全面生產維修策略之理論與實務應用研究---子計畫三：產品保證對最佳維修策略之影響(II)

行政院國家科學委員會專題研究計畫 期中進度報告

子計畫三:產品保證對最佳維修策略之影響(2/3)

計畫類別： 整合型計畫

計畫編號： NSC92-2213-E-011-009-

執行期間： 92 年 08 月 01 日至 93 年 07 月 31 日 執行單位： 國立臺灣科技大學工業管理系

計畫主持人： 葉瑞徽

計畫參與人員： 陳慈慧、陳宏達、解文榮

報告類型： 精簡報告

處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 93 年 5 月 24 日

全面生產維修策略之理論與實務應用研究--計劃三：

產品保證對最佳維修策略之影響(2/3)

The Impacts of Product Warranty on the Optimal Maintenance Policies

計畫編號：NSC 92-2213-E-011-009

執行期限：民國92 年 8 月 1 日至 93 年 7 月 31 日

計劃主持人：葉瑞徽教授 國立臺灣科技大學工業管理系(rhyeh@im.ntust.edu.tw) 共同主持人：羅惠瓊副教授 真理大學管理科學研究所

計畫參與人員：陳慈慧、陳宏達、解文榮 國立臺灣科技大學工業管理系 一、中文摘要

本子計畫探討主題為產品保證對最佳維 修策略之影響。計畫之第二年度主要針對可維 修產品，研究免費小修保證對產品年齡置換策 略之影響。當可維修產品附有免費小修保證 時，則保證期內產品失效之修理及費用由賣方 負擔，而買方無需負擔小修費用，但仍需負擔 當機所造成的成本。本計畫將以買方立場，分 別建立並分析免費小修保證下買方之成本模 式，並推導使單位時間期望總成本最低之產品 最佳置換策略，並與無產品保證下之置換策略 做比較，藉以探討免費小修保證對最佳年齡置 換策略之影響程度。

關鍵詞：免費小修保證、年齡置換策略。

Abstract

In this study, the effects of a free-minimal repair warranty on the age replacement policy for a repairable product are investigated. Under a free-minimal repair warranty, any failure of a product within warranty period is rectified by minimal repair provided by the seller. However, the buyer still has to suffer the downtime cost. In this research, an integrated cost model is developed for a warranted product, and the optimal age is derived such that the expected cost per unit time is minimized. Finally, the impact of a product warranty on the optimal age replacement policy is illustrated through the comparison of the optimal replacement policy and the policy for a product without warranty.

Keywords: Free-minimal Repair Warranty, Age

Replacement Policy.

二、緣由與目的

本子計畫為國科會整合型三年計劃「全面 生產維修策略之理論與實務應用研究」之子計 劃三-『產品保證對最佳維修策略之影響』。第 二年度之研究內容主要以買方立場探討產品 保證對於可維修產品之最佳置換策略的影響。

隨著產品設計與功能演進的多元發展，產 品保證逐漸演變為消費市場中，直接歸屬於產 品之重要附加價值。Blischke[2]是一篇保證策 略相關的回顧文獻，並針對保證成本分析之數 學模式作詳盡探討。Polatoglu 與 Sahin[7]分別 以買賣雙方的觀點，探討保證期內與成本、收 益 及 利 潤 相 關 之 機 率 分 配 。Murthy 與 Djamaludin[5]則詳細記載了產品保證最近十 年來相關的文獻與著作。

就買方的立場而言，透過產品的使用創造 更高的價值或效率，往往是產品購買的理由。

使用者重要工作與目標之執行，常牽涉複雜工 作系統的運行，故務必仰賴若干關鍵性產品順 利發揮其應有的功能，方能達成系統正常運作 的需求。而「維修」是滿足消費者(買方)持續 使用產品，並發揮產品功能以滿足使用需求的 基本要素。Barlow 與 Hunter[1]首次針對可維 修產品，建構考慮維修置換和小修觀念的成本 架構。接著Tilquin 與 Cléroux[9]考慮系統失效 時採用小修，並在固定週期置換系統下，求使 單 位 時 間 期 望成 本 最小 之 最 佳 置 換策 略 。 Nakagawa 與 Yasui[6]則透過數值計算與近似 方法，分析產品壽命在服從韋伯分配下，結合 小修考量之區間置換策略。

隨著消費者意識的日益抬頭及產品保證 的風行，上述各類型維修策略施行的成本，

有逐漸藉由產品保證轉嫁至賣方的趨勢，因 此這些不同維修策略施行的考量，亦和產品

的關連。要如何結合保證與維修策略，以降 低產品使用的成本及因產品失效引起之損 失，以達到資源有效運用與工作效能提升的 目標，實是一個值得深入探討的問題。

關於保證策略與維修策略之整合方面，

Ritchken 與 Fuh[8]曾考慮部份負擔置換保證策 略下，不可維修產品之最佳年齡置換策略。

Chun[3]將主動維護的觀念，透過定期不完美 預防保養模式的建構，運用在保證策略的研究 上 ， 並 決 定 最 佳 預 防 保 養 次 數 。Jack 與 Schouten[4]考慮可維修產品以免費置換保證 之條件銷售時，製造商之最佳維修置換策略。

Yeh 與 Lo[10]推展主動式的預防保養保證策 略，並求產品之最佳預防保養策略。本計畫之 第一年度研究報告及Yeh 等[11]則針對具免費 置換保證之不可維修產品，研究其最佳置換策 略。

本子計劃延續第一年度之研究，考慮可維 修產品在免費小修保證下，買方採行年齡置換 策略之成本模式，尋求最佳化條件，並與傳統 無產品保證下之年齡置換策略的結果相互比 較驗證，藉以探討免費小修保證對於傳統年齡 置換策略之影響。

三、研究方法及成果

在賣方提供免費小修保證的情況下，當產 品在保證期

[ ]

^0,

^w

內失效時，由賣方負責以小 修修理並負擔小修費用，直到保證期屆滿為 止，修理後產品失效率回復至失效前之失效 率。然而產品失效時任務強制性停頓所帶來的 損失（當機成本）仍由買方負擔。另外，不論 是否在保證期內，買方皆可自行決定是否置換 新產品來替代舊產品，但是買方必須負擔置換 所需費用（置換成本）。

依據以上的描述，模式建構之基本假設如 下：

1. 在到達置換年齡前，產品每次失效皆會以 小修處理，且產品失效必伴隨當機成本。

2. 產品失效時小修之處理時間，及置換前之 前置時間與置換所須之時間可以忽略不 計。

3. 每次產品失效之小修成本及當機成本皆

為常數，且置換成本亦為常數。

4. 產品失效率為隨時間嚴格遞增之函數。

建構成本模式所使用之數學符號分述於 下：

w

產品之保證期

x

產品之壽命

t

產品之置換年齡

*

t

0 產品最佳置換年齡，當

w = 0

*

t

w 在保證期 w 下產品之最佳置換年齡

)

(x

f

產品壽命 x 之機率密度函數

)

(x

F

產品壽命 x 之累積機率分配

)

(x

r

產品在壽命 x 時之失效率函數

)

(t

N

產品在時間

[ ]

^0,

^t

^{內之失效次數}

) (t

R

產品在時間

[ ]

^0,

^t

^{內之期望失效次}

數，亦即

^R

(

^t

)

^{= E} [ ^N

(

^t

)

] ⁼ ∫

0^t

^r

(

^s

)

^ds C

d 當機成本

C

m 小修成本

C

r 置換成本

)

0

( t

C

置換年齡為 t 且

w = 0

時，更新循環 內之總成本

)

1(

t

C

置換年齡

t > w > 0

時，更新循環內 之總成本

)

2(

t

C

置換年齡

0 _< t _≤ w

時，更新循環內 之總成本

(⋅ )

CR

單位時間期望總成本

)

( t

H

判別函數，且

H ( t ) = r ( t ) t − R ( t )

3.1 產品未附保證之年齡置換策略

在不附任何產品保證之下，產品之失效過 程如圖

1

所示。

圖

1.

傳統年齡置換策略

由於買方固定於產品年齡

t 時作置換，因

₀ 此單次更新循環時間為

t 。在

₀

t 之前若有失

₀ 效，則買方自行給予小修處理，此時買方需負 擔小修成本和當機成本，直到產品年齡到達

t ，購置另一新產品並進行置換為止。因為沒

0

t

₀

＊ ＊ . . . ＊

小修 小修 小修 置換

有任何產品保證，所以單次更新循環內期望總 成本為

E [ C

₀

( t

₀

) ] = ( C

d

+ C

m

) R ( t

₀

) + C

r，單位時 間期望總成本可透過單次更新循環期望總成 本除以更新循環時間

t 得到，

₀

[ ]

0 0 0

0 0 0

) ( ) (

) ) (

( t

C t R C C t

t C t E

CR = =

^d

+

^m

+

^r 。

(1)

根據上述單位時間期望總成本，要求得最 佳置換年齡，使得期望總成本最小化，可將式

(1)

對

t

₀做一階微分如下

2 0 0

0

0

( ) ( ) ( )

) (

t

C C t C H C C dt

t

dCR

d m

r m

d





 





− + +

=

，

(2)

其中

H ( t

₀

) = r ( t

₀

) t

₀

− R ( t

₀

)

。

令判別函數

H ( t ) = r ( t ) t − R ( t )

，由式

(2)

可 看出

H (t )

為決定最佳置換年齡之關鍵式。在 失效率隨時間遞增時，性質

1

可證明

H (t )

亦 為隨時間遞增之函數。

性質 1：若

r (t )

為失效率遞增函數

(IFR)

，則

)

(t

H

亦 為 遞 增 函 數 ， 且

lim ( ) 0

0

=

→

H t

t 及

0 ) ( lim >

∞

→

H t

t

.

證 明 ： 若

r (t )

為 失 效 率 遞 增 函 數 ， 即

0

, 0 )

( > ∀ >

′ t t

r

，則將

H (t )

對

t

做一階微分，可 得

′ ( ) = ′ ( ) > 0 , ∀ > 0

t t

t dt r

t H

d

，亦即

H (t )

亦為

t

之嚴格遞增函數。當

t

趨近於

0

時，可得

[ ^{( ) ( )} ] ⁰

lim ) (

lim

0

=

0

− =

→

→

H t r t t R t

t

t ，另外，由於

H (t )

為

t

之遞增函數可知

lim ( ) > 0

∞

→

H t

t 。

■

在產品不具任何保證的情況下，令單位時 間期望總成本ㄧ階微分為

0

，可得

m d

r

C C t C

H (

₀

) = +

。

(3)

分析式

(3)

可得下列性質。

性質 2：在產品失效率為

IFR

的情況下，

1.

若

m d

r

C C H C

< +

∞)

(

，則

t

₀^*

= ∞

。

2.

若

m d

r

C C H C

> +

∞)

(

，則存在唯一

t

₀^*滿足上 述式

(3)

且

CR ( t

₀^*

) = ( C

_d

+ C

_m

) r ( t

^*₀

)

。

3.2 免費小修保證下之年齡置換策略

當產品附有免費小修保證時，在保證期 w 內之失效，由賣方負責修理，但買方仍需負擔 當機成本。則置換年齡

t

和保證期 w 之大小關 係，會導致不同的成本結構。因此分為

t > w

及

w

t ≤

兩種情況來討論。

3.2.1 置換年齡大於保證期 ( t > w )

首先考慮保證期不大於置換年齡

( t > w )

的情形，則產品之失效過程如圖

2

所示。

圖

2.

置換年齡大於保證期之年齡置換策略

若產品在保證期內失效，買方只需負擔當 機成本；若在保證期和置換年齡間失效，則須 負擔當機成本

( C )

_d 和小修成本

( C )

_m ，直到產品 年齡到達

t

時，進行預防性的置換（置換成本

C ）

r ，此時單次更新循環時間為

t

。由於在保 證期 w 內產品失效的期望次數為

R (w )

，而在

] ,

[ t w

間產品失效的期望次數為

∫

w^t

r )

(

s ds

，則單 次更新循環期望總成本為

r t

m w d

d

R w C C r s ds C

C t C

E ^[

¹

^{( )]} = ^{( )} + ⁽ + ⁾ ∫ ^{( )} +

^，

⁽⁴⁾

而單位時間期望總成本為

t

w R C C t R C t C

CR (

^{d m}

) ( )

^{r m}

( ) )

1

(

− +

= +

。

(5)

令

CR

₁(

t

)對

t

微分的結果式

(5)

為

0

，可得

m d

m r

C C

w R C t C

H +

= − ( )

)

(

，

(6)

則使單位時間期望總成本最小化之置換年齡

1 *

t (

且

t 1 ^* > w )

，為滿足式

(6)

條件之

t

，並有以下 性質。

性質 3：在置換年齡大於保證期的限制下，且 失效率為

IFR

的情況下，

1.

若

m d

m r

C C

w R C w C

H +

> − ( )

)

(

， 則

t

₁^*

= w

， 且

w C w R t C

CR =

^d

( ) +

^r

)

(

₁^*

1 。

w

t

＊ ＊ . . . ＊

小修 小修 小修 置換

2.

若

( ) ( ) )

( < ∞

+

< − H

C C

w R C w C

H

m d

m

r ，則存在唯

一

t

₁^*

> w

使 得

m d

m r

C C

w R C t C

H +

= − ( )

)

(

₁^* ， 且

) ( ) (

)

(

₁^* ₁^*

1

t C C r t

CR =

_d

+

_m 。

3.

若

m d

m r

C C

w R C H C

+

< −

∞ ( )

)

(

，則

t

₁^*

= ∞

。

3.2.2 置換年齡小於等於保證期( t ≤ w )

若置換年齡小於保證期，則代表所有失效 將皆在保證期內發生，因此買方完全不須負擔 小修成本

( C )

_m ，只需負擔當機

( C )

_d 及置換成本

( C

_r

)

，此時單次更新循環時間為

t

，而產品之 失效過程如圖

3

。

圖

3.

置換年齡小於等於保證期之年齡置 換策略

如圖

3

所示，在置換年齡

t

之前產品失效 的期望次數為

R (t )

，則單次更新循環期望總成 本為

E [ C

₂

( t )] = C

_d

R ( t ) + C

_r，而單位時間期望 總成本為

[ ]

t C t R C t

t C t E

CR = ( ) =

^d

( ) +

^r

)

(

²

2 。

(7)

令式

(7)

為

0

，可得

d r

C t C

H ( ) =

，則最佳置 換年齡具有下列性質。

性質 4：在置換年齡小於等於保證期的限制 下，且失效率為

IFR

的情況下，

1.

若

d r

C w C

H ( ) <

，則

t

₂^*

= w

。

2.

若

d r

C w C

H ( ) >

， 則 存 在 唯 一

t

₂^*

≤ w

滿 足

d r

C t C

H (

₂^*

) =

，且

CR

₂

( t

₂^*

) = C

_d

r ( t

₂^*

)

。

將

t > w

和

t ≤ w

兩種情況綜合考量，取消 限制並彙整性質

3

及性質

4

的結果，則最佳置

換年齡及最小成本在各種範圍下之存在條件 如性質

5

所述。

性質 5：在產品失效率為

IFR

的情況下，

1.

若

m d

m r

C C

w R C H C

+

< −

∞ ( )

)

(

，則

t

^*w

= ∞

。

2.

若

( ) ( )

)

( < ∞

+

< − H

C C

w R C w C

H

m d

m

r ，則存在唯

一

t

_w^*

> w

，且

CR ( t

^*_w

) = ( C

_d

+ C

_m

) r ( t

^*_w

)

。

3.

若

d r m

d m r

C w C C H

C

w R C

C < <

+

− ( ) ( )

，則

t

_w^*

= w

， 且

CR ( t

_w^*

) = C

_d

r ( t

^*_w

) = C

_d

r ( w )

。

4.

若

d r

C w C

H ( ) >

， 則 存 在 唯 一

t

_w^*

≤ w

， 且

)

( )

( t

_w^*

C

_d

r t

^*_w

CR =

。

根據性質

5

，以下將發展一個有效的演算 法，藉以快速求得最佳置換年齡即相對應之單 位時間期望成本。

3.3 演算法

根據前述討論，加入免費小修保證後最佳 置換年齡

t ^* _w

之決定，可透過下列演算法的步驟 獲得。

步驟 1：給定產品之壽命分配

F (x )

、免費小修 保證期 w，與相關成本

C

_d、

C

_m與

C

_r。 步驟 2：計 算

H ( w ) = r ( w ) w − R ( w )

， 若

d r m

d m r

C w C C H

C

w R C

C < <

+

− ( ) ( )

， 則

w t

_w^*

=

。若

m d

m r

C C

w R C w C

H +

< − ( )

)

(

，則

執行步驟

3

。若

d r

C w C

H ( ) >

，則執行 步驟

4

。

步驟 3：以

t = w

為起始，利用牛頓法搜尋滿足

m d

m r

C C

w R C t C

H +

= − ( )

)

(

且大於 w之

t ，並

_w^* 計 算 求 得 單 位 時 間 期 望 總 成 本

) ( ) (

)

( t

^*_w

C

_d

C

_m

r t

^*_w

CR = +

。

步驟 4：以

t = w

為起始，利用牛頓法搜尋滿足

t

w

＊ ＊ . . . ＊

小修 小修 小修 置換

d r

C t C

H ( ) =

且小於

w

之

t ，並計算求

_w^* 得 單 位 時 間 期 望 總 成 本 為

) ( )

( t

^*_w

C

_d

r t

_w^*

CR =

。

3.4 比較分析

當免費小修保證後最佳置換年齡

t _w ^*

獲得 後，與傳統最佳置換年齡

t ₀ ^*

比較，根據性質

2

與

5

，可得下列結果。

1. CR ₀

(

t ^* ₀

)

> CR

(

t ^* _w

)。

2.

若

m d

m r m d

r

C C

w R C C C C

C

+

> − +

)

(

，則

t ₀ ^* > t _w ^* > w

。

3.

若

d r m d

r

C C C C

C <

+

，則

t ₀ ^* < t _w ^* ≤ w

。

換言之，加入免費小修保證後，單位時間期望 總成本將會降低，而且產品之最佳置換年齡會 朝保證期變動。

四、結論與討論

在免費小修保證下，買方最佳化的考量如 同傳統年齡置換策略，取決於產品的失效率與 當機成本。在產品失效率隨時間遞增的狀況 下，引進產品免費小修保證後，產品之最佳置 換年齡，有朝保證期變動的趨勢。

就買方而言，若當機成本偏低，小修成本 偏高，則免費小修保證所帶來的保證價值（成 本率下降的效果）較為顯著。再者，當小修成 本和當機成本偏高時，買方傾向於縮短置換年 齡；當置換成本愈高時，買方傾向於延長置換 年齡。

五、計畫成果自評

本研究完成子計畫中第二年之主題，針對 具免費小修保證之可維修產品，其年齡置換策 略下成本模式之建構，並分析探討成本模式的 性質，並與傳統年齡置換策略之成本模式做比 較，獲致相關於決策制訂之重要性質，評估保 證策略對成本模式之影響。

六、參考文獻

[1] Barlow, R. E. and L. C. Hunter, ”Optimum preventive maintenance policies,”

Operations Research, 8-1 , 90-100 (1960).

[2] Blischke, W. R., “Mathematical models for analysis of warranty policies,” Mathematical Computational Modeling, 13 , 1-16 (1990).

[3] Chun, Y. H., “Optimal number of periodic preventive maintenance operations under warranty,” Reliability Engineering and System Safety, 37 , 223-225(1992).

[4] Jack, N. and F. V. der D. Schouten, “Optimal repair-replace strategies for a warranted product,” International Journal of Production Economics, 67 , 95-100 (2000).

[5] Murthy, D. N. P. and I. Djamaludin, “New product warranty: A literature review,”

International Journal of Production Economics, 79 , 231-260 (2002).

[6] Nakagawa, T. and K. Yasui, “Approximate calculation of block replacement with Weibull failure times,” IEEE Transactions on Reliability, 27-4 , 268-271 (1978).

[7] Polatoglu, H. and I. Sahin, “Probability distribution of cost, revenue and profit over a warranty cycle,” European Journal of Operational Research, 108 ,170-183 (1998).

[8] Ritchken, P. H. and D. Fuh, “Optimal Replacement Policies for Irreparable Warranted Items,” IIE Transactions on Reliability, R-35 , 621-623 (1986).

[9] Tilquin, C. and R. Cléroux, “Periodic replacement with minimal repair at failure and general cost function,” Journal of Statistical Computer & Simulation, 4 , 63-77(1975).

[10] Yeh, R. H. and H. C. Lo, “Optimal preventive-maintenance warranty policy for repairable products,” European Journal of Operational Research, 134 , 59-69(2001).

[11] Yeh, R. H., G. C. Chen, and M. Y. Chen,

“Optimal Age-Replacement Policy for

Non-repairable Products under Renewing

Free-Replacement Warranty,” IEEE

Transactions on Reliability,(Forthcoming).