結論

代數單元是國中數學核心課程之一，也是銜接高等數學之根基，我國中學數學 教育國一上開始就有代數課程，並以一元一次方程式作為建構代數觀念的起始單 元；此外，皮亞傑的認知發展理論中也指出，中學生於形式運思期階段應具備抽象 符號假設能力，抽象代數符號的學習有助未來數理領域的學習及發展，上述顯示

「一元一次方程式－以符號列式與運算」的基礎養成十分重要；所以研究者認為協 助數學低成就學生找出他們在「一元一次方程式－以符號列式與運算」的錯誤類型 並做修正，對他們未來學習難度更高的代數單元有相當助益；在此，數學低成就學 生於「一元一次方程式－以符號列式與運算」有哪些錯誤類型、針對不同錯誤類型 之教學策略、補救成效是本研究所要探討的。

一、錯誤類型一、錯誤類型二、錯誤類型三主要各含四項錯誤類型狀態，

經交叉比對後發現錯誤類型狀態有部分共通性

（一）錯誤類型一：未能正確運用運算符號與代數符號記錄成代數式

研究結果發現，學生主要的錯誤類型狀態可歸納成四項：1. 題目要求依題意 列出長方形周長的代數式，但學生對長方形周長的計算公式認知錯誤，他們所認為 的長方形周長計算公式為「長．寬」，由此可知，「使用長方形面積公式來計算長 方形周長」為問題所在，導致代數式列式錯誤；2. 學生未建立「代數式化簡結果 可能呈現 a±bx 或 ax±b 型式之概念」，認為「式子經過加、減、乘、除運算後答 案會變成單項式，例如：5x 或 3 等單項式，化簡後答案不該再出現運算符號」，

所以當代數式化簡結果呈現 a±bx 或 ax±b 型式時，學生會想盡辦法把答案化簡成 類似 5x 或 3 等單項型式，此種錯誤類型可與本研究文獻探討中學者提出的「認為 式子化簡後結果為『單項式』型式」相呼應；3. 類似像「假設媽媽 x 歲，爸爸又比 媽媽大三歲」，屬於單位個數添加考題，所以要用加法列式，而「一顆水梨 x 元，

西瓜為 4 顆水梨的價錢」屬於兩物件的價格呈倍數關係之考題，所以要用乘法列 式，然而學生因未建構「兩物件間價格、數量呈倍數關係」、「物件單位個數添加」

兩者差異，導致無法清楚判斷何者適用加法、乘法列式，衍生列式結果錯誤；4. 以 前測例題四為例，「因閱讀能力不足掌握不到題意，造成邏輯推理阻礙」，還有缺 乏「玩一次的費用×玩的次數＝全部花費」的先備知識，上述兩者原因為學生作答 此題型的絆腳石，依據本研究文獻探討，我們可把「先備知識不足」與 Engelhardt

（1982）提出的「缺乏概念」兩者相互連結。

（二）錯誤類型二：代數符號簡記錯誤

研究結果發現，研究對象有以下五項錯誤類型狀態：1. 在「ax·ax」型式的代 數式簡記，未將數字項、代數符號都做相乘步驟，導致代數式簡記錯誤，例如：3x·

3x＝9x 之類錯誤；2. 解「『含有負號』的乘法代數符號簡記」題目會把負號與減 號混淆，導致乘法代數符號簡記錯誤，例如：4·（－2x）＝（4－2）x 之類似錯誤；

3. 遇到「代數符號－分數型乘法簡記」題型，因不知道要使用分數乘法計算來解 題，所以問題出在不知道解題技巧，看到題目不知要從何處下手；4. 遇到「代數 符號－分數型除法簡記」題型，部分學生因不會分數除法運算，所以不會解題，而 部分學生因分數除法運算概念模糊甚至有誤，例如：x÷（－7）＝x·（－^𝟏

𝟕）＝ ¹

𝑥·(−𝟕)， 因不清楚前項「x」應擺在答案的分子還是分母，導致「代數符號－分數型除法簡 記」錯誤。

（三）錯誤類型三：代數符號及數字同類項合併、記錄錯誤

研究結果發現，研究對象因未能正確地將代數符號、數字做分別處理，導致代 數式的合併與化簡出現錯誤，也就是說，因為沒有將含 x、y 項及常數項先括號分 類再做加、減運算，卻將不同型式的項次混在一起計算、合併，導致代數式化簡錯 誤；然而在「未能正確地將代數符號、數字做分別處理」這部分，經綜合比對分析 後歸納出四種錯誤類型狀態：1. 遇到「含括號之代數符號及數字同類項合併」題 型時，學生先將前兩項的係數相加後乘以 x，後兩項的係數相加後乘以 x，最後再 把兩項相減合併成一項答案，例如：（3x－1）＋（6x＋9）＝2x＋15x＝17x 之類似 作法；2. 將所有係數依序加減運算後再加 x，例如：2x＋6－7＋3x＝（2＋6－7＋

3）＋x 之類似作法；3. 將所有係數依序加減運算後再乘以 x，得到一項答案，例 如：（3x－1）＋（6x＋9）＝（3－1＋6＋9）x 之類似作法；4. 先分別把含有 x 項、

係數項做合併，再接續將其結果合併成一項，針對「再接續將其結果合併成一項」

錯誤類型狀態，就誠如錯誤類型一所提「學生因未建立代數式化簡結果可能呈現 a±bx 或 ax±b 型式之概念」，導致做完代數符號及數字同類項合併後，當答案呈現 a±bx 或 ax±b 型式時，即出現「要繼續化簡到單項式（如『ax』、『b』型式）的

二、針對不同錯誤類型狀態，教學者所採用的各項教學策略與對應方式

（一）錯誤類型一：未能正確運用運算符號與代數符號記錄成代數式

1. 為修正「認為式子化簡結果為『單項式』型式」錯誤類型狀態，研究者先幫 學生釐清「代數式」的定義，透過「用＋、－、×、÷符號把 x、y 等代數符號和數 字連接起來，長這樣的式子稱為代數式」的文字講解，然後一面寫出類似「x＋3」、

「x－4」、「y×7」、「z÷5」等式子，學生能清楚理解代數式定義，學習的當下就 把代數式的樣子印記到腦海中；瞭解代數式定義後，接著強調「文字符號也可以像 數字一樣可以做運算，經過運算後代數式的化簡結果可能呈現 a+5、x－4 型式，

所以從這樣的概念我們可以知道，運算、化簡後的答案型式不一定是單項式（5 或 3x 等型式）」，以上教學成功修正「認為式子化簡結果為『單項式』型式」錯誤概 念。

2. 跟學生提點在答題過程若遇到困難，不妨試著畫數線幫助理解題意與列式；

以前測題目例題 2 為例，學生看到「爸爸比媽媽大 3 歲」不確定要用乘法還是加法 列式，針對此問題，研究者透過畫出類似時間軸的數線講解題意，有效澄清「大 3 歲」並非倍數概念，同時有效修正列式錯誤之問題。

3. 遇到類似像「假設一顆水梨 x 元，一顆西瓜的價錢比 4 顆水梨多 5 元，試 問一顆西瓜多少元？請將文字敘述寫成代數式」的題目，學生的盲點在於「不確定 題目中的『多 5 元』是要用『＋』還是『×』列式」；為了釐清概念，研究者先簡 化題目問學生：「我身上有 3 元，你身上的錢比我多 5 元，請問你身上有多少元？」

此時學生就說：「3＋5 等於 8，所以我身上有 8 元」；之後再舉一個有關倍數的題 目並問學生：「我身上有 3 元，你身上的錢是我的 5 倍，請問你身上有多少元？」

此時學生就說：「3×5 等於 15，所以我身上有 15 元」，同時告訴學生萬一分不清 楚時，可用老師舉的這個例子來反推題目，判斷應該要用加法還是加法列式。利用 簡易的舉例幫助學生釐清盲點，有效修正列式錯誤的問題。

4. 列表格講解為一種有效引導學生思考之方式，不僅邏輯更加清晰，學習效 率也提升；以教案（I）範例 4 題型為例，起初學生看完題目後說不會寫，後來研 究者發現因為沒有「玩一次的費用×玩的次數＝全部的花費」概念，因此研究者把 題目所要問的概念列表格、代入具體數字，用乘法概念講解引導理解表格內容的相 互關係，當他們對題目有相當程度的理解後，再回歸到原題目用除法反推，學生能 舉一反三正確列出代數式。

（二）能正確作答代數式簡記題目

1. 作答「ax·ax」型式代數式簡記時，學生經常出現未將「數字項、代數符號 都做相乘步驟」錯誤類型狀態，起因是學生並未理解為何要將「數字項、代數符號 都做相乘」，因此研究者將其來龍去脈重新講解一次，「ax·ax＝（a·a）·（x·x）

＝𝑎²𝑥²」，並舉個簡易例子，例如：「3x·3x＝9𝑥²」，成功修正上述錯誤。

2. 針對「x 乘以（－a）」型式的代數符號簡記題目中，誤把負號理解成減號 之錯誤類型狀態，研究者在教材中的範例有特別強調「x·（－a）」型式簡記的意 義；首先，題目是「x 乘以（－a）」，所以一定是用乘法來簡記，絕非用減法來表 示，而且既然是乘法就會和「倍數」有關聯性。舉例來說，x·（－2）相乘後可簡 記為－2x，而這個（－2）有倍數的意涵，也就是說這個（－2）是 x 的倍數，所以 我們可把這個－2x 稱為 x 的－2 倍。透過倍數概念講解「x·（－a）」型式的簡記 意義後，學生就能夠理解括號裡面的「－」符號是負號而不是減號，成功修正學生 在「x 乘以（－a）」型式的代數符號簡記題目中，誤把負號理解成減號的問題。

3. 研究對象看到「分數型乘法代數式簡記」題型一頭霧水，後來發現他們僅 是不知道解題技巧，在分數乘法計算沒有太大問題，因此直接提示學生遇到「分數 型乘法代數式簡記」題型，「就跟計算分數乘法的做法一樣，只不過題目裡面多了 x、y 等代數符號」，順利排除他們不知道要從何解題的困惑。

4. 綜合研究對象的「分數型除法代數式簡記」錯誤類型狀態，研究者統一從 分數除法的基礎運算教起，並舉例說明，例如：「5÷6 要用分數表示的話，要先將 5 乘以 6 的倒數即為 5¹

6，就可以得知答案為⁵

6」，我們由上面的計算過程可觀察一 個計算規則，「除以某一個數，等於乘以該數字的倒數」；學生依循上述計算規則，

回歸到含有代數符號的「分數型除法代數式簡記」題目，能夠正確回答其計算過程，

順利修正「分數型除法代數式簡記」之錯誤類型狀態。

（三）能正確將代數符號同類項合併與化簡

1. 綜合研究對象「未能正確將代數符號同類項合併與化簡」之錯誤類型狀態，

研究者統一教學，舉實例教導學生「先把含有 x 的項次用紅筆圈起來，把它們視為 同一家族的人，接著把只有數字的項次用藍筆圈起來，把它們視為另一家族的人；

研究者確認沒問題後，請學生把含有代數符號的項次括號一起，把常數項括號一起，

研究者確認沒問題後，請學生把含有代數符號的項次括號一起，把常數項括號一起，