三項錯誤類型補救教學對學生的學習成效影響

本節旨在探討研究對象接受「一元一次方程式－以符號列式與運算」三項錯誤 類型補救後其學習成效影響。經過四堂課的補救教學，研究者對研究對象進行「一 元一次方程式－以符號列式與運算」後測筆試，並將後測成績作為本研究的數學學 習成效後測數據；後測試題共15題，分別依據三項錯誤類型設計題目，分布說明如 下：（一）未能正確運用運算符號與代數符號記錄成代數式；共4題。（二）代數 符號簡記錯誤；共8題。（三）未能正確地將代數符號、數字做分別處理，導致代 數式的合併與化簡出現錯誤；共3題。

根據研究者蒐集的數學學習成效前、後測數據，分成以下五部分：（一）如何 有效修正三種錯誤類型；（二）描述性統計分析；（三）相依樣本t檢定分析；（四）

「一元一次方程式－以符號列式與運算」後測答題情形；（五）「一元一次方程式

－以符號列式與運算」後測錯誤類型之狀態分析。

一、有效修正三種錯誤類型之概念

（一）能學會正確依據題意列出正確的代數式

1. 釐清代數式基本概念十分重要，那麼要如何解釋才能讓學生清楚理解「什 麼是代數式」呢？研究者建議可使用以下方式講解「何謂代數式」：「用＋、－、

×、÷符號把 x、y 等代數符號和數字連接起來，長這樣的式子稱為代數式」這句話，

然後在一邊講解文字的過程，也一面寫出類似「x＋3」、「x－4」、「y×7」、「z÷5」

等式子，學生即清楚理解代數式定義，學習的當下就把代數式的樣子印記到腦海中；

瞭解代數式定義後，接著強調「文字符號也可以像數字一樣可以做運算，經過運算 後代數式的化簡結果可能呈現 a+5、x－4 型式，所以從這樣的概念我們可以知道，

運算、化簡後的答案型式不一定是單項式（5 或 3x 等型式）」，整體概念教授後 成功修正「認為式子化簡結果為『單項式』型式」之錯誤概念。

2. 特別強調看到題目要求「要將題目的文字敘述寫成數學算式」時，我們就 依題意列式即可；答題過程若遇到困難可試著畫圖、列表拆解題意以幫助列式。

3. 遇到類似像「假設一顆水梨為 x 元，一顆西瓜的價錢比 4 顆水梨多 5 元，

試問一顆西瓜多少元？請將文字敘述寫成代數式」的題目，學生的盲點在於「不確 定題目中的『多 5 元』是要用『＋』還是『×』列式」；為了釐清概念，研究者先 簡化題目問學生：「我身上有 3 元，你身上的錢比我多 5 元，請問你身上有多少 元？」此時學生就說：「3＋5 等於 8，所以我身上有 8 元」；之後再舉一個有關倍 數的題目並問學生：「我身上有 3 元，你身上的錢是我的 5 倍，請問你身上有多少

元？」此時學生就說：「3×5 等於 15，所以我身上有 15 元」，同時告訴學生萬一 分不清楚的時候，就可以用老師舉的這個例子來反推題目，判斷應該要用加法還是 加法列式。利用簡易的舉例幫助學生釐清盲點，有效修正列式錯誤的問題。

4. 遇到類似像教案（I）範例 4 的類似題型，研究者把題目所要問的概念列在 黑板上，然後先降低題目難度，用具體數字代入題目，並且列表格講解表格內容的 相互關係，使他們對題目有相當程度的理解；等學生完全理解後再回歸到原題目，

代數式列式的正確率有顯著提升。

（二）能正確作答代數式簡記題目

1. 作答「ax·ax」型式的代數式簡記時，必須將數字項、代數符號都做相乘步 驟；也就是說「ax·ax＝（a·a）·（x·x）＝𝑎²𝑥²」，例如：「3x·3x＝9𝑥²」，先講 解基本概念並舉個簡易例子，學生就很容易理解。

2. 研究者在教材中的範例有特別強調「x·（－a）」型式簡記的意義；首先，

題目是「x 乘以（－a）」，所以一定是用乘法來簡記，絕非用減法來表示，而且既 然是乘法就會和「倍數」有關聯性。舉例來說，x·（－2）相乘後可簡記為－2x，

而這個（－2）有倍數的意涵，也就是說這個（－2）是 x 的倍數，所以我們可把這 個－2x 稱為 x 的－2 倍。透過倍數概念講解「x·（－a）」型式的簡記意義後，學 生就能夠理解括號裡面的「－」符號是負號而不是減號，成功修正學生在「x 乘以

（－a）」型式的代數符號簡記題目中，誤把負號理解成減號的問題。

3. 直接提示學生遇到「分數型乘法代數式簡記」的題型，「就跟計算分數乘 法的做法一樣，只不過題目裡面多了 x、y 等代數符號」，排除了學生不知道要怎 麼計算此種類型的題目的困惑。

4. 「分數型除法代數式簡記」錯誤起因於不會分數除法計算，所以研究者先 教導學生分數除法的運算方式，並舉例說明，例如：「5÷6 要用分數表示的話，要 先將 5 乘以 6 的倒數即為 5¹

6，就可以得知答案為⁵

6」，我們由上面的計算過程可觀 察一個計算規則，「除以某一個數，等於乘以該數字的倒數」；學生依循上述計算 規則，回歸到含有代數符號的「分數型除法代數式簡記」題目，能夠正確回答其計 算過程，順利修正「分數型除法代數式簡記」之錯誤。

（三）能正確將代數符號同類項合併與化簡

1. 研究者舉實例，教導學生「先把含有 x 的項次用紅筆圈起來，把它們視為 同一家族的人，接著把只有數字的項次用藍筆圈起來，把它們視為另一家族的人；

研究者確認沒問題後，請學生把含有代數符號的項次括號一起，把常數項括號一起，

2. 若此類型題目含有括號，就是多一個步驟先除去括號，之後繼續依循上述

七 0 35

（t＝8.485，p＝.000＜.05），顯示出本研究針對「一元一次方程式－三項錯誤類型」

補救具有正向成效；另外，如表39、表40、表41所示，錯誤類型一（t＝19.070，p

表38 整體學習成效－前、後測總成績相依樣本t檢定（N＝5）

表 40 錯誤類型二學習成效－前、後測成績相依樣本 t 檢定（N＝5）

錯誤類型二

（第五題至第 十二題）

前測平均

（M）

後測平均

（M） 總分 t p

代 數 符 號 簡 記

錯誤 8.75 34.13 40 8.496 .000

如表 40 所示，受試者於前測的錯誤類型二試題平均分數為 8.75 分，後測的錯 誤類型二試題平均分數為 34.13 分，那麼第二項錯誤類型之補救教學對這 5 名研究 對象是否有良好成效？我們將虛無假設與對立假設建立為{H₀：𝜇₁− 𝜇₂ ≤ 0

H₁：𝜇₁− 𝜇₂＞0，在𝛼

＝0.05 下，右尾檢定時的臨界值可查 t 值表得 1.717，而檢定統計量 t 為 8.496，因 此將落入拒絕域，拒絕虛無假設H₀，即在顯著水準𝛼＝0.05 下，有充分證據顯示「代 數符號簡記」錯誤類型之補救教學具良好成效。

錯誤類型三學習成效－前、後測成績相依樣本 t 檢定如表 41：

表 41 錯誤類型三學習成效－前、後測成績相依樣本 t 檢定（N＝5）

錯誤類型三

（第十三題至第 十五題）

前測平均

（M）

後測平均

（M） 總分 t p

未 能 正 確 地 將 代 數 符 號 同 類 項 合 併並記錄下來

0 16.33 21 9.037 .000

如表41所示，受試者於前測的錯誤類型三試題平均分數為0分，後測的錯誤類 型三試題平均分數為16.33分，那麼第三項錯誤類型之補救教學對這5名研究對象是 否有正向成效？我們將虛無假設與對立假設建立為{H₀：𝜇₁− 𝜇₂ ≤ 0

H₁：𝜇₁− 𝜇₂＞0，在𝛼＝0.05 下，右尾檢定時的臨界值可查t值表得1.717，而檢定統計量t為9.037，因此將落入拒 絕域，拒絕虛無假設H₀，即在顯著水準𝛼＝0.05下，有充分證據顯示「代數符號同 類項合併並記錄下來」錯誤類型之補救教學具正向成效。

四、「一元一次方程式－以符號列式與運算」後測答題情形

例：錯誤類型三的平均答錯率＝^40＋60＋60

3 %＝53.33

從表 42 可發現，錯誤類型一之試題答對率已達 100%，全數學生皆能掌握「運

並能正確地將（A）選項修改為「𝑥²表示 x·x」，（B）選項修改為「8x 表示 8·x」；

8x＋3＋5x－7＝？

S4：

8x＋3＋5x－7

＝（8＋3＋5－

＋7）；確認沒問題後，問 S4：『（8x＋5x）等於多少？』S4 回答：『13x』，再 問 S4：『（3＋7）等於多少？』S4 回答：『10』，最後問 S4：『那兩項相加合併 答案會是什麼呢？』S4 回答：『答案是 13x＋10 嗎？』研究者回應 S4：『沒錯！

代數式的合併與化簡的方法就是這樣』」S4 也表示：「老師重新教他一遍，勾起 他之前所學過的內容」顯然 S4 對於「代數式的合併與化簡方法」並非完全陌生，

只是尚未進入到長期記憶，需要再多做類似練習達到精熟學習階段。

表 46 錯誤類型三（例題 14）之解題狀態分析（後測）

＝（6x＋2x）＋（10－8）

＝10x＋2

＝（6x＋2x）＋（10－8）

＝8x－2

表 47 錯誤類型三（例題 15）之解題狀態分析（後測）

＝（3x－5x）＋（－6＋12）

＝－2x＋18

＝（3x－5x）＋（－6＋12）

＝－2x＋18

（3x－6）＋（－5x＋12）

＝－3x＋7x 致後續一連串錯誤，S2、S3的錯誤類型可歸類在錯誤類型理論中Engelhardt（1982）、 李芳樂（1993）及Maurer（1987）提出的「因個人疏忽所導致的隨機型錯誤」。

S4 先前在後測時忘記如何合併、化簡，所以突發奇想把「前項括號內係數相 減（3－6），再乘上 x，得－3x；後項括號內係數相減（－5＋12），再乘上 x，得 7x；接著把－3x＋7x 得出答案 4x。」此作法與後測例題 14 相同；但是 S4 經過研 究者於後測例題 13 重新教導後，能依循老師所教導的解題方式，說出本題的合併、

化簡之作法「把 3x 和－5x 括號合併一塊兒，－6 與 12 括號合併一塊兒，所以答案 是－2x＋6」，顯示 S4「代數式合併與化簡」的解題正確率有提升。

綜合上述，經由「一元一次方程式－以符號列式與運算」三項錯誤類型補救後，

全部學生已能「正確運用運算符號與代數符號記錄成代數式」；然後「代數符號簡 記」與「代數式的合併與化簡」經二次補救後，學習速度較為落後的S4比第一次補 救後還明顯進步許多。