習題演習
偏微分方程式
習題演習：偏微分方程式
一階非線性偏微分方程式
【習題 1】
Solve the partial differential equation z z 1
x y z
x y
∂ ∂
+ = −
∂ ∂ .
【參考解答】通解為 y z, 1 0 x x φ⎛⎜⎝ − ⎞ =⎟⎠
常係數 階齊次偏微分方程式 n
【習題 1】
Solve the partial differential equation
2 2 2
2 3 2 2 x y
z z z
x x y y e
∂ − ∂ + ∂ = +
∂ ∂ ∂ ∂ .
1( ) 2( 2 ) y x
z=φ y+x +φ y+ x −xe +
【參考解答】
【習題 3】
求
2 2
3 2
2
z z x
e x
x x y
∂ − ∂ = +
∂ ∂ ∂ y 之通解。
( ) ( )
【參考解答】 1 2 1 3 1 4 1 5
9 12 60
z=φ y +φ y+x + e x+ x y+ x
( ) ( )
二階線性偏微分方程式
【習題 1】
求uxy =ex+cosy之解。
【參考解答】 x sin 1 2 , d 1( ) ( )
u e y x y x y x x
φ φ dxφ ϕ
= + + + = 其中φ1( )x 及φ2( )y 為
任意可微分函數
【習題 2】
解uyy −2xuy+x u2 =(x−2)2e3x+2y。
( ) ( ) 3 2
1 2
xy xy x y
u=e φ x +xe φ x +e +
【參考解答】
【習題 3】
請寫出偏微分方程
2 2
2 2 0
u u
x x y
∂ + ∂ =
∂ ∂ 的特徵方程式。並請指出此方程式是屬於哪一
種類型(例如拋物型，等等)。請分x>0和x< 兩種情況討論。【93 中央土研所結0 構組大地組】
【參考解答】(1)特徵方程式為
2
dy 0 dx x
⎛ ⎞ + =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ x>0 ⇒ B2−4AC<0 0
x< ⇒B2−4AC>0
, (2) 時 ，屬橢
圓形， 時 ，屬雙曲線型。
直角坐標的拉普拉斯方程式
【習題 1】
請 利 用 分 離 變 數 法 求 得 下 列 問 題 之 steady-state solution ， u ： 控 制 方 程 式
2 2
2 2 0
u u
x y
∂ +∂ =
∂ ∂ ，x>0，t>0。【91 交大土研所結構組】
( ) ( )
【參考解答】 ( )2
1
2 1 1
, sin sin
1
n
n
x y y n x
n n
φ π
π π
∞
=
⎡ ⎤
− ⎣ − − ⎦
=
∑
⎡⎣ + ⎤⎦ 柱座標的拉普拉斯方程式
【習題 1】
Solve the following initial value problem
2 2
2 2
1 1
f f f 0
r r r r θ
∂ ∂ ∂
+ + 2 =
∂ ∂ ∂ , f 2 cos
r θ
∂ =
∂ for
2,
r= f =3cosθ as r→ ∞ for the function f r( ),θ defined in the region 2≤ < ∞r , 0≤ <θ 2π of a plane, for which ( )r,θ is the polar coordinates. 【92 台 大土研所】
( )
【參考解答】 f r, 3 cosr 4cos θ = θ +r θ
直角坐標的熱導方程式
【習題 1】
有一偏微分方程式如下所示
2 2
2
u u
t a z
∂ ∂
∂ = ∂ ，其中 0≤ ≤z 2H ， ， 為常係數。
應 用 變 數 分 離 法 及 已 知 邊 界 條 件 求 得 其 解 為 0
t≥ a
( ) 2 222
1
, sin exp
2 4
n n
n x n a t
u z t A
H H
π π
∞
=
⎛ ⎞
= ⎜− ⎟
⎝ ⎠
∑
，其中 代表指數函數。試根據初始條件，求待定係數 【92 台科大大地組(15%)】
exp
( ), 0 0
u z =u An =?
【參考解答】 n 2 0(1 cos )
A u n
n π
= π −
直角坐標的波動方程式
【習題 1】
波方程uxx+uyy =uu的解滿足以下條件
B.C.: u(0, ,y t)= , 0 u(1, ,y t)= , 0 u x( , 0,t)= , 0 u x( ,1,t)= , 0 I.C.: u x y( , , 0)=0, u x y( , , 0)=g x y( ). ,
設 為已知函數，而此解可以表示成
，請找出 和 的數學表達
式。【91 中央土研所結構組大地組(20%)】
( .
g x y)
)
( ) ( ) ( ) (
1 1
, , mnsin sin sin mn
m n
u x y t ∞ ∞ D m xπ n yπ K t
= =
=∑ ∑ Dmn Kmn
【參考解答】 mn 4 01 01 ( , )sin sin
mn
D g x y m x n ydxdy
k π π
= ∫ ∫ ，kmn = m2π2+n2π2
【習題 2】
The displacement of a semi-infinite is governed by the following partial
differential equation
( ,
u x t)
2 2
2
2 2
u u
c x t
∂ =∂
∂ ∂ , x>0, t>0, where c is a constant. With the
initial conditions u x( ), 0 = , 0 ( ), 0
u x 0 t
∂ =
∂ and the excitation f t at one end of ( )
string, that is, u( )0,t = f t( ) then, what is the solution of u x t ? 【91 成大土研所( ),
大地組材料組】
【參考解答】u x t( ), f t x , t x
c c
⎛ ⎞
= ⎜⎝ − ⎟⎠ > or 0, x t< c
波動方程式的蓋達伯特解
【習題 1】
以 D’Alembert 解
2 2
2
2 2
u u
t c x
∂ ∂
∂ = ∂ ， −∞ < < ∞ ， 0 tx ≤ < ∞ ， u x( ), 0 = f x( ) ，
( ), 0 (
u x g x)
t
∂ =
∂ 。
( )
【參考解答】 , 1 ( ) ( ) 1 ( )
2 2
x ct
u x t f x ct f x ct x ct g z dz c
+
= ⎡⎣ + + − ⎤⎦+ ∫−
