勾股定理證明-G079

(1)

勾股定理證明-G079

【作輔助圖】

1. 以 AB 為邊，向內作一正方形 ABKH ，以BC 為邊，向外作一正方形 BCED ，以 AC 為邊，向外作一正方形 ACFG (於證明過程第 1 點說明點 H 在 GF 上)。

2. 過 K 作 LC 之垂線，與 LC 交於 M 點。

3. 連接 KE (於證明過程第 2 點說明 K E D共線)。

A B

C

D E

F

G

H L K

N M

【求證過程】

以直角三角形 ABC 的三邊分別向內向外作正方形，先證明圖中的三角形全等，再 經過全等圖形的切割重新拼圖的方法後，可得到正方形 ABKH 的面積會等於正方形

ACFG 與正方形 BCED 的面積和，來推出勾股定理的關係式。

1. 先證明三角形 GAH 與三角形 CAB 全等，再得到點 H 的位置在 GF 上：

因為 AH AB, AG AC, GAH 90^ HAC CAB，所以 GAH CAB

   (SAS 全等).

得到HGA BCA90^，又FGA90^，所以

點 H 在 GF 上，即 G H F共線。

2. 先證明三角形 DKB 與三角形 CAB 全等，再得到 K E D共線：

因為 KB AB, BDBC, DBK 90^ NBC CBA，所以 DKB CAB

   (SAS 全等).

(2)

得到BDK BCA90^，又BDE90^，所以 K E D共線。

3. 證明三角形MBK 與三角形 DKB 全等：

因為 BK BK，且由作圖的平行關係可知BMK KDB90^, MBK DKB，所以

MBK DKB

   (AAS 全等).

4. 證明三角形 KNE 與三角形 HLF 全等：

因為 KEKDEDGFGH HF，且由作圖的平行關係可知KEN HFL90^, 90

NKE MKN LKM LHF

         ，所以

KNE HLF

   (ASA 全等).

5. 證明三角形 CBN 與三角形 MKL 全等：

因為 BN BKKN HKHLLK, NCB LMK 90^，且 90

CBN MKN MKL

       ，所以 CBN MKL

   (AAS 全等).

6. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：

C MB M

ABKH ACLH AB K KL

ACLH

ACLH BDE

GAH DKB CBN

GAH K EN N

  

 

正方形面積＝四邊形面積＋面積＋面積＋面積

＝四邊形面積＋面積＋面積＋面積

＝四邊形面積＋面積＋( 面積＋四邊形面積)

AC CBN

GAH HLF

CBN

LH BDEN

ACFG BCED



 



＋面積

＝(四邊形面積＋面積＋面積)＋(四邊形面積＋面積)

＝正方形面積＋正方形面積.

得到

2 2 2

, AB  AC BC 即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：這個證明出自於以下書籍：

Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 36). Amsterdam: A.

Versluys.

(3)

Edwards, George C.(1895). Elements of Geometry(p.161). New York : Macmillan and co.

Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1897). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 4(11), 251.

2. 心得：此題證明的作圖並不困難，而證明的關鍵在於證明三角形MBK 與三角形 DKB 全等，三角形 KNE 與三角形 HLF 全等，以及三角形 CBN 與三角形 MKL 全等，進一步透過圖形的切割與平移，推得正方形 ABKH 的面積會等於正方 形 ACFG 與正方形 BCED 的面積和。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

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4. 補充：在原書中所繪的圖形有線段 OP，但證明過程中並沒有用到，因此省略未畫。