勾股定理證明-G096
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 ABKH ，以BC 為邊，向外作一正方形 BCED ，以 AC 為邊，向內作一正方形 ACFG 。
2. 連接 HG(於證明過程第 1 點說明 H G F
共線)。3. 連接 CG ，並延長 CG ，與 HK 交於 N 點。
4. 過 D 作 AB 的平行線，與 EB 交於 L 點。
A B
C
D E
F
G
H K
M
L
N
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向內向外作正方形，將正方形 ABKH 切割成兩個梯 形，再經過全等圖形的增補與移除關係後，可得到正方形 ABKH 的面積會等於正方形
BCED 與正方形 ACFG 的面積和，來推出勾股定理的關係式。
1. 先證明三角形 AHG 與三角形 ABC 全等，再得到 H
G F共線：因為 AH
AB, AG
AC，且
GAH
90
BAG
CAB，所以 AHG ABC
(SAS 全等).可得到
HGA
BCA
90，又
FGA
90，所以
HGA
FGA
180，故 H
G F共線。2. 證明三角形 CMB 與三角形 ELD 全等：
由作圖的平行關係可知 CBM
EDL，又因為
MCB
LED
45，且 CB ED
， 所以CMB ELD
(ASA 全等).3. 證明三角形 HGN 與三角形 DBL 全等：
因為 AHG
ABC，所以 HG
BC
DB，且由作圖的平行關係可知 GHN CAB LDB
，又
HGN
DBL
45，因此 HGN DBL
(ASA 全等).4. 證明梯形 AHNM 與梯形 MBKN 的面積相等：
因為 CMB
ELD，所以 MB
LD，又因為 HGN
DBL，所以 LD
HN，故 .MB
LD
HN 可得到AM
AB
MB
HK
HN
NK，因此1 ( )
2
1 ( )
2
AHNM AM HN AH
NK MB BK MBKN
梯形 面積＝
＝
＝梯形 面積.
5. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
2 ( )
2 ( 2 (
ABKH AHNM MBKN
AHN
HGN AHG AMG
DBL ABC AMG
M
正方形 面積＝梯形 面積＋梯形 面積
＝ 梯形 面積
＝ 面積＋ 面積＋ 面積) ＝ 面積＋ 面積＋ 面積) 2 [
2 ( 2 [(
DBL ACM CMB AMG
DBL ACM ELD AMG
DBL ELD ACM AMG
＝ 面積＋( 面積＋ 面積)＋ 面積]
＝ 面積＋ 面積＋ 面積＋ 面積) ＝ 面積＋ 面積)＋( 面積＋ 面積)]
2 (
2 2
BCED AC
BDE ACG
BDE AC
F G
G
＝ 面積＋ 面積)
＝ 面積＋ 面積
＝正方形 面積＋正方形 面積.
得到
2 2 2
, AB
BC
AC即
2 2 2
. c
a
b【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍或期刊：
Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1897). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 4(11), 268.
2. 心得：此題證明的作圖並不難，證明的關鍵在於證明三角形 CMB 與三角形 ELD 全 等，三角形 HGN 與三角形 DBL 全等，以及梯形 AHNM 與梯形 MBKN 的面 積相等，進一步透過圖形的切割與平移，推得正方形 ABKH 的面積會等於正 方形 ACFG 與正方形 BCED 的面積和。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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