國立臺東大學教育學系 課程與教學碩士班
碩士論文
指導教授：王前龍 博士
一元一次方程式解題錯誤類型 補救教學之研究
研 究 生：陳卓怡 撰
中 華 民 國 一 ○ 九 年 六 月
國立臺東大學教育學系 課程與教學碩士班
碩士論文
一元一次方程式解題錯誤類型 補救教學之研究
研 究 生：陳卓怡 撰 指導教授：王前龍 博士
中 華 民 國 一 ○ 九 年 六月
謝 誌
大三那年我決定繼續升學，除了想取得碩士學位外，也是鼓勵自己勇敢踏出舒 適圈，精進自我提升個人學識涵養，接觸更多不同領域的人。在臺東大學求學期間，
同時要兼顧碩士班的課業與論文產出，備感艱辛、充滿挑戰性，但在這過程中我很 努力學習，奠定了紮實的理論知識，也獲得不同的人生體驗與收穫。
還記得剛進入課程所的第一週，前龍老師在第一堂課談論如何有效率地完成 學業，抓緊時間在兩年內完成論文準時畢業，此外，在碩一的一整年裡，前龍老師 在課堂上經常強調「我們與畢業的距離」這件事情，督促大家要把撰寫論文這件大 事放在心上，我能夠深刻感受到老師的用心良苦，十分積極地想幫助大家找出論文 撰寫方向，慢慢建立基本架構，因此我在修課之餘，也花許多時間與精力思考、撰 寫論文，按時完成老師所訂定的進度，逐步往前推進。論文撰寫就好比是一段很漫 長的腦力激盪訓練，相信經過長時間的訓練下，寫作技巧方面會有所進步；論文撰 寫更像是一場耐力考驗比賽，唯有堅持、堅持、再堅持，秉持莫忘初衷的信念，才 能一氣呵成完成學業。
最後，十分感謝指導教授王前龍老師的用心付出與耐心指導，以及口試委員們 提供許多寶貴的建議；也很感謝自己這段時間的努力與付出，如期完成論文，順利 完成人生階段性任務，在此也感謝家人、師長及朋友們的全力支持，謝謝大家！
陳卓怡 謹致於 2020 年 6 月
一元一次方程式解題錯誤類型 補救教學之研究
作 者 ： 陳 卓 怡
國 立 臺 東 大 學 教 育 學 系 課 程 與 教 學 碩 士 班
摘 要
本研究利用「一元一次方程式－以符號列式與運算」前測試卷，對高雄市某國 中七年級補救班級學生（共五位）進行紙筆測驗，其分數作為學習成效前測數據，
並從答錯試題探討學生在本單元常出現的錯誤類型之狀態，據以發展補救教學之 目的；經分析後歸納出學生常出現三項錯誤類型，接著針對三項錯誤類型進行補救 教學；完成補救教學後，再次對研究對象施測「一元一次方程式－以符號列式與運 算」後測試卷，其分數作為學習成效後測數據，探討「一元一次方程式－以符號列 式與運算」三項錯誤類型之補救成效。
研究結果為：一、學生在「一元一次方程式－以符號列式與運算」常出現的三 項錯誤類型之狀態主要如下：1. 錯誤類型一：未理解運算符號與代數符號之使用 方式，且認為式子化簡結果為單項式型式，以及題意理解能力不佳，導致未能正確 運用運算符號與代數符號記錄成代數式；2. 錯誤類型二：主要是未依題意進行乘 法運算、化簡，卻用加、減法進行代數符號與數字運算，組合答案；3. 錯誤類型 三：主要是未能正確地將代數符號、數字做分別合併，卻將前兩項與後兩項係數合 併與運算，導致代數式合併、化簡結果錯誤。二、第一次補救後全部學生已能正確 運用「運算符號與代數符號將題意記錄成代數式」；二次補救後全部學生在「代數 符號簡記」、「代數符號及數字同類項合併、記錄」的解題能力、答題正確率有明 顯進步，教學實驗證明補救後學習成效顯著提升。
The Types of Errors in Solving Problems of Linear Equations in One Variable Study of Remedial Teaching
Chen, Zhuo-Yi Abstract
This study the pre-test paper of " Linear equations in one variable – use symbols to develop a formula and calculate " to conduct a written test for five 7th grader from Kaohsiung. Their scores were used as the pre-test data of learning effectiveness, and to discover the types of errors that students often made in this unit from their wrong answers in order to develop the remedial teaching. After analysis, we concluded that students often made three types of mistakes, then we aimed at these three types of mistakes to conduct the remedial teaching. After completed remedial teaching to these students, the post-test to the research objects with " Linear equations in one variable – use symbols to develop a formula and calculate " was processed again. Their scores were used as post-test data for learning effectiveness, and to discover the remedial effects on these three types of errors in " Linear equations in one variable – use symbols to develop a formula and calculate
".
The research results are as follows: First of all, the situation of these three types of errors that students often made in " Linear equations in one variable – use symbols to develop a formula and calculate" are : 1. Error type one: Students did not understand the usage of operational symbols and algebraic symbols, and thought that the result of formula simplification should be a single-term type, furthermore the ability to understand the problem was poor, resulting in the failure to correctly use the operational symbols and algebraic symbols into algebraic form. 2. Error type two:
Students mainly didn’t carry out the multiplication and simplification according to the meaning of the question, but used addition and subtraction to operate the algebraic signs and calculating numbers to obtain the answers.
3. Error type 3: The main mistake that students made was that the algebraic symbols and numbers were not correctly merged separately, students mostly combined the first two and the last two coefficients and did the operations;
this has led to erroneous results of algebraic term merging and simplification.
use the "operational symbols and algebraic symbols to resolve the problem into algebraic terms"; After the second remedial teaching, all students had completely corrected these two types of errors in "abbreviation of algebraic symbols", "merging and recording the same terms of algebraic symbols and numbers", therefore the teaching experiment has shown that the effectiveness of learning after remediation is significantly improved.
Keywords: Linear Equations in One Variable, Mathematic error types,
Mathematic remedial teaching
目次
謝 誌...i
中文摘要...ii
Abstract...iii
目 次...v
表 次...viii
圖 次...xi
第一章 緒論...1
第一節 研究背景與動機……...1
第二節 研究目的與問題...4
第三節 名詞釋義...4
第四節 研究範圍與限制...6
第二章 文獻探討...9
第一節 補救教學之理念與方法...9
第二節 數學學習成就低落學生之補救教學...17
第三節 一元一次方程式及其解題錯誤類型...22
第四節 相關研究...33
第三章 研究設計與實施...37
第一節 研究架構與流程...37
第二節 研究場域與對象...39
第三節 研究方法...45
第四節 研究設計...47
第五節 研究工具...48
第六節 資料處理與分析...57
第七節 教育研究倫理...59
第四章 研究發現與討論...61
第一節 分析學生於三項錯誤類型之狀態...61
第二節 三項錯誤類型補救教學對學生的學習成效影響...84
第五章 結論與建議...97
第一節 結論...97
第二節 建議...103
參考文獻...107
附錄 附錄 1 一元一次方程式補救教學教案（I）...117
附錄 2 一元一次方程式補救教學教案（Ⅱ）...123
附錄 3 一元一次方程式補救教學教案（Ⅲ）...127
附錄 4 一元一次方程式補救教學教案（Ⅳ）...131
附錄 5 「一元一次方程式－以符號列式與運算」前測專家試卷審閱...135
附錄 6 「一元一次方程式－以符號列式與運算」後測專家試卷審閱...139
附錄 7 「一元一次方程式－以符號列式與運算」學習單專家試卷審閱. 143 附錄 8 「一元一次方程式－以符號列式與運算」評量卷1專家試卷審閱149 附錄 9 「一元一次方程式－以符號列式與運算」評量卷2專家試卷審閱151 附錄 10「一元一次方程式－以符號列式與運算」評量卷3專家試卷審閱153 附錄 11「一元一次方程式－以符號列式與運算」前測正式試卷...155
附錄 12「一元一次方程式－以符號列式與運算」後測正式試卷...159
附錄 13「一元一次方程式－以符號列式與運算」學習單（正式版）….163
附錄 14「一元一次方程式－以符號列式與運算」評量卷1（正式版）...165
附錄 15「一元一次方程式－以符號列式與運算」評量卷2（正式版）...167
附錄 16「一元一次方程式－以符號列式與運算」評量卷3（正式版）...169
附錄 17 訪談知情同意書...171
附錄 18 訪談大綱...173
附錄 19 訪談紀錄...175
附錄 20 學生答題情況紀錄表...179
附錄 21 教學日誌...183
表 次
表 1 三層級學習支援系統...12
表 2 S1研究參與者背景分析與概念錯誤類型...40
表 3 S2研究參與者背景分析與概念錯誤類型…...41
表 4 S3研究參與者背景分析與概念錯誤類型…...42
表 5 S4研究參與者背景分析與概念錯誤類型...43
表 6 S5研究參與者背景分析與概念錯誤類型...44
表 7 教學實驗設計...47
表 8 教學實驗課程規劃簡表...47
表 9 研究工具總表...48
表 10 前、後測試卷－專家效度名單……...49
表 11 前測試卷－專家審題修改對照表...50
表 12 後測試卷－專家審題修改對照表...51
表 13 研究對象及「一元一次方程式－以符號列式與運算」前、後測成績…....52
表 14 學習單－專家審題修改對照表...52
表 15 評量卷1－專家審題修改對照表...54
表 16 評量卷2－專家審題修改對照表...54
表 17 評量卷3－專家審題修改對照表...55
表 18「一元一次方程式－以符號列式與運算」前測答題情形分析（N＝5）….62 表 19 錯誤類型一（例題1）之解題狀態分析...63
表 20 錯誤類型一（例題2）之解題狀態分析...64
表 21 錯誤類型一（例題3）之解題狀態分析...65
表 23 錯誤類型二（例題5）之解題狀態分析...69
表 24 錯誤類型二（例題6）之解題狀態分析...70
表 25 錯誤類型二（例題7）之解題狀態分析...71
表 26 錯誤類型二（例題8）之解題狀態分析...72
表 27 錯誤類型二（例題9）之解題狀態分析...73
表 28 錯誤類型二（例題10）之解題狀態分析...74
表 29 錯誤類型二（例題11）之解題狀態分析...75
表 30 錯誤類型二（例題12）之解題狀態分析...75
表 31 錯誤類型三（例題13）之解題狀態分析...77
表 32 錯誤類型三（例題14）之解題狀態分析...79
表 33 錯誤類型三（例題15）之解題狀態分析...81
表 34 前、後測成績－描述性統計分析（N＝5）...86
表 35 錯誤類型一成績描述性統計分析（N＝5）...86
表 36 錯誤類型二成績描述性統計分析（N＝5）...86
表 37 錯誤類型三成績描述性統計分析（N＝5）...87
表 38 整體學習成效－前、後測總成績相依樣本t檢定（N＝5）...88
表 39 錯誤類型一學習成效－前、後測成績相依樣本t檢定（N＝5）...88
表 40 錯誤類型二學習成效－前、後測成績相依樣本t檢定（N＝5）...89
表 41 錯誤類型三學習成效－前、後測成績相依樣本t檢定（N＝5）...89
表 42「一元一次方程式－以符號列式與運算」後測答題情形分析（N＝5）...90
表 43 錯誤類型一之解題狀態分析（後測）...91
表 44 錯誤類型二之解題狀態分析（後測）...91
表 45 錯誤類型三（例題13）之解題狀態分析（後測）...92
表 46 錯誤類型三（例題14）之解題狀態分析（後測）...93
表 47 錯誤類型三（例題15）之解題狀態分析（後測）...94
表 48 實驗組與控制組前測、後測設計...105
圖 次
圖 1 研究架構圖...37 圖 2 研究流程圖...38
第一章 緒論
本章共分四節，第一節為研究背景與動機，第二節為研究目的與問題，第三節 為名詞釋義，第四節為研究範圍與限制。
第一節 研究背景與動機
追求教育公平性、提升教育品質是國際間長期關切的議題（Rodriguez, 2005）， 偏鄉地區的學校多位在交通不便之處、獲得的社會與教育資源較都市地區學校薄 弱、經費不足，軟硬體設備更新速度慢、城鄉師資分配不均，教師的年資淺，教學 經驗不足，且流動率高，上述皆為偏鄉學校或是經濟、文化弱勢地區學校的學生們，
受到教育機會不均等待遇之重要原因，也影響到學生學習表現。有研究指出，臺灣 自九年一貫課程開始施行後，城鄉教育品質和教育結果的差距更為擴大，學生程度 形成一個顯著的 M 型化趨勢，同時也更突顯出「處於社經、文化弱勢的偏鄉學校」
教學品質每況愈下的情況（邱坤良，2007；徐偉民、劉曼麗，2015；甄曉蘭，2007）。
偏鄉地區的學童多數來自社會、經濟、文化弱勢家庭，處於不利於學習的環境，
而且長期以來，許多實徵研究已證實家庭社經地位與學童學業成就高低有正相關
（李宜玫，2012），因此相對而言，偏鄉地區學習成就低落學生的比例較都市地區 的學校高，然而，教育部正視到協助「學習成就低落學生」問題的重要性與急迫性，
因此積極地計畫與推動「補救教學」相關政策（楊智穎、陳怡玲，2013）。補救教 學的核心精神在於「落實教育公平」、「把每個孩子帶上來」，給予學習成就低落 學童更多額外的學業補強，把他們的競爭能力提升至平均水準（許素娟，2018），
或提供屬於低成就學生的高危險群，像是貧窮弱勢家庭的國中小學生們做一個預 防性補救教學，預防學生學習失敗，鞏固基本學力（李彥儀，2016；曾世杰、陳淑 麗，2010），同時降低馬太效應情況發生（簡淑真，2010）。
甘鳳琴（2007）研究指出，學習能力的強弱差距從五歲就開始，小學一年級成 績最後10%，小學六年級時有89%的機會，仍然是最後的10%；小學二、三年級提 供補救教學達到普通班級水準的機會分別是82%和46%，但到了小學五年級到國中 一年級，只有10至15%的機會；另外，鄭章華、林佳慧（2012）也指出，大部分的 學童如果在國小階段數學科學習表現即不理想，到了國中階段，學習成績落在班上 後段的可能性會很高，造成數學科越學越差，陷入惡性循環。綜合前述，彰顯出補 救教學及早介入的重要性，越早開始效果越好。補救教學是學習輔導重要環節，每 當學生有學習困難時，應獲得適當的診斷式教學（唐淑華，2013），把不會的基本 觀念弄懂，減少學生學業失敗的機會，否則輸在起跑點，隨著課程進度的進行，不
會的內容累積越來越多，學習能力和同儕之間只會差距擴大，學生在往後的學習道 路上會遇到更多的障礙，漸漸地失去自信心與喪失學習動力。
英國前首相布萊爾（T. Blair,1953-）曾說：「教育是一種機會的概念，也是社 會正義、權利的象徵」（Gillborn＆Youdell,2000）。教育發展是評估現代化國家指 標之一，教育投資有助促進國家社經發展，落實教育機會均等、社會正義（教育部，
2017）。陳俊宏（2016）也認為，受教育不僅是個人獲得知識，廣泛的來看，也有 減少社會成本的功能，利於社會整體發展。假使國民教育學識不足，社會需要付出 龐大代價彌補衍生出來的問題，例如：學業低成就可能導致未來沒辦法找到穩定、
高所得的工作，導致國民所得減少，政府稅收也隨之減少，社會福利支出增加；學 業低成就甚至可能引發個人情緒憂鬱或焦慮，或者社會適應不良，無法與人和平共 處等問題（王瓊珠，2017；Diaz, 1998），造成犯罪率上升，治安不佳等隱憂，對 國家整體影響甚鉅。因此，從「鞏固孩子們的基本學力」做起才是根本，不僅利於 個人未來生涯發展，同時為國家社會、經濟帶來利基（楊怡姿，2017），如能達到 高品質教育之標竿，更是每一位公民最大的福祉，也是國家最大的財富。
此外，為了配合十二年國教政策之推動，教育部2012年起整合相關人力和資源
，推動「國民小學及國民中學補救教學實施方案」；2013年起，教育部進階將相關 計畫整合為「十二年國教補救教學實施方案」，期望能將低成就學生都帶上來，國 民小學及國民中學補救教學實施方案實行至今已經超過五年，經費投入逐年增加
（田建中，2017），該方案實施至今，總投入經費是相當可觀的金額。此外，政府 考量到人力及資源有限的問題，教育部國民及學前教育署自2014 年起，積極與民 間基金會攜手合作，一起為補救教學向下紮根、師資培訓、編輯教材等等投入更多 資源與心力，齊心打造更密集、完善的補救教學網絡（教育部，2015）。雖然公、
私部門多年來挹注多方資源進補救教學系統，但要達到提升補救教學的整體品質 與成效，並非單一投入大量的教育經費、建造教育設施、增加大量師資人力就能達 成目標，大家也應該把焦點聚焦在整個教育過程的課程教學品質、學習成效，補救 教學系統的功能才會完整地被彰顯（甄曉蘭，2007）。
國中學生數學程度有明顯「差異化」，是目前國中數學教師在教學過程中所面 臨的一大挑戰。由於每位學生對於數學科的敏銳度不同，相對吸收數學知識的速度 有差異，在國中分班沒有經過考試分流、常態分班的情況下，產生了「同一班級裡，
儘管每位學生拿著相同程度的教材，上著相同的教學進度，卻還是存在數學學習低 成就的學生」的問題。部分學生因先天環境不利因素，例如：語言文化差異、經濟 弱勢、家庭問題，導致數學學習成就低落，也有部分數學學習低成的學生，本身有 心想學，也花費許多時間及心思在上面，但用錯方法，成績始終沒起色；甚至有部 分學生因為學習動機低弱，又歷經多次挫折，失去信心，直接放棄數學科（施信源、
顏美雯，2015）。歸納上述情況，彰顯出實施數學科補救教學的重要性與及早介入 的必要性。進行數學科補救教學的過程，教師應透過有效的教學策略，從基本觀念
且慢慢建立學生正確的學習方法，幫助建立成功的機會，重拾學習數學的興趣與熱 情（林玉雲，2017）。
依據皮亞傑－認知發展理論，中學生正處於青少年時期，屬於形式運思期階段
，學生應具備抽象符號之假設、演繹推理能力，所以將抽象的代數符號概念融入國 中數學課程之中，也是幫助未來數理領域的學習及發展（謝和秀，2000）；國中數 學學習分為四主軸：數與量、代數、幾何、統計與機率等，每一主軸皆有獨自的學 習順序，基本概念理解開始，逐步增難、學習範疇擴大，乃至將所學應用到生活之 中（徐偉民、劉曼麗，2015）。學習代數單元是銜接高等數學的根基，中學生在該 階段已具備一般知識結構和能力，足以用來學習較高層次的數學，我國中學數學教 育從國一上開始就有代數課程，以一元一次方程式作為建構代數觀念的起始單元，
之後代數符號概念不斷加深加廣，持續延伸到國三下的二次函數單元；代數單元在 國中數學全部課程中佔比將近三分之一，算是在國中數學整體課程佔有一席之地
（楊淑如，2016；謝和秀，2000；Olive, Izsak, ＆ Blanton, 2002）。洪健鋒（2016）
認為，算數與代數之間是有連貫性的，因此學習代數有助於「代數與算數」間的思 路轉換與靈活運用。綜合上面所述，奠定良好的代數基礎，不僅對學生的推理、邏 輯思考能力有相當助益，而且代數單元在國中數學課程佔有相當比重，對國中教育 會考成績有很大的影響，因此「一元一次方程式」單元的基礎養成是一個值得研究 的議題。
謝和秀（2000）於教學現場教完一元一次方程式單元後，讓學生進行習題演練，
然後幫他們把答錯試題歸納成數種錯誤類型；而所謂的「錯誤類型」，林清山與張 景媛（1994）、張鳳燕（1991）、Babbitt（1990）、Kathleen（1987）等人認為，
錯誤類型是指在處理某單元（主題）的數學問題時，可能會出現多種可能性的錯誤，
我們根據每一種不同錯誤的關鍵因素或錯誤特徵，把它一一分類，每一種被分類出 來的錯誤被視為一種錯誤類型；李芳樂（1993）將錯誤類型概分為系統性錯誤和隨 機型錯誤，前者是指因學到錯誤觀念，導致應用到解題時，於類似問題中重複出現 相同性質的錯誤，此種錯誤類型屬於系統性錯誤；後者是因疏忽而造成運算式中有 瑕疵，此種錯誤類型屬於隨機型錯誤。而本研究所指稱的答題錯誤類型，屬系統性 錯誤，理由在於學生因對代數符號基本觀念不理解，導致解類似觀念的題型出現重 複性錯誤。此外，一元一次方程式的錯誤類型可分為三種：有關代數符號的錯誤類 型、有關方程式的錯誤類型、有關文字題的錯誤類型，而本研究是針對代數符號類 型的錯誤進行補救。
本研究起初對研究對象進行「一元一次方程式－以符號列式與運算」前測筆試
，其分數作為學習成效前測數據，並從答錯試題探討學生在本單元常出現的錯誤類 型之狀態，據以發展補救教學之目的；經分析後歸納出學生常出現三項錯誤類型，
接著研究者實際擔任本研究的教學者，針對三項錯誤類型進行補救；補救後再對研 究對象進行「一元一次方程式－以符號列式與運算」後測筆試，其分數作為學習成
第二節 研究目的與問題
一、研究目的
基於上述研究背景與動機，本研究目的為：
（一）探討七年級學生「一元一次方程式－以符號列式與運算」錯誤類型之狀態
，據以發展補救教學之目標。
（二）探討教學者針對七年級學生「一元一次方程式－以符號列式與運算」不同 錯誤類型狀態所採用的教學策略。
（三）探討七年級學生接受「一元一次方程式－以符號列式與運算」錯誤類型補 救教學之成效。
二、研究問題
基於上述之研究目的，本研究之問題為：
（一）探討七年級學生「一元一次方程式－以符號列式與運算」錯誤類型之狀態 為何？
（二）探討教學者針對七年級學生「一元一次方程式－以符號列式與運算」不同 錯誤類型狀態所採用的教學策略為何？
（三）探討七年級學生接受「一元一次方程式－以符號列式與運算」錯誤類型補 救教學後，學習成效為何？
第三節 名詞釋義
一、數學錯誤類型
錯誤類型是指數學解題過程中發生錯誤，依據其錯誤，關鍵性地做出某幾種歸 納及分類，其各項類型稱為錯誤類型。林清山與張景媛（1994）、張鳳燕（1991）、
Babbitt（1990）、Kathleen（1987）等人認為，錯誤類型是指在處理某單元（主題）
的數學問題時，根據每一種不同錯誤的關鍵因素或錯誤特徵，把它一一分類，每一 種被分類出來的錯誤被視為一種錯誤類型；李芳樂（1993）認為錯誤類型可概分為 系統性錯誤和隨機型錯誤，前者指因學到錯誤觀念，導致應用到解題時，於類似問 題中重複出現相同性質的錯誤，此種錯誤類型屬於系統性錯誤；後者是因疏忽而造
郭汾派與林光賢及林福來（1989）、郭汾派（1988）等人，將一元一次方程式的錯 誤類型其內涵概括成三項：有關代數符號的錯誤類型、有關方程式的錯誤類型、有 關文字題的錯誤類型，而本研究所補救的「以符號列式與運算」是被歸類在「代數 符號的錯誤類型」。
本研究是依據研究對象「一元一次方程式－以符號列式與運算」前測答題結果，
分析、歸納出數學低成就學生在「一元一次方程式－以符號列式與運算」單元，常 出現的三項錯誤類型及錯誤類型之狀態；此外，陳彥廷與柳賢（2009a、2009b）、
戴文賓與邱守榕（1999）、Booth（1988）相關領域研究者也指出，學生在一元一 次方程式－代數符號相關題型也常出現如研究者所述的三項錯誤類型，包含：
1. 對代數符號之性質不理解，導致作答「運用代數符號記錄數學問題」之題 目，無法正確地以代數式呈現；
2. 因未確實理解代數符號之性質，導致在「代數式的簡記」出現錯誤（如：將 9x 誤解成 9＋x），這也連帶影響解「代數式的求值」題型，出現解題困難。
3. 未能正確地將代數符號、數字做分別處理，導致進行代數式的合併與化簡 出現錯誤。例如：2x＋6－7＋3x 化簡後，得（2＋6－7＋3）＋x 之錯誤結果。
二、數學補救教學
補救教學指協助低成就學生，例如：有學習困難、學習表現不佳，成績未達基 本門檻等情況者，額外提供符合個人需求的課業補強與指導，接著藉由「評量－教 學－再評量」找出教與學的不足之處予以強化（李坤崇，2019；張新仁，2001）。
針對學生學習困難之特質與類型，進行差異化教學，用正確的教學對策，減弱或除 去學生在某一特定學科、項目或群組學習困難之現象（楊德清、洪素敏，2008）。
劉世雄（2018）指出，差異化教學是指以學生為教學主體，依據學生的程度及需求 協同支援學習，以促進每位學生具有意義化的學習挑戰之學習型態；補救教學是對 程度落後或低成就學生，施予個別化與適性化教學，讓每位學生在每個年級階段都 具備應有的基本學力（梁仲容、韓弘偉、黃建中，2014）。王為國（2005）、林含 諭（2017）、黃政傑與張嘉育（2010）指出，個別化與適性化教學強調「切合學習 者的能力、興趣與特質，設計不同的教學內容及教學模式，配合個別化教學以發展 自我潛能，進而得以自我實現」。補救教學為鞏固基本學力的一種方式，其作法為 學校或教師先診斷、評估學生的學習困難點後，根據診斷後結果，利用正規課堂以 外的時間，實施適性化教學，解決其學習瓶頸，協助提升學習成就（林寶山，1998；
莊惠凱與廖啟順，2017；Eggen＆Kauchak, 2012）。
本研究指稱的補救教學，其補救內容為班上學生在「一元一次方程式－以符號 列式與運算」單元常出現的三項錯誤類型（請參閱名詞解釋－錯誤類型），教師自 行設計教材與課程，予以補強。
第四節 研究範圍與限制
一、研究範圍
（一）研究對象
本研究之研究對象以高雄市一所國中七年級數學學習低成就學生，學生組成 為抽離自兩個不同班級之學生，男生兩位、女生三位，共計五位。此五名學生皆為 參加 108 年 5 月「國民小學及國民中學補救教學科技化評量數學科測驗」後，測驗 結果在各班學習成就後 35%，未通過數學科篩選測驗之學生。
（二）研究期程
本研究於 2018 年 10 月開始蒐集相關文獻資料，同時開始思考與設計適合研 究對象的教學課程；本研究的各項試卷於 2019 年 11 月 25 日前專家及教師審訂完 畢，並於 2019 年 11 月 29 日的第八節課進行前測筆試，測驗時間為 40 分鐘；補 救課程起訖日為 2019 年 12 月 6 日至 2019 年 12 月 27 日，於每週五的第八節課進 行補救教學，共 4 節課，每節為 50 分鐘，共 200 分鐘；課程教學完畢後，於 2020 年 1 月 3 日的第八節課後測筆試，測驗時間亦同。
（三）教材內容
本研究針對學生於「一元一次方程式－以符號列式與運算」單元中常出現的三 項錯誤類型，作為教材內容予以加強，並精熟相關習題演練，其錯誤類型如下：
1. 對代數符號之性質不理解，導致作答「運用代數符號記錄數學問題」之題 目，無法正確地以代數式呈現；
2. 因未確實理解代數符號之性質，導致在「代數式的簡記」出現錯誤（如：將 9x 誤解成 9＋x），這也連帶影響解「代數式的求值」題型，出現解題困難。
3. 未能正確地將代數符號、數字做分別處理，導致進行代數式的合併與化簡 錯誤。例如：2x＋6－7＋3x 化簡後，得（2＋6－7＋3）＋x 之錯誤結果。
補救教學上課教材為研究者自編，教材內容之編撰參考資料有：依據 107 年公 布之「十二年國民基本教育課程綱要數學領域」編輯而成的翰林版國一上教師手冊、
均一教育平台線上題庫。
二、研究限制
（一）研究者限制
研究者擔任本研究教學實驗的教師，同時也是教學觀察者、資料蒐集者，因 此在進行研究過程中，較難面面俱到。
（二）學生背景
本研究的研究對象僅侷限於普通教育系統中的一般低成就兒童，學生均經過 108年5月「國民小學及國民中學補救教學科技化評量數學科測驗」後，測驗成績未 通過數學篩選測驗之門檻；特殊教育系統中的學習障礙低成就學生（智能障礙、情 緒障礙、注意力缺陷等類型）不在本研究範圍內。
（三）研究時間限制
礙於時間、交通與人力考量，僅針對高雄市一所國中進行研究及訪談，並未涵 蓋整個大高雄地區、臺灣其他縣、市、鄉（鎮）之國民中學、個案國中其他年級的 學生。
（四）研究類推之限制
由於每所國民中學或不同年級階層實施數學科補救教學的客觀條件與實際情 況會有差異，故本研究得到之結論，不宜進階推論至其他縣市學校或年級階層。
第二章 文獻探討
本章共分四節，第一節為補救教學之理念與方法，第二節為數學學習成就低 落學生之補救教學，第三節為一元一次方程式及其解題錯誤類型，第四節為相關 研究。
第一節 補救教學之理念與方法
一、理念
由於受到市場化、績效責任機制的影響，M 型化社會現象加劇，優勢階級與 弱勢階級間享有的教育資源與機會的差距不斷地擴大，造成社會結構不平等，世界 各國關注到此現象，紛紛推動教育補救方案（鄭勝耀，2011）。透過補救教學提供 學生積極性的教育輔助資源，提升學習效能，鞏固基本學力，有效實現「教育公平」
之理想，以達到促進「社會階層代間流動」之教育最終目標。
（一）教育公平性
洪儷瑜（2017）指出教育公平性為補救教學政策的核心理念；補救教學的概念 是從教育公平性、教育機會均等與正義等概念衍生出來的。所謂的公平，就是不分 性別、膚色、宗教、種族、家庭背景、社經地位等因素，人人應享有同等待遇，隱 含著「等量對待」的概念。
重視教育公平性是因為牽涉到每人能分配到的教育資源，這影響個人未來的 工作競爭力，然而教育成就是靠著個人天賦、後天努力所累積，不應受到社會階級 所影響（陳俊宏，2016）。我國憲法有明文保障國民皆享有受國民教育的權利；聯 合國教育、科學及文化組織（United Nations Educational Scientific and Cultural Organization，簡稱UNESCO）積極倡導「人人享有受教育的權利」之觀念；此外，
聯合國的《反對教育歧視公約》中，也有提到「享有平等受教育的基本原則」。「教 育公平性」意味著不分男女、膚色、等因素，每人享有習得基本技能之平等受教權，
而不應被剝奪（楊怡姿，2017；Warnock,1975）。
（二）教育機會均等
1970 年代是倡導「教育機會均等」理念的巔峰期（黃俊峰，2014）。甄曉蘭（2007）
指出，達成教育機會均等的理想有兩個重要宗旨，第一、為保障基本人權，落實社 會公平；第二、培育優秀人才，促進社會進步與階級流動。
落實教育機會均等最著名的具體實例，就是美國總統於西元2002 年實施《不 讓任何一個孩子落後之法案》（No Child Left Behind Act of 2001, NCLB）。該法案的 核心精神在於，不但要重視每位學童的學習表現（成效），更重要的是要積極協助 輔導貧窮及弱勢的學生，改善他們學業成績低落的問題，不讓任何一位孩子學習落 後（郭美滿，2015；鄭勝耀、林沛吟、許倖甄、王時培，2012）；該法案所訂立的 目標為，在2014 年前提升美國學童數學科和閱讀水平的學習成就表現，並達到該 學生所就讀年級的程度，縮小與同儕之間的學業成績差距（蔡明學，2015）。該法 案之實施對美國的基礎教育產生深遠影響，臺灣教育改革應可從中汲取精華，作為 參照學習與借鑒的範本；西班牙、日本等國也有上述的相同理念（黃俊峰，2014）， 綜合上述，教育機會均等屬於基本人權，全球多數國家有著共通理念與想法。
柯爾曼（James.S. Coleman）於 1968 年提出「柯爾曼報告書」（Coleman Report）， 是教育均等理念具指標性的著作（黃俊峰，2014），裡面提到三項教育均等的核心 要素，如下：
1. 提供每位國民接受免費教育，並達到一定的教育水準程度；
2. 不區分學生出身背景優劣，皆提供每位學童相同課程學習；
3. 透過制度規劃設計，使來自不同社經背景的學童皆能在同一所學校就學。
社會中有許多處於社會或經濟中、低階層的弱勢學童，非常需要透過教育來翻 轉貧窮處境，免於原生家庭經濟環境不佳的因素之限制，因此「窮不能窮教育」，
我們絕不能讓那群孩子陷入永遠的貧困（張志明，2010）。教育初衷是希望每位學 生都保有基礎學識，並非要求大家都成為金字塔尖端優秀學生（教育部，2015），
因此政府建立課業輔導機制，讓弱勢家庭的孩子擁有基礎能力，藉由個人後天的努 力耕耘，提高自身教育水準及成就，積極爭取在社會中向上流動的機會，獲得一份 適合自身的工作，以跳脫先天背景及環境條件的框架，翻轉家庭地位，終止貧窮循 環，提升生活品質；教育能使國家變得更富裕，同時可以提升整體的文化素質（Silver
＆Silver, 1991）。由此可知，個體的教育成就與未來的職涯發展、社會階級流動，
每個環節有著緊密的關聯性（黃玉青，2015），提升教育程度，厚植實力，實現未 來夢想，擺脫弱勢惡性循環的枷鎖。
教育機會均等為社會公平正義的重要指標之一（Nash, 2004）；教育機會均等 在現實社會中僅是一種理想化的結果，因此必須配合相關補救或福利等多種政策，
實施「差別待遇的教育政策」，朝公平正義的社會邁進（王家通，1998）。目前英 國、美國、臺灣皆採取「積極性差別待遇」（positive discrimination）教育政策；英 國〈普勞頓報告書〉（Plowden Report）（1967）政策主軸放在盡力協助教育資源 貧乏地區的學童，提升他們的學習成效、學習適應力（鄭勝耀，2013），要求政府 應該在教育方面提供積極性介入，幫助教育不利者（disadvantaged）（洪儷瑜，2012）；
美國學者約翰．羅爾斯（John Rawls）於1971發表一本具有里程碑意義的著作－《正 義論》（The Theory of Justice），書中以「正義即為公平」（Justice as fairness）的 論點，導出了公平有兩項正義原則，分別為平等原則和自由原則，前者從社會資源 分配不均、經濟不平等的觀點出發，認為每位公民應享有相同的機會與空間，發展 自己的舞台，各項機會及職缺應公開消息，讓人民有均等機會去積極爭取，以落實 機會平等原則（Rawls, 1971）。但要注意的是，落實機會平等原則時，也須顧慮社 會中處境不佳的成員的權益與利益，這也呼應了「積極性差別待遇」的概念（洪儷 瑜，2017）。張志明（2010）指出，「積極性差別待遇」教育政策是藉由學校教育 的各項方案推動，盡可能達成教育正義之目標，並透過學校教育系統可讓學生的學 習成就，免於被原生家庭所擁有資本的強弱所控制，讓學生主體有公平的機會爭取 應有的資源。
二、補救教學之政策沿革
擬定、施行補救教學政策，主要期望透過政策規劃並有效執行，幫助課業落後 的學生將該學的內容達到應有的精熟度（林進材，2018）。臺灣從民國 80 年代起，
政府陸陸續續推出補救教學之相關政策，主要政策如下：1. 民國 85 年開始推動教 育優先區，主要是補助原住民及離島地區學校辦理學生學習輔導；2. 民國 87 年開 始推動潛能開發班，主要是進行學業輔導、生活輔導；3. 民國 94 年開始推動大專 生輔導國中生課業之攜手計畫；4. 民國 100 年開始推動國民中小學及國民中學補 救教學實施方案（洪儷瑜，2012）。林進材（2018）指出，於 2006 年起開始實施
「攜手計畫課後扶助」方案，現職教師、退休教師、大專院校學生投入教學行列，
運用課餘時間實施小班或一對一的免費補救教學，希望透過補救策略，縮短學生學 習落差的狀況。2011 年開始實施十二年國民基本教育，部分中學生可經由免試管 道升讀高中（職）或五專的大門，但顧慮到不要讓參加免試入學學生因為沒有升學 考試而忽略課業的學習，喪失應有的基本學力，然後運用補救教學機制讓他們的基 礎學識都能維持在平均水準，成為現行教育制度的一大挑戰；教育部於 2013 年起 推動「十二年國民基本教育配套措施之國民小學及國民中學補救教學實施方案」，
整合前述計畫資源，制定「教育部補助國民小學及國民中學補救教學方案實施要點」
（田建中，2017）。
由洪儷瑜（2017）所述之臺灣補救教學相關政策可知：1. 我國非教育優先區 的補救教學，在民國 94 年才出現，而且是由國中階段先開始，才逐漸往下涵蓋九 年義務教學；2. 低成就之界定越來越明確客觀；3. 補救教學推動配套措施越來越 完善；4. 補救教學品質監控越來越制度化；5. 採系統觀點，有整合各項政策，建 立層級分工。
三、補救教學之實施模式
關於國中小補救教學實施模式，唐淑華（2013）提出「三層級補救教學（3-tier intervention）」的論點，我們可以想像成是一座參加補救教學課程的學生金字塔，
將金字塔分成三等份：普通班級的教學為「補救教學中的第一層級」，老師主要是 依據學生課堂學習表現提供適切輔導；「補救教學中的第二層級」是針對學習狀況 不佳者以個別或團體方式，進行課後密集補強教學；對於「補救教學中第三層級」
的 學 生 ， 則 接 近 特 殊 教 育 資 源 班 的 教 學 方 式 ， 不 屬 於 本 研 究 討 論 範 圍 。 余民寧與李昭鋆（2018）整合多位學者針對「第二層級補救教學－個別化教學」
提出見解，學者們認為個別化教學和直接教學法是提升低成就學生最重要的方法；
此外，個別化教學是評鑑補救教學優劣的重要指標；它可能會影響學生對課程內容 的吸收程度，或是透過改變其自我歸因、內在動機等因素，進而提升學習成效的間 接影響（Idol, 2010）。
蘇美麗、李永烈（2016）指出，補救教學分為三個層級：第一層級屬於一般補 救教學，教學目標為單元內診斷補助，此層級的學生占約百分之八十；第二層級屬 於本文所指稱的補救教學，約於民國 102 年開始出現，其教學目標是以基礎能力 補救，此層級的學生占約百分之十五；第三層級屬於特殊教育抽離，教學目標是診 斷教學，此層級的學生占整座金字塔約百分之五。
洪儷瑜（2012）指出，西方學者也提出學校和政府應建立三層級學習支援系統
（3-tier learning support）或三層級補救教學（3-tier intervention），認為及早預防有 助於降低低成就學生比例，與縮短達精熟學習的差距（如表 1），其說明如下：
1. 初級（一般）補救教學：為原班級學生接受正規課程的學習，人數佔約八 成，其教學宗旨是希望達到核心課程教學卓越，並且讓普通班學生達到成功學習之 目標；
2. 次級（個別化或小組）補救教學：為外加式的補救教學，其教學宗旨是藉 由密集式介入，提升低成就學生學業成績，達到降低低成就學生人數比率之目標；
3. 三級（預防性）補救教學：小組或個別化進行教學，每天進行一次補救課 程，每週課程時數合計約三至八小時，其目的是為達到預防低成就學生面臨學習失 敗的困境。
表 1 三層級學習支援系統
層級 教學宗旨 比率 補救教學方式與密度
三級 預防低成就學生學習失
敗。 5％ 1.補救教學方式：每天、更密集。
2.密度：小組或個別化教學。
次級
1.提升低成就學生之成
就。 15％以下
1.補救教學方式：每天一次，每週 三到八小時。
初級
核心課程教學卓越，讓 普 通 班 學 生 能 成 功 學 習。
80％以下
1.補救教學方式：原班級。
2.密度：隨班或課餘無須刻意安排 補救時間。
資料來源：洪儷瑜（2012）。帶好每一個學生有效的補救教學（頁 14）。新北市：
心理文化。
綜合上述，本研究所指稱的補救教學之實施模式為「次級補救教學」，學校針 對數學低成就學生，利用放學後的第八節課以團體小班形式進行密集補救，針對
「一元一次方程式－以符號列式與運算」之三項錯誤類型進行補救教學，拉近與同 年級學生之程度。
四、補救教學之課程類型、課程設計原則
（一）補救教學之課程類型
張新仁（2001）、蔡金田與蔡政宗（2019）彙整一般補救教學之課程類型，包 含六種如下：
1. 補償式課程（compensatory program）
實施補救教學之前，徹底瞭解學生的個別學習需求、能力水準，並且做完整的 問題診斷，以學生的優勢能力作為改變教學策略的基礎。
2. 導生式課程（tutorial program）
為一對一教學或小組教學，教師將一般學校課程所提供的教材做再次複習，並 舉更多相關例子，讓學生容易融會貫通。
3. 適性課程（adaptive program）
適性課程與正規課堂的課程、教學目標皆一樣，但差異點為適性課程的教學方 式、考試方式較為彈性，教師可自編符合學生學習需求的教材，允許考試以筆試以 外的方式進行測驗
4. 補充式課程（supplemental program）
為教導學生們一些學習策略、考試答題技巧，提升學習效能，或是提醒學生寫 完作業後應檢查試卷，避免粗心而錯失分數。
5. 加強基礎課程（basic skills program）
補強學生於該學科的課堂中尚未習得的基礎知識概念，鞏固基本學力。
6. 學習策略訓練課程（learning strategies training program）
著重在個人學習方法的教學，包括：資料蒐集、整理之技能、記憶術等內容。
綜合上述，本研究所指稱的補救教學課程類型為「加強基礎課程」，其主要目 的是為了幫助數學低成就學生，將過去數學課老師所教授而學生尚未習得的課程 內容更加強化。
(二)補救教學課程設計之原則
杜正治（1993）、詹永名與王淑俐（2018）、蔡金田與蔡政宗（2019）提出五 項一般補救教學課程設計原則，包含：分析基本能力、評量學科能力、評量學習動 機、擬定課程目標以及課程設計內容宜考慮難度與增加趣味性，說明如下：
1. 分析基本能力
教師應預先將學生的心智能力，包含：注意力、理解力、記憶力等納入考量範 圍，之後搭配教材、教法，教學成效才會顯著地被彰顯。
2. 評量學科能力
預先測試學生該學科的程度，作為課程設計之參考指標，而一般學科能力的評 量多為成就評量。
3. 評量學習動機
教師應瞭解學生的學習動機強弱，分別做不同方式的處置，像是學習動機強的 學生列為優先補救對象，然後再協助學習動機較弱的學生，提供更多的動機增強。
4. 擬定課程目標
擬定課程目標，「學習對象、學習內容、教學方法及評量方式」是必列出項目，
上述幾項內容將會影響教師的教學方法與教學成效。
5. 課程內容之設計應考慮難度與增加趣味性
以學生切身相關的事物作為教學話題的起始點，引起學習動機；依學生程度調 整課程內容難易度；若課程設計設具適當的挑戰，可增加課程趣味性，有助提升學
五、有效補救教學原則
李佩臻（2017）、洪儷瑜（2001）、許建銘（2012）、陳敏銓與徐綺穗（2017）；
陳淑麗、曾世杰與洪儷瑜（2006）、簡淑真（2010）、鄭勝耀（2014）以及 Hall（2002）
等多位學者提出有效補救教學原則，本研究歸納出六項，如下：
（一）及早介入
從小一開始進行補救教學成效最佳，學童回歸到普通教育的機率越大，也是避 免馬太效應及學習無助之情況發生。此外，有國外學者提出心智的國富論，其概念 為教育是國家重要的心智財富，若補救教學及早介入，將節省大量的社會福利、安 全等支出。
（二）長期、密集式補救教學
同一科目一星期至少上課三次，至少持續介入一至兩年，成效才會彰顯出來，
而且學生學習狀態比較穩固，較不容易回到普通班級以後又被送回補救班級。
（三）考慮教材及作業難度
蔡金田與蔡政宗（2019）指出，教師在編撰或選定教材、派作業時，必須考慮 到教材及作業難度，詳細說明如下：
1. 選擇難度適中的教材，設計難度適當的教學活動及作業。
2. 適當地提供鷹架，幫助學生增加成功機會，提升信心。
3. 當學生具一定基礎後，教師需適當地褪除鷹架，讓學生開始學習獨立完成 作業的能力。
（四）明示教學
低成就學童無法自行發現隱含的規則，因而須以明示教學，其學習成效越佳。
其包含五大步驟：第一：教師示範給學生看；第二：師生共同合作完成；第三：褪 除部分鷹架，學生試著完成學習任務，教師在旁協助；第四：褪除更多鷹架，教師 在旁觀看學生完成學習任務；第五：由學生獨立完成學習任務。
（五）教導策略
教學起初應先示範給學生觀摩，建構鷹架，且不宜多步驟教學，之後開始出題 目讓學生演練，但是要給予多一點提示，創造解題成功的經驗，之後漸漸褪除鷹架 並加深學習難度，最後讓學生自主完成並示範一次給教師看，以確認是否達成標準
。在課堂活動中使用符合學生能力差異的教材、教學策略、解題方式，協助學生的 概念發展，讓師生間的教與學產生連結，達到學習進展幅度最大化的目標；此外，
教師在有限的教學時間內，可依照學童程度，勾選部分、不同難易度的習題請學生 現場演練。
（六）評量與績效
「評量」可更快診斷出學生對課程內容的精熟度與疑難方向，利於教師調整課 程進度與內容難易度。
綜合上述，有效補救教學原則包含六項：及早介入、長期且密集補救、考慮教 材及作業難度、明示教學、運用合適的教學策略、評量與績效。
學習一元一次方程式，是奠定學生「從算術思考（具體概念）進階到代數思考 模式（抽象概念）」能力的重要歷程（Herscovics＆Kieran,1980），起初先從「以 符號列式與運算」基礎單元學起，是為後續的「一元一次方程式運算」單元奠定基 礎，以及銜接難度更高的代數單元學習，例如：一次不等式、因式分解、一元二次 方程式等單元，據此彰顯出一元一次方程式「以符號列式與運算」單元及早介入、
長時密集補救的重要性；此外，研究者依據學生程度，設計難度適中的「一元一次 方程式－以符號列式與運算」單元的三項錯誤類型教材、作業單、評量卷，以及搭 配明示教學、結構化的教學程序以及上述的教導策略，幫助概念澄清；然後，藉由 多元評量檢核過去未建立的概念是否已建立，以及確認此三項錯誤類型的錯誤是 否已完全被修正，並且找出學習缺失加以補強。
第二節 數學學習成就低落學生之補救教學
一、數學科補救教學之重要性
魏麗敏（1996）指出，數學是必要學習的最重要科目之一，學習數學不僅是兒 童心智發展、邏輯思考能力的進步重要關鍵，同時和兒童潛能發展有密切關聯。數 學低成就情形若未早期介入進行補救，數學問題將持續到中學，數學學習的問題不 僅呈現在求學階段，也會深入影響學習者的成人生活(Cass, Cates, ＆ Smith, 2003)。
根據教育部（2016）所發布的「十二年國民基本教育課程綱要－國民中小學暨 普通型高級中等學校數學領域（草案）」也指出學習數學的必要性：
1. 數學與文字、符號語言是有連結性的，便於人們簡潔、精確地表達意思；
2. 訓練演算、邏輯訓練、抽象思考等重要能力；
3. 奠定科學知識的基礎；
4. 培養使用多種計算工具之技能，例如：圓規、三角板、計算機、電腦多媒體 等計算工具。
國際學生能力評估計畫（Programme for International Student Assessment, PISA）
是由經濟合作暨發展組織（Organization for Economic Co-operation and Development
；OECD）主導的研究計畫，用於測試學生學習水平，從 2000 年起每三年一個循 環；臺灣從 2006 年開始參與，到 2012 年為止共參加 3 次。在數學素養方面的分 析報告顯示，臺灣 2009 年 PISA 測驗中排名第五名，而 2012 年的平均分數 560 分，
排名第四名，從名次表現可看出學生在數學素養方面是有進步的，但另一項數據顯 示，在 2006 年的標準差為 103，2009 年的標準差提高至 105，位居全球第一，2012 年時更提高到 116，比差距第二大的國家（標準差為 105）高出許多，顯示臺灣學 生數學個別差異有越來越大之現象；此外，PISA2012 結果指出，當年數學素養最 低分數為 420 分，佔該水準或以上的臺灣學生人數百分比為 87.2%，顯示出數學素 養差異較為明顯（林素微、王長勝，2016；蔡明學，2015）。
此外，有其他學者從 OECD 國際評量計畫（PISA）報告發現，臺灣於 2006 年 第一次參加數學測驗，成績為等級二以下的學生佔 12.0%，等級五以上者佔 31.9%，
然後參加 2009 年的第二次測驗結果發現，成績為等級二以下者佔 12.8%，等級五 以上者佔 28.6%；2012 年第三次測驗結果發現，成績為等級二以下者佔 12.8%，等 級五以上者佔 37.2%，由數據趨勢可觀察到雖然高分群人數增加，但是等級二以下 的低分群學生仍然居高不下，可見學生學習差距是很大的，顯示出我國數學教育的 一個警訊（朱家儀、黃秀霜、方建良，2014；許添明，2010）；依據國際數學與科 學教育成就趨勢調查（Trends in International Mathematics and Science Study，TIMSS）
結果指出，我國學生數學學習信心不足，而且學習成就兩極化亦趨明顯（王美娟、
綜合上述，數學是七大領域中必學的科目，而國際研究顯示，臺灣學生的成績 頂尖群和低成就差異化大，幫助數學低成就學生補救基礎學力，縮短兩群體間的程 度落差其工作刻不容緩，也彰顯出實施數學科補救教學的重要性。
二、學習低成就的類型、成因、行為特徵
（一）類型
張新仁（2001）將須接受補救教學對象分為三種類型：第一類為學童課業成績 表現比其應具有的能力水準還低，屬低成就者；第二類為學童的課業成績表現顯著 低於該學生原班級的平均值，亦屬低成就者；第三類為學童學科成績不及格，而且 其學業能力顯著地比其他學生弱，屬成績低落者。
（二）成因
王瓊珠（2017）、李麗君（2012）、陳淑麗（2009）、洪儷瑜（2001）指出，
造成學生成就低落的成因有三種：
1. 個人內在因素：智能、學習障礙、感官缺陷等；
2. 環境因素：語言文化差異、社會地位低下、經濟不利、缺乏學習機會。但是 處於社經、文化弱勢地區或家庭的學童不一定是低成就學生，但仍須接受補救的原 因為他們屬低成就的高風險群，因此學校會協助做預防性補救；
3. 交互作用：即個人因素乘以環境因素，而個人因素的影響，必須視環境因 素而定，或是環境因素的影響，必須視個人因素的影響而定，例如：缺乏成功經驗、
概念模糊未釐清、錯誤的學習略等。
（三）行為特徵
林建平（2010）、黃永和（2013）、唐淑華（2013）、Diaz（1998）指出，數 學學習成就低落學童的學習行為特徵：
1. 專注時間短、易分心及缺乏耐心，無法專心讀題、完成一道題目、從事多 步驟計算；
2. 長期失敗的學習經驗，建構出負向的自我概念，導致學習動機低落；
3. 數學語彙不足，導致數學閱讀理解有困難，影響解題；
4. 保存數學概念、符號及運算公式方面有記憶困難，易忘記某些數學概念及 演算程序；
5. 缺乏接收數學新知之積極動機，對學習數學產生抗拒之表現。
綜合上述，補救對象分為三種類型，造成學生低成就也具三種成因，包含：個 人內在因素、環境因素、交互作用。此外，學習行為特徵包含：專注力不足、學習 動機低落、數學先備知識不足等因素。
本研究的研究對象因「國民小學與國民中學科技化評量」數學科測驗成績沒有 越過門檻，屬於上述低成就類型的第三種類型。班上學生其低成就之成因屬於「交 互作用」造成的，主要成因包含環境因素與未打下良好的概念基礎：1. 環境因素：
研究對象多來自社經弱勢（中低收入戶）家庭，家裡的經濟無法支持他們去參加課 後補習，與其他多數同學相比，相對地錯過了許多的學習機會；2. 未建立良好的 基礎概念：奠定代數基礎概念的初期，低成就學生就遇到困難了，對於一些重要概 念一知半解，沒有把模糊的概念做正確的釐清，導致概念錯誤，答題錯誤率高，成 績始終沒起色；研究對象專注力尚可，但因為概念模糊甚至有誤、記憶力有限、數 學語彙不足等絆腳石，導致考試成績處於不理想狀態，失敗的學習經驗讓他們在學 習數學時缺乏自信、學習動機低落。
三、影響學生數學學習之負面因素
參考國內多位學者提出負面影響學生數學學習表現之因素，說明如下：
（一）數學學習障礙與數學焦慮
部分學生在學習數學的過程中心裡會產生焦慮感及恐懼感，對在校數學科成 績、生活中和數學相關活動之表現有所影響（黃思華、劉遠楨、顏莞婷，2010）。
數學學習障礙之定義，指智力與一般學習能力皆正常，但是在數學概念、數量、符 號方面有學習及運用的困難，通常會藉由專業的個別化標準測驗來鑑定，若有數學 學習障礙，其「數學技能」得分結果會與標準值相差一段距離（王淑惠，2008；柯 華葳，2005）。
趙文崇（2017）指出，根據臨床研究發現，數學學習障礙分成四大類型：
1. 數字符號辨識不能；
2. 計算障礙；
3. 數學理解障礙；
4. 數學運算障礙。
「數學焦慮（mathematics anxiety）」是指個體接觸有關數學的活動，例如：運 用數字、解決數學問題等，心裡會有緊張、不安的心理感受，進而在數學學習上產 生認知干擾，使得無法專心、耐心地進行運算或解題（魏麗敏，1988；Hembree,1990）。 此外，臺灣數學教育相當重視計算能力的培養，卻忽略了邏輯思考與概念理解，使 學生所學是片段零碎的，缺乏組織架構，造成學生對數學產生焦慮與排斥（譚寧君，
綜合上述，造成數學學習障礙或焦慮的因素非常多元，教師必須先釐清學生的 情況，才能用正確方式有效介入，引導學生排解焦慮情緒及克服學習障礙。
（二）對學習數學缺乏興趣
丁思與（2012）、梁淑坤（2017）、許建銘（2012）皆認為，學生對學習數學 缺乏興趣會影響學習數學科的動機及學業成績，缺乏興趣的原因包含四種：
1. 考試成績及升學壓力：為考試而學習，使心理感到壓力與無趣；
2. 實用性不足：學生認為許多所學的知識很少機會應用到生活中，學習題材 與生活經驗連結性低；
3. 教學者用傳統方法教授數學：學生覺得上數學課感到枯燥乏味，興趣缺缺，
甚至逐漸產生排斥數學；
4. 教師本位的觀點：部分教師以自我為中心，忽略學生的感受，台上與台下 缺乏互動，使學生感到教學很死板，覺得上課想睡覺。
綜合上述，學生經常為了應付考試而學習數學的知識內涵，卻沒有理解數學其 中的趣味性與實用性，因此教師可適時帶入情境化教學，讓學生更能夠領悟數學知 識更高層次的意涵。
四、教師於教學前、教學過程中相關注意事項
（一）教學前教師須注意的事項
教師應做充足的備課工作，熟悉教材地位，掌握整體學習脈絡，俾能快速掌握 學生先備知識，以及如何與未來的學習做接軌。
（二）教學過程中教師須注意的事項
教師應優先著眼於學生數學概念的理解，培養正確邏輯思考能力，養成學生單 步驟說明算式由來的習慣，確保有真正理解，之後讓學生分段完成練習題，熟稔後 再強調計算技巧及強化解題速度，而非派給大量作業，使學生機械式練習解題找尋 正確解答。教學過程中教師於正確時機點操作教具，是影響補救教學成效的關鍵之 一，而使用教具的時機包括（王麗卿，2002）：
1. 學生注意力渙散、感到疲憊的時候；
2. 學生充滿求知慾望的時候；
3. 學生在學習過程中有疑惑、遭遇困難時；
4. 抓住學生知識需要昇華的時候；
5. 不同教學單元會產生新的概念，可以搭配相對應的教具教學。
綜合上述，善用教具能夠把抽象概念具體化，讓學生一目了然，但得注意的是，
當需要教具輔助的單元時，應考慮到學生程度有個別差異，因此教師教學不要太早 脫離情境與教具，以免流於程序操作模式。
五、數學課的教學模式、策略與獎勵措施
（一）運用多元的教學模式與策略 1. 設計競賽活動與實作機會
Burns（2003）指出，教學結合遊戲對學生的學習具正面影響，例如：遊戲競 賽、動手操作教具等方式，使知識概念有效連結，避免學生死記、硬背，因為學生 在遊戲中是一個主動參與的角色，不但能表達自我的想法，亦能自己建構知識。
2. 建立小老師制度
由程度較好的學生去教導學習表現較弱的學生，進而有同儕相互切磋、合作學 習的機會，也讓當小老師的學生有榮譽感，上課會更加專心聽講，釐清模糊之處，
激發學習動機（柯怡君、張靜嚳，1995；陳彥廷，2015）。
3. 多層次提問
提問是引發學生認知衝突之過程，與思考的關係密切，因此教師應用多層次提 問引起學生探索問題的動機，並給予充足的時間思考及回答，適時給予澄清問答，
然後做歸納、總結，最後多鼓勵、讚美學生（張明恩，2015；鄭筱燕、潘欣蓉，2014）。 4. 段落性多元評量
課程內容每教完一個段落後，教師採多元評量檢核學習成果，有助於瞭解他們 的學習情況，作為教學調整之依據。
5. 教師具備同理心與加倍耐心
若學生遇到學習瓶頸時，教師應運用同理心與耐心，換位思考，判斷哪裡出問 題，並轉換教學策略，例如：引入情境教學並且善用實體或網路虛擬教具、圖解說 明，為學生破除既有的錯誤概念，建立正確觀念。若沒有換位思考，單純以「程度 較好學生」的邏輯思考來教學，一直重複用相同的教學方法與解釋，學生依然聽不 懂，補救再多次也是枉然。
（二）建立獎勵措施
獎勵制度能使學生在課堂上專心聽講與配合教師的教學節奏，表現適當的行 為，而且對良好的教室常規有很大的幫助（Jones, 1987），因此當學生課業表現良 好或是有其他值得讚賞之處，應適時給予獎勵與正向評價，讓他們有學習成就感，
進而對數學產生自信與興趣，在日後學習數學的道路上會加倍努力，得到老師更多 的獎勵與讚賞。
歸納上述，研究者在教材中設計有趣的互動對話活動融入課程中，引起學習動 機；本研究教授抽象概念時，會要求學生同時動手操作教具幫助理解；此外，每教 完一小單元，研究者透過口頭問答、隨堂練習學習單、評量卷等，替換不同評量方 式，檢核各位的學習成果，以確認學生數學概念錯誤類型是否修正，若還有概念錯 誤則需要再繼續額外補強；研究者在課程期初指定一位學習表現良好的學生擔任 數學小老師，協助老師與服務班上同學；研究者會視情況給予讚賞與獎勵，例如：
評量後的表現不錯、小老師很盡責等。
第三節 一元一次方程式及其解題錯誤類型
本研究要補救的內容為「一元一次方程式－以符號列式與運算」之章節。研究 者起初對本研究的數學低成就學生施測「一元一次方程式－以符號列式與運算」前 測試卷，據答題結果分析、歸納出在本單元常出現的三項錯誤類型。此外，陳彥廷 與柳賢（2009a、2009b）、郭汾派、林光賢與林福來（1989）、郭汾派（1988）、
戴文賓與邱守榕（1999）、Booth（1988）等多位研究者也發現到，學生在學習一 元一次方程式－代數符號也常出現如研究者所述的三項錯誤類型，包含：
1. 對於代數符號性質不理解，導致作答「運用代數符號記錄數學問題」之題 目，無法正確地以代數式呈現；
2. 因未理解代數符號之性質，導致在「代數式的簡記」出現錯誤（如：將 9x 誤解成 9＋x），此錯誤連帶影響解「代數式的求值」題型，出現解題困難；
3. 因未能將代數式的係數與代數符號分別做處理，導致代數式的合併與化簡 出現錯誤，例如：4＋a＋7＋b＝11（a＋b）。
一、一元一次方程式之相關研究
代數即為運用抽象化變數與邏輯運算自動化函數關係，所形成的一套思維模 式、解決問題的基本框架（林誌彥，2019）。美國數學教師協會（The National Council of Teachers of Mathematics ，簡稱 NCTM）認為，代數學習強調「問題解決」及「運 算技巧」兩面向（Schliemann, Carraher, Brizuela ＆ Earnest, 2003）。洪有情（2009）
指出，「代數」分為基礎代數、抽象代數，而高中以下教授的皆為基礎代數，代數 的範疇包含：代數符號之概念、以代數符號列式、解方程式、解聯立方程式、函數、
多項式、因式分解，由上述可知，方程式為代數的其中一環。
楊朝欽（2007）指出，代數的學習歷程如下：
1. 僅能用一般文字描述問題，未能用代數符號表達未知數；
2. 學會運用代數符號表示未知數，但未能列出代數式來表達一般式；
3. 學會運用代數符號表示未知數，且能用代數符號列出代數式並求解，已將 代數視為處理數字關係以證明規則的工具；
4. 從代數符號的基本概念，學會列出代數式，並發展出函數概念。
（一）代數符號的發展歷程
蕭宇欽（2006）指出，抽象化能力的培養要從代數符號、記號、圖形、數學語 言等內容開始學起；代數符號列式是學習代數相關單元的基礎入門，因為代數符號 列式的學習，是引導我們從既有具體數字概念出發，進階理解「含有非數字符號」
算式的意義與運算操作，代數符號（例如：x、y等）是用來當作未知數的表徵，它 能夠提升解決數學問題的效率（李儼，1992）。由於每個人對於代數符號的概念有 不同的理解和認識，因而做出不一樣的解釋，因此解決代數符號列式相關問題，每 個人的難度認知也有所差異（王如敏，2004；邱婉茹，2001）。
綜合上述，代數符號與數學方程式有緊密的關聯性，而且代數符號也是人們解 決生活問題的一種重要表達方式。
（二）代數符號
Skemp（1987）指出，在概念形成過程中代數具重要功能，代數符號類似語言 的概念，在不同語境代表的含意也不一樣，亦即，相同代數符號可能代表著一樣的 事物，也有可能不同的代數符號代表同一樣事物，所以建立正確的代數符號概念很 重要，假如缺乏正確概念，將衍生後續答題無法正確判讀代數符號代表的含義。洪 健鋒（2016）認為，從算數進階到代數學習，建議學生先把數字當作代數符號來操 作，知道兩者操作程序、結構方面有所不同，如此一來才能把代數式視為一個物件。
