2019 年 8 月（总第 209 期）
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教育科研一类高阶高次递推数列的通项解
◆龙俊泽 王飞鸿 姬红霞 哈世强
（陕西师范大学）
摘要：数列可以看作函数的一个离散分支，数列的一些性质可以看成是 函数的特殊形式.而函数的实质就是恒等，因而一些递推公式其实可以通 过函数恒等式来寻找其通项解。由于实际生活中对于现象的描述未必是 确定的（随机性），因而数列不必完全确定下来，只需要满足现象的描述 即可。本文利用恒等构造法对递推数列展开讨论，研究一类高阶高次递 推数列的可能通项解。
关键词：高阶高次递推式；恒等构造法；可能通项解
1.引言：
高阶高次递推公式，这些递推公式看似很复杂，但其实都 可以经过适当的变换成为已知的一些递推公式，进而能够对其 求解.
2.恒等构造法
2.1 简单二阶二次递推式
例 1：已知某一递推数列 ，其中 试求 其通项公式？
解 析 ： 不 妨 令 ， 其 中 b1=2 ， 那 么
，对比函数形式，容易得到
，
也即 ，从而 .
这一解法是对 这一恒等式的离散
运用.
2.2 二项式递推式
由二项式展开式的恒等性，我们可以对其做更一般的推广，
定义形如：
把 2k 的情况称作第一类二项式 递推式，把 2k+1 的情况称作第二类二项式递推式，其中 k 取不 同值的时候分别把递推公式称作第一、第二类二项元.这两类递 推公式都可以有形如 的通项公式，其中 a 可由 b1确定，
a= ，下面对其进行论证.
证明：
（1）考查第一类二项式展开式：
如果令 且满足 ，从而 ，
那么就有如下恒等式：
我们可以对满足条件的 an递推公式讨论：
对两边同时取对数，于是可以得到
由于只需要找出一个可行的数列关系式就可以得到所有的 数列数值，所以可以选择
这当然是符合条件的。
那么 就是满足的解.其中 ，
可以解得 a= .
(2) 再 考 查 第 二 类 二 项 式 展 开 式 ：
令 且满足 ，从而 可以
得到
其中 an仍然是 an的形式，并由 b1确定下来 a 的值.
2.3 形式化说明
下面对其进行举例论证：
例 2： ,求解满足条件的某一 bn的通项公 式
解析：由于 bn的系数满足二项式系数分配，因此可以令
因为 可以解得
也就是说 bn始终是 2，造成 bn不变化的原因是 bn的初值是 2，
使得 bn,bn’b3n…不能跳出 2 的循环圈.
例 3： ,求解满足条件的某一 bn的通项 公式
解析：由于 bn的系数满足二项式系数分配，因此可以令
因为 可以解得
那么
例 4： ,求解满足条件的某一 bn的通 项公式.
解析：由于 bn的系数满足二项式系数分配，因此可以令
因为 那么 或 ，
同样的我们可以得到：
2.4 数列的唯一性条件
比较例 3，例 4，他们的通项公式完全可以相同，但是递推 式的选取可以不同，而例 3 只能得到 n=2k 的情况，而例 4 可以 得到 n=2k+1 的情况.那么综合例 3，例 4 这一组递推公式就能够 完全确定一个数列.
更一般的，任意分别取第一和第二类二项元所构成的递推数 组，都可以得到一个完全确定的数列.在实际生活中，如果存在 同时满足第一类和第二类的描述性数列，那么就可以立刻得到它
的通项公式是 ，其中 .
3.总结：
应该将函数恒等式和数列递推式有机地结合起来，用恒等的 思想去解决数列问题.如何用已知的恒等式去构造更多的数列，
值得进一步地探究。
