1-2 二項分布 主題一 獨立事件 1.

1-2 二項分布

主題一 獨立事件

1. 兩事件為獨立事件：設事件 A 與事件 B 是樣本空間的兩事件。

若 P（A∩B）＝P（A）P（B），則稱 A，B 為獨立事件，否則稱為相依事件。

2. 三事件為獨立事件：當三事件 A，B，C 同時滿足下列四項條件：

(1) P（A∩B）＝P（A）P（B） (2) P（B∩C）＝P（B）P（C）

(3) P（A∩C）＝P（A）P（C） (4) P（A∩B∩C）＝P（A）P（B）P（C）

稱 A，B，C 三事件為獨立事件。

3. 若 A，B 為獨立事件，則：

(1) A'，B；(2) A，B'；(3) A'，B' 均為獨立事件。

4. 若 A，B，C 為獨立事件，則：

(1) A'，B，C；(2) A，B'，C；(3) A，B，C'；(4) A'，B'，C；(5) A，B'，C'；

(6) A'，B，C'；(7) A'，B'，C' 均為獨立事件。

例題1 兩個事件的獨立

投擲一顆公正骰子兩次，A 表第一次點數為偶數之事件，B 表兩次點數和為 3 的倍數之事 件，C 表兩次點數和為 10 之事件，試判斷：

(1) A，B 兩事件是否為獨立事件？

(2) A，C 兩事件是否為獨立事件？

解 投擲一顆公正骰子兩次的樣本空間

S＝｛（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），

（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），

（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），

（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），

（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），

（6，6）｝

(1) P（A）＝18 36＝1

2

B＝｛（1，2），（2，1），（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），

（5，1），（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），（6，6）｝

P（B）＝12 36＝1

3

而 A∩B＝｛（2，1），（2，4），（4，2），（4，5），（6，3），（6，6）｝

∵P（A∩B）＝ 6 36＝1

6＝1 2×1

3＝P（A）P（B） ∴A，B 為獨立事件 (2) C＝｛（4，6），（5，5），（6，4）｝，P（C）＝ 3

36＝ 1 12 A∩C＝｛（4，6），（6，4）｝，P（A∩C）＝ 2

36＝ 1 18

∵P（A∩C）≠P（A）P（C） ∴A，C 為相依事件 類題

連續投擲一枚均勻硬幣兩次，定義三事件如下：事件 A：第一次出現正面；事件 B：第二次 出現正面；事件 C：至少出現一次正面，試判斷：

(1) A，B 兩事件是否為獨立事件？ (2) A，C 兩事件是否為獨立事件？

解 投擲一枚均勻硬幣兩次的樣本空間

S＝｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝

(1) P（A）＝1

2，P（B）＝1

2，P（A∩B）＝1 4

∵P（A∩B）＝P（A）P（B） ∴A，B 為獨立事件 (2) P（C）＝3

4，P（A∩C）＝1

2，而 P（A）P（C）＝1 2×3

4＝3 8 ∵P（A∩C）≠P（A）P（C） ∴A，C 為相依事件

例題2 三個事件的獨立

投擲一枚均勻的硬幣三次，A 代表第一次是正面的事件，B 代表第二次是正面的事件，C 代 表三次皆同面的事件，試判斷 A，B，C 三事件是否為獨立事件。

注意 兩兩獨立，但三者不一定獨立。

解 A＝｛（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反）｝

B＝｛（正，正，正），（正，正，反），（反，正，正），（反，正，反）｝

C＝｛（正，正，正），（反，反，反）｝

∴P（A）＝4 8＝1

2，P（B）＝1

2，P（C）＝2 8＝1

4

又 A∩B＝｛（正，正，正），（正，正，反）｝，B∩C＝｛（正，正，正）｝，

A∩C＝｛（正，正，正）｝

∴P（A∩B）＝1

4＝P（A）P（B），P（B∩C）＝1

8＝P（B）P（C），

P（A∩C）＝1

8＝P（A）P（C）

故 A，B，C 兩兩獨立，而 A∩B∩C＝｛（正，正，正）｝

∵P（A∩B∩C）＝1

8≠P（A）P（B）P（C） ∴A，B，C 三事件不為獨立事件 類題

投擲一枚均勻的硬幣三次，A 代表第一次是正面的事件，B 代表第二次是反面的事件，C 代 表第三次是正面的事件，試判斷 A，B，C 三事件是否為獨立事件？

解 A＝｛（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反）｝

B＝｛（正，反，正），（正，反，反），（反，反，正），（反，反，反）｝

C＝｛（正，正，正），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，正）｝

∴P（A）＝4 8＝1

2，P（B）＝1

2，P（C）＝1 2

又 A∩B＝｛（正，反，正），（正，反，反）｝，B∩C＝｛（正，反，正），

（反，反，正）｝

A∩C＝｛（正，正，正），（正，反，正）｝

∴P（A∩B）＝1

4＝P（A）P（B），P（B∩C）＝1

4＝P（B）P（C），

P（A∩C）＝1

4＝P（A）P（C）

故 A，B，C 兩兩獨立，而 A∩B∩C＝｛（正，反，正）｝

∵P（A∩B∩C）＝1

8＝P（A）P（B）P（C） ∴A，B，C 三事件互為獨立事件 主題二重複試驗

1. 白努利試驗：

一個結果僅有兩種情形的隨機試驗。習慣上，將這兩種情形分別稱為「成功」或「失敗」。

2. 重複試驗：在相同條件下重複執行一個試驗。

3. 獨立重複試驗：

在重複試驗中，每次結果互不影響稱為獨立重複試驗，本教材中只討論白努利試驗的獨立 重複試驗。

4. 獨立重複試驗的機率：

假設一白努利試驗成功的機率為 p，則獨立重複試驗 n 次中，恰出現 k 次成功的機率為

n

C pk ^k（1－p）^n－k。 例題3 獨立重複試驗的機率

一袋中有 2 顆紅球與 4 顆白球，由袋中取 1 球 4 次，取後放回，假設每次取球的結果互 相獨立，試問 4 次取出的球中

(1) 恰有 3 次紅球的機率為何？ (2) 至少有 3 次紅球的機率為何？

注意 獨立重複試驗 n 次中，恰出現 k 次成功的機率為C p_k^{n k}（1－p）^n－k。

解 (1) 將抽取到紅球視為成功，則每次取球成功的機率為2 6＝1

3，失敗的機率為2 3

「4 次取出的球中恰有 3 次紅球」表示在此重複試驗中恰有 3 次成功，1 次失敗

因此其方法數共 4! ₃⁴

3!1!C 種，而每一種情形的機率都是

1 3 2 3 3

   

   

   

故 4 次取出的球中恰有 3 次紅球的機率為

3 4 3

1 2 8 3 3 81 C           

(2) （至少有 3 次紅球的機率）＝（恰有 3 次紅球的機率）＋（恰有 4 次紅球的機率）

而恰有 4 次紅球的機率為

1 4 1 3 81

  

  

∴至少有 3 次紅球的機率為

3 4

4 3

1 2 1 8 1 9 1 3 3 3 81 81 81 9 C                     類題

投擲三枚相同有正、反兩面的均勻硬幣，若三枚均出現同一面，則可得一分，否則 得零分。今連投 4 次，若機會均等且假設每次投擲的結果互相獨立，試求：

(1) 得 2 分的機率為何？ (2) 至少得 2 分的機率為何？

解 (1) 投擲三枚均勻的硬幣，若三枚均出現同一面視為成功 則成功的機率為2

8＝1

4，失敗的機率為3 4

「連投 4 次，恰得 2 分」表示在此重複試驗中恰有 2 次成功，2 次失敗

因此其方法數共 4! ₂⁴

2!2!C 種，而每一種情形的機率都是

2 2

1 3 4 4

   

   

   

故連投 4 次得 2 分的機率為

2 2

4 2

1 3 27 4 4 128 C           

(2) （至少得 2 分的機率）＝（得2分的機率）＋（得3分的機率）＋（得4分的機率）

∴至少得 2 分的機率為

2 2 3 4

4 4 4

2 3 4

1 3 1 3 1 27 3 1 67

4 4 4 4 4 128 64 256 256 C           C          C         主題三 二項分布及其性質

假設白努利試驗成功的機率為 p，失敗的機率為 q＝1－p，其中 p ≥ 0，q ≥ 0。令隨機變數 X 的取值表示此試驗獨立重複試驗 n 次中成功的次數，則：

(1) X 的機率質量函數為 P（X＝k）＝C p_k^{n k}q^n－k，其中 k＝0，1，2，……，n 此隨機變數 X 的機率分布稱為二項分布，記為 B（n，p）。

(2) X 的機率分布如下表：

X 0 1 …… k …… n

pX C p₀^{n 0}qⁿ C p₁^{n 1}q^n－1 …… ⁿ

C pk ^kq^n－k …… ⁿ C pn ⁿq⁰ (3) X 的期望值為 E（X）＝np。

(4) X 的變異數為 Var（X）＝npq。

(5) X 的標準差為



Var X ( )  npq

例：假設白努利試驗成功的機率為 p，失敗的機率為 q＝1－p，其中 p ≥ 0，q ≥ 0。令隨機變 數 X 的取值表示此試驗獨立重複試驗 2 次中成功的次數，則 X 的機率分布如下表：

X 0 1 2

pX ²

C p0 ⁰q²＝q² C p₁^{2 1}q¹＝2pq C p₂^{2 2}q⁰＝p²

X 的期望值為 E（X）＝0×q²＋1×2pq＋2×p²＝2p（p＋q）＝2p

X 的變異數為 Var（X）＝E（X²）－（E（X））²＝0²×q²＋1²×2pq＋2²×p²－（2p）²＝2pq 補充：(1) 一般二項分布機率值 P（X＝k）隨著成功次數 k 的增加而變大，到某最高點後就

開始下降。

(2) 如果 p＝0.5，則圖形左右對稱；如果 p＞0.5，則圖形左偏；如果 p＜0.5，則圖形 右偏。例如：丟擲一枚硬幣（不一定平均）9 次，令隨機變數 X 表示出現正面的 次數。

① ②

③

例題4 二項分布的機率與期望值

投擲一顆公正的骰子 3 次，若隨機變數 X 代表出現點數為 6 的次數，試求：

(1) 隨機變數 X 的機率分布與機率質量函數圖。

(2) 隨機變數 X 的期望值。

注意 期望值

1

( ) ⁿ _{k k}

k

E X x p







解 (1) 由題意知隨機變數 X 可能的取值為 0，1，2，3 其機率分布與機率質量函數圖如下：

X 0 1 2 3

pX

3 3 0

5 125 6 216 C     

2 3

1

1 5 75 6 6 216 C        

2 3 2

1 5 15 6 6 216 C           

3 3 3

1 1 6 216 C     

(2) 期望值 ⁴

1

125 75 15 1 108 1

( ) 0 1 2 3

216 216 216 216 216 2

k k k

E X x p







類題

投擲一枚均勻硬幣 4 次，令隨機變數 X 表示正面出現的次數，試求：

(1) 隨機變數 X 的機率分布與機率質量函數圖。

(2) 隨機變數 X 的期望值。

解 (1) 由題意知隨機變數 X 可能的取值為 0，1，2，3，4，其機率分布與機率質量函數圖 如下：

X 0 1 2 3 4

pX

4 4 0

1 1 2 16 C     

3 4

1

1 1 4 2 2 16 C        

2 2

4 2

1 1 6 2 2 16 C           

3 4 3

1 1 4 2 2 16 C           

4 4 4

1 1 2 16 C     

(2) X 的期望值為 ⁵

1

( ) _{k k}

k

E X x p







例題5 二項分布的期望值、變異數與標準差（一）

一袋中有 2 顆紅球與 1 顆黑球，每次從袋中抽取兩球，取後放回，共取 3 次，令隨機變數 X 表示抽到兩球都是紅球的次數，試求隨機變數 X 的期望值、變異數與標準差。

注意 隨機變數 X 的變異數為 ²

1

( ( ))

n

k k

k

x E X p





^{Var X ( )}

袋中抽取兩球，兩球皆為紅球的機率為 ²²₃

2

1 3 C

C  ，故其機率分布如下表：

X 0 1 2 3

pX

3 3 0

2 8 3 27 C    

 

2 3

1

1 2 12 3 3 27 C      

  

2 3 2

1 2 6 3 3 27 C        

   

3 3 3

1 1 3 27 C    

 

X 的期望值為 ⁴

1

( ) _{k k}

k

E X x p







X 的變異數為 Var（X）＝（0－1）²× 8

27＋（1－1）²×12

27＋（2－1）²× 6 27＋ （3－1）²× 1

27＝2 3

X 的標準差為

( ) ^{2 6} 3 3

Var X  

類題

假設生男、生女的機率均為1

2。對有 3 個小孩的家庭以隨機變數 X 表示小孩中女生的數量，

試求隨機變數 X 的期望值、變異數與標準差。

解 由題意知隨機變數 X 可能的取值為 0，1，2，3，其機率分布如下表：

X 0 1 2 3

pX

3 3 0

1 1 2 8 C     

2 3

1

1 1 3 2 2 8 C        

2 3 2

1 1 3 2 2 8 C           

3 3 3

1 1 2 8 C      X 的期望值為

4 1

1 3 3 1 12 3

( ) 0 1 2 3

8 8 8 8 8 2

k k k

E X x p







X 的變異數為

2 2 2 2

3 1 3 3 3 3 3 1

( ) 0 1 2 3

2 8 2 8 2 8 2 8

9 3 3 9 3 32 32 32 32 4

Var X                

    

X 的標準差為

( ) ^{3 3} 4 2

Var X  

例題6 二項分布的期望值、變異數與標準差（二）

設隨機變數 X 的取值表示投擲一顆骰子 3 次後，「點數 6」出現的總次數，若此骰子為“非 公正＂的骰子，出現「點數 6」的機率為 p＝1

4，試求出隨機變數 X 的機率分布，並求 X 的 期望值與標準差。

注意 投 n 次骰子中，恰出現 k 次「點數 6」的機率為C pk^{n k}（1－p）^n－k。

解 此隨機變數 X 的機率分布為二項分布 B 1 3,4

 

 

 ，其機率分布如下表：

X 0 1 2 3

pX

3 3 0

3 27 4 64 C     

2 3

1

1 3 27 4 4 64 C        

2 3 2

1 3 9 4 4 64 C           

3 3 3

1 1 4 64 C      X 的期望值為 27 27 9 1 48 3

( ) 0 1 2 3

64 64 64 64 64 4

E X           （次）

X 的變異數為

2 2 2 2

3 27 3 27 3 9 3 1

( ) 0 1 2 3

4 64 4 64 4 64 4 64

243 27 225 81 576 9 1024 1024 1024 1024 1024 16

Var X                

     

X 的標準差為

( ) ^{9 3} 16 4

Var X  

類題

設隨機變數 X 的取值表示投擲一枚硬幣 4 次後，正面出現的總次數，若此硬幣為“非均勻＂

的硬幣，出現正面的機率為 p＝2

3，試求出隨機變數 X 的機率分布，並求 X 的期望值與標 準差。

解 此隨機變數 X 的機率分布為二項分布 B 2 4,3

 

 

 ，其機率分布如下表：

X 0 1 2 3 4

pX

4 4 0

1 1 3 81 C     

3 4

1

2 1 8 3 3 81 C        

2 2

4 2

2 1 24 3 3 81 C           

3 4 3

2 1 32 3 3 81 C           

4 4 4

2 16 3 81 C      X 的期望值為 1 8 24 32 16 216 8

( ) 0 1 2 3 4

81 81 81 81 81 81 3

E X             （次）

X 的變異數為

2 2 2 2 2

8 1 8 8 8 24 8 32 8 16

( ) 0 1 2 3 4

3 81 3 81 3 81 3 81 3 81

64 200 96 32 256 8 729 729 729 729 729 9

Var X                    

     

X 的標準差為

( ) ^{8 2 2}

9 3

Var X  

例題7 應用問題（一）

某次測驗，試卷上共有 10 題單選題，每題有 5 個選項，而且每題恰有一個正確的標準答案。

維寧在每題的 5 個選項中隨機選擇一個選項作答，每題答對與否互相獨立。

(1) 試求維寧在這次測驗答對題數的期望值與標準差。

(2) 若每題答對給 10 分，答錯不給分亦不倒扣分數，總分 100 分，試求維寧在這次測驗成 績的期望值。

注意 (1) E（X）＝np，

Var X ( )  npq

解 (1) 由題意可知維寧每題答對的機率為1 5

設隨機變數 X 的取值表示維寧答對的題數，則 X 的機率分布為二項分布 B 1 10,5

 

 

  因此維寧在這個測驗中答對題數的期望值為 E（X）＝10×1

5＝2（題）

答對題數的標準差為

( ) 10 ^{1 4 8 2 10}

5 5 5 5

Var X     

(2) 維寧的成績期望值為 E（10X）＝10E（X）＝10×2＝20（分）

類題

某次測驗，試卷上有 50 題是非題，每題非○即×。國源在○與×中隨機選擇一個作答，

(1) 試求國源在這次測驗答對題數的期望值與標準差。

(2) 若每題答對給 2 分，答錯不給分亦不倒扣分數，總分 100 分，試求國源在這次測驗成績 的期望值。

解 (1) 由題意可知國源每題答對的機率為1 2

設隨機變數 X 的取值表示國源答對的題數，則 X 的機率分布為二項分布 B 1 50,2

 

 

  因此國源在這個測驗中答對題數的期望值為 E（X）＝50×1

2＝25（題）

答對題數的標準差為

( ) 50 ^{1 1 25 5 2}

2 2 2 2

Var X     

(2) 國源的成績期望值為 E（2X）＝2E（X）＝2×25＝50（分）

例題8 應用問題（二）

俊明在夜市看到一個遊戲，其規則如下：

由 O 出發，在每一個交叉點處擲一均勻硬幣，若出現正面則向右下走一格，出現反面則向 左下走一格，直到到達 A，B，C，D，E，F 其中一點，每點可獲得的分數如下圖所示，試 求：

(1) 玩 1 次所得分數的期望值與標準差。

(2) 玩 2 次所得分數的期望值。

注意 注意從 O 執行至 A，B，C，D，E，F 的任一點都須執行 5 次，若向右下 k 次且向

左下（5－k）次可達某點，則最後到達某點的機率為

5

5 1 1

2 2

k k

Ck

    

   

    。 解 (1) 設隨機變數 X 的取值表示玩一次所得分數，則

P（X＝1）＝

2 3 3 2

5 5

2 3

1 1 1 1

2 2 2 2

C           C           ＝5 8，

P（X＝2）＝

4 4

5 5

1 4

1 1 1 1

2 2 2 2

C        C          ＝ 5 16

P（X＝4）＝

0 5 5 0

5 5

0 5

1 1 1 1

2 2 2 2

C           C           ＝ 1 16 可得隨機變數 X 的機率分布如右表：

X 的期望值為 E（X）＝1×5

8＋2× 5

16＋4× 1 16＝3

2（分）

X 1 2 4

pX

5 8

5 16

1 16

X 的變異數為

2 2 2

3 5 3 5 3 1 5 5 25 5

( ) 1 2 + 4

2 8 2 16 2 16 32 64 64 8 Var X                

     

X 的標準差為

( ) ^{5 10}

8 4

Var X  

(2) 令隨機變數 Y 的取值表示玩 2 次所得分數的總和

由獨立重複試驗的期望值公式可知 E（Y）＝2E（X）＝2×3

2＝3（分）

故玩 2 次所得分數總和的期望值為 3 分 類題

承例題 8，試求俊明玩 4 次所得分數總和的期望值。

解 令隨機變數 Z 的取值表示玩 4 次所得分數的總和

由獨立重複試驗的期望值公式可知 E（Z）＝4E（X）＝4×3

2＝6（分）

故玩 4 次所得分數總和的期望值為 6 分

重要性：★★★★☆

1-2 段考實力演練 一、基礎題

1. 投擲一顆公正的骰子三次，以 A 表示第一次出現點數是 3 的事件，以 B 表示第二次出 現點數是 4 的事件，以 C 表示第三次出現點數是 5 的事件，試判斷 A，B，C 三事件 是否為獨立事件。

解 P（A）＝1

6，P（B）＝1

6，P（C）＝1 6 而 P（A∩B）＝ 1

36＝P（A）P（B），

P（B∩C）＝ 1

36＝P（B）P（C），

P（C∩A）＝ 1

36＝P（C）P（A）

又 P（A∩B∩C）＝ 1

216＝P（A）P（B）P（C）

故 A，B，C 三事件為獨立事件 2. 投擲一顆公正的骰子三次，試求：

(1) 至少出現一次 6 點的機率。

(2) 恰出現兩次 6 點的機率。

(3) 至少出現兩次偶數點的機率。

解 此為三次獨立重複試驗

令隨機變數 X 表示三次試驗中出現 6 點的次數，故 X 的機率質量函數為

3

3 1 5

( )

6 6

k k

P X k Ck

   

         ，k＝0，1，2，3

(1) 至少出現一次 6 點的機率為

5 3 91 ( 1) 1

6 216 P X       

(2) 恰出現兩次 6 點的機率為

2 3 2

1 5 5 ( 2)

6 6 72 P X  C          

(3) 擲一顆公正的骰子，出現偶數點的機率為1

2。令隨機變數 Y 表示三次實驗中，至 少出現兩次偶數點的次數

2 3

3 3

2 3

1 1 1 3 1 1

( 2) ( 2) ( 3)

2 2 2 8 8 2 P Y  P Y  P Y  C          C       

3. 投擲一枚均勻硬幣，直到出現一次正面或五次反面為止，試求投擲次數的期望值。

解 令隨機變數 X 表示投擲的次數，其機率分布如下表：

X 1 2 3 4 5

pX

1 2

1 2

2

  

 

1 3

2

  

 

1 4

2

  

 

5 5

1 1 2 2

   

   

   

反反反反正 反反反反反

∴

2 3 4 5

5 1

1 1 1 1 1

( ) 1 2 3 4 5 2

2 2 2 2 2

1 1 3 1 5 31 2 2 8 4 16 16

k k k

E X x p



       

                   

     



（次）

4. 一袋中有 2 顆紅球與 1 顆白球，今每次隨機從袋中取出 2 球，取後放回，共取 5 次。

令隨機變數 X 表示抽到兩球都是紅球的次數，試求：

(1) P（X＝3）。

(2) E（X）。

解 一次取 2 球，2 球皆為紅球的機率為

2 2 3 2

1 3 C C  則 X 的機率分布為二項分布 B 1

5,3

 

 

 

(1)

3 2

5 3

1 2 40 ( 3)

3 3 243 P X  C           

(2) 1 5

( ) 5

E X np   （次） 3 3

5. 阿仁每天走同一條路上班，共需經過 5 個紅綠燈。設阿仁在每個路口會碰到紅燈的事件 為1

3，而 5 個路口的紅綠燈是互相獨立的，試求：

(1) 至少碰到 4 次紅燈的機率。 (2) 阿仁上班時會碰到紅燈次數的期望值。

(3) 阿仁上班時會碰到紅燈次數的標準差。

解 此為 5 次獨立重複試驗，令隨機變數 X 表示 5 次試驗中，碰到紅燈的次數

故 X 的機率質量函數為

5

5 1 3

( )

3 3

k k

P X k Ck

    

         k＝0，1，2，3，4，5

(1) 至少碰到 4 次紅燈的機率為

4 1 5

5 5

4 5

1 2 1 10 1 11

( 4) ( 5)

3 3 3 243 243 243 P X  P X  C           C       

(2) 此機率分布為二項分布 B 1 5,3

 

 

 

隨機變數 X 的期望值為 1 5 ( ) 5

E X np   （次） 3 3 (3) 隨機變數 X 的標準差為

( ) 5 ^{1 2 10}

3 3 3

Var X  npq    

6. 投擲兩顆球到四個盒子中，每一球投入各盒的機會均等，令隨機變數 X 表示投入第一盒 的球數，試求隨機變數 X 的期望值、變異數與標準差。

解 每顆球投入第一盒的機率為1

4所以此機率分布為二項分布 B 1 2,4

 

 

  而隨機變數 X 的期望值為 1 1

( ) 2

4 2

E X np   （顆）

隨機變數 X 的變異數為 1 3 3 ( ) 2

4 4 8 Var X npq    隨機變數 X 的標準差為 3 3 6

( ) 8 8 4

Var X    （顆）

7. 某生對於是非題的猜題答對率是平均每猜 2 題對 1 題。現有是非題 5 題，設隨機變數 X 代表該生猜對的題數，試問：

(1) 隨機變數 X 的期望值與標準差。

(2) 若猜對 3 題算及格，則該生及格的機率為何？

解 (1) X 的機率分布為二項分布 B 1 5,2

 

 

 

因此該生猜對題數的期望值為E（X）＝5×1 2＝5

2（題）

猜對題數的標準差為

( ) 5 ^{1 1 5} 2 2 2

Var X    

(2) P（X3）

＝P（X＝3）＋P（X＝4）＋P（X＝5）

＝

3 2

5 3

1 1 2 2 C    

   

    ＋

4 5 4

1 1 2 2 C    

   

   ＋

5 5 5

1 C  2

   ＝16 32＝1

2 二、進階題

8. 投擲一均勻的硬幣 4 次，令隨機變數 X 表示正面出現的次數，

(1) 試求 E（X） 的值。

(2) 若出現一個正面給 5 元，出現反面給 3 元，令隨機變數 Y 表示所得到的金額，試求 E（Y）的值。

解 (1) X 可能的取值為 0，1，2，3，4，其機率分布為二項分布 B 1 4,2

 

 

 ，

4

4 1 1

( )

2 2

k k

P X k Ck

    

         ，k＝0，1，2，3，4

( ) 4 1 2

E X np   （次） 2 (2) Y＝5X＋3（4－X）＝2X＋12

E（Y）＝E（2X＋12）＝2E（X）＋12 ＝16（元）

9. 根據以往經驗，甲、乙兩人下棋比賽，甲贏的機率是1

3且每次比賽各自獨立，今約定先贏 2 場獲勝，設隨機變數 X 的取值為兩人分出勝負所需的場數，試求 X 的期望值與標準 差。

解 畫出樹狀圖如下，代表甲、乙兩人所有可能的比賽結果

X 2 3

pX

2 2

1 2 5

3 3 9

    

   

   

2 2

1 2 1 2 4

2 2

3 3 3 3 9

        

       

        故隨機變數 X 的期望值為 5 4 22

( ) 2 3

9 9 9

E X      （場）

隨機變數 X 的變異數為

2 2

22 5 22 4 20

( ) 2 3

9 9 9 9 81

Var X         

隨機變數 X 的標準差為 2 5 ( ) 9

Var X  （場）

10. 某水管網路如下圖，管路經設計使得往右的水量為往左水量的 2 倍，設 A 入口的水量為 1 單位，試求 P 出口流出的水量。

（提示：A → P 的水流路線共有C 種） ₃⁵

解 水流在每個交叉路口往右的水量是原水量的2

3，而往左的水量是原水量的1

3，水欲從 P 出口流出，必定往右 3 次，往左 2 次，其路線共有C 種，而每條路線的出水 ₃⁵

量皆為

3 2

2 1 3 3

   

   

   

故 P 出口流出的水量為

3 2

5 3

2 1 80 3 3 243

C            （單位）

三、歷屆試題

11. 有一種遊戲，每次輸贏規則如下：先從 1 至 6 中選定一個號碼 n，再擲三粒均勻的骰子。

若三粒骰子的點數全是 n，則可贏 3 元；恰有兩個點數為 n，則可贏 2 元；恰有一個點 數為 n，則可贏 1 元；而沒有點數為 n，則輸 1 元。如此，玩一次的期望值

（贏為正，輸為負）為 元。 86.學測

（提示：獨立重複試驗 n 次中，恰出現 k 次成功的機率為C p_k^{n k}（1－p）^n－k）

12. 某次考試共有 10 道是非題，每題答對得 1 分，答錯倒扣 1 分，不作答得 0 分。設甲 生確定會作答的有 4 題，其餘 6 題不經考慮隨意猜答。如果甲生確定會作答的 4 題都 答對了，那麼甲生得分超過 4 分的機率為 。 81.社會組

（提示：甲生至少猜對 4 題）

13. 已知丟某枚銅板，其出現正面的機率為 p，出現反面的機率為 （1－p），將此枚銅板丟 擲 n 次，在丟擲過程中，正面第 1 次出現時，可得獎金 1 元，正面第 2 次出現時，可 再得獎金 2 元，正面第 3 次出現時，可再得獎金 3 元，以此類推。試問下列哪些選項 是正確的？

(A) 若 n 次丟擲中出現正面 k 次，總共得到獎金1

2（k²－k） 元 (B) 丟擲銅板第二次之後，累計得獎金 1 元的機率為 2（p－p²）

(C) 總共得到獎金 2 元的機率為 ( 1) 2 n n

p²（1－p）^n－2 (D) 總共得到獎金1

2（n²－n） 元的機率為 n（p^n－1－pⁿ） 98.指考甲

（提示：獨立重複試驗 n 次中，恰出現 k 次成功的機率為C p_k^{n k}（1－p）^n－k）

14. 職業棒球季後賽第一輪採五戰三勝制，當參賽甲、乙兩隊中有一隊贏得三場比賽時，就由 該隊晉級而賽事結束。每場比賽皆須分出勝負，且每場比賽的勝負皆不受之前已賽結果影 響。假設甲隊在任一場贏球的機率為定值 p，以 f （p） 表實際比賽場數的期望值

（其中 0p1），請選出正確的選項：

(A) 只須比賽 3 場就產生晉級球隊的機率為 p³＋（1－p）³

(B) 須比賽 4 場才產生晉級球隊的機率為 p³（1－p）＋p（1－p）³ (C) 須比賽 5 場才產生晉級球隊的機率為 p³（1－p）² ＋p²（1－p）³ (D) f（p） 是 p 的 5 次多項式

(E) f（p） 的常數項等於 3 仿103.指考甲

簡 答 一、基礎題 1.是 2.(1) 91

216；(2) 5

72；(3)1

2 3.31

16次 4.(1) 40

243；(2)5 3次 5.(1) 11

243；(2)5

3次；(3) 10

3 次 6.1

2顆，3 8， 6

4 顆 7.5

2題， 5

2 題；(2)1 2 二、基礎題

8.(1) 2 次；(2) 16 元 9.22

9 場， 2 5

9 場 10. 80

243單位 三、歷屆試題

11.－ 17

216 12.11

32 13. (B)(D) 14. (A)(E)

能力提升特訓

範例1 求期望值 n 個標準差內的機率

連續投擲一枚均勻的硬幣 9 次，令隨機變數 X 表示正面出現的次數，求 X 會落在與其期 望值相距小於或等於三個標準差範圍內的機率。

注意 E（X）＝np，Var（X）＝npq。

解 此為 n＝9，p＝1

2的二項分布 E（X）＝np＝9×1

2＝9 2 Var（X）＝npq＝9×1

2×1 2＝9

4

∴隨機變數 X 的標準差為

( ) ^{9 3} 4 2 Var X  

3 3

2 2 X 2 2

       

 

 ＝P（0 ≤ X ≤ 9）＝1 （∵X 的可能取值為 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9）

類題

連續投擲一枚均勻的硬幣 10 次，令隨機變數 X 表示正面出現的次數，求 X 會落在與其 期望值相距小於或等於一個標準差範圍內的機率。

解 此為 n＝10，p＝1

2的二項分布 E（X）＝np＝10×1

2＝5 Var（X）＝npq＝10×1

2×1 2＝5

2

∴隨機變數 X 的標準差為

( ) ^{5 10}

2 2

Var X  

2 ≤ X ≤ 5＋ 10 2 此範圍 X 可能的取值為 4，5，6

∴P 10 10

5 5

2 X 2

 

   

 

 

 ＝P（X＝4）＋P（X＝5）＋P（X＝6）

＝

4 6 5 5 6 4

10 10 10

4 5 6

1 1 1 1 1 1 21

2 2 2 2 2 2 32

C           C           C            補充資料

x1，x2，……，xn 都是白努利試驗中取值是 1（成功）或 0（失敗），成功的機率是 p，而

失敗機率是 q＝1－p 的隨機變數，定義 1

X  （xn 1＋x2＋……＋xn）表示 n 次獨立重複試驗

成功的比率，則 X 的期望值為 p，標準差為

^pq n

n

  

 

 

 

 ＝1

nE（x1＋x2＋……＋xn）＝1

n（np）＝p

＝1

n（E（x1）＋E（x2）＋……＋E（xn））＝1

n（p＋p＋……＋p）＝p 變異數 Var（ X ）＝Var x¹ x² xⁿ

n

  

 

 

 

 ＝ 1₂

n Var（x1＋x2＋……＋xn）

又 n 次獨立重複試驗成功次數的變異數為 npq ∴Var（x1＋x2＋……＋xn）＝npq 故 Var（ X ）＝ 2

1

n （npq）＝ pq

n ， X 的標準差為

^{Var X ( ) pq}

 n

連續投擲一枚均勻硬幣 5 次，以 X 表示出現正面次數的比率，試計算 X 的期望值與標準差。

注意 E（ X ）＝p，Var（ X ）＝ pq n 。 解 E（ X ）＝p＝1

2

1 1 2 2 1

( ) 5 20

Var X pq n

   

∴ X 的標準差為

^{1 5} 20  10

連續投擲一顆公正骰子 2000 次，以 X 表示出現點數是 6 的比率，試計算 X 的期望值與標 準差。

解 E（ X ）＝p＝1 6

Var（ X ）＝ pq n ＝

1 5 6 6 2000



＝ 1 14400 ∴ X 的標準差為

^{1 1}

14400  120