自我評量
AAA 相似性質與 AA 相似性質 AAA 相似性質與 AA 相似性質
SAS 相似性質 SAS 相似性質
SSS 相似性質
SSS 相似性質
在上一節中，我們檢查兩個多邊形是
否為相似形時，「對應角都相等 」與「對應邊
都成比例」這兩組條件是不可省略的。但是在
上一冊討論三角形全等性質時，如： ASA 、 A
AS 、 SAS 、 SSS 、 RHS 等，都是在邊與角的
六個條件中，只要確定其中三個條件相等就可
以了。當我們探討兩個三角形相似時，是否也
有同樣的簡易判別方法呢？
如圖 1-16 ，△ ABC 與△ DEF 中，∠ A ＝∠
D ，
∠B ＝∠ E ，∠ C ＝∠ F ，且 ＜ ，
＜ ， ＜ 。
圖 1-16
AB DE AC
DF BC EF
我們將其中一組相等的對應角∠ A 與∠ D 疊合
，
如圖 1-17 ，使得 與對應邊 重疊，
與
對應邊 重疊，則 B 點落在 上， C 點落在 上，因為∠ B
＝∠ E ，所以 // （同位 角相等）。由「平行線截比例線
段性質」可知： ： ＝
： ---
AB DE AC
DF DE
DF
BC EF
AB DE AC DF
圖 1-17
同理，仿前面的方式將∠ B 、∠ E 疊合，如圖 1-18 ，可推得 // ，故 ： ＝
： 。 ---
AC DF AB DE BC EF
由式、式可知 ： ＝ ： ＝ ： ，即對應 邊成比例。
AC DF AB DE
BC EF
圖 1-18
綜合前頁的討論可知：如圖 1-19 ，在
△ ABC 與
△DEF 中，若∠ A ＝∠ D ，∠ B ＝∠ E ，∠ C ＝
∠ F ，
可推得 ： ＝ ： ＝ ： ，所以
△ABC∼△DEF 。
若兩個三角形的三組對應角相等，則這兩個三 角形相似，這個性質稱為 AAA 相似性質 。
AB DE AC DF BC EF
因此，
圖 1-19
1 AA 相似性質
如圖，△ ABC 與△ A'B'C' 中，∠ A ＝∠ A' ，∠ B
＝∠ B' ，試證△ ABC∼
△A'B'C' 。
證明證明
△ABC 與△ A'B'C' 中，
∵∠A ＝∠ A' ，∠ B ＝∠ B' ，
∴∠C ＝ 180° －∠ A －∠ B
＝ 180° －∠ A' －∠
B' ＝∠ C'
故△ ABC∼△A'B'C' （ AAA 相 似）
搭配習作 P9 基礎題 1
由例題 1 可知：
若兩個三角形其中兩組對應角相等，則這兩個
三角形相似，這個性質稱為 AA 相似性質 。
如右圖，△ ABC 中， // ，△ A BC 與△ APQ 是否相似？為什麼？
PQ BC
∵ //
∴∠B ∠ ＝ APQ ∠ ， C ∠ ＝ AQP 故 ABC∼△APQ （ AA 相 △
似）
PQ BC
由隨堂練習可知：若有一直線與三角形 的兩邊相交，且平行於此三角形的第三邊，則截出 的小三角形與原三角形相似。
因此，
△ABC 中， P 、 Q 兩點分別在 、
上，且 // ，則 ： ＝
： ＝ 圖 1-20 ： 。 AB
AC PQ BC AP AB
AQ AC PQ BC
2 相似形的應用
如圖，△ ABC 中， //
，且
＝ 12 ， ＝ 4 ，
＝ 15 ，試 求 。
EF BC AE EB BC
EF
搭配習作 P9 基礎題 2 ／ P10 基礎題 3
解 解 在△ ABC 中，
∵ //
∴ ： ＝ ： 12 ：（ 12 ＋ 4 ） ＝
： 15
＝
EF BC
AE AB EF BC EF EF 45 4
16 15 12
也可以看成△
AEF∼△ABC
。
1. 如圖， // ， 與 交於
A 點，且 ＝ 18 ，
＝ 27 ，
＝ 8 ，試求 。
EF BC EC BF EF BC
AE AC
∵ //
∴∠F ＝∠ B ，∠ E ＝∠ C ， 故△ AEF∼△ACB （ AA 相似）
： ＝ ： 8 ： ＝ 18 ： 27
＝ 12 EF BC
AE AC EF BC AC
AC
解 解
2. 如圖，△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ， 於 E 點，回答下列問題：
(1)△ABC 與△ DBE 是否相似？為什麼？
AB DE
(1) 在△ ABC 與△ DBE 中 ∵∠B ＝∠ B ，
∠ACB ＝∠ DEB ＝ 90° ，
∴△ABC∼△DBE （ AA 相似）
解 解
2. 如圖，△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ， 於 E 點，回答下列問題：
(2) 若 ＝ 1 ， ＝ 2 ， ＝ 3 ，試求 。
AB DE
CD BE BD AE
(2) ∵△ABC∼△DBE
∴ ： ＝ ：
3 ：（ ＋ 2 ）＝ 2 ：（ 3 ＋ 1 ） ＝ 4
BD AB BE BC AE
AE
解 解
如下圖，△ ABC 與△ DEF 中，∠ A ＝∠ D ， ：
＝ ： ，且 ＜ ， 將∠ A 與∠ D 疊合
，回答下列問題：
AB
DE AC DF AB DE
(1) 為什麼 // ？
(2)△ABC 與△ DEF 是否相似？為什麼？
BC EF
∵ ： ＝ ：
∴ //
AB DE AC DF BC EF
∵ //
∴∠ABC ＝∠ DEF 又∠ A ＝∠ D
∴△ABC∼△DEF （ AA 相 似）
BC EF
由上面的問題探索可知： 在△ ABC 與
△ DEF 中，若∠ A ＝∠ D ， ：
＝ ： ，可推得∠ ABC ＝∠ DEF ，此 時△ ABC∼△DEF (AA 相似 )
。
因此， 若兩個三角形有一組對應角相等，且夾此等 角的兩組對應邊成比例，則這兩個三角形就 相似，這個性質稱為 SAS 相似性質 。
AB DE AC DF
3 SAS 相似性質的應用
如圖，△ ABC 與△ DEF 中，∠ A ＝∠ D ＝ 1 00° ，
＝ 2.4 ， ＝ 1.2 ， ＝ 4
， ＝ 2 ，則
△ABC 與△ DEF 是否相似？為什麼？
AB AC DE DF
搭配習作 P10 基礎題 4
解 解 ∵ ： ＝ 2.4 ： 4 ＝ 3 ： 5 ： ＝ 1.2 ： 2 ＝ 3 ： 5
∴ ： ＝ ：
＝ 3 ： 5
在△ ABC 與△ DEF 中，
∵∠A ＝∠ D ＝ 100° ， ： ＝ ： ，
∴△ABC∼△DEF （ SAS 相似）。
AB DE AC DF
AB DE AC DF
AB DE AC DF
在△ ABC 與△ DEF 中，∠ A ＝∠ D ＝ 37° ， ＝ 6 ， ＝ 5 ， ＝ 1.5 ，
＝ 1.25 ，則△ ABC 與△ DEF 是否相似？為什 麼？
AB AC DE DF
∵ ： ＝ 6 ： 1.5 ＝ 4 ： 1
： ＝ 5 ： 1.25 ＝ 4
： 1
∴ ： ＝ ：
＝ 4 ： 1
在△ ABC 與△ DEF 中
∵∠A ＝∠ D ， ： ＝
：
∴△ABC∼△DEF （ SAS 相似）
AB DE AC DF
AB DE AC DF
AB DE AC DF
4 SAS 相似性質的應用
如右圖，△ ABC 中， ＝ 3
，
＝ 5 ， ＝ 4 ， ＝ 2
，回答下列問題：
(1)△ABC 與△ AFE 是否相似？
為什麼？
(2) 若 ＝ 3.3 ，試求
。
AE EB AF FC
EF BC
搭配習作 P11 基礎題 5
解解
(1) ∵ △ABC 與△ AFE 有相同的∠ A ，
且 ： ＝ 3 ：（ 4 ＋ 2 ）
＝ 3 ： 6 ＝ 1 ： 2
： ＝ 4 ：（ 3 ＋ 5 ）＝ 4 ： 8 ＝ 1 ： 2
∴ ： ＝ ：
＝ 1 ： 2
故△ ABC∼△AFE （ SAS 相似）。
AE AC AF AB
AE AC AF AB
(1)△ABC 與△ AFE 是否相似？為什麼？
解解
(2) ∵ △ABC∼△AFE ， ∴
＝ 2 ＝ 6.6 1 2
AC AE BC EF
BC EF
(2) 若 ＝ 3.3 ，試求 。 EF BC
如右圖， 與 交於 A 點，且
＝ 10 ，
＝ ＝ 20 ， ＝ 40 ， ＝ 2 5.6 ，試求
EC BF AB AC
AE AF EF BC
∵ ： ＝ 10 ： 20 ＝ 1 ： 2 ： ＝ 20 ： 40 ＝ 1 ： 2
∴ ： ＝ ： ＝ 1
： 2
在△ ABC 與△ AEF 中
∵ ： ＝ ： ，
∠ BAC ＝∠ EAF
∴△ABC∼△AEF （ SAS 相似）
： ＝ ： ： 25.6 ＝ 1 ： 2
＝ 12.8 AB AE
AC AF
AB AE AC AF AB AE AC AF BC EF AB AE BC
BC
如下圖，△ ABC 與△ DEF 中， ＜ ，且
，回答下列問題
：
AB DE DF AC
EF BC
DE AB
(1) 如右圖，△ DEF 中，在 上取
＝ ，
過 P 點作 // ，交 於 Q 點，為什麼
△DPQ ∼ △DEF ？
DE DP AB PQ EF DF
∵ //
∴∠DPQ ＝∠ E ，∠ DQP ＝∠ F
，
故△ DPQ∼△DEF （ AA 相似）
PQ EF
(2) 由△ DPQ∼△DEF 可得 ＝
＝ ，又
＝ ＝ ， ＝ ，請說明△ ABC
△DPQ 。
DE DP
EF PQ DO DF
DE AB
EF BC
DF AC DP AB
∵ ＝
∴ ＝ ， ＝
故△ ABC △DPQ （ SSS ） DP AB
PQ BC DQ AC
(3) 由△ ABC △DPQ 得∠ A ＝∠ D ，又
，則△ ABC∼△DEF 是利用 ______ 相似性 質。
DF AC DE AB
SAS
搭配習作 P11 基礎題 6
由上面的問題探索可知：在△ ABC 與
△ DEF
中，若 ，可推得∠
A ＝∠ D ，此時
△ABC∼△DEF （ SAS 相似）。
DF AC EF BC
DE AB
因此，
若兩個三角形的三組對應邊成比例，則這兩個
三角形相似，這個性質稱為 SSS 相似性質 。
5 SSS 相似性質的應用
如右圖， ＝ 10 ， ＝ 8 ， ＝ 12 ， ＝ 15 ，
＝ 18 ，回答下列問題：
(1) 為什麼△ ABC∼△BDC ？
(2)∠D 與△ ABC 的哪個角相等？
AB AC BC
BD CD
解 解
(1) 在△ ABC 與△ BDC 中，
∵ ： ＝ 8 ： 1 2 ＝ 2 ： 3
： ＝ 1 0 ： 15 ＝ 2 ： 3
： ＝ 12
： 18 ＝ 2 ： 3
∴ ： ＝ ： ＝ ：
故△ ABC ∼△BDC （ SSS 相似）
(2) ∵△ABC ∼△BDC ∴∠D ＝∠ ABC
可以看成：
AC BC AB BD BC CD
AC BC AB BD BC CD
試勾選出與△ ABC 相似的三角形。
(1) □ (2) □ (3) □
6 三角形兩邊中點連線性質 如右圖，△ ABC 中， D 、
E
分別為 、 的 中點，
試說明 // ，且 ＝
。
AB AC
DE BC DE
1 2 BC
證明 證明 (1) 在△ ABC 中，
∵D 、 E 分別為 、 的中點
∴ ： ＝
： ＝ 1 ： 1 故
∴ ： ＝
：
AB AC AD BD AE CE
// BC DE
AD AB DE BC
(2)∵△ADE∼△ABC （ AA 相似）
，
＝ ， 且 ： ＝ ： ∴ ＝
AD 1 2 AB
AD AB DE BC
DE 1 2 BC
由例題 6 可知：
三角形的兩邊中點連線必平行於第三邊，且為
第三邊長的一半，稱為三角形兩邊中點連線性
質。
如右圖，△ ABC 中， D 、 E 、 F 分
別為 、 、 的中 點，若
＝ 10 公分， ＝ 8 公分，
＝ 7 公分，
(1) 試求 ＋ 。
(2) 四邊形 DBEF 是否為平行 四邊形？
AB BC AC AB
BC AC
DE EF
(1) ＋ ＝ ＋
＝ ＋ 5 ＝ （公分）
(2)∵ // ， // ， ∴ 四邊形 DBEF 為平行四 邊形
DE EF 1 2 AC AB 1 2
7 2
17 2
DF BE BD EF
7 三角形兩邊中點連線性質的應用 如右圖，△ ABC 中， D 、 E 分
別
為 、 的中點， F
、 G 分別
為 、 的中點，若 ＝ 3
公分，試求 ＋ 。 AB AC
AD AE
DE
FG
BC
解 解 在△ ADE 中， F 、 G 分別為 、 的中點，
∴ ＝ 3 ＝
＝ 6 同理， ＝ 6 ＝ ＝ 12
＋ ＝ 6 ＋ 12 ＝ 18 （公分）
AD AE FG 1 2
DE 1 2
DE DE
DE 1 2
BC 1 2 BC BC
DE BC
如右圖，△ ABC 中， D 、 E 分別
為 、 的中點， F
、 G 分別
為 、 的中點，若 ＝ 20
，試求 。 AB AC
BD CE BC
FG
∵D 、 E 分別為 、 的中點
∴ ，且 ＝
＝ 10
∵F 、 G 分別為 、 的中點，且
∴ 為梯形 DECB 的中線
故 ＝ × （ ＋ ） ＝ × （ 10 ＋ 20 ）＝ 15
// BC DE
// BC DE
AB AC
DE 1 2 BC BD CE
FG
FG 1 2 1 2
DE BC
8 相似三角形的計算
如右圖，直角三角形 ABC 中
，
∠BAC ＝ 90° ， 於 D ，
(1) 試說明△ ABC∼△DBA 。 (2) 試說明 2 ＝ × 。
(3) 若 ＝ 4 ， ＝ 2
，試求
。
BC AD
AB BD BC AB BD
BC
解 解 (1) 在△ ABC 與△ DBA 中
∵∠BAC ＝∠ ADB ，∠ B ＝
∠ B
∴△ABC∼△DBA （ AA 相 似）
(2)∵△ABC∼△DBA
∴ ： ＝
：
即 2 ＝ × (3) 4
2 ＝ 2 ×
∴ ＝ 8
AB BD BC AB AB BD BC
BC
BC
如右圖，直角三角形 ABC 中，∠ BAC ＝ 90°
，
於 D ， (1) 試說明△ ABC∼△DAC 。
(2) 試說明 2 ＝ × 。
(3) 若 ＝ 6 ， ＝ 8 ，試求 。 BC
AD
AC DC BC
AC BC DC
(1) 在△ ABC 與△ DAC 中
∵∠BAC ＝∠ ADC ，∠ C ＝∠ C ∴△ABC∼△DAC （ AA 相似）
(2)∵△ABC∼△DAC ，∴ ： ＝ ：
即
2＝ × (3) 6
2＝ × 8
∴ ＝ 4.5
AC DC BC AC AC DC BC
DC
DC
1. 三角形的相似性質：
(1) AAA 相似性質：若兩個三角形的三組對 應角相等，則這兩個三角形相似。
(2) AA 相似性質：若兩個三角形其中兩組對
應角相等，則這兩個三角形相似。
(3) SAS 相似性質：若兩個三角形有一組對 應角相等，且夾此等角的兩組對應邊成 比例，則這兩個三角形相似。
(4) SSS 相似性質：若兩個三角形的三組對
應邊成比例，則這兩個三角形相似。
2.△ABC 中，若 ， 則 ： ＝ ： ＝ ：
圖 1-21
// BC PQ
AP AB AQ AC PQ BC
3. 三角形兩邊中點連線：
三角形的兩邊中點連線必平行於第三邊，
且為第三邊長的一半，稱為三角形兩邊中 點連線性質。
如圖 1-22 ， D 、 E 分別為
、 中點，則 //
，且 ＝ 。
圖 1-22 AB AC DE
BC DE 1 2 BC
4. 直角三角形 ABC 中，∠ BAC ＝ 90° ， 若 於 D ，
則△ ABC∼△DBA ，△ ABC∼△DAC ，
△DBA∼△DAC 。 圖 1-23 BC
AD
1-2 自我評量
