第二章 文獻探討
第三節 數學解題
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第三節 數學解題
美國數學教師協會（NCTM）在 1980 年對美國數學教育的建議書中，第一 條建議：數學解題（problem solving）是美國數學教育必須全力以赴的課題。這 項建議明確指出數學解題的重要性。
我國在九年一貫課程綱要中將「獨立思考與解決問題」定為十大基本能力之 一，顯示教育當局對於培養解決問題的重視，身為在教學現場的教師，值得在這 個議題來研究，以下分別由解題的意義、數學解題歷程、數學解題策略三方面來 進行文獻探討。
一、解題的意義
自古以來，人類時時刻刻在面對問題、解決問題，隨著時代的演變，生活環 境的進步，人類文明越來越進步的同時，所面臨的問題也越來越多變化，因此解 決問題的原理原則就越來越重要了。
國內學者張春興、林清山（1994）認為解題就是思考，思考時都是運用以學 得的概念和原則達到解決問題的目的。
Newell 和 Simon（1972）提出解題是某人面對問題進而想找出答案時，卻 又不知道如何立即採取行動，以達成其目的。
Kilpatrick（1985）認為解題是一個情境，在此情境中某人想達到某一目標，
但直接通往此目標的路徑已經被阻塞了，在尋求答案的過程中，需要用一些概 念、方法、原理等。
解題就是解題者如何把自己從困境中解脫出來的過程，在解題的前面加上數 學，表示所牽涉到的是數學問題，或在解題時需要用到數學的知識或方法（黃敏 晃，1991）。
吳德邦和吳順治（1989）提出問題解決是個人運用先前舊有的經驗、知識、
技巧和了解去滿足未能解決情境的要求。
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劉錫麒（1993）認為解題是一個不斷省思的歷程，解題者需要有豐富的相關 知識基模，也需要策略的引導搜尋，否則解題是盲目的。
大多數人認為解文字題就是數學解題，Kantowski（1981）認為數學解題還 包含非例行性的數學問題與真正的應用問題，非例行性問題界定為解題者無法回 答的問題，或解題者無法利用已有的知識及技能直接解決的情境，解決非例行性 問題的經驗可以幫助學生解題的方法，遷移到新的問題情境。
綜合上述學者的看法，解題可以看成是解題者在面對一個問題時想要解決 它，卻沒有立即可用的方法或算式來完成，解題就是解題者在執行這項工作的一 系列活動過程。
二、數學解題歷程
由國小的算術進入到國中的代數時，有些學生出現學習上的不適應，其主要 的困難是，國小做算術時，他們只是做解題的運算，國中做代數題時，必須先描 述問題的情況，而不是只做運算。
數學解題歷程就是在處理數學問題時所用的程序（張景媛，1994）。John Dewey在1910年的著作「How We Think」，將解決問題分為五個步驟：
1.瞭解一個問題的存在：一種困難的感覺、挫折、興奮和懷疑。
2.辨別問題：澄清問題和定義問題，包含目標的設定，被問題難住之情境的辨認。
3.使用先前的經驗，諸如相關的資料，原先的解答或公式假設的概念以及相關問 題的解決計畫的觀念。
4.首先嘗試看看，再持續的思考，進而提出假設或可能的解答，如果需要的話，
問題可以加以改變成其他的型式。
5.評估解答並且在解題過程中畫定出一個結論。這個動作伴隨著成功的解答，合
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表2-3-1 Polya（1945）解決問題的四項程序步驟
程序步驟 捷思法（啟發推理法）
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黃敏晃（1991）認為解題時 Polya 的四個步驟，並不是階段分明的，也就是 並不是了解題意之後才去擬定解題計畫，然後再按照計畫解題，因為所擬定的計 畫無法執行時必須得要重新檢討是否有誤解、誤用，然後重新了解題意後再重新 擬計畫、解題。因此，在實際的解題時，經常是前三個步驟繞圈子，一直到題目 解出來為止。
Schoenfeld（1980）提出解題活動一開始都需要對問題加以分析，他修定 Polya 所提出的而將解題歷程分為：分析題意、設計解題計畫、探討、實施計劃、驗證
，如下圖2-3-1：
圖2-3-1 Schoenfeld（1980）的解題歷程
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Kantowski（1981）認為求解的處理是數學解題各階段活動中最困難的，但 也是最關鍵的部份。所謂求解的處理是指處理問題中所給的各項資料，把其間的 關係建立或組織起來的各種方法，例如把資料組成表格、作某種分類、寫出方程 式以表達其關係。
Bloom 和 Broder 的研究顯示：問題解決的教學法應該集中注意於「歷程」
而不是成果。Mayer 認為數學的問題解決最少牽涉到四項主要成分：問題轉譯、
問題整合、解題計畫及監控、解題執行，也就是如果能夠將問題的每一個陳述句 加以轉譯，能夠將資料整合而成連貫一致的問題表徵，能夠想出及監控解題計 畫，及能夠準確地和有效的執行計畫（林清山，1993）。
楊弢亮（1992）認為解題教學一方面是教師對學生運用知識和進行獨立思考 的指導過程，另一方面是使學生牢固掌握基礎知識和基本技能的必要途徑。他提 出解題過程一般須遵循以下步驟：
1.審題：解題時首先掌握題意。
2.知識的重現：在分析問題的條件、圖形、結論、概念、類型的特點基礎上，回 憶與問題有關的知識。
3.尋求解題途徑：運用分析、綜合、類比、演繹、歸納等思維方法尋求解題的關 鍵。
4.按照規範格式，寫出解答過程。
5.檢查或驗證答案的正確性和合理性。
綜合上述學者的看法，解題歷程可以看成是一個過程，當面對問題時，首先 要能對於問題有所了解，了解問題後找出內部關係中可以用的資訊，然後擬定解 決問題的計畫，從擬定的計畫中，一步步地去尋求問題的答案，得到答案時，還 要檢驗所得到的答案，是否有滿足問題的要求。
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三、數學解題策略
策略是解題歷程中的一部份，它提供了解題者找尋答案的方向，因此策略的 選擇與使用是相當重要的。Kantowski（1981）認為在成功的數學解題中，重要 的是擁有有效計畫的能力與有辦法採取自發性的策略，如將資料組織成有系統的 表格，或畫出有助於解題的圖型等。
黃敏晃（1987）認為解題的關鍵在「擬定計畫」，他解釋當我們面對問題時，
如果能針對它擬出一個計畫，這就是解題的策略，他並提出幾個常用的解題策略：
1.圖示化：數學問題有時候抽象度很高，畫出圖形常有助於問題的解決，故圖示 是有其必要的。
2.特殊化或極端化：把一個一般的問題放在特殊的或極端的狀況來考慮，常可使 我們得到額外的資訊，使得問題比較容易解決。
3.一般化：當我們把一個特殊的事實或片段的知識，放入一個理論架構裡討論 時，這個事實或知識的成立就很容易解釋。
4.對稱原則：對稱是數學常談到的性質，利用對稱的特性來簡化問題、運算、操 作。
Wickelgren（引自林清山，1992）建議數學解題時可採用的策略有：
1.次目標：將問題分成許多較小的問題。
2.逆向工作：從解題目標開始，往已知條件的方向解題。
3.發現有關問題：使用解題計劃去解有關的問題。
4.矛盾法：顯示解題目標無法完成。
Schoenfeld（1980）認為解題計劃的設計是解題過程的整體控制，功用是使 解題者進行有助於解題的活動，而探討活動是啟發策略的心臟部位，大部分的解 題策略都在探討的層次上運作，並提出探討活動分成三個層次，整理如下表 2-3-2：
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表2-3-2 Schoenfeld（1980）的解題三層次
分析
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吳德邦和吳順治（1989）認為在進行問題解決的教學方式應該發展和強調兒 童具有閱讀問題、探究、選擇策略、解決問題、複習、回顧和驗證答案，而策略 的選擇是經由閱讀問題、探究這兩項的程序而選定的，並提出七種被解題者運用 最廣泛的策略：算式的理解、化簡和變形、試驗和模擬、猜測和嘗試、邏輯演繹
、組織列式、回顧舊經驗。
歸納上述，數學解題策略的使用是解題過程非常重要的一個步驟，能夠使用 正確的策略在解題上，是解題成功的關鍵。
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古希臘數學家丟番圖（Diophantus of Alexandria，約公元 250 年）提出運用代 號之前。是代數學的開始，使用一般語