第 7 章 線性代數：矩陣，向量，行 列式，線性方程組

第 7 章 線性代數：矩陣，向量，行 列式，線性方程組

7.1 矩陣，向量：加法與純量乘積 7.2 矩陣乘法

7.3 線性方程組，高斯消去法

7.4 線性獨立，矩陣的秩，向量空間 7.5 線性系統的解： 存在性，唯一性 7.6 參考用： 二階與三階行列式

7.7 行列式，柯拉瑪法則

7.8 反矩陣，高斯—喬丹消去法

7.9 向量空間，內積空間，線性轉換（選讀）

二階行列式

二階行列式（determinant of second order）以如下符號定義：

(1)

故此處採用直立線（而矩陣則使用括號）。

柯拉瑪法則

柯拉瑪法則（Cramer’s rule）求解以兩個未知數表示的兩個 線性方程式

(2)

得 (3)

其中 (1) 式的 D 滿足

證明

D ＝ 0 情況出現在矛盾非齊次系統方程以及具非平凡解的 齊次系統方程。

底下證明 (3) 式。欲消掉 x₂，可將(2a) 式乘 a₂₂ 與 (2b) 式乘 以 －a₁₂，然後相加

同理，為消掉 x₁，可將(2a) 式乘 －a₁₂ 與 (2b) 式乘以 a₁₁， 再加起來

範例 1 柯拉瑪法則求解兩方程式

三階行列式

三階行列式（determinant of third order）可定義為

(4)

注意：右邊的符號為 ＋ － ＋。右邊的三項各為 D 的第一行 的項乘上其子式（minor）而得，子式由 D 刪掉該項所在的列 與行所成二階行列式，如此，對 a₁₁而言，即刪掉第一列與第 一行等。

若再算 (4) 式中子式則得

柯拉瑪法則求解三個方程式的線性系統

柯拉瑪法則求解三個方程式的線性系統 (5)

得 (6)

其中 D 為 (4) 式系統的行列式，以及

注意 D₁、D₂、D₃ 分別由 (5) 式右邊的行取代 D 中第 1、2、

3 行。

類似於 (3) 式求解，我們也可藉消去法導出柯拉瑪公式(6)，

但是在下一節，我們要討論一般情況（定理 4）。