第二章 文獻探討
第四節 不等式的相關研究
古希臘數學家丟番圖（Diophantus of Alexandria，約公元 250 年）提出運用代 號之前。是代數學的開始，使用一般語
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者，喜歡將未知數寫成radix 即拉丁文的解或 res 即拉丁文的物。米吉利亞（Claude Bachet de M’eziriac 1581~1638）則將 x3＋13x2＋5x＋2 寫成 1C＋13Q＋5N＋2。
維塔（Francois Vieta 1540~1603）是第一位系統地、在意地引用字母的人，他不 只用字母表示未知數和未知數的乘冪，還用來當作一般係數，他通常使用母音字 母代表未知數，子音字母代表已知數。笛卡兒（Descartes 1596~1650）將正整數 指數的應用更加系統化，他將1＋3x＋6x2＋x3寫成1＋3x＋6xx＋x3，最先使用 平方根的代號√也是笛卡兒。高斯於1801 年以 x2代替xx 時，就成為了標準的 寫法。
郭汾派（1991）認為使用文字代號代表數，是數字抽象化與形式化的重要基 礎，更是學生由算術概念到代數概念的溝通橋樑。此外，對文字代號概念的分類，
Collis（1975）從學生的觀點出發，將文字代號概念區分成六種不同使用層次：
1.文字代號為可以算出的值，如：x＋5＝8中的x，x＝3。
2.文字代號在計算裡是可以忽略而不用，如a＋b＝43，a＋b＋2＝？在解題過程裡 並不需要考慮到文字代號所代表的意義。
3.把文字代號當作某一代表物的簡寫或標記，如將h代表多邊形的一邊，所以只 是代表其中的一邊，而不是邊長是多少。
4.把文字代號當做特定未知數，可直接用來運算的，如一多邊形有n個邊，而且 每邊長皆為2，可知此多邊形周長為2n。
5.把文字代號當作一般化的數字，文字代號代表的是一組數字而非單一數值，如 c＋d＝10，且c＜d，c代表小於5的數。
6.把文字代號當作變數使用，也就是一個可隨條件變動的未定數值，如比較n＋2 和2n的大小，n可以是任何數，兩者也一定可以做比較。
由上述Collins的分類，前三種層次文字代號的使用停留在具體層面，而後三 種層次則是到了抽象思考模式，若學生對文字代號的認知仍停留在具體階段，固
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袁媛（1993）曾對國一學生三個班級共132人進行文字代號概念發展的測驗，
發現多數國中一年級的學生尚未達到抽象運思的認知發展階段，學生無論在文字 代號概念的理解或代數文字題的解題上，均出現極大的困難。郭汾派（1991）參 考英國CSMS所設計的題目，擬定「國中生文字代號概念之發展」測驗卷，全國 分區抽樣測試25所國中一、二、三年級共約2900名學生，了解國中生在文字代號 概念的主要錯誤型態有：
1.帶分數模式，如求4 加 3n，答：7n。
2.係數、文字分別處理，如2a＋5b＝？答：7ab，7＋ab，7（a＋b），7＋a＋b。
3.不是同類項擺在一起，學生認為單項式才是答案，缺乏同類項才可合併的觀念。
4.不曾使用括號，如4 乘以（n＋5），答：4n＋5，n＋20。
5.忽視數據資料，如c＋d＝10，且 c＜d，求 c＝？答：c＝10－d。
6.認為不同文字代表不同數，學生易把文字看成某一特定數，不同文字視為不同 的數字。
7.將文字當特定數處理，學生認為答案一定是一個已知數才可以，未能建立一般 化的觀念。
8.受定義影響，學生讀題過程中，有時會誤解或不明白題意，如n 加 4 記成 n＋4 求n＋5 加 4 的結果？答：（n＋5）＋（n＋4），n＋1＋4，2n＋5。
9.重新設定未知數，學生習慣以x、y、z 來表示未知數，還沒達到文字代號只是
「代號」不管以什麼來替代都可以的境界。
10.不能辨別代號與物品。
11.文字代號當有次序的特定數，學生隱約把甲、乙、丙加入順序關係，此與英 國學生將a、b、c 當作成 1、2、3，有異曲同工的現象。
12.文字代號只當不為負整數處理。
許秀如（2007）對於國中學生對文字代號概念的認知研究發現：
1.基本計算能力不足。
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3.閱讀能力的限制。
4.理解應用與抽象思考能力尚待加強。
5.學生文字代號運算概念認知層次的高低對於其在代數運算的表現有顯著的影 響，其成就表現取決於文字代號概念的認知成熟度。
6.國中生在理解與使用文字代號概念方面的學習需再延長時間，相關能力才能充 分獲得發展。
從上述可知，在代數的發展過程中，人類花非常久的時間才會使用文字代 號，而數學能蓬勃的發展要歸功於文字代號的誕生，但這段發展的時間並不算 短，因此學生要在短短的兩、三年內，對文字代號有較好的概念確實不易。
二、方程式
什麼是方程式？方程式是某種特殊數學敘述的名稱，如果這些敘述有「同一 性」，可以用等號「＝」表示，例如：3＋2＝5、7×4＝28。在包含變數的方程式 例如6x－3＝7＋x 之中，有些 x 的值代入之後使得敘述為真，則 x 就稱為方程式 之解（Skemp，1987）。
Booth曾在民國75年應邀來台講學，他認為研究解方程式的了解，需要探討 的問題有：
1.文字代號的了解，檢驗學生對文字代號，像x的看法。
2.記號的了解，－像等號「＝」，加號「＋」的了解。
3.學生自己解題的方法。
4.平衡的觀念。
5.逆運算的觀念。
Booth從實驗得到一個結論：要學生學好方程式一定要保證學生已經學好平 衡和逆運算兩種概念，如果學生在學解方程式時，並未學好這兩種概念，其補救
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謝夢珊（2000）研究以不同符號表徵未知數對解方程式之探討，發現學生在 解方程式的錯誤類型有：文字代號認知、等號的認知、代數式認知、解題策略、
解題程序等五種錯誤類型，而影響方程式的解題因素有以下七大類：1.運算符號 的性質、2.運算符號的個數、3.運算符號及未知數的位置、4.未知數出現的次數、
5.答案是否為整數、6.係數的大小、7.題目中是否有括號。
王如敏（2004）研究使用傳統式和引導式兩種不同陳述方式，探討國二學 生在一元一次方程式的基本概念及應用問題的解題情形與錯誤類型，並分析錯誤 原因，發現國二學生對於一元一次方程式的基本概念，產生錯誤的類型共分成以 下八大類：1.文字符號的意義、2.一元一次方程式的認識、3.文字符號的簡記、4.
求式子的值、5.文字符號當作特定的未知數、6.以文字符號代表數、7.式子的運 算、8.解一元一次方程式。
三、不等式
教育部在2008年頒布的課程綱要，在國小階段有關於不等概念的能力指標只 有A-1-01能在具體情境中，認識等號兩邊數量一樣多的意義與＜、＝、＞的遞移 律，到了國中階段有關於不等概念的能力指標有A-4-03能用x、y、…符號表徵問 題情境中的未知量及變量，並將問題中的數量關係，寫成恰當的算式（等式或不 等式）、A-4-06能理解解題的一般過程，知道解出方程式或不等式後，還要驗算 其解的合理性、A-4-08能理解一元一次不等式解的意義，並用來解題。
在國中的課程，學生會在七年級下學期學到不等式，其教材地位分析，以翰 林版為例，如圖2-4-1：
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圖2-4-1 國中階段不等式的教材分析
Warren（2006）進行了為期三年了縱向研究，探討學生如何被教導學習不等 式的相關數學語言，她分析國小五年級的教科書，發現只有5％的教材讓學生掌 握和理解「多」與「少」，大多數的課堂教學都是涉及數字的加法和減法的運算 問題，她認為學生對於不等式的困惑可歸因於他們缺乏一個完整的理解有關術語 用於描述不等概念，諸如「以上」，「大於」，「至少」，「最多」，「沒有超 過」等，教師在課堂上教學時往往對一個數學問題匆匆帶過問題中所用到的「多」
與「少」。
林炎全（2004）研究與不等概念相關的能力指標 N-2-15 能在具體情境中理 解乘法交換律、等號的對稱性、「＜、＝、＞」的遞移性……、A-3-2 能將生活 中的問題表徵為含有 x、y…的等式或不等式，透過生活經驗檢驗、判斷其解，
並能解釋式子解與原問題情境的關係、及A-4-3 能檢驗、判斷不等式的解並描述
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進而對一個量做複製活動，四個與不等概念相關的能力指標之實驗教學，實驗教 學的步驟：1.討論能力指標的意涵、2.撰寫教學計畫、3.實施教學、4.測試並分析 結果。發現比較兩群物件數量的多寡時，有些學生不會採等量相抵的方法；中學 生尚未受過邏輯訓練，不易脫開「或」與「且」的困局，難以釐清「≦」及「≧」
的混淆，建議不等概念在表徵方面的發展，是「量」到「數」再到「式」逐漸提 高抽象度；等量公理應延伸到不等關係的運算，以建立解不等式的基礎；國中小 階段，數線是表徵不等概念有力的工具。
Blanco（2007）對 91 名學生採用問卷調查方式，發現學生處理不等式時與 處理等式的方式是相同的，如學生解「－2x＝6」的方程式時，使用等量公理運 算得到解為「x＝－3」；學生解「－2x＜6」的不等式時，利用相同的方法得到 解為「x＜－3」。導致許多人無法理解他們找到的解，他們很難理解哪些值使得 不等式正確，哪些值不是。
Rowntree（2009）認為不同的策略能幫助更多學生了解不等號的概念，學生 可以避免很多的失誤。Tsamir & Almog（2001）透過問卷調查瞭解學生解方程式 和不等式的步驟，並對 25 名學生進行訪談，研究指出學生解不等式的主要策略 有三項：1.代數運算，這是學生最普遍的做法、2.繪製圖形、3.使用數線，學生 繪畫有關圖形進而產生正確的解決方案，而大多數學生使用代數運算，應用這種 方法產生的不正確率最高，學生解不等式常會遭遇的困難有:
1.未注意基本限制，如分母為非 0，平方根要為非負數。
2.邏輯連接詞的困難，缺乏了解有關何時和如何運用「和」或「或」。
3.乘除運算時，沒有正確地注意符號。
4.運用解方程式的方式來解不等式。
5.乘除運算時，沒有注意運算式不一定為正。
6.給平方根做無意義的連結。
7.把不等式平方後，再求解。
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中文文獻方面，對於中學階段不等式的研究並不算多，其中有些是與數學競 賽有關，例如：張春福、李姿霖（2007）介紹數學競賽中常見的基本不等式，與 探討證明不等式時經常使用的解題方法。這雖與本研究沒有直接關係，但表示在 數學上許多運算是需要藉助不等式的，而且不等式的證明技巧多樣化、方法不 一，在數學分析上，不論是純理論或應用方面，都需要不等式的運算。至於與學
中文文獻方面，對於中學階段不等式的研究並不算多，其中有些是與數學競 賽有關，例如：張春福、李姿霖（2007）介紹數學競賽中常見的基本不等式，與 探討證明不等式時經常使用的解題方法。這雖與本研究沒有直接關係，但表示在 數學上許多運算是需要藉助不等式的，而且不等式的證明技巧多樣化、方法不 一，在數學分析上，不論是純理論或應用方面，都需要不等式的運算。至於與學