第壹章 緒 論
在國民中學九年一貫課程暫綱（民 92.5）的教學實施要點（四）中提 到「…希望教師能依學生的年齡、前置經驗、授課主題特性與教學現場的 狀況，因時制宜，採用教師本身覺得恰當或擅於處理的教學法，順暢地進 行教學」以及要點（七）中的「教學過程可透過引導、啟發或教導，使學 生…有策略地選擇正確又有效率的解題程序。教師可提供有啟發性的問 題、關鍵性的問題，激發學生不同的想法。…避免預設或過早提出解題方 式和結果。」可以知道現今台灣中等學校的數學教育，已經有著要突破傳 統講解式教學的趨勢。
再觀看歐美國家的數學課程標準，英國和威爾斯的國家數學課程修訂 版（revised National Curriculum for Mathematics in England and Wales，
1995）中強調「…要給教師更大更靈活的教學空間，用以製造機會讓學生 經驗不同的數學論點，以更多元化的教學素材讓學生學習形體與空間，以 及鼓勵學生嘗試不同的表現方式…」在美國國家數學教育學會（National Council of Teachers of Mathematics）所修訂的學校數學課程的原則與 標準（Principles and Standards for School Mathematics 2000 project）
中也提到，「…有效的數學教學必須是教師知道學生已經知道的是什麼，
學生需要學習的是什麼，然後才能給予學生適當的挑戰與支持，使學生能 得到較佳的學習。學生經由教師提供的經驗來學習數學。…教師需決定課 程活動的重點，知道如何組織和統整學生的表現，該詢問學生什麼樣的問 題，以及在不替學生思考下幫助學生…」從英，美兩國的數學課程標準可 以看出，數學教室的改變會越來越人性化，師生的關係不再硬梆梆，上課 的方式不再是老師講，學生聽，老師教，學生抄，學生對學習有更多的主 導權。在美國，英國，荷蘭，澳大利亞等國，數學教育改革遠比台灣起步 得早，在教師的教學與學生的學習上，有很多值得我們參考和反省的地方。
在研究者近二十年的教學生涯中，由於台灣的考試生態，以及研究者 經常都在教授九年級（國民中學三年級）的數學課程，上數學課的方式絕 大部分採取的是講解式的教學，上課的工具不外是課本，講義，考卷，粉 筆，黑板…。但是對九年一貫所倡導的「以學生為主體」，「教學的內容應 該至少讓有 80%的學生聽懂」，「學生應該更主動地參與學習」等的數學教 室教與學的精神以及歐美國家對數學教室的改良方式心嚮往之。近幾年在 參與林福來教授主持的國科會數學研究計畫當中，耳濡目染地也得到一些 教與學的心得。研究者就趁著進修的機會，經過與指導教授的討論，也參 閱了相當的文獻後，決定以最多溝通機會的「探究-發現」教學理念為基 礎作一次教學實驗，以便探討「探究-發現」教學法的優缺點以及學生在 不同於傳統講述式教學環境下的學習表現。希望學生能夠達成
C-S-03 能熟悉解題的各種歷程：蒐集、觀察、臆測、檢驗、推演、
驗證、論證等。
C-S-04 能運用解題的箇中方法：分類、歸納、演繹、推理、推論、
類比、分析、變形、一般化、特殊化、模型化、系統化、監 控等
C-S-05 能瞭解醫術學問題可有不同的解法，並嘗試不同的解法。
C-C-07 能用回應情境設想特例估計或不同角度等方式說明或反駁 解答的合理性。
C-C-08 能尊重他人解決數學問題的多元想法。
C-E-04 能評析解法的優缺點。
第一節 研究動機
在台灣九年一貫課程尚未落實之前，研究者所任教過的四所學校，全 部的數學教師都是採取傳統的講述式教學法（括研究者本身）。國內傳統 的教育型態，分數掛帥的教學…學生只能反覆練習（郭香妙，2002）。而 課程的傳授亦多偏重於事實性及程序性的背誦與記憶…多偏重教師單向 的講授概念…即使有所謂的雙向「問答活動」，也泰半由教師自導自演…
教師與學生真的溝通有限，同班同學之間的溝通更乏善可陳（鄭志成，
2001）。講述式教學是目前教育界教師們最常使用的教學方式，老師是整 個學習課程中的主要人物，教師負責單向的講述、傳授知識給學生，而學 生的責任似乎是專心聆聽、抄筆記、盡力的全盤吸收；教師教什麼，學生 就學什麼，學習者缺乏主動求知的動力（林文惠，2001）。再根據調查結 果，發現我國的中學生普遍對數學有畏懼感，興趣不高，甚或討厭、排斥
（戴寶蓮，1991）。在英國也有類似的情形，Steward 和 Pell（2004）也提 出在英國對國中學生的調查結果顯示：國中生對數學的興趣遞減；學生對 團體學習持正面的態度。
近兩年政府推行九年一貫課程，教材中新增了一些學生的學習活動，
教師在現成的教材教具下，雖然也在上數學課時帶著學生做一些數學活 動，但是整體上還是教師在教授知識，學生對新知識的習得還是處於被動 的地位。雖然研究者在日常的教學過程中，經常鼓勵學生們提出問題或是 提出不同的看法，但是一來時間有限，二來雖然鼓勵，學生們仍然覺得在 同學面前提出問題會有壓力。所以不知不覺地又以講述式教學為主。盧梭
（引自杜威，1972?）：「…要避免去教那種把現成公式重述一遍的冒牌學 問，而用一種緩緩進行以求自行發現的真正學程去代替他」。研究者一直 在思考，是不是可以在現行的教學目標，教材的限制以及升學壓力下，我 們在台灣的學生是不是也有機會嘗試不同的學習方式，鼓勵學生從被動的 學習到主動的參與？至於教學素材的選取，七、八年級的數學課程內容 中，研究者認為「商高定理」最為合適。原因是：
一､蕭文強（1998）指出， 「商高定理」是中國古代幾何的基石，如果 要選擇一條數學定理，在東西方數學文化都曾出現，具備深刻的數學 內容，歷久彌新，「商高定理」是當然首選了（引自許淑清，2003）。 在現今各國的中等學校數學課程中，「商高定理」都是必修而且是重點 單元。「商高定理」具有歷史意義，兼具代數和幾何的學習，更可堆廣 至推理與論證，學習內容可說是相當的豐富。
二、在台灣國民中學的數學課程中，「商高定理」單元被安排在八年級下 學期。學生們經過三個學期的國民中學數學養成教育，已學得基本的 數學工具，對數學也有了一些感覺，也具備著基本的數學運算推理能 力。再則，在國民中學的數學課程中，要到第五個學期，學生才有機 會在幾何課程中接觸到論證活動。正因為如此，研究者更希望利用「商 高定理」來給學生體驗論證的機會。
三、據研究者的調查，在國內國中數學教師對「商高定理」的教學，在九 年一貫課程實施之前，有一半以上的教師直接將定理告訴學生或是舉 幾個商高數字例，讓學生「看到」數字的關係，待學生知道且熟悉「商 高定理」的代數式，進而應用定理。這種比較傳統的教學法的最大優 點是：教學所需的時間很經濟，學生可以在很短的時間內將商高定理 的公式記憶起來。但是學生對定理的記憶僅祇有公式而已。
根據以上的條件，研究者就選擇「商高定理」作為教學實驗的教學素 材，希望藉助「商高定理」的豐富內容，引發學生多樣化的學習反應。
九年一貫課程實施後，由於教材大都附有學生學習活動的材料，所以 已經有大部分的教師會從直角三角形三邊所形成的正方形面積的關係開 始介紹定理。在美國，程度中等以下的學生，只要認識定理就達到學習目 的；只有程度很好的學生，教師才會讓學生嘗試面積和的關係之後再介紹 定理（Harel，2005）。在德國，教師們會用不同的方法，像是用實際生活 上的面積問題，或是用數學上直角三角形三邊關係開始，讓學生看到關係 後，再告訴學生定理，有的教師會加以證明（Heinze，2005）。在南非，
少數中學教師會讓學生操作電腦以得到商高定理的代數關係，少數教師會 從幾何方式介紹定理，或讓學生作面積的操作，但是大部分教師只會告訴 學生商高定理的代數結果，讓學生加以應用，只有到高中，才有部分的學 生學到定理的證明。（Villiers，2005）。在法國，教師大部分都是直接給 予商高定理的證明圖形，引導學生得到定理的結果，接著用比較多的時間
做定理的應用練習。（Duval，2005）
雖然中外有相當數量的教師都使用相似的方法介紹商高定理，也有少 數熟悉電腦軟體操作的教師，在教學中運用了如 GSP 等動態幾何教學軟 體，以視覺化的刺激來幫助學生對商高定理的幾何證明作更多的涉獵（包 括研究者在內）。但是，無論以上述何種方式教學商高定理，由於活動以 及教師能力的限制，學習者通常僅只限於被動地接受定理，並沒有太多機 會參與發現定理的樂趣。Polya（1962）認為：教師應在設計好的學習環 境中讓學生們自己去發現，由學生主動得到自發性的構想，教師應該只是 一位串場者而已。Sarah B（2001）的研究顯示當學生用互動學習來學習 數學時，學生會經驗到高度的主控權。以不同的途徑表達數學概念以及增 加學習者與同儕的數學討論機會。由於這一些原因，學生的學習比在一般 數學教室裡表現出更大的學習興趣。所以，研究者思考，是否可以借用商 高定理的教學，設計教學活動，經由教師適當地介入與引導，從不同的方 向讓學習者經驗商高定理的發現與探討？在定理的獲得以及論證活動 中，經由教師適當的引導，學習者可不可以有更多的參與，更多的主導權？
於是請教指導教授，參考若干文獻，決定本研究的研究方向與內容。
第二節 研究目的
本研究是一個探究性的教學實驗，研究者為了要嘗試以「探究-發現」
為基礎理念的教學法而做的教學實驗，主要目的在觀察八年級學生在以
「探究-發現」為基礎理念的學習法的教學實驗中，學生的商高定理學習 表現跟平常會不會有所不同? 在小組的討論學習下，學生們會有哪些異於 單獨學習時的學習狀況?學生是否更主動地參與學習？學生是否有較多的 機會表達自己不同的想法？教師的引導與介入恰不恰當？時機合不合 適？
本研究除了對「探究-發現」教學法作探討之外，由於研究者選取商
高定理做為教學素材，在作相當的文獻探討之後，發現義大利數學教育家 Boero（1999）曾對數學家和學生在數學定理的發現以及論證活動的歷程 有著相當完整的分析。所以研究者又在思考，商高定理既然如此的重要，
有沒有可能讓學生在教師的引導下自己發現定理，並且自行說明或證明 它？研究者認為，這是一個非常大膽的想法，因為在國內的數學教室中，
中學生都是學習數學定理，而不被鼓勵發現定理。尤其是八年級學生還沒 有接受過數學論證的訓練，學生的論證表現應該會很有趣。所以研究者決 定以突破傳統的方式，頂著升學，進度的壓力，勇敢的作這一次的教學實 驗，希望能夠從這一次的教學實驗中，分析出「探究-發現」教學法在商 高定理這一個主題上的教學成效，以供研究者往後的教學參考以及施行後 續教學的可能性，當然也希望能經由本教學實驗的結果，能夠為台灣的中 學數學教育帶來一些靈感。所以本研究的主要研究目的就是探討在台灣的 學習現況下，利用「探究-發現」教學法，台灣國中生對「商高定理」的 學習表現以及「探究-發現」教學法對教師的影響。
第三節 研究問題
由於在台灣，「探究-發現」教學法並沒有被大部分的教師們所採用，
而研究者在本次教學實驗後，發現「探究-發現」教學法對學生在數學的 學習有相當大的幫助，所以研究者在研究問題的探討上都加深了廣度和深 度，希望藉由對研究問題的釐清，能夠將本研究的結果比較清楚地呈現出 來，以供其他有興趣的教師或研究者作參考。研究者擬就下列問題進行探 討：
1. 對八年級學生而言，以「探究-發現」教學法學習「商高定理」的發現 以及產生的成效為何？
2. 經由本教學法學習「商高定理」的學生的圖形變換，推理表現為何？
3. 經由本教學法學習「商高定理」的學生的邏輯推論表現為何？
4. 經由本教學法學習「商高定理」的學生的演繹推理表現為何？
5. 研究者受本教學法的影響與衝擊為何？
6. 施行「探究-發現」教學法的優缺點為何？可行性為何？與傳統講述式 教學法的差別為何？
第四節 名詞界定
1. （傳統）講述式教學法
本研究中所稱的講述式教學法是指教師主要以講授法教學，學生 坐在傳統教室的個人位置上，主要以聆聽教師的方式為學習活動主 軸，搭配以筆和筆記本。教師的教學輔助工具主要是以粉筆和黑板為 主。
2. 「探究-發現」式教學法
本研究中的「探究-發現」式教學法（Inquiry-Discovery base Teaching and Learning）是指在課堂中，教師對學生的學習主題不作 講述式的教學，取代以拋出不同的問題，引發學生的思考，探討，詢 問，再由學生主動或是被指定的學生在全體師生面前發表討論心得。
沒有標準答案，心得的表現端看學生的程度而得。
3. 圖形變換能力
本研究中的學生圖形變換能力是指學生對圖形的主動操弄，平 移，鏡射，旋轉，截補等能力。
4. 圖形推理能力
本研究中的學生圖形推理能力是指學生經由對幾何圖形作操弄 性以及演繹性的理解而表現出的推論，說明，演繹等能力。
5. 學生邏輯推論能力
本研究中的學生邏輯推理能力指的是學生在學習過程中所表現 出的邏輯推論，由於學生們還沒有學過邏輯單元，所以並不用邏 輯符號作表徵。
邏輯的直接推論：
（i）若 A B ，B C 則 A C （ii）若 A B 且 A 則 B
邏輯的間接推論：
（iii）若 A B ，則非 B 非 A （iv）若 A B 且非 B 則非 A
