2. 銳角三角函數的值域

(1)

1-11-1 　　直角三角形的邊角關係　　直角三角形的邊角關係

1. 三角函數的定義

^(P2)

4. 30° 的三角函數值

^(P5)

5. 60° 的三角函數

^(P6)

6. 15° 的三角函數值

^(P7-P9)

2. 銳角三角函數的值域

^(P3)

3. 45° 的三角函數值

^(P4)

(2)

;

sin cos tan





正弦函數餘弦函數正切函數

對邊斜邊鄰邊

斜邊對邊鄰邊

1. 三角函數的定義考慮一個直角三角形 ABC ，∠ C 是直角

，

∠ A ＝ θ，則角 θ 的三個三角函數為

Touch me

(3)

;

0 sin 1 0 co

sin

c s 1

0<tan os

tan



 

 

對邊斜邊鄰邊

斜邊對邊鄰邊

2. 銳角三角函數的值域

在直角三角形中，斜邊最大，也就是斜邊 > 對邊，

斜邊 > 鄰邊，角 θ 的三個三角函數的值域為

Touch me

(4)

1 2

2 ; 2

1 2

2 ; 2

1 1 1

sin 45 cos45

tan 45

 

o

3. 45° 的三角函數值

Touch me

(5)

1

; 2

3 ; 2

1 3

3 3

sin30 cos30 tan30



 

o

4. 30° 的三角函數值

Touch me Touch me

Touch me

(6)

3

3 ; 2

1

; 2

3 = 1

sin60 cos60 tan60



o

5. 60° 的三角函數值

Touch me Touch me

Touch me

(7)

6. 15° 的三角函數值 ^如下圖 ΔABC 是內角為 30°

^3-1

， 60° ， 90° 的直角

三角形，我們利用此圖，求 15° 的三角函數值

。 1.

.

2. 1, ,

15 2 3

2 3

AC D AD AB ABD D

BC AD AB AC

CD AD AC



 

延延延延延 ,延延延延延,延延

延延延延延延

延延延延延

等腰

＋

Touch me

按小圖出現大圖再按小圖 Touch me

Touch me Touch me

Touch me

(8)

5. 15° 的三角函數值

^3-2

2

2 2 2

( )

2 2

3) 1 3 3 )

2 3 ) 6 2

6 2 3)

6

( )

3. .

4. 5. 6 2 ,

2

2 8 4 2 1

1

BD

CD

CD BC



  

 

 



利用商高定理得＝

＝＝

可得＝＝

若每邊都乘

＝

見則＝

(＋(

(

下左圖

(

見

＝

) 2(

下右圖

＋

按小圖出現大圖再按小圖 Touch me

Touch me Touch me Touch me

Touch me Touch me

(9)

3

6 2

; 4

6 2

; 4

1 =2

2 3

sin15 cos15

tan15 ^

 

 

o

5. 15° 的三角函數值

^3-3

Touch me Touch me

Touch me

(10)

1. 廣義角的三角函數定義

(P2)

6. 負角關係式

^(P6)

2. 特殊角的三角函數值

^(P3)

5. 補角關係式

^(P5)

7. 餘角關係式

^(P7-P8)

3. 商數關係

^(P4)

4. 平方關係式

(P4)

8. 直角坐標與極坐標的轉換

^(P9)

(11)

1. 廣義角的三角函數定義

x y

O

P （ x, y ） r θ

; ;

( 0)

sin cos

tan

y r x r y x x









將角 θ的頂點擺在坐標平面的原點，而角的始邊在 x 軸的 正向上，再角的終邊上異於原點 O 的任意位置取一點 P

，若

0

OP r

 

且點 P 的坐標是 ( x,y)

，則

(12)

2. 特殊角的三角函數值

sinθ cosθ

tanθ

0⁰

0 1 0

增減性

遞增遞減遞增

90⁰

1 0

不存在

增減性

遞減遞減遞增

180⁰

0

－

1 0

增減性

遞減遞增遞增

270⁰

－

1 0

不存在

增減性

遞增遞增遞增

360⁰

0 1 0

注意事項 :

在空格上按滑鼠左鍵，可顯示相對應的函數值或遞增、遞減。

(13)

   



 









＝ si n ，＝

si n

t an tan cos

cos

3. 商數關係

Touch me Touch me

    

2 2

si n cos 1.

4. 平方關係式

Touch me

(14)

sin (180⁰

－ θ) ＝

sinθcos (180⁰

－ θ) ＝

－ _cosθ

tan (180⁰

－ θ) ＝

－ tanθ

5. 補角關係式

輔助圖形

y

O

θ

Q(cos (180⁰-θ), sin(180⁰-θ) ）

180⁰-θ

P （ cosθ, sinθ ）

T(1,0)

注意事項 :

θ 在不同象限的情形，可得到同樣的結論。

(15)

x y

O

R （ cos(-θ), sin(-θ) ） P （ cosθ, sinθ ）

θ

-θ

sin (

－ θ) ＝

－ _sinθ

cos (

－ θ) ＝

cosθtan (

－ θ) ＝

－ _tanθ ^T(1,0)

6. 負角關係式

輔助圖形

注意事項 :

(16)

sin (90⁰

－ θ) ＝

_cosθ

cos (90⁰

－ θ) ＝

sinθ

7. 餘角關係式之一

輔助圖形

x y

O

Q （ sinθ , cosθ ） P （ cosθ, sinθ ）

90⁰-θ 45⁰-θ θ-45⁰ θ

L ： y=x

T(1,0)

R(1,1) Touch me

Touch me

注意事項 :

(17)

sin (90⁰

－ θ) ＝

_cosθ

cos (⁹⁰⁰

－ θ) ＝

sinθ

7. 餘角關係式之二

輔助圖形

x O

Q （ sinθ , cosθ ）

P （ cosθ, sinθ ）

90⁰-θ

45⁰-θ

θ-45⁰ θ

L ： y=xR(1,1)

Touch me Touch me

(18)

⑴ 若 P 點的極坐標為 [ r ， θ ]﹐

則直角坐標為（ x ， y ） = （ r cos θ ， r sin θ ）

⑵ 若 P 點不是原點且直角坐標為

（ x ， y ） ﹐

則極坐標為 [ r ， θ ]﹐

2 2 cos x sin y

x y

r r

  r

 



.

＝，＝，＝

其中 ^{Touch me} ^Touch_me ^Touch_me

(19)

2. 正弦定理

^、

餘弦定理

(P2)

1. 三角形面積公式

^(P1)

(20)

1. (1)

(2)

(3)

1 sin 1 sin 1 sin

2 2 2

( )( )( )

4

ab C bc A ac B

s s a s b s c rs abc

R

 

  



面積公式：

: 2

a b c

s

 

r R

＝，表內切圓的半徑，表外接圓

注意事項的半徑。

Touch me （海龍公式）

Touch me(r) Touch me(R)

Touch me （邊角關係）

(21)

2 2

2

2 2 2

1.

2.

sin sin sin 2

2 cos

a b c R

A B C

b c bc

a c a

a A

b c B

b C

a ab

c

  

  

正弦定理：

餘弦定理：

:

ABC AB c AC b BC a R

V 中，＝，＝，＝，表外接圓注意事項

的半徑。

Touch me

Touch me Touch me

Touch me

(22)

1. 和角公式 ( 正弦、餘弦 )

(P2)

2. 和角公式 ( 正切、餘切 )

(P3)

3. 兩倍角公式

^(P4)

4. 三倍角公式

(P5)

5. 半角公式

^(P6)

(23)

(1)sin( ) (2)sin( ) (3)cos( ) (4)cos( )

sin cos cos sin

cos cos sin sin sin cos cos sin

cos cos sin sin

 

  

   





 





 



 

 

 

 







1. 正弦、餘弦函數的和角公式與差角公式

Touch me

(24)

(5) tan( ) (6) tan( )

tan

tan tan 1 tan

tan 1 tan

tan

 

tan

 





 

 

 





Touch me

2. 正切的和角公式與差角公式

Touch me

其中 tan α tan β tan﹐ ﹐ （ α ＋ β ）﹐ tan （ α － β ）均有意義

(25)

2

2 2

2

2 2 2

cos 2

(1) (2)

(3) tan 2

sin 2

2t

1 ta 2sin cos an

1 tan

2tan 1 ta

n 1 an n

1 2sin t

cos sin 2cos 1



  



 



 

  

 









 

3. 兩倍角公式

表成 tanθ

表成 tanθ 表成 sinθ,cosθ

表成 sinθ,cosθ 表成 cosθ

表成 sinθ

，（其中 tan θ tan 2 θ ﹐ 均有意義）

(26)

3

cos3 3

(1)sin3 (2)

( : )

4cos

3sin 4sin

3cos



 





台語元三＝四元三減三元

4. 三倍角公式

Touch me

(27)

1 cos cos

( 1 cos

si

1) n

2 2

1 cos tan

2 1 cos

2 2

(2) (3)



 



 



  

  



Touch me

5. 半角公式 :

2

 

此處的視所在象限而定

Touch me

2. 銳角三角函數的值域

1. 三角函數的定義

4. 30° 的三角函數值

5. 60° 的三角函數

6. 15° 的三角函數值