第三章 三角函數的應用

第三章 三角函數的應用

3-1 和差角公式與二倍角公式

和差角公式

1. 和差角公式

正弦 (1)sin(

α

+

β

)=sin

α

cos

β

+cos

α

sin

β

(2)sin(

α β

− )=sin

α

cos

β

−cos

α

sin

β

餘弦 (3)cos(

α

+

β

)=cos

α

cos

β

−sin

α

sin

β

(4)cos(

α β

− )=cos

α

cos

β

+sin

α

sin

β

正切 (5) tan tan

tan( )

1 tan tan

α β

α β

α β

+ = +

− (6) tan tan

tan( )

1 tan tan

α β

α β α β

− = − + 2. 15°、_75°的三角函數值

θ

函數 15° 75° 圖示說明

sin 6 2

4

− 6 2

4

+ 6 2

sin15 cos 75 4

° = − = ° 6 2

cos15 sin 75 4

° = + = °

cos 6 2

4

+ 6 2

4

−

tan 2− 3 2+ 3

tan15 1 2 3 2 3

° = = − +

tan 75 cot15 1 2 3 tan15

° = ° = = +

°

和差角公式 試求sin 67 cos 68° ° +cos 67 sin 68° °之值。

原式=sin(67° +68 )°

=sin135°=sin 45° 2

= 2

試求sin105°之值。

sin105° =sin(60° +45 )°

sin 60 cos 45 cos 60 sin 45

= ° ° + ° °

3 2 1 2

2 2 2 2

= × + ×

6 2

4

= +

參考 NO.1

和差角公式

設 3

2 2

π

<

α

<

π

<

β

<

π

，且 4 sin

α

= −5， cos 5

β

=13，試求 sin(

α

+

β

)之值。

sin(

α

+

β

)=sin

α

cos

β

+cos

α

sin

β

4 5 3 12

( )( ) ( )( )

5 13 5 13

− − −

= + 16

= 65

設α 、

β

為銳角，且 3

sin

α

=5， 7 cos

β

= 25， 試求 cos(

α β

− )之值。

cos(

α β

− )=cos

α

cos

β

+sin

α

sin

β

4 7 3 24

5 25 5 25

= × + × 4

= 5

參考 NO.2、NO.3

和差角公式 設 0 2

α π

< < ， 0

2

β π

< < ，且_tanα =₃， tan

β

= ，求 tan(2

α

+

β

)的值，並求

α

+

β

。

tan(

α

+

β

) tan tan 1 tan tan

α β

α β

= +

−

3 2 1

1 3 2

= + = −

− ×

∵ 0

2

α π

< < ，0

2

β π

< <

∴ 0<

α β

+ <

π

故

α β

+ =135°

試求 tan 265 tan 25 1 tan 265 tan 25

° − °

+ °× °之值。

原式=tan(265° −25 )° =tan 240° =tan(180° +60 )° =tan 60°

= 3

和差角公式的應用 設 tan

α

、 tan

β

為x²−8x+ = 之二根， 5 0

試求 cot(

α

+

β

)之值。

∵ tan tan 8 tan tan 5

α β

α β

+ =



 =

∴ tan tan

tan( )

1 tan tan

α β

α β

α β

+ = +

−

8 2

=1 5= −

−

故 1 1

cot( )

tan( ) 2

α β

α β

+ = = −

+

設 tan

α

、 tan

β

為x² +4x+ = 之二根， 2 0 試求 tan(

α

+

β

)之值。

∵ tan tan 4 tan tan 2

α β

α β

+ = −



 =

∴ tan tan

tan( )

1 tan tan

α β

α β

α β

+ = +

−

4 1 2

= −

− =4

參考 NO.4

二倍角公式 1. sin 2θ =2 sin cosθ θ 。

2. cos 2

θ

=cos²

θ

−sin²

θ

=2 cos²

θ

− = −1 1 2 sin²

θ

。 3. 2 tan₂

tan 2

1 tan

θ θ

=

θ

− 。

二倍角公式

設 3

sin

θ

=5，tanθ <0，試求sin 2θ −cos 2θ 之值。

∵ sinθ >0，_tanθ <₀

∴ θ在第二象限 sin 2θ −cos 2θ

(2 sin cos )

θ θ

(2 cos2

θ

1)

= − −

3 4 4 2

2 ( ) 2 ( ) 1

5 5 5

= × × − − × − + 24 32

( ) 1

25 25

= − − +

31

= −25

設θ 為第三象限角，已知tanθ =2，試求 cos 2θ 、tan 2θ 之值。

∵ θ為第三象限角，且_tanθ =₂

∴ cos 2

θ

=2 cos²

θ

−1

1 2 3

2 ( ) 1

5 5

= × − − = −

2

2 tan tan 2

1 tan

θ θ

=

θ

− ²

2 2 4

1 2 3

= × = −

−

參考 NO.5、NO.6、NO.7、NO.8

二倍角公式

設 4

sin cos

θ

−

θ

=5，試求sin 2θ 之值。

2 4 2

(sin cos ) ( )

θ

−

θ

= 5

⇒ 16

1 2 sin cos

θ θ

25

− =

⇒ 9

2 sin cos

θ θ

= 25

⇒ 9

sin 2

θ

=25

若 3

sin 2

θ

=5，試求(sin

θ

+cos )

θ

²之值。

(sin

θ

+cos )

θ

2

1 2 sin cosθ θ

= +

1 sin 2θ

= + 1 3

= +5 8

=5

參考 NO.9、NO.10、NO.11

三角函數之極值

設 ( )f

θ

=asin

θ

+bcos

θ

+ ，其中 a b cc 、 、 為實數，若θ 為任意角度，則

2 2 2 2

( )

a b c f

θ

a b c

− + + ≤ ≤ + + 。

三角函數之極值 試求 ( ) 3sinf

θ

=

θ

+4 cos

θ

+ 的最 大值及最5

小值。

∵ − 3²+4² + ≤5 f( )

θ

≤ 3²+4² +5

⇒ − + ≤5 5 f( )

θ

≤ +5 5

⇒ 0≤ f( )

θ

≤10

∴ f( )

θ

的最大值為 10，最小值為 0

試求 ( ) 12sinf

θ

=

θ

−5 cos

θ

的最大值及最小 值。

∵ − 12²+ −( 5)² ≤ f( )

θ

≤ 12² + −( 5)²

⇒ −13≤ f( )

θ

≤13

∴ f( )

θ

的最大值為 13，最小值為−13

似是而非（

╳

） 原來如此

1. sin(

α

+

β

)=sin

α

+sin

β

sin(

α

+

β

)=sin

α

cos

β

+cos

α

sin

β

2. sin 2x=2 sinx sin 2x=2 sin cosx x

3. ∵− ≤1 sinx≤1且− ≤1 cosx≤1

∴− ≤2 sinx+cosx≤2

2 2 2 2

1 1 sinx cosx 1 1

− + ≤ + ≤ +

2 sinx cosx 2

⇒ − ≤ + ≤

( Ｂ ) 1. 設sin( 45 ) sin15− ° ⋅ ° = −k cos 45 cos( 15 )° ⋅ − ° ，則k之值為何？ (A) 0 (B)1

2 (C) 2 2 (D) 3

2 。 【103 統測】

( Ｄ ) 2. 已知

π α π

<

2 < ，

π β π

2 2

3 < < ，且

5 sin

α

= 4，

13

cos

β

=12，則sin(

α

+

β

)之值為何？

(A) 65

−63

(B) 65

−33

(C)

6533 (D)

6563 。 【105 統測】

( Ｂ ) 3. 設 5

sin

α

= 5 ， 10

sin

β

= 10 ，且α 、

β

皆為銳角，請使用複角公式 sin(

α

+

β

) sin

α

cos

β

cos

α

sin

β

= + ，試求

α

+

β

= ？ (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°。

【95 統測】

( Ａ ) 4. 設tan A、_{tan B}是一元二次方程式x²−7x+12= 的兩根，則 cot(0 A+B)之值等於下列 何者？ (A) 11

− 7 (B) 7

−13 (C) 7

13 (D)11

7 。 【101 統測】

( Ｄ ) 5. 已知某銳角θ 滿足 4

cos

θ

=5，求tan 2θ =？ (A)13

12 (B)4

3 (C)12

5 (D)24 7 。

【103 統測】

( Ａ ) 6. 已知一矩形的長為2 cos1 cos 2° °，寬為2 sin1 csc 4° °，則此矩形面積為何？ (A) 1

(B) 2 (C) 3 (D) 4。 【103 統測】

( Ａ ) 7. 若 2

π

<

θ

<

π

且 3

sin

θ

= ，則5 tan 2θ 之值為何？ (A) 24

− 7 (B) 3

−2 (C)3

2 (D)24 7 。

【101 統測】

( Ｃ ) 8. 已知cscθ =3且cos 2

θ

= −1 2 sin²

θ

，則cos 2θ =？ (A) 11 9

− (B) 7

− (C) 79

9 (D)11 9。

【100 統測】

( Ｃ ) 9. 設sinθ 、cosθ 為2x²−2 2x+ =1 0的兩根，則sin 2θ = (A) 1− (B) 1

− 2 (C) 1

(D)2 。 【99 統測】

( Ａ ) 10. 設θ 為實數，若 1 sin 2

θ

=3，則( sin

θ

−cos )

θ

² = ？ (A)2

3 (B) 1 (C)4

3 (D)5 3。

【94 統測】

( Ｄ ) 11. 試求(sin 75° −cos 75 )° = ？ (A)^{2 3}

− 2 (B) 1

− (C)2 ³

2 (D)1

2。 【90 統測】

3-2 正弦與餘弦定理

三角形面積公式

在
ABC中， A∠ 、 B∠ 、∠C的對應邊分別為a、b、c，則

ABC面積 1 1 1

sin sin sin

2ab C 2ca B 2bc A

= = =

（已知兩邊一夾角 SAS）。

面積公式

ABC中，AB=2 3，BC =2 2， B 45

∠ = °，試求
_ABC之面積。

2 3

c= ，a=2 2，∠ =B 45° 由
_ABC面積公式知：

1 sin 2ca B

=

1 2 3 2 2 sin 45

= 2× × × °

1 2

2 3 2 2

2 2

= × × ×

=2 3

ABC中，AB=2 3，AC=6，∠ =A 60°， 試求
_ABC之面積。

b=6，c=2 3，∠ =A 60° 由
_ABC面積公式知：

1 sin 2bc A

=

1 6 2 3 sin 60

=2× × × °

1 3

6 2 3

2 2

= × × ×

=9

參考 NO.1

正弦與餘弦定理

在
ABC中， A∠ 、 B∠ 、∠C的對應邊分別為a、b、c，外接圓半徑為 R ，則 1. 正弦定理：

(1) 2

sin sin sin

a b c

A= B = C = R。 (2)a b c: : =sinA: sinB: sinC。 2. 餘弦定理：

a² =b²+c²−2bccosA ⇒ cos ^{2 2 2} 2 b c a

A bc

+ −

= 。

b² =a²+c² −2accosB ⇒

2 2 2

cos 2

a c b

B ac

+ −

= 。

c² =a²+b² −2abcosC ⇒ cos ^{2 2 2} 2 a b c

C ab

+ −

= 。

（已知兩邊一夾角 SAS，求第三邊） （已知三邊長 SSS，求三內角度數）。

正弦定理

ABC中，AB=10，∠ =A 105°，∠ =B 30°， 試求：(1)AC (2)
ABC的外接圓面積。

180 105 30 45

∠ =C ° − ° − ° = °

10 2

sin 45 sin 30

AC R

= =

° °

∴ AC=5 2，R=5 2

⇒ 外接圓面積=(5 2)²

π

=50

π

ABC中，b=15，∠ =A 45°，∠ =C 75°， 試求：(1)a (2)
ABC的外接圓面積。

180 45 75 60

∠ =B ° − ° − ° = °

15 2

sin 60 sin 45

a R

= =

° °

∴ a=5 6，R=5 3

⇒ 外接圓面積=(5 3)²

π

=75

π

參考 NO.2

正弦定理

ABC中，若∠A : ∠B : ∠ =C 1: 4 :1，試求 a b c: : 之值。

1 180 30 A 6

∠ = × ° = °，^{∠ =B 120°} C 30

∠ = °

∴ a b c: : =sin 30 : sin120 : sin 30° ° ° 1 3 1

: :

2 2 2

=

=1 : 3 : 1

ABC 中 ， 若∠ =A 30°，∠ =B 60°， 試 求 a b c: : 之值。

180 30 60 90

∠C= ° − ° − ° = °

∴ a b c: : =sin 30 : sin 60 : sin 90° ° ° 1 3

: :1 2 2

=

1: 3 : 2

=

參考 NO.3、NO.4

正弦定理

ABC中，已知∠ =A 45°，a=2，c= 2， 試求_∠C。

2 2

sin 45 =sin C

° ⇒ 1

sinC=2

⇒∠ =C 30°或_150°（不合）

∴ ∠ =C 30°

ABC中，∠ =A 30°，AC=2，BC= 2， 試求 B∠ 。

2 2

sin 30 =sin B

°

⇒ 1

sin

2 B=

⇒ ∠ =B 45°或135°

參考 NO.5、NO.6

正弦定理

ABC中，若a−2b+ =c 0且3a+ −b 2c=0， 試求 sin : sin : sinA B C 之值。

2 0

3 2 0

a b c a b c

− + =



+ − =



①

② 2 : 5a 3b

× + =

① ② ⇒ 3

a=5b 代入①： 7

c=5b

∴ sinA: sinB: sinC ^{=a b c: :} 3 7

5b b: :5b

= ^{=3 : 5 : 7}

ABC中，若(a b+ ) : (b c+ ) : (c+a)=5 : 6 : 7， 試求sin sin

sin sin

A B

A C

−

+ 之值。

令

5 6 7 a b k b c k c a k

 + =

 + =



 + =

①

②

③ :a b c 9k

+ + + + =

① ② ③ ④

:c 4k

− =

④ ①

:a 3k

− =

④ ②

:b 2k

− =

④ ③

∴ sin sin 3 2 1

sin sin 3 4 7

A B a b k k

A C a c k k

− − −

= = =

+ + +

參考 NO.7

餘弦定理

ABC中，b= 3，_c=2，又_{∠ =A 150°}， 試求a之值。

2 2 2

( 3) 2 2 3 2 cos150

a = + − × × × °

3

3 4 4 3 ( )

= + − × − 2 ⁼¹³

∴ a= 13

ABC中，∠ =B 45°，a=2 2，c=3，試 求AC之值。

2 2 2

(2 2) 3 2 2 2 3 cos 45

AC = + − × × × °

2

8 9 12 2

= + − × 2 ⁼⁵

∴ AC= 5

參考 NO.8

正弦、餘弦定理

ABC中，已知_{sinA: sinB: sinC =2 : 3 : 4}， 試求_{cos A}之值。

: : sin : sin : sin 2 : 3 : 4 a b c= A B C =

設a=2，b=3，c=4

2 2 2

3 4 2 7

cosA 2 3 4+ − 8

= =

× ×

ABC中，已知三邊長比為_{a b c: : =3 : 5 : 7}， 試求
_ABC之最大內角。

∵ 大角對大邊 ∴ 最大角為∠C 設a=3，b=5，c=7

⇒

2 2 2

3 5 7 1

cosC 2 3 5+ − 2

= = −

× ×

∴ 最大角∠C=120°

參考 NO.9、NO.10

海龍公式、三角形的外接圓與內切圓半徑

在
_ABC中， A∠ 、 B∠ 、∠C的對應邊分別為_a、_b、_c，外接圓半徑為 R ，內切圓半徑為 r 。 1. 海龍公式（已知三邊長 SSS）

設 1

( )

s= 2 a b c+ + ，則
ABC面積
= s s( −a s b s)( − )( −c)。 2. 三角形的外接圓與內切圓半徑

(1)
ABC面積 4 abc

= R

⇒ 4 R= abc

。 (2)
ABC面積
=rs ⇒ r

=
。 s

海龍公式

ABC之三邊長分別為 4、5、7，試求：

(1)
ABC的面積 (2)外接圓半徑 R (3)內切圓半徑 r 之值。

4 5 7 2 8 s + +

= =

(1)
= 8 4 3 1× × × =4 6 (2) 4

abc

= R

⇒ 4 5 7

4 6 4R

= × ×

⇒ 35 6 R= 24 (3)
=rs ⇒ 4 6=8r ⇒ 6

r= 2

ABC中，_AB=5，_BC=7，_CA=8，試求：

(1)
ABC的面積 (2)外接圓半徑 R (3)內切圓半徑 r 之值。

5 7 8 2 10 s + +

= =

(1)
= 10 5 3 2× × × =10 3 (2) 4

abc

= R

⇒ 5 7 8

10 3 4R

= × ×

⇒ 7 3 R= 3

(3)
=rs ⇒ 10 3=10r

⇒ r= 3

參考 NO.11、NO.12

( Ａ ) 1. 有一繩子的長度是 24 公分，若圍成正三角形的面積為a平方公分；圍成正方形的面 積為_b平方公分；圍成正六邊形的面積為_c平方公分，則下列何者正確？

(A)a< <b c (B)a< <c b (C)c<a<b (D)c< <b a。 【95 統測】

( Ｄ ) 2. 設點O是_∆ABC的外接圓圓心，且在_∆ABC的內部， AB 的長度為m，_AC的長度為 n。若_∠AOB=120°、_∠BOC=150°，則m

n = ？ (A) 3

3 (B) 6

3 (C) 3

2 (D) 6 2 。

【104 統測】

( Ａ ) 3. 已知
ABC中， sin : sin : sinA B C=1: 3 : 2，則下列何者正確？

(A) 2 3BC=2CA= 3AB (B)AB BC CA: : =1: 3 : 2

(C) cosA: cosB: cosC=1: 3 : 2 (D)∠ =A 60°，_{∠ =B 30°}，_{∠ =C 90°}。【100 統測】

( Ｂ ) 4. 若
ABC中， sin : sin : sinA B C=1: 3 : 2，則sinA+cosB+sinC=？ (A) 1 (B) 2

(C) 3 (D) 4。 【99 統測】

( Ｂ ) 5. 已知∆ABC中，AC=6，BC=2 3，∠ =A 30°，∠ >B 90°，則∆ABC之面積為何？

(A) 2 3 (B)3 3 (C) 4 3 (D) 6 3 。 【101 統測】

( Ｃ ) 6. 若
ABC中，BC =6，AC=2 3，且_{∠ =A 60°}，則
_ABC之面積為何？ (A) 2 3 (B) 4 3 (C) 6 3 (D) 8 3 。 【99 統測】

( Ｃ ) 7. 在
ABC中，設a、b、c分別為 A∠ 、∠ 、B ∠C 的對邊長。若a−2b c+ =0且 3a b+ −2c= ，則下列何者正確？ (A) A0 ∠ > ∠ > ∠ (B) BB C ∠ > ∠ > ∠ C A

(C)∠ > ∠ > ∠ (D) CC B A ∠ > ∠ > ∠ 。 A B 【94 統測】

( Ｂ ) 8. 有 一 隻 螞 蟻 在 平 行 四 邊 形 ABCD的 平 面 上 從 A 點 出 發 ， 行 走 至C 點 覓 食 ， 若 ABC 150

∠ = °，AB=16，BC=15 8 3− ，則螞蟻由 A 點行走至C點之最短距離為何？

(A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 19。 【97 統測】

( Ｃ ) 9. 在∆ABC 中 ， 設 三 邊 長 之 比 AB BC CA: : =7 : 5 : 3， 則∆ABC 之 最 大 內 角 為 何 ？ (A)75° (B)^90° (C)^120° (D)^135°。 【103 統測】

( Ａ ) 10. 已知∆ABC中， sin : sin : sinA B C=5 : 7 : 8，求 cos A 之值。 (A)¹¹

14 (B)⁵

7 (C) ⁹ 14

(D)⁴

7。 【102 統測】

( Ａ ) 11. 設A 、 B 、C為一圓之圓周上三點，若AB=4、_BC=6、_CA=8，則該圓之面積為 何？ (A)

π

15

256 (B)

π

13

256 (C)

π

4

81 (D)

π

2

81 。 【99 統測】

( Ｄ ) 12. 已知三角形的三邊長分別為 3 公分、3 公分、4 公分，則此三角形之外接圓半徑為何？

(A)2 5

5 (B)3 5

5 (C)7 5

10 (D)9 5

10 。 【104 統測】

3-3 解三角形問題

三角形的解法

條件 說明 解 題 步 驟

SSS 三邊長

(1)先利用餘弦定理，求任一角。

(2)再利用正弦定理（注意大邊對大角）或餘弦定理，求第二角。

(3)最後利用內角和180°減去兩個內角度數，求第三角。

SAS 兩邊一夾角

(1)先利用餘弦定理，求出第三邊長。

(2)再利用正弦定理（注意大邊對大角）或餘弦定理，求第二角。

(3)最後利用內角和180°減去兩個內角度數，求第三角。

ASA 或 AAS

兩角一對邊 (1)先利用內角和180°減去兩個已知內角度數，求第三角。

(2)再利用正弦定理，求另兩個邊。

SSA 兩邊一對角

(1)先利用正弦定理，求出另一對角。（注意sinθ 的值，解可能有 1、2 個或無解）

(2)若有解（一解或二解），利用內角和_180°減去兩個內角度數，

求第三角。

(3)最後利用正弦定理，求第三邊。

ＳＡＳ、ＳＳＳ

ABC中，a= 3 1+ ，b=2，∠C=30°， 試解此三角形。

2 2 2

( 3 1) 2 2 ( 3 1) 2 cos30

c = + + − × + × × °

=2

⇒ c= 2

2 2

sinB =sin 30

° ⇒ 1

sinB= 2

⇒ ∠ =B 45°或_135°（不合 ∵大邊對大角）

∴ ∠ =A 180° −30° −45° =105°

ABC 中，a=2 3 ，b=2 ，c=4，試求

ABC的三內角。

2 2 2

2 4 (2 3) 1 cosA +2 2 4− 2

= =

× ×

∴ ∠ =A 60°

2 2 2

(2 3) 4 2 3

cosB 2 2 3 4+ − 2

= =

× ×

∴ ∠ =B 30°

⇒ ∠ =C 180° −60° −30° =90°

參考 NO.1、NO.2、NO.3

ＳＳＡ、ＡＳＡ

ABC中，b=3，c= 3，∠ =B 60°，試解 此三角形。

3 3

sin 60 =sin C

° ⇒ 1

sinC= 2

∴ ∠C =30°或_150°（不合）

⇒ ∠ =A 180° −60° −30° =90° 3

sin 60 sin 90

= a

° ° ⇒ a=2 3

ABC中，∠ =A 75°，b=2 6，∠ =C 45°， 試解此三角形。

180 75 45 60

∠ =B ° − ° − ° = ° 2 6

sin 60 sin 75 sin 45

a c

= =

° ° °

⇒ a=2 3+2，_c=4

∴ ∠ =B 60°，BC=2 3+2 AB=4

參考 NO.4、NO.5

三角測量 1. 常用名詞：

(1)水平線：與地平面平行的直線。

(2)鉛直線：與地平面垂直的直線。

(3)視 線：觀測者（眼睛）與目標物的連線。

(4)仰 角：視線在水平線上方時，視線與水平線之夾角。

(5)俯 角：視線在水平線下方時，視線與水平線之夾角。

2. 方位：

3. 解題步驟：

(1)依照題目條件畫簡圖。

(2)利用三角函數的基本定義與性質、正餘弦定理來解題。

簡易的三角測量 在 50 公尺高的樓頂上，測得平地上的小汽車

之俯角為_30°，試求小汽車和樓房的水平距離 為多少公尺？

設距離為^x公尺 cot 30 3 50

x = ° =

∴ x=50 3（公尺）

某人離電線桿 10 公尺，測得仰角為 60°，則 此電線桿長度為多少公尺？

設電線桿^h公尺 tan 60 3 10

h = ° =

∴ h=10 3（公尺）

參考 NO.6

三角測量 一人於某處測得一建築物之仰角為30°，然後 此人向建築物前進 100 公尺，再測得其仰角 為45°，則此建築物之高為多少公尺？

設建築物高為h公尺 tan 30 1

100 3

h

h= ° = +

⇒ h=50( 3 1)+ 公尺

在一塔底測得某山頂仰角為60°，再由塔頂測 得山頂仰角為45°，若塔高 20 公尺，則山高 為多少公尺？

設山高h公尺 tan 60 3 20

h

h = ° =

−

⇒ ( 3 1)− h=20 3

⇒ h=10(3+ 3)公尺

參考 NO.7、NO.8、NO.9

三角測量 某人隔著一湖泊，欲測湖泊兩岸 A 和 B 兩點 的距離。在湖泊遠處C點，測得BC=6公里，

120

∠BAC= °，∠ABC=15°，求 AB 的距離。

180 120 15 45

∠ACB= ° − ° − ° = ° 6

sin 45 sin120 AB =

° °

⇒ AB=2 6（公里）

若 A 、 B 二地隔一座山，在山下C點處，測 得∠ACB=120°，AC=3公里，BC=4公里，

試求 A 、 B 兩地之距離。

2 2 2

3 4 2 3 4 cos120 37

AB = + − × × × ° =

∴ AB= 37（公里）

參考 NO.10、NO.11

( Ｂ ) 1. 已知∆ABC中，三邊長分別為_BC=3、_AC=5、_AB=6。試問_{cos C}介於下列哪一個 區間？ (A) 1

( 1, )

− −2 (B) 1 ( , 0)

−2 (C) 1 (0, )

2 (D) 1 ( ,1)

2 。 【103 統測】

( Ｄ ) 2. 已知
ABC中，AB= ，4 AC=5，_BC=6，則_{sin A=}？ (A) 63

− 8 (B) 7

−8 (C)7 8 (D) 63

8 。 【93 統測】

( Ｂ ) 3. 若
ABC中，AB= 3 1+ ，BC=2，且∠ =B 30°，則 A∠ = ？ (A)30° (B)45°

(C)60° (D)90°。 【92 統測】

( Ａ ) 4. 已知
ABC中，_AB=8，_{∠ =B 45°}，_{∠ =C 60°}，則_BC=？ (A)4 6

3 +4 2 (B)4 6

3 −4 2 (C) 6

3 +4 2 (D) 6

3 −4 2。 【98 統測】

( Ｂ ) 5.
ABC三內角 A∠ 、 B∠ 、∠C之對應邊長分別為_a、_b、_c，若a=2 3，_b=2， A 120

∠ = °，則_c=？ (A) 3 (B) 2 (C) 3 (D) 2 3 。 【91 統測】

( Ｄ ) 6. 已知某大樓高度為 508 公尺。若某人站在此大樓最頂端並測得地面上 A 點俯角為 30° ，則 A 點距此大樓多少公尺？ (A) 254 (B) 254 3 (C) 508 (D) 508 3 。 【105 統測】

( Ｂ ) 7. 已知
_ABC中，∠ =C 90°， D 在BC線段上，且AC=50， ABC 30

∠ = °，∠ADC=45°，如圖所示，則 BD = ？ (A) 50 (B)50( 3 1)− (C) 50 3 (D) 100。【100 統測】

( Ｄ ) 8. 一位遊客在平地上測得某大樓頂端的仰角為30°，他朝該大樓的方向直走了_d公尺後，

再測一次，得到仰角為_45°。若該大樓高度為 300 公尺，則d =？ (A)300( 3− 2) (B)300( 2 1)− (C)300 2

2 (D)300( 3 1)− 。 【104 統測】

( Ｂ ) 9. 某甲在平地上看一直立旗桿桿頂的仰角為 30° ，今某甲朝旗桿的方向前進 30 公尺 後，再看同一旗桿桿頂的仰角為 60° ，則此時某甲離旗桿有多少公尺？ (A) 12

(B) 15 (C) 18 (D)15 3 。 【93 統測】

( Ｄ ) 10. 海邊二瞭望台_A、_B相距 80 公尺，今由 A、_B二處瞭望海面上一船 C ，測得 60

∠BAC = °，∠ABC=75°，求 BC 的長是多少公尺？ (A)^{80( 6+ 2 )} (B)^{160 2} 3

(C)^{160 6}

3 (D) 40 6 。 【90 統測】

( Ａ ) 11. 某湖邊上有三點A 、 B 和C，若從C點處測出∠ACB=60°、AC長為 200 公尺及BC 長為 100 公尺，則 AB 長為多少公尺？ (A)100 3 (B) 200 3 (C) 100 (D) 200。

【94 統測】

( Ｃ ) 1. 求sin 52.5 cos 7.5° ° +cos 52.5 sin 7.5° °的值為 (A)1

2 (B) 2

2 (C) 3

2 (D) 2

− 2 。

【3-1】

( Ｃ ) 2. 若x、y 都是銳角，而 3

sinx= ，5 7

siny= 25，則 sin(x+y)= ？ (A) 3

− (B)5 44

125 (C)4 5 (D)117

125。 【3-1】

( Ｄ ) 3. 已知tanα =2，若 tan(

α β

− )= ，則 tan3

β

= (A)1

5 (B) 1

−5 (C)1

7 (D) 1

−7。

【3-1】

( Ｃ ) 4. 若tan

α

、 tan

β

^為x²−3x− =7 0的兩根，則 tan (

α β

+ )= ？ (A) 1

− (B)2 3

− (C)8 3 8 (D)3

7 。 【3-1】

( Ｂ ) 5. 設θ 為實數，若 tan

θ

+cot

θ

= ，則 sin 23

θ

= (A)1

3 (B)2

3 (C)4

3 (D)5 3。

【3-1】

( Ａ ) 6. 已知cos (

α

+

β

)=cos

α

cos

β

−sin

α

sin

β

，若 3

tan

θ

= 4，試求cos 2θ =？ (A) 7 25 (B) 7

16 (C) 9

16 (D)24

25。 【3-1】

( Ｄ ) 7. 已知 2

π

<

θ

<

π

，且 1

cot

θ

= − ，則2 cos 2θ 之值為 (A)4

5 (B) 4

−5 (C)3

5 (D) 3

− 。 5

【3-1】

( Ｄ ) 8. 已知0≤θ <π ， 1 sin 2

θ

= 2，cos 2 ³

θ = 2 ，試求_sinθ =？ (A)1

4 (B) ³ 4 (C) ^{6 2}

4

+ (D) ^{6 2} 4

− 。 【3-1】

( Ｂ ) 9. 函數f( )

θ

=4 sin

θ

−3cos

θ

+ 的最大值為 M ，及最小值為1 m，則_{M +m=}

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。 【3-1】

( Ｄ ) 10. 已知 2

π

<

α

< ，

π

2

π

<

β

< ，若

π

2

cos

α

= ⁻5， 1

sin

β

= 10，則角

α

+

β

之值為 (A)45°

(B)135° (C)225° (D)315°。 【3-1】

( Ｂ ) 11.
ABC中，_AB=5，_AC=4，_{∠ =A 60°}，則_BC之長為 (A) 13 (B) ²¹ (C) 26

(D) 28 。 【3-2】

( Ｂ ) 12.
ABC中，若_BC=3，AC= 6，∠ =A 60°，則 B∠ = (A)^30° (B)^45° (C)^60°

(D)120°。 【3-2】

CHAPTER 3 三角函數的應用

( Ｃ ) 13.
ABC中，若a=2，b=2，c=2 3，則∠C= (A)^30° (B)^60° (C)^120°

(D)150°。 【3-2】

( Ｃ ) 14.
ABC中，若AB=5、AC=7、BC=8，則sinA: sinB: sinC= (A)^{5 : 7 : 8} (B)5 : 8 : 7 (C)^{8 : 7 : 5} (D)^{7 : 5 : 8}。 【3-2】

( Ｄ ) 15.
ABC中，AB=16，AC=4，∠ =A 60°，則
ABC面積為 (A) 8 (B) 16 (C)8 3

(D)16 3 平方單位。 【3-2】

( Ｃ ) 16.
ABC中，AB= 、4 AC=6、∠ =A 120°，若 A∠ 的角平分線交BC於 D 點，則 AD = (A)3

5 (B)6

5 (C)12

5 (D)24

5 。 【3-2】

( Ａ ) 17. 設
ABC中_BC=a，_AC=b，_AB=c，若 : :a b c=5 : 7 : 8，試求_{∠ =B} ？ (A)60°

(B)90° (C)120° (D)150°。 【3-2】

( Ｄ ) 18. 在
ABC中，設 A∠ 、 B∠ 、∠C之對應邊長分別為a、b、c，若∠ =B 120°，a=5， c=3，則△ABC的外接圓面積為何？ (A) 7

3

π

(B) 49

3

π

(C)7

3

π

(D)49 3

π

。

【3-2】

( Ａ ) 19. 在鈍角三角形
ABC中，設_a、_b、_c分別為 A∠ 、 B∠ 、∠C的對邊長，若∠ =A 30° 且 :a b=1: 3，則_{∠ =C} ？ (A)30° (B)60° (C)120° (D)150°。 【3-2】

( Ｄ ) 20.
ABC中，AB= ，4 BC=5，又 3

cosB= − ，則5
ABC面積為 (A) 2 (B) 4 (C) 6

(D) 8。 【3-2】

( Ａ ) 21. 直角
ABC中，∠ =C 90°，∠ =A 30°，自_C作垂直線交 AB 於 D，若AB=12，則_CD= (A) 3 3 (B) 4 3 (C)5 3 (D) 6 3 。 【3-2】

( Ｃ ) 22.
ABC中，_a=9，_b=7，_c=8，則
_ABC內切圓面積為 (A)π (B)³π (C)⁵π

(D)7π 。 【3-2】

( Ｃ ) 23. 在二塔腳連線中點測得二塔頂之仰角分別為45°及_60°，則一塔高為另一塔高的幾 倍？ (A) ² (B) 2 (C) 3 (D) 3。 【3-3】

( Ｄ ) 24. 若一大樓上有一水塔，大樓高 10 公尺，今某人於地面上某一點，測得大樓頂之仰角 為_30°，水塔頂端仰角為_45°，則此水塔之高度為 (A) 5 (B) 5 3 (C) 5( 3 1)−

(D)10( 3 1)− 公尺。 【3-3】

( Ｂ ) 25. 某甲在平地上看一直立旗桿桿頂的仰角為30°，今某甲朝旗桿的方向前進 30 公尺 後，再看同一旗桿桿頂的仰角為_60°，則此時某甲離旗桿有多少公尺？ (A) 12

(B) 15 (C) 18 (D)15 3 。 【3-3】