1. (10 分) 解微分方程

微乙小考四 (2017/5/11)

1. (10 分) 解微分方程



 

 

y

= − 3 t y + e

t

y(1) = 2

.

sol:

y

+ 3 t y = e

t

Integrating factor: e

R ₃

tdt

= e

= t

, t > 0 Therefore,

t

y

+ 3t

y = te

 t

y 

= te

Z 

t

y 

dt =

Z te

dt t

y = (t − 1)e

+ c

∵ y(1) = 2 ⇒ c = 2

∴ y(t) = (t − 1)e

+ 2 t

2. (10 分) 設 某 一 地 區 人 口 數 之 函 數 為 P (t)， 且 人 口 數 之 變 化 滿 足 dP (t)

dt = λP (t) − b ， 其 中







λ = 1%

b = 300000

。若 2015 年時，人口數有 P (0) = 23000000，問於 2035 年時，人口數 P (20) 為何?

sol:

dP

dt = λP − b dP

dt − λP = −b Integrating factor: e

= e

Therefore,

e

dP

dt − λe

P = −be



e

P 

= −be

e

P = b

λ e

+ c P (t) = b

λ + ce

∵ P (0) = 2.3 × 10

⇒ c = −0.7 × 10

∴ P (20) = (3 − 0.7e

) × 10

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