Ⅰ. 二次函數與兩軸交點之討論：
1. 若a≠0， y ＝ ax 2 + bx + c 圖形與y軸的交點：
＝
y ax 2 + bx + c
令 x ＝0 Þ y＝ c ，即與y軸交於(0， c )，如圖一。
令y＝0 Þ x ＝
a ab b
b 2
2 4 -
± -
(圖一) 2. 若 y＝0 且 a ≠0， y ＝ ax 2 + bx + c 圖形與 x 軸的交點：
(1) 當判別式 b 2 - ac 4 > 0：
a. 方程式根為兩相異實根， x ＝
a ab b
b 2
2 4 -
±
- 。
b. 圖與 x 軸的交點為相異兩交點。
c. a > 0 (開口向上，如圖二) ； a < 0 (開口向下，如圖三)。
(圖二) (圖三)
(2) 當判別式 b 2 - 4 ac ＝0：
a. 方程式根為兩相等實根， x ＝
a ab b
b 2
2 4 -
±
- ＝
a b 2
- 。
b. 圖與 x 軸的交點為相切(一交點)。
c. a > 0 (開口向上，如圖四) ； a < 0 (開口向下，如圖五)。
(0,c)
x y
O
x y
O x
y
O
x y
x y
O
3. 已知三點坐標，求過三點的二次函數，將三點坐標代入 y = ax 2 + bx + c 。
【範例】 ：已知某二次函數其圖形通過A(1，8)、B(－2，2)、C(0，4)，
求此二次函數為何？
解：假設此二次函數為 y = ax 2 + bx + c
將A(1，8)、B(－2，2)、C(0，4)三點代入方程式中得
ï î ï í ì
=
+ -
=
+ +
=
c
c b a
c b a
4
2 4 2 8
Þ ï î ï í ì
=
=
=
4 3 1
c b a
所以，此二次函數為 y＝ x 2 + x 3 + 4 。
【範例】 ：已知三點座標為A(－1，2)、B(0，－4)、C(－2，4)，求過此三點的 二次函數為何？
解：假設此二次函數為 y = ax 2 + bx + c
將A(－1，2)、B(0，－4)、C(－2，4)三點代入方程式中得：
ï î ï í ì
+ -
=
= -
+ -
=
c b a
c c b a
2 4 4
4 2
Þ ï î ï í ì
-
= -
= -
=
4 8 2
c b a
所以，此二次函數為 y＝ - 2 x 2 - 8 x - 4 。
【練習】：已知某二次函數之對稱軸 x ＝3，且其圖形通過A(3，2)、B(5，6)兩點，
求此二次函數為何？
解：假設此二次函數為y＝ a ( x - 3 ) 2 + k 將A、B兩點代入方程式中得
î í ì
+
= +
= k a
k 4 6
0
2 Þ
î í ì
=
= 2 1 k a
所以，此二次函數為 y＝ ( x - 3 ) 2 + 2 。
【練習】：已知某二次函數之頂點為(－2，－6)，且其圖形通過A(－5，0） ， 求此二次函數為何？
解：假設此二次函數為y＝ a ( x + 2 ) 2 - 6
將A(－5，0)代入方程式中得 0＝ a ( - 5 + 2 ) 2 - 6 Þ a ＝ 3 2
所以，此二次函數為 y＝ ( 2 ) 6 3
2 2 - +
x 。
【練習】：已知某二次函數其圖形通過A(1，0)、B(－1，－4)、C(4，－39)，
求此二次函數為何？
解：假設此二次函數為 y = ax 2 + bx + c
將A(1，0)、B(－1，－4)、C(4，－39)三點代入方程式中得
ï î ï í ì
+ +
= -
+ -
= -
+ +
=
c b a
c b a
c b a
4 16 39 4 0
Þ ï î ï í ì
=
= -
=
1 2
3
c b a
所以，此二次函數為 y＝ - 3 x 2 + 2 x + 1 。
Ⅲ. 圖形的應用：有時，在實際狀況中我們也可能用到二次函數的最大值與最小值，
由以下的範例更可了解二次函數在日常生活的重要性。
【範例】 ：某人想用一條 100 公尺的繩子圍成一個矩形的停車場，請問如何才能圍出最大 面積的停車場？並求出此面積。
解：
設停車場的某一邊長為 x 公尺，因此另一邊長為(50－ x )公尺。
我們並以y平方公尺來表示此停車場的面積。
依題意可列式： y ＝ x (50－ x )
＝ 50 x － x 2
＝ －( x －25) 2 ＋625
因為停車場的邊長必為正數，所以 x > 0 且 50－ x > 0 ， 即 x 值範圍為 0＜ x ＜50。
由上可知 當 x ＝25 時，停車場面積可為成最大的 625 平方公尺
即當此停車場為正方形時，所 圍成的面積最大，且其值為 625 平方 公尺 ， 並從圖形我們得知 y值的範圍為 0 < y 625。 £
x y
O 10 100
(25,625)
y＝ 50 x- x 2
【範例】 ：如何把 30 分成兩數，使得這兩數的平方和最小？
解：設某一數為 x ，因此另一數為(30－ x )。
我們並以y來表示這兩數的平方和。
依題意可列式： y＝ x ＋(30－ x ) 2 2
＝ x ＋900－60 x ＋ 2 x 2
＝2( x －15) 2 ＋450 由上可知，當一數為 15 而另一數亦為 15 時，
使得這兩數的平方和有最小值為 450。
x y
O 5
200 (15,450)
y＝ 2 ( x- 1 5) + 45 0
2
【例題 1】 【練習 1】
二次函數 y = x 2 + 2 x - 3 的圖形交 x 軸於A、 B兩點，交y軸於C點，求 ABCD 的面積為 多少？
解：
二次函數 y = - x 2 - 2 x + 15 的頂點為A，此函數 的圖形與 x 軸交於B、C，求 ABCD 的面積為 多少？
解：
【例題 2】 【練習 2】
若二次函數 y = ax 2 + bx + c 的圖形如下圖所 示，請分別判別 a 、b、 c 及 b 2 - 4 ac 的正、
負。
解：Q
若二次函數 y = ax 2 + bx + c 的圖形如下圖所 示，請分別判別 a 、b、 c 及 b 2 - 4 ac 的正、
負。
解：Q x
y
x y
【例題 3】 【練習 3】
若二次函數 y = - 2 x 2 + 6 x + k 的圖形與 x 軸 交於兩點，求k的範圍為何？
解：
若二次函數 y = ( m + 1 ) x 2 - 4 x - 1 的圖形與 x 軸 不相交，求 m 的範圍為何？
解：
【例題 4】 【練習 4】
2 1 + +
= ax bx
y 的圖形之最高點坐標為
(-1，2)，則 a + b = ? 解：
2 2 + +
= ax bx
y 的圖形之最高點坐標為
(-1，1)，則 a - b = ? 解：
【例題 5】 【練習 5】
設二次函數通過(0，3)、(1，4)、(2，3) 三點，求此二次函數。
解：
設二次函數通過(0，8)、(1，12)、(-1，6) 三點，求此二次函數。
解：
【例題 6】 【練習 6】
已知某二次函數之對稱軸為 x + 3 = 0 ，且其 圖形通過A(-2，5)、B(1，35)，求此二次 函數為何？
解：
已知某二次函數之對稱軸為 x - 2 = 0 ，且其圖 形通過A(3，4)、B(-1，-4)，求此二次 函數為何？
解：
【例題 7】 【練習 7】
已知某二次函數之頂點為(1，1)，且其圖形 通過A(3，5)，則此二次函數為何？
解：
已知某二次函數之頂點為(3，-4)，且其圖形通 過A(2，-2)，則此二次函數為何？
解：
………
一.選擇題：
( )1. 下列那一個二次函數圖形的圖形開口最小：
(A) y - = x 2 (B) y - = 3x 2 (C) y = 2x 2 (D) y = x 2 。
( )2. 函數 y = x 2 2 - 3 的頂點座標為：
(A) (0,0) (B) (0,3) (C) (0,-3) (D) (-3,0) 。
( )3. 把 y = x 2 的圖形向下移動 5 單位長，就可得到新圖形的函數為 (A) y = 5x 2 (B) y - = 5x 2 (C) y = x 2 + 5 (D) y = x 2 - 5 。
( )4. 函數 y = x 2 + 2 x + 2 可化成 y = a ( x + h ) 2 + k 的形式，則 a + h + k = (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 。
( )5. y = 2 x 2 - 12 x + 19 之圖形的對稱軸方程式為
(A) x = 3 (B) x = - 3 (C) x 軸 (D) y軸 。
( )6. 若二次函數 y = a ( x - 3 ) 2 + b 有最小值 - 1 ，則
(A) a > b (B) a = b (C) a < b (D) a 、b無法比較 。
( )7. 設 x 是任意數且 2 x 2 - 4 x + y - 4 = 0 ，則下列何數不可能是y值？
(A)4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 。
( )8. 設二次函數的圖形通過(0，2)和(1，4)且y軸是對稱軸，則此二次函數為 (A) 最大值 1 (B) 最大值 2 (C) 最小值 1 (D) 最小值 2 。
( )9. 在直角座標平面上將二次函數 y = 2 ( x + 1 ) 2 - 2 的圖形向右 移動 3 單位長，再向下移動 1 個單位長，則其最低點為
(A) (2，-3) (B) (-2，3) (C) (2，3) (D) (3，2) 。
( )10.若二次函數 y = - 2 ( x - 3 ) 2 + 4 ，則下列何者正確 ? (A) y的最大值是 3 (B) y的最小值是 3 (C) y的最大值是 4 (D) y的最小值是 4 。
二.填充題：
1. 若二次函數 y = ax 2 + 4 ax - 2 a 2 有最大值 - 6 ，則 a ＝ 。
2. 若 1 £ x £ 6 ， y = 2 x 2 - 8 x + 6 的最大值為M ，最小值為 m ， 則 M + m ＝ 。
3. 設 a : = b 1 : 3 ， b : = c 3 : 4 ，則 ab - bc + 2 ac + 4 b 的最大值為 。
4. 若二次函數 y = ax 2 + bx + c 之圖形有最高點，其位置在y軸的左方，
則點( a ，b)在第 象限。
5. 若
k x y x
+
= - 4 40
2 有最大值 4，則k值為 。
6. 有一出租公寓有 70 間套房，每月租金 3000 元可全部租出，若每 間房間每增加 50 元，則平均有一間未租出去，則：
(1) 設公寓套房有 x 間未租出去時，總收入為y元，則 x 與y的關
係式為 。
(2) 欲使總收入達到最高時，房間將有 間未租出。
(3) 承(2)，每個房間的租金為 元。
7. 座標平面上 y - = 2x 2 的圖形向右平移 3 個單位長，就得到 的圖形，再向 下平移 5 個單位長，就得到 的圖形。(寫出二次函數) 。
三.計算題
1. 在座標平面上描繪下列二次函數的圖形
(1) y = x 2 2 - 3 (2) y = x 2 + 2 x - 3 。 解:
2. 求下列二次函數的頂點座標及最大值或最小值：
(1) y = - 2 ( x - 1 ) 2 - 5 (2) y = 2 x 2 + 4 x - 1 。 解:
3. 將 x 2 - 34 x + 288 = 0 化成 ( x + a ) 2 = p ，求 a + p 之值。
解:
4. 若7和 - 4 為一元二次方程式 x 2 + bx + c = 0 的兩根，求 b + c = ？ 解:
5. 一拋物線通過A(0，3)、B(3，27)兩點，且圖形經平移後與 y = 2x 2 重合，求此拋物線 的二次函數。
解:
6.已知某二次函數其圖形通過A(-1，0)、B(4，0)、C(8，2)三點，求此二次函數為何？
解:
7.一果園中種了 25 顆橘樹，每棵平均可生產橘子 450 個；若在此園中每加種 一棵則每棵平均生產量減少 10 個。問應加種幾棵才能使此園的產量達到最 大？最大產量是多少？
解:
8.已知A、B、P為數線上的三點，它們的坐標分別為 2， - 3 ，x，設 4 PA - 2 PB 2 的值為y。 解:
9.在高出海平面 40 公尺的岩石上，向海面上空拋出一石子，且看錶計時，
已知高度y公尺為時間 x 秒之二次函數其關係如下： y = f ( x ) = - 2 x 2 + 16 x + 40 ， 請問：
(1) 此石子擲出經幾秒後，可達最高高度？又最高高度為多少公尺？
(2) 石子從擲出到落海前，在空中停留幾秒？
解:
