—— 二重积分

(1)

第一讲

数值积分及其应用

—— 二重积分

—— Matlab积分函数

(2)

矩形区域二重积分

 矩形区域二重积分：累次积分

( )

( , ) d d ( , ) d d

b d b d

a c f x y y x = a c f x y y x

∫ ∫ ∫ ∫

 复合梯形法

1 0

1

( , ) ( , )

( , ) d ( , )

2 2

d n

n

y j

c j

f x y f x y

f x y y h f x y

−

=

 

≈  + + 



∑



∫

1 0

1

( , ) ( , )

( , ) d ( , )

2 2

b m

j m j

j x i j

a i

f x y f x y

f x y x h f x y

−

=

 

≈  + + 



∑



∫

0,1, ...,

i = n

x , y

b a d c

h h

m n

− −

= =

(3)

矩形区域二重积分

( , ) d d

b d

a c f x y y x

∫ ∫

(

0 0 0 0

)

1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

4 h h^x ^y f x y f x yⁿ f x^m y f x^m yⁿ

≈ + + +

1 1 1 1

0 0

1 1 1 1

1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

m m n n

x y i i n j m j

i i j j

h h f x y f x y f x y f x y

− − − −

= = = =

 

+  + + + 



∑ ∑ ∑ ∑



1 1

( , )

m n

x y k i

k i

h h f x y

− −

= =

+

∑∑

在积分区域的四个角点系数为 1/4，边界为 1/2，内部节点为 1

( ) ( )

2 2

( )( )

( ) , ,

12 ^x ^y

d c b a

R f h f h f

x y

 

− − ∂ ∂

= −  ∂ ξ η + ∂ ξ η  

(4)

矩形区域二重积分

 复合抛物线法 _,

2 2

x y

b a d c

h h

m n

− −

= =

( , ) d

d

c f x y y

∫

( , ) d

b

a f x yj x

∫

1

0 2 2 2 1

1 1

( , ) ( , ) 2 ( , ) 4 ( , )

3

n n

y

n j j

j j

h f x y f x y f x y f x y

−

= =

 

≈  + + + 



∑ ∑



1

0 2 2 2 1

1 1

( , ) ( , ) 2 ( , ) 4 ( , )

3

n n

x

j m j i j i j

i i

h f x y f x y f x y f x y

−

= =

 

≈  + + + 



∑ ∑



(5)

矩形区域二重积分

2 2

,

0 0

( , ) ( , )

m n

b d

x y i j i j

a c

i j

f x y dydx h h f x y

= =

= ∑∑ ω

∫ ∫

,

i j u vi j

ω = ⋅

{ }

0 1 2

1 4 2 4 2 4 1

, , , , , , , , , ,

3 3 3 3 3 3 3 1 4 2 4 2 4 1

, , , , , , , , , ,

3 3 3 3 3 3 3

T m

T n

U u u u

V v v v

 

= =  

 

 

= =  

 

 

其中

误差： 4 4

4 4

( )( )

( ) ( , ) ( , )

180 ^x ^y

d c b a

R f h f h f

x y

 

− − ∂ ∂

= −  ∂ ξ η + ∂ ξ η  

(6)

Matlab积分函数

 Matlab 计算积分的相关函数

 数值积分函数

trapz、quad、integral、integral2

 符号积分函数： int

(7)

trapz(x, y)

x 为分割点（节点）组成的向量，

y 为被积函数在节点上的函数值组成的向量。

−

−  

≈  + + + + 

∫

a^b ^{( )} ₂⁰ ¹ ^ ⁿ ¹ ₂ⁿ

y y

f x dx b a y y

n

0 1

[ , x , ,

_n

]

x = x  x

y = [ (f x0), (f x1),, (f x_n )]

 复合梯形法

trapz

(8)

例：用梯形法计算下面定积分 ( 取 n=100 )

解： a=0, b=1, n=100, y_i = f (x_i) = 1/( 1+x_i²)

x=0:1/100:1;

y=1./(1+x.^2);

inum=trapz(x, y)

trapz 举例

1 0

1

2

I dx

= x

∫ +

(9)

quad(f,a,b,tol)

f = f(x) 为被积函数，[a,b] 为积分区间，tol 为计算精度

将自变量看成是向量！

b

( )

a

f x dx

∫

 不用自己分割积分区间

 可以指定计算精度，若不指定，缺省精度是 10^-6

 精度越高，函数运行的时间越长

 f 是函数句柄，也可用字符串表示（不推荐），

其中涉及的运算必须采用数组运算

quad

 自适应抛物线法

(10)

解： _f=

@(x) 1./(1+x.^2);

inum=quad(f, 0, 1) % 采用缺省精度

inum=quad(@(x) 1./(1+x.^2), 0, 1, 1e-10)

例：用 quad ^{计算定积分：}

quad 举例

1 0

1

2

I dx

= x

∫ +

(11)

integral(f,a,b)

integral(f,a,b,'RelTol',tol)

b

( )

a

f x dx

∫

 该函数比 quad 效率更高，且可以处理一些非正常积分

 f 必须是函数句柄，且涉及的运算必须采用数组运算

integral

 全局自适应积分法（R2012a以后版本）

f=@(x) 1./(1+x.^2);

inum=integral(f,0,1)

inum=integral(f,0,1,'RelTol',1e-10) f=@(x) exp(-x);

inum=integral(f,0,inf)

(12)

integral2(f,a,b,c,d,tol)

integral2(f,a,b,c,d,'RelTol',tol)

 f 必须是函数句柄，且涉及的运算必须采用数组运算

integral2

 计算二重积分的全局自适应积分法

( , )

d b

c a

f x y dxdy

∫ ∫

(13)

integral2

f=@(x,y) 4*x.*y+3*y.^2;

inum=integral2(f,-1,1,0,2)

2 1

2

0 1(4 3 )

I xy y dxdy

=

∫ ∫

− + 例：计算二重积分

注意积分变量与积分区间的对应关系

在前面的是第一积分变量，在后面的是第二积分变量

(14)

int

 符号积分

int(f,v,a,b) % 计算定积分

int(f,a,b) % 计算关于默认变量的定积分 int(f,v) % 计算不定积分

int(f) % 计算关于默认变量的不定积分

b

( )

a

f v dv

∫

( ) f v dv

∫

例：用 int ^{函数计算定积分：}

syms x;

f=1/(1+x^2);

inum=int(f,x,0,1)

1 0

1

2

I dx

= x

∫ +

(15)

2 2

1 ^x

d

I = ∫ e

⁻

x

x=1:0.001:2;

y=exp(x.^(-2));

inum=trapz(x,y)

 梯形法：

 抛物线法： f=@(x) exp(x.^(-2));

inum=quad(f, 1, 2, 1e-10)

 符号积分法：

syms x;

inum=int(exp(x^(-2)),x,1,2) 例：用 Matlab 函数近似计算定积分

数值实验

(16)

2 1

2

0 1

( )

I dx x y dy

= ∫ ∫

−

+

 数值积分法：

f=@(x,y) x+y.^2;

inum=integral2(f, 0, 2, -1, 1)

 符号积分法：

syms x y;

f=int(x+y^2,y,-1,1);

inum=int(f,x,0,2)

数值实验

例：用 Matlab 函数近似计算二重积分