第四章 研究結果與分析
第三節 範圍解與圖示的題組測試結果
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第三節 範圍解與圖示的題組測試結果
本研究採用的數線上圖示範圍解工具共有三題，第一題的情境為給一個x 值，欲測試的受試者在各選項中是否有能力判斷出x值符合哪一個不等式的解；
第二題的情境為給不等式範圍解的圖示，欲測試受試者在各選項中是否有能力判 斷出符合不等式的範圍解；第三題的情境為作圖題，已知不等式的範圍解，欲測 試受試者是否有能力將不等式的範圍解圖示在數線上。本節先就本次量尺的整體 表現與錯誤類型、原因作報導，繼之對各題答題表現、訪談資料作扼要的呈現。
一、整體表現
經分析之後發現，能三題都正確作答的人數有50.0％，作圖題的錯誤人數為 33.3％，顯示大部份的受試者較易理解數線上範圍解的圖示，但在作圖題中，受 試者的錯誤率有增加的情況，「範圍解與圖示」其錯誤類型主要的有：
1.能將x值代入，但是數的運算錯誤。
2.能將x值代入，數的運算處理正確，但是無法判斷所得到的值是否符合不等式 的解。
3.不是利用將x值代入的方法，而是透過解一元一次不等式的方法，但是解不等 式的運算時發生錯誤。
4.不等號的符號認知錯誤，此類的受試者認為「≦」是沒有相等、包含的意義，
或是將「＜」認為是有相等、包含的意義。
5.不等號的圖示認知錯誤，分不清楚在數線上使用「。」與「‧」所代表的意義。
6.不等號方向的認知錯誤。
7.無法正確描繪出數在數線上所代表的點。
8.數線概念錯誤，數線的正向、原點0與數之間的大小次序認知不清，如：
。
9.空白，沒有作圖。
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二、錯誤原因與困難分析
受試者能將x值代入不等式中，但是數的運算錯誤，表示基本運算能力不足，
延續整數的四則運算，計算錯誤、運算不完全、運算法則不瞭解與誤用，在許多 研究中都有相同的結果；另一個原因，受試者在數的運算處理正確，但是無法判 斷所得到的值是否符合不等式的解，與Blanco（2007）認為此類受試者將不等式 的處理和等式一樣，導致無法理解他們所找到的解有相同的結果；有些受試者是 透過解一元一次不等式的方法，但是解不等式的運算時發生錯誤。
探究受試者在數線上圖示範圍解問題發生錯誤之原因，發現對於不等號的圖 示認知錯誤之受試者，其原因多為不知道實心符號或是空心符號所代表的意義為 何，對於「≦」該使用的是實心符號還是空心符號，此類的受試者是無法分辨的；
對於不等號的方向認知錯誤之受試者會認為有「＜」或「≦」時，描繪圖形的方 向皆朝向左邊，而沒有去考慮到其意義；沒有作圖、空白者，除了不會作圖外，
有受試者是因為作答時粗心大意，沒有看到有這個問題，所以沒有畫範圍解的圖 示。
三、各題的表現
表4-3-1 範圍解與圖示次量尺第一題受試者答題分布
3
x 可為下列哪一個不等式的解？
（A）5≦42x （B）3x5≧1 （C） x2 3≧4 （D）3≦ x8 選項 （A）＊ （B） （C） （D） 總計 男 選答人數（％） 7（58.3） 1（8.3） 3（25） 1（8.3） 12 女 選答人數（％） 13（69.1） 3（16.7） 0（0） 2（11.7） 18 此題為透過數的運算，來判別x值應為哪一個不等式的解，整體答對的比率 有66.7％。
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表4-3-2 範圍解與圖示次量尺第三題受試者答題分布 請在數線上圖示不等式x≦6且2 ＜x：
選項 正確 錯誤 總計
男 作答人數（％） 10（83.2） 2（16.8） 12 女 作答人數（％） 10（55.6） 8（44.4） 18 此題為在數線上圖示範圍解，欲測試受試者是否有能力描繪不等式的範圍 解，整體表現有66.7％能正確描繪出圖形。金玉麒（1987）發現學生在描繪不等 式的範圍解時，會因為數線概念的不清楚而產生錯誤，本研究也有相同的發現，
受試者對於的數線概念是錯誤，數線的正向、原點0與數之間的大小次序分不清，
其次是無法正確描出數在數線上所代表的點。從受試者的作圖分析，還可以發現 受試者對於不等號的認知方向是不清楚的，對於「＜」或是「≦」，都會認為畫
圖時應該往左邊畫，而會有像 錯誤的結果產生。
對於不等號的符號認知有錯誤的受試者，認為「≦」是沒有相等、包含的意 義，或是將「＜」認為是有相等、包含的意義。在描繪圖形時，也可能因為對於 不等號的認知錯誤，而造成在作圖時產生錯誤，而將「＜」以實心符號描繪或是 將「≦」以空心符號代表。
以下節錄自S205，低分組女生的錯誤作圖，以及訪談原案。
錯誤：
T：請問第九題你是怎麼畫圖的？
S：x大於等於6，且2小於x。
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S：少畫一條線。
T：你覺得少畫什麼線？
S：6要超過2。
由訪談的資料中，可以發現S205對於組成數線的三要素原點、正向、單位長 是不了解的，習慣上數線的正向是箭頭向右為正，先標出原點0之後，依單位長 在0的右邊由0開始往右依序標記1、2、3、4，在0的左邊由0開始往左依序標記
－1、－2、－3、－4，如 。