二阶线性微分方程
Chap 5 ―5
二阶线性微分方程的标准形式
)
(
)
(
)
(
)
(
x
y
q
x
y
f
x
NHL
p
y
′′
+
′
+
=
5.5.1 二阶线性微分方程形式与性质 若 f (x) ≡ 0, 得到 二阶齐次线性微分方程)
(
0
)
(
)
(
x
y
q
x
y
HL
p
y
′′
+
′
+
=
p(x)、q(x)称为方程的系数, f (x)称为非齐次项¾ 线性相关与无关 对函数 y1(x), y2(x),若存在不全为零常数c1,c2, 使
0
)
(
)
(
2 2 1 1y
x
+
c
y
x
≡
c
)
(
),
(
2 1x
y
x
y
则称
线性相关，否则称它们线性无关)
(
),
(
2 1x
y
x
y
线性相关⎯
⎯
⎯
⎯
→
←
充分必要条件 其中一个是另一个的常数倍 若y1(x)、
y2(x)是齐次方程(HL)的的解，那么 ¾ 叠加原理■ 齐次方程解的结构定理 若y1(x)
、
y2(x)是齐次方程(HL)的两个线性无关 的解(称它们为方程的基本解组)，那么通解 c1 y1(x) + c2 y2(x) （c
1,c
2任意常数） 给出了方程（HL）的所有解. ky1(x) 和 y1(x)＋y2(x)也是齐次方程(HL)的解求解二阶齐次线性方程归结为： 求出两个线性无关的解(即基本解组). ¾ 若知道一个解，可以求用常数变易法求出 另一个线性无关解 例 已知方程
x
2y
′′
+
x
y
′
−
y
=
0
的一个解为 x 求方程的通解■ 非齐次方程解的结构定理 设 y *(x) 是非齐次方程(NLH)的解，而 y 1(x), y2(x)是对应的齐次方程的基本解组,那么通解 ) ( ) ( ) ( 1 1 2 2 * x c y x c y x y y = + + (c1,c2是任意常数)给出了方程(NLH)的全部解 要求非线性方程(NLH)的通解，只要求出 一个特解和对应齐次方程的一个基本解组
5.5.2 常系数线性齐次方程的解 方程形式
0
=
+
′
+
′′
p
y
qy
y
其中 P,q — 常数,
x re
y
=
令 得到0
2+
pr
+
q
=
r
特征方程，这方程的两个根称为 特征根 ■ 二阶常系数齐次方程的解情况讨论 (1) 特征方程有相异实根 r1,r2 基本解组：
e
r1x,
e
r2x (2) 特征方程有相同实根 r rx rx,
xe
e
⎯
常数变易法⎯
⎯
⎯
→
基本解组： (3) 特征方程有共轭复根 α ±iβ 基本解组： e( i )x e( i )x , α β β α+ − x e x eαx cos β , αx sin β ⎯→ ⎯特征根情况 通解形式 相异实根r1, r2 相同实根 r 共轭复根 x r x r e c e c 1 2 2 1 + x r rx c x e e c1 + 2
β
α
± i c1eαx cosβ x +c2eαx sinβ x 二阶齐次常系数微分方程的通解例 求解方程 y ′′ + 5y′ + 6y = 0 0 9 4 ′ + = + ′′ y y y 例 求解方程 例 求解方程 y ′′ − 4y′ + 4y = 0 H.W 习题5 6 (2) (4) －(7)
■ 常系数线性非齐次方程 方程形式 ) (x f qy y p y ′′ + ′ + = 求出对应齐次方程基本解组后，可用常数变易 法求出特解 非齐次项f (x)为某些特殊形式时，则可用 待定系数法来求特解
x
e
)
b
ax
x
f
(
)
=(
+
λ ¾ 方程的特解形式为 λx k * x Ax B y = ( + )e 2） k 是λ
作为特征方程 r 2 + p r +q = 0的根 的重数（λ
不是特征根作为 0 重根） 因此 k 可能的取值为 0，1，2 1）括弧中是与ax+b同次的待定多项式例 写出下列方程一个特解的待定形式 x xe y y y 2 5 ) 1 ( ′′ − ′ + = x e x y y y 3 ) 1 ( 10 6 ) 2 ( ′′ − ′ + = + 1 ) 3 ( y ′′ + y′ = x2 + x e y y y ′′ + 3 ′ − 4 = ) 4 ( 例 求解方程 x
xe
y
y
y
′′
−
3
′
+
2
=
3
−)
1
(
x xe y y y 2 3 ) 2 ( ′′ − ′ + =x e x b x a x f ( ) = ( cos
β
+ sinβ
) α ¾ x k A x B x e x * y = ( cosβ + sinβ ) α 方程的特解形式 的重数(若不是特征根则认为是0重根) 作为特征方程 r 2 + p r +q = 0 β α＋i 1）k 是 2）A、
B 是待定常数 注意：即使 f 中a = 0(或b = 0)，所设特解中仍 应同时含cosβ
x 和sinβ
x例 写出下列方程一个特解的待定形式 x xe y y x cos ) 1 ( ′′ − = x xe y y y 2 2 x cos ) 3 ( ′′ − ′ + = x x y y 4 sin 2 ) 2 ( ′′ + = 例 求解方程 y ′′ + y = 2 cos x
x
e
y
y
y
′′
−
2
′
+
2
=
xsin
例 求解方程H.W
习题5
7 (2)(3)(4) 阅读5.6节 8 11
