1. 右圖中哪一個圖形是以 F 為焦點﹐ L 為準線的拋物線﹖

(1)

4-1 拋物線

1. 右圖中哪一個圖形是以 F 為焦點﹐ L 為準線的拋物線﹖

(1) 

₁

(2) 

₂

(3) 

₃

(4) 

₄

﹒

因為焦點與準線的距離為正焦弦長的一半﹐

所以由圖可知₂是以 F 為焦點﹐ L 為準線的拋物線﹒

因此正確的選項為(2)﹒

2. 求下列各拋物線的方程式﹕

(1)焦點

^F

 ^{0 ,} ^ ³  ^﹐頂點

^V

 ^{0 , 0}  ^{﹒ (2)頂點}

^V

  ^{1 , 1} ^﹐準線

^{L x}

^: ^ ⁴ ^﹒

(1)因為焦點F 在頂點V 的下方﹐所以拋物線開口向下﹐

且c  ﹐如右圖所示﹒ 3

由拋物線的標準式x²4cy可得其方程式為x² 12y﹒ (2)因為頂點 V 在準線 L 的左方﹐所以拋物線開口向左﹐c 3﹐如右

圖所示﹒

因為拋物線開口向左﹐

所以由標準式



^y^k



²⁴^{c x}



^h



可得其方程式為



^y^¹



²^{ }¹²



^x^¹



﹒

第 4 章二次曲線

(2)

(1)頂點  ^{0 , 0}  ^{﹐準線平行}

^x

^{軸﹐且通過點}  ^{2 , 6}  ^﹒

(2)頂點  ^{2 , 1}  ^{﹐準線垂直}

^x

^{軸﹐正焦弦長為} ⁸ ^{﹒（有兩個解）}

(1)由頂點



0 , 0 ﹐準線平行



x 軸﹐可設拋物線的方程式為yax²﹒ 因為拋物線通過點



2 , 6 ﹐將其代入



yax²﹐解得 3

a ﹐ 2 所以拋物線的方程式為 3 ²

y2x ﹒

(2)由正焦弦長為 8 可得4c  ﹐解得8 c  ﹒又由頂點2

 

2 , 1 ﹐準線垂直x 軸﹐可知拋物線 的開口向左或向右﹒

當拋物線開口向左時﹐c  ﹐方程式為2



^y^¹



²^{ }⁸



^x^²



^﹔

當拋物線開口向右時﹐c ﹐方程式為2



^y^¹



²^⁸



^x^²



^﹒

4. 下列哪個拋物線的焦距最大﹖其中焦距表示焦點和頂點的距離﹒

(1) y  x

²

(2) y  4 x

²

(3) y  16 x

²

(4) 4x  y

²

(5) 16x  y

²

﹒

將各選項的方程式改成標準式﹕

(1) 1 ²

4    4 y x ﹒ (2) 1 ²

416 y x ﹒ (3) 1 ²

464 y x ﹒ (4)^{4 1 x}

 

^^y²^﹒

(5)^{4 4x}

 

^^y²^﹒

可知各拋物線的焦距分別為(1)1

4 (2) 1

16 (3) 1

64 (4) 1 (5) 4 ﹐ 故正確的選項為(5)﹒

5. (1)求拋物線  ^x ^ ¹ 

²

^ ⁴  ^y ^ ²  ^{的準線與焦點﹒}

(2)求拋物線 x  4 y

²

 8 y  的頂點與對稱軸﹒ 1

(1)將方程式



^x^¹



²^⁴



^y^²



^依



^x^^h



²^⁴^{c y}



^^k



改寫成



^x 

 

¹



²  ^{4 1}



^y²



﹐ 得拋物線的頂點為^V



^{1, 2}



﹐ 1

c ﹐且其圖形開口向上﹐如右圖所示﹒

故拋物線的焦點為^F



^^1,3



^﹐準線為^{L y}^: ^{ ﹒}¹

(2)將x4y²8y 配方可得1 ^x^{ }³ ⁴



^y^¹



²^，

改寫成



¹



² ⁴ ¹



³



y  16 x ﹐得拋物線的頂點為^V



^{  ﹐對}^{3, 1}



稱軸為y  ，如右圖所示﹒ 1

(3)

6. 求對稱軸為

x

 1 ﹐且通過點  ^{2 , 2}  ^與  ^ ^{1 , 5}  ^{的拋物線方程式﹒}

因為拋物線的對稱軸為x ﹐所以可設其方程式為1



^x^¹



²^⁴^{c y}



^^k



^﹒

將點



^{2 , 2 與}

 

^^{1 , 5}



^代入



^x^¹



²^⁴^{c y}



^^k



^﹐得

 

1 4 2 4 4 5

c k c k

  



 

 ﹐再將兩式相除﹐得1 2 4 5

k k

 

 ﹐ 解得k ﹐並得1 1

c ﹐因此拋物線的方程式為4



^x^¹



²^{  ﹒}^y ¹

7. 已知拋物線  通過點  ^{7 , 8}  ^﹐且與 ^y

²

^ ⁴ ^x 有相同的焦點與對稱軸﹐求  的方程式﹒

由y²4x可知﹕拋物線的頂點為



^{0 , 0 ﹐}



^c ﹐開口向右﹐因此其焦點為¹

 

1 , 0 ﹐對稱軸為y ﹒ 0

設 的頂點為



^h^{, 0}



^﹐則^c  ﹐且其方程式可設為¹ ^h ^y²^^{4 1}



^^h



^x^^h



^﹒

因為拋物線 通過點



7 , 8 ﹐所以將其代入方程式﹐得



⁸²^^{4 1}



^^h



⁷^^h



^﹐

整理得h²8h  ﹐並解得9 0 h 或9 h  ﹐ 1 故 的方程式為^y²^{ }³²



^x^{ 或}⁹



^y²^⁸



^x^{ ﹒}¹



8. 求對稱軸垂直 y 軸﹐且通過  ^ ^{3 , 1}  ^﹐  ^{2 , 0}  ^﹐  ^{0 ,} ^ ²  三點的拋物線方程式﹒

因為拋物線的對稱軸垂直 y 軸﹐所以可設其方程式為xay²by ﹒ c

將



^{3 , 1}



﹐



^{2 , 0 ﹐}

 

^{0 ,}²



三點代入xay²by ﹐得c 3 2 0 4 2

a b c c

a b c

   

 

   



﹐

解得a  ﹐2 b  ﹐3 c ﹐即拋物線的方程式為2 x 2y²3y ﹒ 2

(4)

9. 已知

^x

^{ } ³ 

^x

^ ¹   ^

^y

^ ¹  的圖形是一個拋物線﹐關於此拋物線選出正確的選項﹕

(1)焦點為  ^{1 , 1} ^  (2)準線為

x

 3 (3)頂點為  ^{3 , 1} ^ 

(4)對稱軸為 y   (5)正焦弦長為1﹒ 1

由方程式 ^x^{ }³



^x^¹

 

²^ ^y^¹



²可知﹕

點



x y 到直線,



x 的距離 |3 x 與點3 |



x y 到點,

 

1 , 1 的距離





^x^¹

 

²^ ^y^¹



² ^相等﹐

因此由拋物線的定義可知﹕此拋物線的焦點為



^{1 , 1}^{ ﹐準線為}



3

x ﹐如右圖所示﹒

由圖可知﹕拋物線的頂點為



^{2 , 1}^{ ﹐對稱軸為}



^y^{  ﹐}¹ ^c  ﹐正焦弦長 4¹ c  ﹒ 4 故由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(4)﹒

10. 一拋物線形拱門如右圖所示﹒

已知此拋物線以通過最高點的鉛垂線為對稱軸﹐拱門底部寬為 8 公尺﹐最高點高 4 公尺﹐求拱門寬度為 4 公尺處的高度﹒

選定拋物線的頂點為坐標平面的原點﹐軸為 y 軸﹐且讓拋物線的 開口向下﹐由此可設拋物線的方程式為yax²﹐a ﹒ 0 因為拱門底部寬為 8 公尺﹐最高點高 4 公尺﹐所以拋物線通過點



^{4 ,}⁴



﹐代入yax²﹐解得 1 a 4﹒

設^P



^{2 , 4}a 為拱門寬度為 4 公尺處的右邊端點﹐將



1 a  代入﹐4 得 P 點坐標為



^{2 , 1}^{ ﹒}



故由圖可知﹐ P 點的高度為

   

    （公尺）﹒ ¹ ⁴ ³

(5)

11. 已知 P 

^{a b}

^,  ^為拋物線 ^ ^{: y}

²

 上一點﹐且點 P 到焦點的距離為 3﹐求 ^x

a

的值﹒

由 ² 1 4 4

y   x可知拋物線開口向右﹐

其焦點為 1 4, 0

 

 

 ﹐準線為 1

x  ﹐如右圖所示﹒ 4 因為拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相等﹐

所以點 P 到準線的距離為 3 ﹐即 1 4 3

a   ﹐解得 3 24 a ﹒

12. 已知在坐標平面上﹐直線 L y :   與拋物線 x 4  : x

²

 4 y 相交於 P ﹑ Q 兩點﹐且 F 為  的焦點﹐求 PF QF  的值﹒

先在坐標平面上畫出x²4y的圖形﹐如圖所示﹒

由拋物線的定義可知﹐ PFPR﹐ QFQS﹐ 故 PF QF PRQS﹐

又因為準線為y  ﹐所以可知 1

   

1 1 2 1 1 2 2

PRQSy   y   y y  ﹒

將y  改寫成x 4 x  ﹐並代入y 4 x²4y﹐整理得y²12y16 ﹐ 0 由根與係數的關係可知﹐y₁y₂12﹐即PRQSy₁y₂ 2 14﹐ 故PFQF14﹒

1. 右圖中哪一個圖形是以 F 為焦點﹐ L 為準線的拋物線﹖