(2) 对任何 k, i N ∈ 有 R

^s+kp+i

= R

^s+i

, 其中 p = ts

(3) 令 S = {R

⁰

,R

¹

,…,R

^t1

}, 则对于任意的 q N ∈ 有 R

^q

∈S

幂运算的性质

证 (1) R

^s+k

= R

^s_

R

^k

= R

^t_

R

^k

= R

^t+k

(2) 对 k 归纳 . 若 k=0, 则有 R

^s+0p+i

= R

^s+i

假设 R

^s+kp+i

= R

^s+i

, 其中 p = t  s, 则

R

s+(k+1)p+i

= R

^s+kp+i+p

= R

^s+kp+i_

R

^p

= R

^s+i_

R

^p

= R

^s+p+i

= R

^s+t^^s+i

= R

^t+i

= R

^s+i

由归纳法命题得证 .

(35)

35

证明

(3) 任取 q N ∈ ,

若 q < t, 显然有 R

^q

∈S,

若 q ≥ t, 则存在自然数 k 和 i 使得 q = s+kp+i, 其中 0≤i≤p1.

于是  R

^q

= R

^s+kp+i

= R

^s+i

而

s+i ≤ s+p1 = s+t  s1 = t1

从而证明了 R

^q

∈S.

(36)

7.4 关系的性质

定义 7.11 设 R 为 A 上的关系 ,

(1) 若  x(x∈A→<x,x>R), 则称 R 在 A 上是自反的 .

(2) 若  x(x∈A→<x,x>R), 则称 R 在 A 上是反自反的 . 实例：

自反：全域关系 E

^A

, 恒等关系 I

^A

, 小于等于关系 L

^A

, 整除关系 D

^A

反自反：实数集上的小于关系、幂集上的真包含关系 .

A={1,2,3}, R

1

, R

2

, R

3

是 A 上的关系 , 其中 R

1

＝ {<1,1>,<2,2>}

R

2

＝ {<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}

R

3

＝ {<1,3>}

R

2

自反， R

³

反自反， R

¹

既不是自反的也不是反自反的 .

(37)

37

对称性与反对称性

定义 7.12 设 R 为 A 上的关系 ,

(1) 若 xy( x,y∈A < ∧ x,y>∈R→<y,x>∈R), 则称 R 为 A 上对称的关系 .

(2) 若 xy( x,y∈A < ∧ x,y>∈R < ∧ y,x>∈R→x=y), 则称 R 为 A 上的反对称关系 .

实例：对称关系： A 上的全域关系 E

A

, 恒等关系 I

A

和空关系

反对称关系：恒等关系 I

A

和空关系也是 A 上的反对称关系 . 设 A ＝ {1,2,3}, R

1

, R

₂

, R

₃

和 R

4

都是 A 上的关系 , 其中

R

₁

＝ {<1,1>,<2,2>} ， R

2

＝ {<1,1>,<1,2>,<2,1>}

R

₃

＝ {<1,2>,<1,3>} ， R

4

＝ {<1,2>,<2,1>,<1,3>}

R

₁

：对称和反对称； R

2

：只有对称； R

3

：只有反对称；

R

₄

：不对称、不反对称

(38)

传递性

定义 7.13 设 R 为 A 上的关系 , 若

 xyz(x,y,z∈A < ∧ x,y>∈R < ∧ y,z>∈R→<x,z>∈R), 则称 R 是 A 上的传递关系 .

实例： A 上的全域关系 E

A

, 恒等关系 I

A

和空关系 ，小于等于和小于关系，整除关系，包含与真包含关系

设 A ＝ {1,2,3}, R

1

, R

₂

, R

₃

是 A 上的关系 , 其中 R

₁

＝ {<1,1>,<2,2>}

R

₂

＝ {<1,2>,<2,3>}

R

₃

＝ {<1,3>}

R

1

和 R

3

是 A 上的传递关系 , R

2

不是 A 上的传递关系 .

(39)

39

关系性质成立的充要条件

定理 7.9 设 R 为 A 上的关系 , 则

(1) R 在 A 上自反当且仅当 I

_A

 R

(2) R 在 A 上反自反当且仅当 R∩I

_A

= 

(3) R 在 A 上对称当且仅当 R=R

^¹

(4) R 在 A 上反对称当且仅当 R∩R

^¹

 I

_A

(5) R 在 A 上传递当且仅当 R

_

R  R

(40)

证明

证明只证 (1) 、 (3) 、 (4) 、 (5)

(1) 必要性

任取 <x,y>, 由于 R 在 A 上自反必有

 <x,y> ∈I

A

 x,y∈A∧x=y  <x,y>∈R 从而证明了 I

A

R

充分性 . 任取 x, 有

  x ∈A  <x,x>∈I

A

 <x,x>∈R

因此 R 在 A 上是自反的 .

(41)

41

证明

(3) 必要性 . 任取 <x,y>,

 x,y> < ∈R  <y,x>∈R  <x,y>∈R

^1

 所以 R = R

^1

充分性 .

任取 <x,y>, 由 R = R

^1

得

 <x,y> ∈R  <y,x>∈R

^1

 <y,x>∈R

所以 R 在 A 上是对称的

(42)

证明

(4) 必要性 . 任取 <x,y>, 有

 <x,y> ∈R∩R

^1

 <x,y>∈R < ∧ x,y>∈R

^1

 <x,y>∈R < ∧ y,x>∈R  x=y  x,yA   <x,y>∈I

A

这就证明了 R∩R

^1

I

_A

充分性 .

 任取 <x,y>,

  <x,y> ∈R < ∧ y,x>∈R  <x,y>∈R < ∧ x,y>∈R

^1

  <x,y>∈R∩R

^1

 <x,y>∈I

A



 x=y

从而证明了 R 在 A 上是反对称的 .

(43)

43

证明

(5) 必要性 . 任取 <x,y> 有

 <x,y> ∈R  R

   t (<x,t>∈R < ∧ t,y>∈R)

   <x,y>∈R

所以 R  R  R 充分性 .

任取 <x,y>,<y,z>∈R, 则

 <x,y> ∈R < ∧ y,z>∈R

 <x,z>∈R  R  <x,z>∈R

所以 R 在 A 上是传递的

(44)

44

 自反性反自反性对称性反对称性传递性

集合 I

_A

R R∩I

_A

= R=R

^1

R∩R

^1

I

_A

R

_

RR 关系

矩阵

主对角线元素全是 1

主对角线元素全是 0

矩阵是对称矩阵

若 r

_ij

＝ 1, 且 i≠j, 则 r

_ji

＝ 0

M

²

中 1 位置 , M 中相应位置都是 1

关系图

每个顶点都有环

每个顶点都没有环

两点之间有边 , 是一对方向相反的边

两点之间有边 , 是一条有向边

点 x

_i

到 x

_j

有边 , x

_j

到 x

_k

有边 , 则 x

_i

到 x

_k

也有边

关系性质的三种等价条件

(45)

45

自反性反自反性对称性反对称性传递性

R

₁^1

√ √ √ √ √

R

₁

∩R

₂

√ √ √ √ √

R

₁

∪R

₂

√ √ √ × ×

R

₁

R

₂

× √ √ √ ×

R

₁

_ R

₂

√ × × × ×

关系的性质和运算之间的联系

(46)

7.5 关系的闭包

主要内容

 闭包定义

 闭包的构造方法

集合表示矩阵表示图表示

 闭包的性质

(47)

47

闭包定义

定义 7.14

设 R 是非空集合 A 上的关系 , R 的自反 (

对称或传递

)

闭包是 A 上的关系 R

 , 使得 R 满足以下条件：

(1) R  是自反的 ( 对称的或传递的 ) (2) RR

(3) 对 A 上任何包含 R 的自反 ( 对称或传递 ) 关系 R 有 RR

R 的自反闭包记作 r(R), 对称闭包记作 s(R), 传递闭包记作 t(R).

定理 7.10 设 R 为 A 上的关系 , 则有 (1) r(R)=R ∪R

⁰

(2) s(R)=R ∪R

^1

(3) t(R)=R ∪R

²

∪R

³

∪ …

说明：对有穷集 A(|A|=n) 上的关系 , (3) 中的并最多不超过 R

ⁿ

(48)

证明

证只证 (1) 和 (3).

(1) 由 I

^A

=R

⁰

R∪R

⁰

知 R∪R

⁰

是自反的 , 且满足 RR∪R

⁰

设 R  是 A 上包含 R 的自反关系 , 则有 RR  _{和 I}

_A

R  . 从而有 R R ∪

⁰

R  . R ∪R

⁰

满足闭包定义 , 所以 r(R)=R∪R

⁰

.

(1) 先证 R∪R

²

∪  t(R) 成立 . …

用归纳法证明对任意正整数 n 有 R

ⁿ

 t(R).

n=1 时有 R

¹

=R  t(R). 假设 R

ⁿ

t(R) 成立 , 那么对任意的 <x,y>

<x,y> ∈R

ⁿ⁺¹

=R

ⁿ_

R  t ( <x,t>∈R

ⁿ

∧ t,y>∈R) <

 t (<x,t>∈t(R) < ∧ t,y>∈t(R))  <x,y>∈t(R) 这就证明了 R

ⁿ⁺¹

t(R). 由归纳法命题得证 .



(49)

49

证明

再证 t(R)  R∪R

²

∪ 成立 , 为此只须证明 R∪R …

²

∪ 传递 . … 任取 <x,y>,<y,z>, 则

 <x,y> ∈R∪R

²

∪ ∧ y,z>∈R∪R … <

²

∪ …  t (<x,y>∈R

^t

) ∧s(<y,z>∈R

^s

)

 t s (<x,z>∈R

^t

 R

^s

)  t s (<x,z>∈R

^t+s

)  <x,z>∈R∪R

²

∪ …

从而证明了 R∪R

²

∪ 是传递的 . …

(50)

闭包的矩阵表示和图表示

设关系 R, r(R), s(R), t(R) 的关系矩阵分别为 M, M

r

, M

_s

和 M

t

则 M

r

=M+E M

_s

=M+M ' M

_t

=M+M

²

+M

³

+…

E 是单位矩阵 , M ' 是转置矩阵，相加时使用逻辑加 .

设关系 R, r(R), s(R), t(R) 的关系图分别记为 G, G

r

, G

_s

, G

_t

, 则 G

r

, G

_s

, G

_t

的顶点集与 G 的顶点集相等 . 除了 G 的边以外 , 以下述方法添加新的边：

(1) 考察 G 的每个顶点 , 若没环就加一个环，得到 G

r

(2) 考察 G 的每条边 , 若有一条 x

i

到 x

j

的单向边 , i≠j, 则在 G 中加一条 x

j

到 x

i

的反向边 , 得到 G

s

(3) 考察 G 的每个顶点 x

i

, 找 x

i

可达的所有顶点 x

j

( 允许 i=j ) ，

如果没有从 x

i

到 x

j

的边 , 就加上这条边 , 得到图 G

t

(51)

51

实例

例 9 设 A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<d,b>}, R 和 r(R), s(R), t(R) 的关系图如下图所示 .

R r(R)

s(R) t(R)

(52)

闭包的性质

定理 7.11 设 R 是非空集合 A 上的关系 , 则

(1) R 是自反的当且仅当 r(R)=R.

(2) R 是对称的当且仅当 s(R)=R.

(3) R 是传递的当且仅当 t(R)=R.

定理 7.12 设 R

1

和 R

2

是非空集合 A 上的关系 , 且 R

1

R

₂

, 则 (1) r(R

₁

)  r(R

₂

)

(2) s(R

1

)  s(R

₂

) (3) t(R

₁

)  t(R

₂

)

证明略

(53)

53

定理 7.13 设 R 是非空集合 A 上的关系 ,

(1) 若 R 是自反的 , 则 s(R) 与 t(R) 也是自反的 (2) 若 R 是对称的 , 则 r(R) 与 t(R) 也是对称的 (3) 若 R 是传递的 , 则 r(R) 是传递的 .

说明：如果需要进行多个闭包运算，比如求 R 的自反、对称、传递的闭包 tsr(R) ，运算顺序如下：

tsr(R) = rts(R) = trs(R) 传递放在对称之后运算

闭包的性质

证明略

(54)

7.6 等价关系与划分

主要内容

 等价关系的定义与实例

 等价类及其性质

 商集与集合的划分

 等价关系与划分的一一对应

(55)

55

等价关系的定义与实例

定义 7.15

设 R 为非空集合上的关系 . 如果 R 是自反的、对称的和传递的 , 则称 R 为 A 上的等价关系 . 设 R 是一个等价关系 , 若

<x,y> ∈R, 称 x

等价于 y

, 记做 x ～ y.

实例设 A={1,2,…,8}, 如下定义 A 上的关系 R ：

R={<x,y>| x,y∈A∧x ≡ y(mod 3)}

其中 x ≡ y(mod 3) 叫做

x

与 y 模 3 相等

,

即 x 除以 3 的余数与 y 除以

3

的余数相等 . 不难验证 R 为 A 上的等价关系 , 因为

(1)

x∈A, 有

x ≡ x (mod 3)

(2)

x,y∈A, 若 x ≡ y(mod 3), 则有 y ≡ x(mod 3)

(3)

x,y,z∈A, 若 x ≡ y(mod 3), y ≡ z(mod 3), 则有 x ≡ z(mod 3)

(56)

模 3 等价关系的关系图

等价关系的实例

(57)

57

等价类定义

定义 7.16 设 R 为非空集合 A 上的等价关系 , x∈A ，令

 [x]

_R

= {y | y ∈A∧xRy}

称 [x]

R

为 x 关于 R 的等价类 , 简称为 x 的等价类 , 简记为 [x] 或

实例 A={1, 2, … , 8} 上模 3 等价关系的等价类：

[1] = [4] = [7] = {1, 4, 7}

[2] = [5] = [8] = {2, 5, 8}

[3] = [6] = {3, 6}

x

(58)

等价类的性质

定理 7.14 设 R 是非空集合 A 上的等价关系 , 则 (1) xA, [x] 是 A 的非空子集

(2) x,yA, 如果 xRy, 则 [x] = [y]

(3) x,yA, 如果 x y, 则 [x] 与 [y] 不交 (4) {[ ∪ x] | xA}=A

证 (1) 由定义 , xA 有 [x]A. 又 x[x], 即 [x] 非空 . (2) 任取 z, 则有

 z [ ∈ x]  <x,z>∈R  <z,x>∈R

<z,x>R∧<x,y>R  <z,y>R  <y,z>R

从而证明了 z [ ∈ y]. 综上所述必有 [x][y]. 同理可证 [y][x].

这就得到了 [x] = [y].

(59)

59

证明

(3) 假设 [x]∩[y]≠, 则存在 z[x]∩[y], 从而有 z[x]∧z[y], 即 <x,z>R < ∧ y,z>R 成立 . 根据 R 的对称性和传递性必有

<x,y> R, 与 x y 矛盾

(4)

先证∪ {[x] | xA}  A. 任取 y,

y {[

∪ x] | xA}  x(xA∧y[x])

 y[x] [

∧ x]  A  yA

从而有∪ {[x] | x∈A}  A

再证 A  {[∪ x] | x∈A}. 任取 y,

y

A  y[y]∧yA  y∈∪ x] | xA}

{[

从而有∪ {[x] | x∈A}  A 成立 . 综上所述得∪ {[x] | xA} = A.

(60)

商集与划分

定义 7.17 设 R 为非空集合 A 上的等价关系 , 以 R 的所有等价类作为元素的集合称为 A 关于 R 的商集 , 记做 A/R,

A/R = {[x]R | x ∈A}

实例设 A={1,2,…,8} ， A 关于模 3 等价关系 R 的商集为 A/R = {{1,4,7}, {2,5,8}, {3,6}}

A 关于恒等关系和全域关系的商集为：

A/I

_A

= {{1}, {2}, …, {8}} ， A/E

A

= {{1,2,…,8}}

定义 7.18 设 A 为非空集合 , 若 A 的子集族 π(π  P(A)) 满足 : (1)  π

第七章 二元关系第七章 二元关系

主要内容

 有序对与笛卡儿积

 二元关系的定义与表示法

 关系的运算

 关系的性质

 关系的闭包

 等价关系与划分

 偏序关系