第四章 研究發現與討論
第一節 分析學生於三項錯誤類型之狀態
本研究前測試題共 15 題，分別依據三項錯誤類型來設計，題目分布說明如下：
（一）未能正確運用運算符號與代數符號記錄成代數式；共 4 題。（二）代數符號 簡記錯誤；共 8 題。（三）未能正確地將代數符號、數字做分別處理，導致代數式 的合併與化簡出現錯誤；共 3 題。
本節依據前測結果，針對答錯率、平均答錯率進行初略分析，瞭解答題情形（表 18）；並按照各題目所代表的錯誤類型，論述分析研究對象於「一元一次方程式－
以符號列式與運算」三項錯誤類型之狀態（表 19 至表 33）。
一、「一元一次方程式－以符號列式與運算」前測答題情形
研究者利用「答錯率」、「平均答錯率」公式，初略分析研究對象前測答題情 形（如表 18），計算公式如下：
答錯率＝答錯人數
總人數
×
100%；平均答錯率＝單一錯誤類型答錯率單一錯誤類型總題數
×
100%例：運用運算符號與代數符號記錄成代數式的平均答錯率 ＝100＋80＋80＋80
4 %＝85%
表 18 「一元一次方程式－以符號列式與運算」前測答題情形分析（N＝5）
二、「一元一次方程式－以符號列式與運算」三項錯誤類型之狀態分析
S1、S3、S4、S5：
長 方形 周長 的 計 算公 式 芳樂（1993）及 Maurer
（1987）提出的「系統性
從表 19 可發現，本題原測驗目的是測驗學生是否能夠將題目的文字敘述寫成 代數式，然而從測驗結果發現，S1、S3、S4、S5 四位學生的錯誤共同點就是「長 方形周長公式」概念錯誤，他們所認知的長方形周長計算公式為「長‧寬」，進而
（1982）提出的「概念化錯誤」，以及李芳樂（1993）及 Maurer（1987）提出的
「系統性錯誤」，上述皆因過去學習過程中建立錯誤概念，導致應用到解題時出現 ________歲。（請將文 字 敘 述 寫 成 數 學 算
答錯考題 錯誤類型狀態 原始解題歷程 解題想法／ ________歲。（請將文 字 敘 述 寫 成 數 學 算 式）
S2、S4、S5：
未建構正確判斷「兩物
S2、S4、S5：
x‧3＝3x
S2、S4、S5 皆 表 示 ： 看 到 玩了________次。（請 將文字敘述寫成數學 算式）
S2、S3、S4、S5：
未理解運算符號與代數
30‧x＝30x
S2、S3、S4、S5：
從表 21 可發現，S2、S3、S4、S5 都有提到「看不懂題目」的問題，顯然錯誤 成因如同黃淑華、鄭鈐華、王又禾與吳昭容（2014）以及蕭芷芸、陳彥廷與陳中川
（2017）、Blosser（1987）、Movshovitz-Hadar, Zaslavsky＆Inbar（1987）等人所指 出的「因閱讀能力低落，掌握不到題意，造成邏輯推理阻礙，而使用不當的運算解 題策略」之錯誤類型產生；此外，研究者測驗完畢後再次講解本題時發現，學生不 會解題的成因除了看不懂題目之外，另一原因是他們缺乏「玩一次的費用×玩的次 數＝全部花費」的先備知識，造成沒辦法做下步驟解題，由此可知，「先備知識的 不足會造成邏輯推理與解題阻礙」，我們可把「先備知識不足」與 Engelhardt（1982）
提出的「缺乏概念」兩者相互連結。
答錯考題 錯誤類型狀態 原始解題歷
4x＋5＝20x
S5：清楚題意，但認為式
從表 22 可發現 S2、S5 的問題點相似，對題意了解程度清晰，但他們沒有「代 數式可能為 ax±b 或 b±ax 型式的認知，認為式子經化簡結果只會有一項答案，加 號不會繼續保留在答案中，所以硬是繼續合併」。研究者再進一步追問 S5：「為 何選擇用乘法相乘，而不是選擇加、減、除等其他方法合併呢？」，S5 表示：「乘 法是他最熟悉的計算方式，而且用加、減法算的話，沒辦法合併成一項答案；而除 法 4x÷5 除出來的答案會是分數，感覺答案怪怪的，所以我選擇用相乘的方式合併 成一項。」據上述 S2、S5 的錯誤類型可被歸類在本研究文獻探討中，學者所提出
「有關代數符號的錯誤類型」的第四種錯誤類型－「認為式子化簡結果為『單項式』
的型式」，換句話說，「認為式子經過加、減、乘、除運算後答案會變成一項，而 且答案也不應再出現加、減、乘、除等運算符號」。
綜合以上例題一至例題四的問題交叉比對與分析：例題一的題目設計上略有 缺失，若題目附上長方形周長計算公式將會更完善，可避免學生錯用公式而測驗失 焦；在四題題目當中，多數研究對象在例題三有看不懂題目的情形，此種錯誤類型 為文獻探討中學者所指出「因閱讀能力低落，掌握不到題意，沒辦法做下一步的邏 輯推理，進而使用不當的運算解題策略」，從此凸顯出解題成功的要件需具備閱讀 能力、邏輯推理能力、運算能力等能力環環相扣；例題二和例題四學生的共同錯誤 類型狀態有兩項：1. 未建構正確判斷「兩物體間數量呈倍數關係」與「單位個數 增加」兩者差異的先備知識，無法清楚判斷應該使用加法還是乘法，導致列式錯誤；
2. 對題意瞭解程度佳，但「缺乏代數式的型式可能為『ax±b』、『b±𝑎𝑥』概念，
認為要化簡成一項且運算符號不保留在答案中，如『ax』、『b』型式的答案才是 正確」，這種錯誤類型狀態可歸類在本研究「有關代數符號的錯誤類型」文獻探討 中的「認為式子化簡結果為『單項式』型式」。
（二）錯誤類型二：代數符號簡記錯誤
1. 在「ax·ax」型式的代數式簡記，未將數字項、代數符號都做相乘步驟，
導致代數式簡記錯誤。
2. 未建立代數式可能為「a±bx 或 b±ax」型式的概念，導致當化簡到「a±bx 或 b±ax」型式時，即出現「要繼續化簡到單項式（如『ax』、『b』型式）的答案 才是化簡完成的念頭」。
3. 解「『含有負號』的乘法代數符號簡記」題目會把負號與減號混淆，導致乘 法代數符號簡記錯誤。
4. 不知道要使用分數乘法的計算方式來做「分數型式的乘法代數符號簡記」， 簡而言之，問題出在不知道解題技巧，看到題目不知要從何處下手。
5. 分數除法運算概念有誤，連帶「分數型式的除法代數符號簡記」也出錯。
此種錯誤類型題目共八題，其測驗目的為確認學生「是否已改變代數符號－乘
代數符號都做相乘步驟，導致代數式簡記錯誤；S3、S4、S5 在（A）、（B）兩選 項之間挑選，因為他們認為兩選項皆正確，原因在於「認為式子經過化簡後，結果 只會有一項答案，加號不會繼續保留在答案中，所以試圖去除加號，然後把兩者相 乘繼續合併成一項」，也就是說（A）3＋x 繼續合併成一項會變成 3·x＝3x、（B）
x＋x 繼續合併成一項會變成 x·x＝𝑥2。此外，研究者做一個簡單口頭調查發現，全
部學生皆有個共同點－「只挑自己覺得可能正確的選項作答，卻沒有把全部選項看 討中黃淑華、鄭鈐華、王又禾與吳昭容（2014）以及蕭芷芸、陳彥廷與陳中川（2017）、
「符號長相類似造成符號類比錯誤，有所誤解」；然而在本研究文獻探討中的「有 樂（1993）及 Maurer（1987）
提出的「隨機型錯誤」。
錯誤成因類似本研究文獻探討中黃淑華、鄭鈐華、王又禾與吳昭容（2014）以及蕭
題目；同樣地，其錯誤成因類似本研究文獻探討中黃淑華、鄭鈐華、王又禾與吳昭
代數符號簡記」的解題技巧，分數約分的先備知識是具備的，此種錯誤類型歸類在 文獻探討中 Engelhardt（1982）提出的「概念化錯誤」，因缺乏解題概念所導致的 錯誤；S2、S3 考卷不會寫而寫到厭煩，答案結果毫無邏輯，胡亂作答屬於無效作 探討中 Engelhardt（1982）
提出的「概念化錯誤」， Engelhardt（1982）提出的「概念化錯誤」，因缺乏解題概念所導致的錯誤。
例題 11 錯誤類型二的解題狀態如表 29：
表 29 錯誤類型二（例題 11）之解題狀態分析 S1、S2、S5 的原始解題歷程可發現，他們的共同問題點在於分數除法計算先備知 識及技能建構不完整，雖然都能夠正確做第一步驟「前項×後項倒數」，但是卻不
答錯考題 錯誤類型狀態 原始解題歷程 解題想法／ 於李芳樂（1993）所提出的「因疏忽、粗心而出現錯誤」，也可以歸類在 Mayer（1985）
提出三項解題錯誤類型中的「遺漏的錯誤」。
綜合例題五至例題十二的問題交叉比對、分析發現：學生作答含有負號的乘法 簡記之題目，會「把負號當作是減號」，缺乏正確的「負號」概念，所以用「減 號」思維簡記此類型題目，只不過他們相減過程方式不一樣；上述「把負號當作是 減號」的錯誤成因類似本研究文獻探討中黃淑華、鄭鈐華、王又禾與吳昭容（2014）
以及蕭芷芸、陳彥廷與陳中川（2017）、Blosser（1987）等人所指出的「因某項 誤類型歸類在文獻探討中 Engelhardt（1982）提出的「概念化錯誤」，因缺乏解題 概念所導致的錯誤；二、分數除法運算概念錯誤，分數除法基礎運算出現問題，導 於錯誤類型理論中 Engelhardt
（1982）、李芳樂（1993）及
S1：2x＋3x＝5x
－6－7＝－13 5x－13＝－8x
S1：誤把＋6
答錯考題 錯誤類型狀態 原始解題歷程 解題想法／
此外，從表 31 也可發現，S1、S2、S4、S5 作答本題型仍存在「要把最終答案 芳樂（1993）及 Maurer
（1987）提出的「隨機型
答錯考題 錯誤類型狀態 原始解題歷程 解題想法／
S2：6x＋x3－1
＝（6x＋x）＋（3
－1）＝7x－2
S2：6x＋x3 計 算錯誤；忘記 把 3‧（－1）
展開。
S3、S4：因 3（x－1）展 開過程，未做到 3‧（－
屬於錯誤類型理論中 Engelhardt（1982）、李芳樂（1993）及 Maurer（1987）提出 的「因個人疏忽所導致的隨機型錯誤」；2. 「3（x－1）」類型的式子展開過程有 誤，此種錯誤類型類似本研究文獻探討「有關代數符號的錯誤類型」理論中「分配
律運算過程不完整」所造成的錯誤，此錯誤源自於學生本身缺乏正確的「分配律」
6＋9＝15，得 15x；
2x＋15x＝17x
S1 ： 分 別 把
（3x－1）＋（6x＋9）
＝2x＋15x
例題 15：
（3）「3（x－1）」型式展開過程有誤，未建構正確的「分配律」概念，導致 未能完整展開代數式，進而影響到「代數符號及數字同類項合併」之正確性；
（4）因個人疏忽所導致的隨機型錯誤。
綜合上述，三種錯誤類型可分支出數種不同錯誤類型狀態；此外，也發現到學 生的錯誤類型狀態有重疊性，而且一項錯誤概念會接連影響到運用代數符號列出 代數式、代數符號簡記、代數式的合併與化簡等題型的作答，例如：有「認為式子 化簡結果為『單項式』型式」這項錯誤概念，就會接連在代數符號列出代數式、代 數符號簡記、代數式的合併與化簡等題型出現相同錯誤，可見建構正確概念是答題 正確的重要關鍵。