第二章 文獻探討
第三節 一元一次方程式及其解題錯誤類型
本研究要補救的內容為「一元一次方程式－以符號列式與運算」之章節。研究 者起初對本研究的數學低成就學生施測「一元一次方程式－以符號列式與運算」前 測試卷，據答題結果分析、歸納出在本單元常出現的三項錯誤類型。此外，陳彥廷 與柳賢（2009a、2009b）、郭汾派、林光賢與林福來（1989）、郭汾派（1988）、
戴文賓與邱守榕（1999）、Booth（1988）等多位研究者也發現到，學生在學習一 元一次方程式－代數符號也常出現如研究者所述的三項錯誤類型，包含：
1. 對於代數符號性質不理解，導致作答「運用代數符號記錄數學問題」之題 目，無法正確地以代數式呈現；
2. 因未理解代數符號之性質，導致在「代數式的簡記」出現錯誤（如：將 9x 誤解成 9＋x），此錯誤連帶影響解「代數式的求值」題型，出現解題困難；
3. 因未能將代數式的係數與代數符號分別做處理，導致代數式的合併與化簡 出現錯誤，例如：4＋a＋7＋b＝11（a＋b）。
一、一元一次方程式之相關研究
代數即為運用抽象化變數與邏輯運算自動化函數關係，所形成的一套思維模 式、解決問題的基本框架（林誌彥，2019）。美國數學教師協會（The National Council of Teachers of Mathematics ，簡稱 NCTM）認為，代數學習強調「問題解決」及「運 算技巧」兩面向（Schliemann, Carraher, Brizuela ＆ Earnest, 2003）。洪有情（2009）
指出，「代數」分為基礎代數、抽象代數，而高中以下教授的皆為基礎代數，代數 的範疇包含：代數符號之概念、以代數符號列式、解方程式、解聯立方程式、函數、
多項式、因式分解，由上述可知，方程式為代數的其中一環。
楊朝欽（2007）指出，代數的學習歷程如下：
1. 僅能用一般文字描述問題，未能用代數符號表達未知數；
2. 學會運用代數符號表示未知數，但未能列出代數式來表達一般式；
3. 學會運用代數符號表示未知數，且能用代數符號列出代數式並求解，已將 代數視為處理數字關係以證明規則的工具；
4. 從代數符號的基本概念，學會列出代數式，並發展出函數概念。
（一）代數符號的發展歷程
蕭宇欽（2006）指出，抽象化能力的培養要從代數符號、記號、圖形、數學語 言等內容開始學起；代數符號列式是學習代數相關單元的基礎入門，因為代數符號 列式的學習，是引導我們從既有具體數字概念出發，進階理解「含有非數字符號」
算式的意義與運算操作，代數符號（例如：x、y等）是用來當作未知數的表徵，它 能夠提升解決數學問題的效率（李儼，1992）。由於每個人對於代數符號的概念有 不同的理解和認識，因而做出不一樣的解釋，因此解決代數符號列式相關問題，每 個人的難度認知也有所差異（王如敏，2004；邱婉茹，2001）。
綜合上述，代數符號與數學方程式有緊密的關聯性，而且代數符號也是人們解 決生活問題的一種重要表達方式。
（二）代數符號
Skemp（1987）指出，在概念形成過程中代數具重要功能，代數符號類似語言 的概念，在不同語境代表的含意也不一樣，亦即，相同代數符號可能代表著一樣的 事物，也有可能不同的代數符號代表同一樣事物，所以建立正確的代數符號概念很 重要，假如缺乏正確概念，將衍生後續答題無法正確判讀代數符號代表的含義。洪 健鋒（2016）認為，從算數進階到代數學習，建議學生先把數字當作代數符號來操 作，知道兩者操作程序、結構方面有所不同，如此一來才能把代數式視為一個物件。
Collis（1975）站在學生的角度把代數符號的概念分為六個層次如下（引自陳 彥廷與柳賢，2009a）：
1. 層次一：視代數符號為一個可求出的值，例如：x＋3＝8，方程式中的x代表 著某一個數值；
2. 層次二：指忽略代數符號而不用，例如：有些學生選擇直接忽略代數符號 的存在，或是雖然有看到代數符號，卻不賦予任何意義，所以解題時不把代數符號 條件納入考慮；
3. 層次三：視代數符號為一項物件的符號，例如：把一物件的名稱縮寫成一 個代數符號來表示，例如：三角形的高用h表示；
4. 層次四：視代數符號為一項特定未知數，例如：有一個正三角形，假設每 邊長為m公分，則周長為3m公分；
5. 層次五：把代數符號當作「一般化數字」，而「一般化數字」是指一組有範 圍的數值，並非代表單一數值；
6. 層次六：視代數符號為一項變數，也就是代數符號代表著一項不特定的值，
例如：3m和6m的大小比較。
Küchemnn（1981）用紙筆測驗的方式，調查三千名英國的國中學生在代數方 面的學習成就，藉由紙筆測驗結果分析他們對代數符號的認知，歸納成四種層次
（引自蔡淑裕，2015）：
1. 層次一：進行代數符號的求值、忽略代數符號之能力；
2. 層次二：能初步處理進階的代數符號問題，但尚未能處理特定未知數、一 般數或變數等問題；
3. 層次三：在簡單題目中，已能把代數符號視為特定未知數、一般數或變數；
4. 層次四：在更為複雜的題目中，已有能力把代數符號視為特定未知數、一 般數或變數。
綜合上述，對照Collis提出的六個層次代數符號概念，研究對象對於代數符號 的概念較符合層次一與層次二；而對照「Küchemnn歸納學生對代數符號的四種認 知層次」，研究對象對代數符號的認知較屬於層次二、層次三所述的情形。而且從 兩位學者提出的代數符號概念層次理論可得知，代數單元的概念的形成與發展是 有程序性的，就如同蔡淑裕（2015）所說的，代數概念的建立需要需從抽象概念中 找到其中的共同性，需經過意識、同化，乃至概念重建等程序，才能建立完整的概 念；瞭解代數符號概念與認知層次以後，研究者能夠精確診斷學生的認知程度位在 哪一層次，之後把那個概念層次當作教學的起始點，進行更高層次課程內容的補救 教學，幫助學生藉由先備知識連結新知識，建立正確概念。
（三）方程式
方程式是從代數符號概念衍生而來的，所以必須先瞭解代數符號的涵義，以利 方程式的學習。國一學生學習一元一次方程式單元應習得的基本能力如下：
1. 式子的化簡及運算；
2. 一元一次方程式求解；
3. 解一元一次方程式應用題。
謝孟珊（2000）指出，影響方程式解題的因素包含以下六項：
1. 運算符號的性質及其個數；
2. 未知數出現的次數；
3. 求出來的值是否為整數 4. 係數大小；
5. 題目中是否含有小括號、中括號。
林誌彥（2019）、洪有情（2009）指出，代數思維分為程序性和結構性兩個構 面，程序性指算術運算部分，例如：將數值代入代數式做運算，而結構性強調代數 的運算規則，例如：代數符號簡記、代數式化簡、解方程式等。
蕭新雄、徐偉民（2017）指出，一元一次方程式解題歷程分為「列方程式」與
「解方程式」，分述如下：
1. 列方程式：先假設未知數，接著以符號代表數字，之後整合出方程式；
2. 解方程式：先化簡運算，之後利用等量公理或移項法則求解。
所謂運用等量公理，即為運用加、減、乘、除法的等量公理解題技巧來解方程 式；而移項法則即為當未知數從方程式等號的一邊移至另一邊，必須遵守「加、減 法移項後符號會相反，乘、除法移項後符號會相反」的規則。
然而，郭輝煌（2014）指出，目前教授一元一次方程式解題方法，還是以等量 公理或移項法則兩種方式為主流，坊間教科書則以等量公理為主流，然而多數人較 偏好使用移項法則來解題，原因在於只要口訣記憶即可解方程式，但許多人卻不知 題目中「－」的性質而造成混淆，例如：−1
3𝑥＝12，以為「負號移項變正號」，衍 生出 12÷1
3＝36 之解題錯誤。
（四）文字題
文字題又可為應用題或情境題，它是一種透過語文表達問題情境的考題型式
（侯鳳秋、陳龍川，1999）。陳立倫（1999）認為文字題解題歷程很繁雜，從文字 敘述轉譯成數字或式子，這並非單一運算符號就能完成，而是需要在文字與數字之
間的鴻溝搭建橋樑，此透露出文字與數字兩者能力整合的高困難度，也打破了過去 許多人認為數學能力僅等同於運算能力的刻板印象；知識應用與基礎能力體現過 去的能力培養，像是數學代數符號的理解能力、推理能力訓練、問題解決能力，以 及學過的知識，兩者與自身的生活經驗做連結，這樣學到的才是有統整性的數學知 識，而非零散的。楊金城（2005）認為，文字題出題宗旨是希望學生從個人生活經 驗出發，察覺自身生活周遭有關數學的問題或知識，把它轉換成數學符號或語言，
並將待解的數學問題形成數學問題之後，運用解題策略、溝通等方式進行解題，在 解題結果回歸到原來的題目情境做評析與調整之步驟，把問題與解題一般化；林清 山與張景媛（1994）對出數學應用題的見解或看法，如下：
1. 文字題是一種數學工具，也是一種解決非規則性問題的能力培養，學生能 把學校所學的數學能力帶進未來生活、職場妥善運用；
2. 文字題的題目情境是用文字陳述呈現，問題的答案可由題目線索尋得答案；
3. 認為數學應用題是提供學生把生活經驗數學化的學習機會或過程；
4. 認為數學應用題為同時考驗語言轉譯、數學概念能力的一種出題型式，這 樣的出題模式比起普通計算題的困難度艱難許多，需具備更高深的綜合能力，才有 能力完成。
Vasquez（1982）指出，大部分學生做數學題時，看到文字題有很大的內心恐 懼，而且也特別點名到國中學生最不喜歡數學應用題。詹士宜（2017）認為，有些 數學低成就的學生時常因為看到題目文字冗長，內心感到恐懼而選擇逃避跳題，其
Vasquez（1982）指出，大部分學生做數學題時，看到文字題有很大的內心恐 懼，而且也特別點名到國中學生最不喜歡數學應用題。詹士宜（2017）認為，有些 數學低成就的學生時常因為看到題目文字冗長，內心感到恐懼而選擇逃避跳題，其