勾股定理證明-G080

(1)

勾股定理證明-G080

【作輔助圖】

1. 以 AB 為邊，向內作一正方形 ABKH ，以BC 為邊，向外作一正方形 BCED ，以 AC 為邊，向外作一正方形 ACFG (於證明過程第 1 點說明點 H 在 GF 上)。

2. 延長 GF ，並在 GF 的延長線上取一點 L ，使得 FL



BC。 3. 過 K 作 KM // AC ，與 CO 交於 M 點。

4. 連接 LK 。

O

A B

C

D E

F

G

H K

L

N M

【求證過程】

以直角三角形 ABC 的三邊分別向內向外作正方形，先證明圖中的三角形全等，再 經過全等圖形的切割重新拼圖的方法後，可得到正方形 ABKH 的面積會等於正方形

ACFG 與正方形 BCED 的面積和，來推出勾股定理的關係式。

1. 先證明三角形 GAH 與三角形 CAB 全等，再得到點 H 的位置在 GF 上：

因為 AH



AB, AG



AC,



GAH



90^

 

HAC

 

CAB，所以 GAH CAB

  

(SAS 全等).

得到



HGA

 

BCA



90^，又



FGA



90^，所以

點 H 在 GF 上，即 G H

 

F共線。

(2)

2. 證明三角形LHK 與三角形 GAH 全等：

因為 GAH

  

CAB，所以 HG



BC，則 HL



HF



FL



HF



BC



HF



HG



GF， 又 HK



AH,



LHK



90^

 

GHA

 

GAH，所以

LHK GAH

  

(SAS 全等).

可得到

. LHK GAH CAB

    

3. 證明四邊形FLKM為正方形：

因為

 LHK   CAB

，所以

 HLK   ACB   90

_, LK



BC.

由作圖的平行關係可知

 MFL   FMK   MKL   90

，且 FL



BC



LK，因此

四邊形FLKM為正方形，且面積與正方形BCED相等。

4. 證明三角形MBK 與三角形 LHK 全等：

因為四邊形FLKM為正方形，所以 MK



LK，且

 BMK   HLK   90

_{, BK}



HK，因此

MBK LHK

  

(RHS 全等).

5. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：

C MB M

ABKH ACOH AB K KO

ACLH

ACFG FLKM

ACFG BCE

GAH LHK MKO

D

  

正方形面積＝四邊形面積＋面積＋面積＋面積

＝四邊形面積＋面積＋面積＋面積＝正方形面積＋正方形面積

＝正方形面積＋正方形面積.

得到

2 2 2

, AB



AC



BC 即

2 2 2

. c



a



b

【註與心得】

1. 來源：這個證明出自於以下書籍或期刊：

Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1897). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 4(11), 251.

2. 心得：此題證明的關鍵在於證明三角形 MBK 與三角形 LHK 全等，以及正方形 FLKM與正方形BCED的面積相等，進一步透過圖形的切割與平移，推得正 方形 ABKH 的面積會等於正方形 ACFG 與正方形 BCED 的面積和。

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3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

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