單元三：畢氏定理

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單元三：畢氏定理

課文 A：畢氏定理

我們國小學過，一個三角形當中如果有一個角是直角，那麼我們就 稱那個三角形是直角三角形。這單元當中，直角三角形很重要！

如右圖，在直角三角形當中，

直角的兩個旁邊，我們都稱為「股」；

不是直角的旁邊，是直角的對面，我們稱它為「斜邊」。

關鍵：那這兩股與斜邊之間有什麼關係呢？

我們從下面的圖來試著觀察看看！

在圖中，有 4 個直角三角形跟 1 個正方形甲，合成一個大正方形。

而且這 4 個三角形其實都是一樣的。

股

股 斜邊

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所以 正方形甲的面積 = 大正方形 − 四個直角三角形面積

= − 四個

𝑐² = (𝑎 + 𝑏)² − 4 ×^𝑎𝑏₂ = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏² − 2𝑎𝑏 = 𝑎² + 𝑏²

從上面的說明，我們就可以知道：𝑐² = 𝑎² + 𝑏²， 而 𝑎, 𝑏, 𝑐 其實就是直角三角形的三邊長，

𝑐 就是這個直角三角形的斜邊，𝑎, 𝑏 就是這個直角三角形的兩股，

所以 𝑐² = 𝑎²+ 𝑏² 代表的就是

「直角三角形中，斜邊平方等於兩股平方和」，

這種關係我們就稱作畢氏定理。

在中國古代數學名著《九章算術》中，直角兩旁較短的邊為「勾」、

較長的邊為「股」；直角的對面，稱為「弦」。所以，畢氏定理也可 稱為勾股定理或勾股弦定理。

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接著，我們來做五個例題。這些例題的目標如下:

例題 1.已知直角三角形的兩股長，求斜邊長 例題 2.已知直角三角形的兩邊長，求第三邊長 例題 3.利用畢氏定理，求出長方形的對角線長 例題 4.已知直角三角形的兩股長，求斜邊上的高 例題 5.利用畢氏定理，解決生活中的應用問題

Ex 1：已知下列各直角三角形的兩股長，求斜邊長。

(1) (2)

解：

(1) 假設斜邊為 𝑥 ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，

𝑥² = 5²+ 12² = 25 + 144 = 169 𝑥 = ±√169 = ±13

因為斜邊長 > 0，所以斜邊長= 13。

(2) 假設斜邊為 𝑦 ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，

𝑦² = 7²+ 24² = 49 + 576 = 625 𝑦 = ±√625 = ±25

因為斜邊長 > 0，所以斜邊長= 25。

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上面這題是我們知道兩股長，利用畢氏定理求斜邊長。

接下來我們知道斜邊及其中一股長，要利用畢氏定理求另一股長。

Ex 2：已知下列各直角三角形的斜邊及一股長，求另一股長度為何？

(1) (2)

解：

(1)設要求的股長為 𝑥 ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，

𝑥²+ 3² = 5²⇒ 𝑥²+ 9 = 25 ⇒ 𝑥² = 25 − 9 = 16 𝑥 = ±√16 = ±4 ，股長必為正的，所以另一股為 4 。

(2)設要求的股長為 𝑦 ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，

𝑦² + 8² = 17²⇒ 𝑦²+ 64 = 289 ⇒ 𝑦² = 289 − 64 = 225 𝑥 = ±√225 = ±15 ，股長必為正的，所以另一股為 15 。

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Ex 3：求出下列各矩形的對角線長。

(1) (2)

◎解題思維：

將長方形的兩邊看成兩股，對角線看成斜邊，

接下來，就可以利用

畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」， 求出矩形的對角線長了！

解：(1) 將對角線令為 𝑥 ，

根據畢氏定理可以列式：𝑥² = 8²+ 13² 𝑥² = 8²+ 13² = 64 + 169 = 233，

𝑥 = ±√233 (因為對角線長是長度，所以負不合) 所以對角線長= √233。

(2) 將對角線令為 𝑦 ，

根據畢氏定理可以列式：𝑦² = 6²+ 4² 𝑦² = 6²+ 4² = 36 + 16 = 52，

𝑦 = ±√52 = ±√4 × 13 = ±2√13(對角線長是長度，故負不合) 所以對角線長= 2√13。

對角線

13

8 𝑥

4 6

y

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好，再來我們看一些畢氏定理的應用！

Ex 4：如圖直角三角形邊長為 5、12、13，

求斜邊上的高。

◎解題思維：

要算直角三角形的面積，有兩種算法：

⊙第一種：

用 𝐴𝐶̅̅̅̅當底，因為 ∠C 是直角，所以 𝐵𝐶̅̅̅̅̅ 就是高，這樣直角三角形面 積就是 ^{𝐴𝐶̅̅̅̅×𝐵𝐶̅̅̅̅}

2 。

⊙第二種：

也可以用斜邊 𝐴𝐵 ̅̅̅̅̅ 當底，這時候的高就是 𝐶𝐷̅̅̅̅ ，而面積就是 ^{𝐴𝐵̅̅̅̅×𝐶𝐷̅̅̅̅}

2 。

這兩個算的是同一個三角形的面積，所以會一樣。

然後就可以解出斜邊上的高 𝐶𝐷̅̅̅̅ 了！

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解：從圖中我們可以知道三角形面積= ^5×12₂ 設斜邊上的高為 𝐶𝐷̅̅̅̅ ，則三角形面積= ^13×𝐶𝐷₂^̅̅̅̅，

5×12

2 =^13×𝐶𝐷₂^̅̅̅̅

兩邊都有 2 ，所以把 2 約掉，

5 × 12

2

13 × 𝐶𝐷 ̅̅̅̅

2

𝐶𝐷̅̅̅̅ = 5 × 12 13 =60

13

★省思：

我們上面整個過程整理一下:

一個直角三角形，兩股分別為 𝑎、𝑏，斜邊為 𝑐。

因為 ^𝑎×𝑏₂ = ^𝑐×ℎ₂ (都是直角三角形的面積) 所以， ℎ = ^𝑎×𝑏_𝑐 。

也就是，一個直角三角形中，其斜邊上的高等於兩股乘積除以斜邊。

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Ex 5：如圖，放著一把 5 公尺的長梯於牆上，

梯腳離牆角 1.4 公尺，求：

(1)梯頂離地面多少公尺？

(2)若欲將梯頂降低 80 公分，則梯腳須向後移動多少公分？

解：

(1)

首先，我們先看紅色這把梯子。

梯腳離牆角 1.4 公尺，梯子長 5 公尺，

要求梯頂距離地面的高度，也就是下圖中棕色這段的長度，

這裡就形成一個直角三角形。

這個紅色直角三角形，斜邊是 5，其中一股長 1.4，

就可以假設要求的為 ℎ。

ℎ² = 5²− 1.4² = 25 − 1.96 = 23.04 ℎ = ±√23.04。那 23.04 怎麼開根號呢？

先把 23.04 化成分數，再來上面開上面，下面開下面：

√23.04 = √2304

100 = √2304 10

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接著 2304 利用短除法算一下：

2304 = 4²× 12^{2 4 2304}_{4 576}

12 144 12

知道 2304 開出來是 48，因為有兩個 4，和兩個 12。

所以

√23.04 = √2304

100 =√2304

10 = 48

10 = 4.8 因此 ℎ = ±4.8，那因為是高度，所以負不合。

所以梯頂離地面 4.8 公尺。

(2)

如果要將梯頂降低 80 公分，也就是 0.8 公尺。

原本高度 4.8 公尺，降低了 0.8 公尺，變成 4 公尺。

再想想看樓梯的長度會不會隨著它降低而改變？

看圖，樓梯掉落（藍色變紅色）長度依然不變，還是維持 5 。 所以這裡形成新的直角三角形。

看綠色直角三角形，斜邊 5，一股長為 4，就可以假設所求為 𝑎 。 𝑎² = 5² − 4² = 25 − 16 = 9

𝑎 = ±√9 = ±3（負不合）

5

𝑎 𝑎

4

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但題目是問梯腳後移多少？

原本梯腳離牆角為 1.4，但後來的梯腳離牆角為 3，所以要後移多 少？當然就是 3 − 1.4 = 1.6，所以後移 1.6 公尺。

重點提問

1. 請問什麼是「畢氏定理」？

請根據上面的課文用自己的話解釋這個定理。

2. 根據上面的課文，一個直角三角形斜邊上的高如何計算？

請利用這個方法計算直角三角形邊長為 7、24、25 斜邊上的高。

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․隨堂練習

1.已知下列各直角三角形的兩股長，求斜邊長。

(1) (2)

2.已知下列各直角三角形的斜邊及一股長，求另一股長度為何？

(1) (2)

3.求出下列各矩形的對角線長。

(1) (2)

4.如圖直角三角形邊長為 3、4、5，求斜邊上的高。

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5.平安拿一鋁梯在離牆 6 公尺處斜放在牆邊，

此時梯頂剛好離地面 6 公尺(如圖所示)，求：

(1)鋁梯有多長？

(2)今移動此鋁梯使它在離牆 2 公尺處斜放，則 梯頂離地面多少公尺？

還是不太懂，

請看下面影片(1) 畢氏定 理(例 1~例 3)

https://www.youtube.com/

watch?v=yADZ1P2n8zQ

還是不太懂，

請看下面影片(2) 畢氏定 理(例 4~例 5)

https://www.youtube.com/

watch?v=IVoKpc5I_t0

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課文 B：平面上兩點間的距離

接下來我們來看坐標平面上兩點間的距離。

關鍵：坐標平面上兩點間的距離

首先，先來看兩點在同一水平線上。

兩點在同一水平線上會發生什麼事情呢？

舉個例子，如右圖，有兩點 A(1,2)、B(4,2)，

這兩點是水平的，而它們之間的距離就是藍色的那段，

那要怎麼算呢？數一下，會發現距離就是 3 。

但當數字很大的時候就很難用數的就可以數的出來了！

所以我們分析一下，距離 3 還可以怎麼算出來？

A、B 兩點的 y 坐標都是 2 ；

而 A 的 𝑥 坐標是 1 ，B 的 𝑥 坐標是 4。

會發現在同一水平線上的這兩點距離其實就是它們 𝒙 坐標的差，

所以其實就是 4 − 1 = 3。

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Ex 1：如右圖，坐標平面上有 P(5,2)、Q(−3,2) 兩點，

求 P、Q 兩點之間的距離 𝑃𝑄̅̅̅̅ = ？

再來我們來看一下在同一鉛垂線上的兩點間距離。

舉個例子，如右圖，有兩點 B(4,2)、C(4,6)，

這兩點是鉛直的，而它們間的距離就是粉紅色的那段，

那要怎麼算呢？

我們來看一下 B、C 兩點的 𝑥 坐標都是 4 ； 而 B 的 𝑦 坐標是 2 ，C 的 𝑦 坐標是 6。

會發現在同一鉛垂線上的這兩點距離其實就是它們 𝒚 坐標的差，

所以其實就是 6 − 2 = 4。

解： P、Q 的 y 坐標都相同，P、Q 在同一水平線上，

所以它們的距離會是它們 𝑥 坐標的差 5 − (−3) = 5 + 3 = 8。

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Ex 2：如圖，坐標平面上有 P(1,2)、Q(1, −3) 兩點，

求 P、Q 兩點之間的距離 𝑃𝑄̅̅̅̅ = ？

解：P、Q 的 𝑥 坐標都相同，P、Q 在同一鉛垂線上，

所以它們的距離會是它們 𝑦 坐標的差 2 − (−3) = 2 + 3 =5。

最後一種就是不在同一水平線也不是在同一鉛垂線上的兩點距離。

舉個例子，如右圖，有兩點 A(1,2)、C(4,6)，

A、C 兩點的 𝑥 坐標不相同，而且 𝑦 坐標不相同，

所以不在同一水平線上也不在同一鉛垂線上。

那該怎麼求出它們的距離呢？

這時候就要利用到畢氏定理了！

畢氏定理是指直角三角形的三邊關係：

「斜邊平方等於兩股平方和」，

所以必需要製造一個直角三角形，怎麼製造呢？

我們畫一條通過 A 的水平線、一條通過 C 的鉛垂線，

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兩條線會交一點，我們先稱它為 B 。

B 與 A 在同一水平線上，所以 𝑦 坐標與 A 的 y 坐標一樣是 2 ； B 與 C 在同一鉛垂線上，所以 𝑥 坐標與 C 的 𝑥 坐標一樣是 4 。 因此 B 點坐標就是 (4,2) 。

這樣我們就有一個直角三角形 ABC 了，

𝐴𝐵̅̅̅̅、𝐵𝐶̅̅̅̅ 是這個直角三角形的兩股，A、C兩點間距離 𝐴𝐶̅̅̅̅ 則是斜邊。

B 與 A 在同一水平線上，𝐴𝐵̅̅̅̅，就是 𝒙 坐標的差： 4 − 1 = 3；

B 與 C 在同一鉛垂線上，𝐵𝐶̅̅̅̅，就是 𝐲 坐標的差： 6 − 2 = 4。

根據畢氏定理 𝐴𝐶̅̅̅̅² = 𝐴𝐵̅̅̅̅²+ 𝐵𝐶̅̅̅̅²，

𝐴𝐶̅̅̅̅² = 𝐴𝐵̅̅̅̅² + 𝐵𝐶̅̅̅̅² = 3²+ 4² = 9 + 16 = 25，

因為 𝐴𝐶̅̅̅̅ 是距離，所以為正，因此 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 5。

每次都要這麼麻煩嗎？其實可以不用那麼麻煩。

我們看一下式子 𝐴𝐶̅̅̅̅² = 𝐴𝐵̅̅̅̅²+ 𝐵𝐶̅̅̅̅²，

𝐴𝐵̅̅̅̅² 其實就是 (4 − 1)²。括號中的 4 是 B 點的 𝑥 坐標，也是 C 點的 𝑥 坐標；括號中的 1 是 A 點的 𝑥 坐標。

𝐵𝐶̅̅̅̅² 其實就是 (6 − 2)²。括號中的 6 是 C 點的 𝑦 坐標；括號中的 2 是 B 點的 𝑦 坐標，也是 A 點的 𝑦 坐標。

A B

C

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所以 𝐴𝐶̅̅̅̅² = 𝐴𝐵̅̅̅̅²+ 𝐵𝐶̅̅̅̅²

= (𝐵的𝑥坐標 − 𝐴的𝑥坐標)²+ (𝐶的𝑦坐標 − 𝐵的𝑦坐標)²

= (𝐶的𝑥坐標 − 𝐴的𝑥坐標)²+ (𝐶的𝑦坐標 − 𝐴的𝑦坐標)² 所以我們可以得到一個結論，

平面任意兩點的距離= √(𝑥坐標差)²+ (𝑦坐標差)²，

即兩點 A(𝑥₁, 𝑦₁)、B(𝑥₂, 𝑦₂) 的距離為 𝐴𝐵̅̅̅̅ = √(𝑥₁− 𝑥₂)²+ (𝑦₁− 𝑦₂)²。 我們舉一個例子。

Ex 3：如圖，坐標平面上有 P(−2,5)、Q(4, −3) 兩點，

求 P、Q 兩點之間的距離 𝑃𝑄̅̅̅̅ = ？

解：P、Q 的 𝑥 坐標、𝑦 坐標都不相同，它們是斜的，

所以可以利用兩點間的距離公式： √(𝑥坐標差)²+ (𝑦坐標差)² 𝑃𝑄̅̅̅̅ = √(−2 − 4)²+ [5 − (−3)]²

= √(−6)²+ 8²

= √36 + 64

= √100 =10。

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重點提問

請問如何計算兩點的距離？

請利用這個方法計算 (4, −2)、(7,1) 兩點間的距離。

․隨堂練習

1.已知坐標平面上有 A(5,2)、 B(5,6) 兩點，求 𝐴𝐵̅̅̅̅ 的長。

2.已知坐標平面上有 A(3, −4)、 B(3,5) 兩點，求 𝐴𝐵̅̅̅̅ 的長。

3.已知坐標平面上有 A(2,2)、 B(6,6) 兩點，求 𝐴𝐵̅̅̅̅ 的長。

還是不太懂，

請看下面影片 平面上兩點的距離

https://www.youtube.com/

watch?v=qqEiJfBzF4g