關於三角形等周虧量的不等式
毛其吉
給定平面上的一個三角形
,
則聯繫著若 干的幾何量,
這些量之間的大小比較,
歷來 吸引了許多數學家與數學愛好者的廣泛興趣。其中最著名而古老的一個是歐拉
(L. Euler)
於1765
年給出的關於一個三角形的外接圓半 徑R
與內切圓半徑r
的不等式[1]
R ≥ 2 r (1)
這個不等式以其簡單而不平凡的特徵體 現了數學的優美性。我們將
(1)
稱之為歐拉 不等式。 如果該三角形的外接圓圓心為O,
內 切圓圓心為I,
則從等式OI 2 = R(R − 2r)
就推證出了不等式(1)
。如果用
△ ABC
表示已知的三角形。它 的邊長BC = a , CA = b , AB = c ,
並且假 設它的面積為S,
則有如下的一個不等式[2]
a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 √
3S (2)
這個不等式較早於
1919
年由威森伯克(R.
Weitzenb¨ock)
給出。 今人通常稱它為威森 伯克不等式。聯繫三角形的三邊長與面積的另一個重 要的不等式是下列不等式
[3]
p 2 ≥ 3 √
3 S (3)
上式中的
p = 1 2 (a + b + c)
是三角形周長的 一半。在不等式
(1)
、(2)
與(3)
中,
等號當且 僅當三角形是等邊三角形時成立。 從不等式(3)
可以推論出在周長為一個定量的所有三 角形中,
以等邊三角形的面積最大,
同樣由不 等式(3)
可推知在面積為一個定量的所有三 角形中,
以等邊三角形的周長最短。由於這些 事實,
不等式(3)
一般稱它為三角形的等周 不等式。由於不等式
(3)
對一切三角形都成立,
因此它的左端與右端的差是非負數,
我們引 入等周虧量這個術語和符號d 2 來表達,即
d 2 = p 2 − 3 √
3S (4)
本文中
,
我們將要證明三角形的含有等 周虧量的幾個不等式。72
定理
1:
設a, b, c, S
和d 2 表達一個三 角形的三條邊的長,面積與等周虧量,則有不 等式
a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 √
3S + 4
3 d 2 (5)
其中等號當且僅當三角形是等邊三角形時成 立。證明
:
已知三角形的三邊為a , b , c ,
則 它的面積根據海倫-
秦九韶公式計算得S = q p ( p − a )( p − b )( p − c ) ,
其中的p = 1 2 (a + b + c)
是三角形的半周 長。 因為u = p − a > 0, v = p − b > 0, w = p − c > 0,
且三個正數u , v , w
滿足不 等式√
3uvw ≤ u + v + w
3 (6)
(
其中等號當且僅當u = v = w
時成立),
因 此(p − a)(p − b)(p − c) ≤ 1 27 p 3 代入海倫-秦九韶公式就得到
3 √
3 S ≤ p 2 .
又根據(a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 ≥ 0 (7)
可以得出3( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ ( a + b + c ) 2。
所以
3 √
3S ≤ ( a + 2 b + c ) 2 ≤ 3 4 (a 2 +b 2 + c 2 ),
從而得出3
4 (a 2 + b 2 + c 2 ) − 3 √
3S ≥ p 2 − 3 √ 3S。
所以
, a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 √
3S + 4 3 d 2。
根據不等式
(6)
與(7)
中等號成立的條 件可以知道不等式(5)
中等號成立當且僅當 三角形為等邊三角形的時候。不等式
(5)
在形式上改進了威森比克不 等式(2)
。定理
2:
假設三角形△ ABC
的外接圓 圓心是O,
它的重心是G,
且以R, r
分別表 示△ ABC
的外接圓半徑與內切圓半徑,
該 三角形的等周虧量是d 2 ,
則有不等式R 2 ≥ 4r 2 + OG 2 + 4
27 d 2 (8)
其中等號當且僅當三角形是等邊三角形時成 立。證明
:
因為三角形的面積S = pr ,
從不 等式(3)
可得S ≥ 3 √
3 r 2 (9)
由於
G
是△ ABC
的重心,
因此−−→ OG = 1
3 ( −−→ OA + −−→ OB + −−→ OC )
所以有OG 2 = 1
9 (OA 2 + OB 2 + OC 2 +2 −−→ OA · −−→ OB +2 −−→ OA · −−→ OC +2 −−→ OB · −−→ OC )
因為
O
是三角形△ ABC
的外接圓圓 心, | OA | = | OB | = | OC | = R,
且−−→ OB
與−−→ OC
的夾角等於2 ∠ A
或2π − 2 ∠ A;
−−→ OC
與−−→ OA
的夾角等於2 ∠ B
或2π −
2 ∠ B ; −−→ OA
與−−→ OB
的夾角等於2 ∠ C
或2π − 2 ∠ C。
從而可以得到下列等式OG 2 = 1
9 (3R 2 +2R 2 cos 2A+2R 2 cos 2B +2R 2 cos 2C)
= 1 9
h 3 R 2 +2 R 2 (3 − 2 sin 2 A − 2 sin 2 B
− 2 sin 2 C ) i
= R 2 − 1
9 (4R 2 sin 2 A + 4R 2 sin 2 B +4 R 2 sin 2 C )
= R 2 − 1
9 ( a 2 + b 2 + c 2 ) (10)
依據定理1, a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 √
3S + 4 3 d 2 ,
故 而R 2 ≥ 4 √ 9 3 S + 27 4 d 2 + OG 2。
給合不等式
(9),
得R 2 ≥ 4 r 2 + OG 2 + 4 27 d 2 .
從不等式
(5)
與(9)
中等號成立的條件可推 知在不等式(8)
中等號當且僅當三角形是等 邊三角形時成立。不等式
(8)
的結論加強了不等式(1)
。 定理3:
如果三角形△ ABC
的半周長 為p,
它的內切圓半徑是r, d 2 表示此三角形 的等周虧量, 則有
(1) (p − 3 √
3r) 2 ≤ d 2 (11) (2) 3 √
3r(p − 3 √
3r) ≤ d 2 (12)
其中等號當且僅當三角形是等邊三角形時成 立。
證明
:
因為S = pr,
故從不等式(9)
得p ≥ 3 √
3r. (13)
依據
d 2 = p 2 − 3 √
3S
= ( p − 3 √
3 r ) 2 + 3 √
r ( p − 3 √ 3 r )
由於不等式(13),
即知不等式(11)
與(12)
成立。 由不等式(13)
中等號成立的條件,
推 出不等式(11)
與(12)
中等號成立當且僅當 三角形是等邊三角形的時候。不等式
(11)
與不等式(12)
都可以看成 不等式(3)
的加強形式。本文最後要涉及到三角形的寬度。設
~ u
是平面上的一個單位向量,
則垂直於~ u
並 且與△ ABC
至少相交於一個交點的直線 中,
使得該三角形位於此直線一側的直線叫 做△ ABC
的支持線。 例如圖中的直線l 1 與 直線l 2 , 垂直於方向 ~ u 的這樣兩條直線之間 的距離 w u 叫做相應於方向~ u 的寬度, 當取 遍平面上所有方向時,將
W = Min { w ~ u | ~ u
取遍一切方向}
... ...
.. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .
...
.. . .. . .. .. .. .. . .. . ..
.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . . . .. . .. ... . .. . .. .. .. . .. ..
A B
C l 2
l 1 W u
θ
~ u
稱做
△ ABC
的寬度。 不難看出,
如果兩條 平行直線之間的寬度等於W ,
則此三角形的 三個頂點都在這兩條支持線上,
因為如果不 是這樣的話,
如圖w ~ u = | AB | sin θ,
因此 只要將兩平行線l 1 與 l 2 繞 A, B 作一個 保持平行性的微小的擾動,使 θ 角變得較小
些
,
則對應於兩條新的平行支持線的寬度變 小,
與寬度W
的定義發生矛盾。由於上述事 實,
我們可以得到下述結論:
W = Min { h a , h b , h c } (14)
其中h a , h b , h c 分別表示△ ABC 的三條邊 BC, CA 和AB 邊上的高線長。
定理
4:
假設三角形△ ABC
的外接圓 圓心是O,
它的重心是G,
且以R, W
分別 表示△ ABC
的外接圓半徑與它的寬度,
該 三角形的等周虧量是d 2 ,
則有不等式4
9 W 2 ≤ R 2 − OG 2 − 4
27 d 2 (15)
其中等號當且僅當三角形是等邊三角形的時 候成立。證明
:
從三角形的餘弦定理與半角公式 可推知cos A 2 =
s p(p − a) bc , cos B
2 =
s p ( p − b ) ca , cos C
2 =
s p(p − c) ab . 因此
cos A 2 cos B
2 cos C 2 = pS
abc ,
又由
S = 1 2 ab sin C = abc 4 R ,
得到p = 4R cos A 2 cos B 2 cos C 2。
由於
cos A 2 cos B 2 cos C 2 ≤ 3 √ 8 3 ,
故有p ≤ 3 2
√ 3R
及S ≤ 3 2
√ 3 Rr. (16)
因為
h a h b h c = 8 S 3
abc = 2 S 2 R ,
而且h b h c + h c h a + h a h b
= 2 S 2 R
1 h a
+ 1 h b
+ 1 h c
= 2S 2 Rr
依據不等式(16)
得h b h c + h c h a + h a h b ≤ 3 √ 3S
由(14)
式得到W 2 ≤ √
3S. (17)
同定理
1
和定理2
的證明類似,
我們有4 W 2 ≤ 4 √
3 S ≤ 4
3 p 2 ≤ a 2 + b 2 + c 2 ,
及a 2 + b 2 + c 2 = 9(R 2 − OG 2 ),
因此得9(R 2 − OG 2 ) − 4W 2 ≥ 4
3 p 2 − 4 √ 3S.
經過整理後
,
即得出不等式(15)
。不難驗證
,
不等式(16)
中等號當且僅 當三角形是等邊三角形時成立,
由此可以推 知不等式(15)
中的等號當且僅當三角形是 等邊三角形的時候成立。從不等式
(15)
可以得出下列不等式W ≤ 3
2 R (18)
而且不等式
(17)
與不等式(18)
中等號當 且僅當三角形是等邊三角形時成立,
由此得 到下面的兩個推論。推論
1:
在面積為一個定量的一切三角 形中,
以等邊三角形的寬度最大。推論
2:
內接於一個已知圓的一切三角 形中,
以等邊三角形的寬度最大。參考文獻
1. L. Euleri, Novi commentarii academiae scientiarum petropoli. tanoe, 11(1765), 1767, 103-123.
2. R. Weitzenb¨ ock, Math. Z., 5(1919), 137-146.
3. H. Hadwiger, Jber. Deutsch, Math.- Verein, 49(1939), 35-39. Kursiv.
4. Bottema, O., Djordjevi´c, R. ˇ Z., Jani´c, R. R., Mitrinovi´c, D. S., and Vasi´c, P.
M.: Geometric Inequalities, Noordhoff, Groningen, 1969.
5. QI-JI Mao (
毛其吉): On the Isoperi- metric Deficit of a Simplex and of a Polygon, Geometriae Dedicata, 63:93- 98, 1996.
—
本文作者任教於中國江蘇省蘇州教育學 院—
