1 簡易幾何 7

Chapte

7 簡易幾何

重點 1 ^三角形

1. 三角形內角和定理與外角和定理：

坽任意三角形的內角和為180。 夌任意三角形的一組外角和為360。

奅三角形的任一外角等於其不相鄰兩內角的和。

例如：如右圖，    1 2 3。

2. 三角形全等的判別方法：SSS、SAS、RHS、ASA、AAS。

註：SSA 和 AAA 不能作為全等性質。

3. 三線段構成三角形的條件：

任意三線段中，若最長的線段小於其他兩線段長的和，則此三線段可以構成三角形。

即若三角形三邊為^a、b、^c且a b c  ，則a b c  。 4. 在一個三角形中，坽等邊對等角，等角對等邊。

夌若兩邊不相等，則大邊對大角。

奅若兩角不相等，則大角對大邊。

5. 若是直角三角形，三邊為^a、b、c且a b c  ，則a²b²  。 c² 6. 若正三角形的邊長為^a，則正三角形的高為 3

2 a ，面積為 3 ² 4 a 。 7. 特殊三角形的關係：

坽若直角三角形的三個內角為45、45、90， 則其對應的邊長比為1：1： 2。

夌若直角三角形的三個內角為30、60、90， 則其對應的邊長比為1： 3：2。

8. 若是等腰三角形，則：

坽等腰三角形的兩個底角會相等。

夌等腰三角形的頂角平分線會垂直平分底邊。

奅等腰三角形底邊的垂直平分線會通過頂點，且平分頂角。

有一個三角形，它外角度數比為5︰6︰7，則此三角形的最大內角為 度。

三角形的外角和為360，所以外角分別為

5 5

360 360 100

5 6 7 18

    

  ， 6 6

360 360 120

5 6 7 18

    

  ，

7 7

360 360 140

5 6 7 18

    

  ，所以內角為80、60、40

所以最大內角為80

△ABC中，若C的外角  1 66 ，且   ，則 BA 2 B  為 度。

C的外角為66，所以A+ B=66 ，又   A 2 B 所以3  B 66   B 22

若正n邊形的一內角度數恰好是它外角度數的5 倍，

則ⁿ為 。

設正n邊形的內角為A ，則外角為180 A

所以A5(180 A) 6A900  A 150，外角為 360 30 = n

  所以n為12

若正n邊形的一內角度數恰好是它外角度數的3 倍，則ⁿ為 。 設正n邊形的內角為B ，則外角為180 B

所以B3(180 B) 4B540  B 135，外角為 360 45 = n

  所以n為8

1

2

已知某n邊形，它的內角度數由小到大排列恰好成等差數列，若其中最 小的內角為70°，最大的內角為 170°，則n為 。

因為最小內角為70 最大外角為110，最大內角為170 最小外角為10

外角和 (110 10 ) 2 360

   n

   ^{ n 6}

已知一個八邊形，其八個內角的度數由小到大排列恰好成等差數列，若其中最小的內角為 114°，則等差數列的公差為 。

最小內角為 114°  外角為 66°

設外角公差為d，所以外角和 [2 66 (8 1) ] 8 2 360

     d

  

所以d 6，所以內角的公差為6

三角形內分比性質：

已知：如圖，△ABC中，BAC的角平分線與 BC交於D 點。求證： AB ：AC  BD：DC。

坽由D 點分別向 AB 、AC作高 DF 、DG，則_DFDG。 △ABD 面積：△ACD面積 1

( )

2AB DF

  ： 1

( )

2AC DG AB：AC 夌由A 點向BC作高 AE ，則

△ABD 面積：△ACD面積 1

( )

2BD AE

  ： 1

( )

2CD AE BD：CD 奅由坽、夌可知： AB ：AC  BD：DC

3

4

直角△ABC中，  A 90 ，AB12，_AC9，

 的角平分線交A BC於D 點，求：

坽 BD 長為 。 夌△ABD 面積為 。

由內分點公式可知： AB ：AC BD ：_CD9：12  3：4 坽由畢氏定理可知：_{BC AB}²_AC² _15

所以 4 60

15 3 4 7 BD  

 夌 ABD ：ACD12：9  4：3

所以 ABD = 4 1 4 216 3 4 2 9 12 7 7 ABC     



重點 2 ^四邊形

1. 四邊形的內角和為360，外角和也為360。 2. 平行四邊形的性質：

坽對角相等 夌鄰角互補

奅對邊相等 妵兩條對角線互相平分

妺兩條對角線將其面積四等分 3. 長方形的性質：

坽四個內角都是直角 夌兩對角線相等且互相平分 4. 菱形的性質：

坽四個邊都相等 夌兩對角線互相垂直平分

奅兩對角線平分四個內角 妵菱形的面積  兩對角線長的乘積 2 5. 箏形的性質（又稱鳶形）：

坽兩雙鄰邊分別等長的四邊形 夌兩對角線互相垂直 奅對角線平分兩個內角

6. 正方形的性質：

坽四個邊等長且四個角都是直角。

夌兩對角線相等且互相垂直平分。

7. 梯形的性質：

坽一雙對邊平行，一雙對邊不平形。

夌梯形兩腰中點的連線段平行兩底。

奅梯形兩腰中點的連線段長 1 2(

 上底下底 ) 。 妵梯形面積 1

2(

 上底下底 )  高  梯形兩腰中點的連線段長 高。

8. 等腰梯形的性質：

坽梯形二腰長相等。

夌等腰梯形的底角相等。

奅等腰梯形的對角線相等。

9. 特殊四邊形的包含關係：

坽菱形是箏形。

夌正方形是菱形，也是長方形。

奅長方形、菱形、正方形都是平行四邊形。

如圖，ABCD為梯形， EF 為其兩腰的中點連線，

若四邊形AEFD 與四邊形EBCF的面積比為4：7，

則 AD ：BC  。

設_{AD m} ，_{BC n}

2 EF m n

 

又四邊形AEFD 與EBCF的高同為h，所以

( )

2 2 mm n h

：

( )

2 2 nm n h

 ：4：7

( )

2 m m n

 ：( )

2 n m n

  4：7 ：m ^n5：17

5

梯形ABCD中，_{AD BC//} ， EF 為梯形兩腰中點的連線段，

若_AD7cm，_EF9cm，梯形的高為 12cm，則_BC及 梯形ABCD的面積分別為  。

梯形兩腰中點的連線段長＝ 1 2(

 上底下底 ) 設_{BC a} ，則7

2 9

a   a 11，梯形ABCD的面積=(7 11) 12 2 108

  

如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，_{AD BC//} ， 若AD12，_BC18，AC17，

則四邊形ABCD的面積  。

作_AEBC，則_CE15，故_{AE 17}²_15² _8 所以四邊形ABCD的面積 (12 18) 8

2 120

 

 

梯形ABCD中，_{AD BC//} ，_ABBC，已知_AD5， 7

BC ，且△ABC的面積為14，則梯形的面積為 。 由△ABC的面積為14 1 1

2 AB BC 2 AB 7

      _AB4

所以梯形ABCD面積為(5 7) 4 2 24

  

6

重點 3 ^圓形

1. 點與圓的位置關係

點在圓內 點在圓上 點在圓外

OP r OP r OP r

2. 直線與圓的位置關係 直線與圓的

位置關係

直線L 與圓O 不相交

直線L 為圓O 的切線

直線L 為圓O 的割線

交點個數 0 1 2

圖示

直線與圓心的距離 _{OP r OP r OP r} 3. 圓的切線性質：

坽圓心與切點的連線必垂直過此切點的切線。

夌若一直線過圓上一點且垂直於過此點的半徑，則此直線為該圓的切線。

4. 圓的切線段性質：

設P 為圓O外一點， PA 、 PB 分別切圓^O於A 、 B 兩點，則：

坽 PA PB 。 夌_PO平分APB。 奅_PO垂直平分 AB 。

5. 弧的度數：圓上一弧的度數就是它所對圓心角的度數。

6. 圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形對角互補。

例如：   A C 180；   。 B D

如圖，C為圓O外一點，^_AC與_BC^為圓O的切線，

A 、 B 為切點。已知圓O半徑為 4 3 公分、

30

AOC °，則：

坽四邊形OACB的周長為 。 夌 AB 的長度為 。

坽因為AOC 30 ，所以ACO 60 4 3

OA r  ，_AC4，_OC8

所以四邊形OACB的周長為OA AC CB OB     4 4 4 3 4 3 8 8 3   夌鳶型OACB的面積為1

2AB OC  2 OAC，所以1 1

8 2 4 3 4

2AB   2  AB4 3

如圖，P 為圓O外一點，_SP^與TP為圓O的切線，S、T 為切點。

已知圓O半徑為6 公分、SPO 30 ，則_ST的長為 。 因為SPO 30 ，所以SOP 60 OS r 6，

6 3

SP ，_OP12，又鳶形面積= 1

2 OP ST 2

    OSP

所以1 1

12 2 6 3 6

2 ST   2  ST 6 3

7

四邊形ABCD為圓內接四邊形，

且  A 54 ，  D 68 ，則：

坽  。 B 夌 C 。

圓內接四邊形對角互補

180 112

B D

      

180 126

C A

      

如圖，四邊形ABCD為圓內接四邊形，且B 、C、E 三點共線，

若ABC108，BAD 93 ，則：

坽ADC 。 夌DCE 。

圓內接四邊形對角互補 坽ADC180  ABC72 夌DCE BAD 93

8