第四章 研究結果與分析
第六節 兩個不等號的不等式題組測試結果
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第六節 兩個不等號的不等式題組測試結果
本研究採用解兩個不等號的不等式工具共有三題，第一題的情境為x項係數 為正整數的不等式，欲測試受試者在解不等式時，能否運用等量公理的運算性質 來同時解兩個不等號的不等式；第二題的情境為x項係數為負分數的不等式，欲 測試受試者能否同時運用等量公理與不等號的運算性質來解不等式；第三題的情 境為有x項係數為負整數、括號的不等式，欲測試受試者能否綜合運用多種運算 性質來解不等式。本節先就本次量尺的整體表現與錯誤類型、原因先作報導，繼 之對各題答題表現、訪談資料作扼要的呈現。
一、整體表現
經分析之後發現，能三題都正確作答的人數有23.3％，三題都錯誤的人數有 30％。此結果與一個不等號的不等式測驗結果比較，全部作答正確的比例從50
％明顯下降到23.3％，全部作答錯誤的比例從16.7％上升30％。在一個不等號題 組測驗中，受試者的錯誤比率是在20％~43.3％；在兩個不等號題組測驗中，受試 者的錯誤比率是在40％~70％，表示受試者對於解一個不等號的經驗，可能無法 類化同時處理兩個不等號，而造成解題錯誤的產生。以下歸納出受試者在兩個不 等號之不等式的幾種錯誤類型：
1.不等號改變方向的錯誤。解不等式的過程中，遇到乘除負數的運算，除了數的 運算之外，還需要改變不等號的方向，此類的受試者僅對於「數」進行運算，卻 忽略了是否要改變不等號的方向，而產生錯誤。
10≦ x3
2
2＜8 10≦ x3 62＜810≦ x3 8＜818≦3x＜0 6≦x＜0 正確：6≧x＞0
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的運算性質，而只是對於「數」作運算。陳英貴（2007）認為學生能記憶不等 號運算的規則，如乘除負數對不等式的改變。但實際的運算過程中，學生無 法察覺錯誤的重要關鍵，總是在答案修正後或是第二次計算才發覺錯誤。本研 究在「一個不等號的不等式」、「分數的不等式」、「兩個不等號的不等式」的題 組中，得到了相同的驗證。
（2）數的運算規則錯誤。受試者數的加減運算、乘除運算錯誤在兩個不等號的 不等式題組中仍然產生，與陳春惠（2007）有相同的發現。在解「一個不等號 的不等式」、「分數的不等式」、「兩個不等號的不等式」的題組中，數的四則運 算錯誤一直是學生產生錯誤的原因之一，表示學生在學習「正負數的四則運算」
時就已經產生迷思還沒有得到適當的修正，就會常出現此類錯誤。
（3）分配律的運算規則錯誤。受試者會有符號運算規則的不完全，在前一節探 討過括號外的係數與括號內的式子進行乘法運算，括號外的係數與括號內的式 子進行乘法運算，係數會與第一項相乘，而忽略係數仍要與括號內其他項的運 算，如10≦ x3
2
2＜810≦3x－2＋2＜8，還有發現受試者會將 係數與其他項運算，但仍欠缺完備，在性質符號的運算或數值的運算僅運算其 中一項，如10≦ x3
2
2＜8 10≦3x－6＋2＜8，又如10≦ x3
2
2＜810≦3x＋2＋2＜8。與郭汾派（1991）研究國中 生在文字代號的主要錯誤型態，發現學生計算4×（n＋5），答案是4n＋5、n＋20的情況有類似的研究發現。
（4）移項法則的錯誤。此類受試者因為不瞭解兩個不等號的解題目標，僅將某 一項作移項運算，違反等量公理，如52x13512x3，陳英貴
（2007）的研究中也有類似的發現，造成學生無法繼續求解。
2.新舊學習經驗的互相干擾
（1）解方程式的影響
在解方程式時，習慣上會將未知數移項到等號的左式，常數項移項到等號的
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此題為解兩個不等號之不等式的第二題，需要使用到數的運算、等量公理、
不等號改變方向等多種數學概念，由表4-6-1可發現學生的錯誤類型以空白作答人 數最多，可能表示當多個概念在同一個問題出現時，學生可能未考慮周詳、或是 不知道該從何思考開始下筆運算，因而放棄作答。以下節錄自S207，高分組女生 的錯誤作答：18＜2x≦39＜x≦
2
3，以及訪談原案。
T：請問你是怎麼算這一題的？
S： x 3
2 ，要把3去掉，所以先乘以3，等於18＜2x≦3，因為x還有 ， 2
所以還要再除以 。 2
T：所以除以 ，就會像2 9＜x≦ 2
3的式子嗎？
S：是。
T：那它需要做什麼改變嗎？
S：不用。
表4-6-2 兩個不等號的不等式次量尺第三題受試者答題分布 題目 10≦ x3
2
2＜8 正確答案 0＜x≦6 作答結果性別 正確人數 錯誤人數
錯誤比率 66.7％
男 6 6
女 4 14
錯誤類型 錯誤類型的百分比（％）
1.多項錯誤 35
2.胡亂猜測答案 20
3.不等號改變方向的錯誤 20
4.空白 10
5.未完成 10
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此題為解兩個不等號之不等式的第三題，需要使用到分配律、數的運算、等量公 理、不等號改變方向等多種數學概念。由表4-6-2 可發現學生的錯誤類型以多項 錯誤人數最多，表示學生會嘗試解題，但可能當多個概念在同一個問題出現時，
學生未能考慮周詳，而造成多項錯誤的產生。以下節錄自S207，高分組女生的 錯誤作答：10≦ x3 62＜810≦ x3 8＜818≦3x＜0
6 ≦x＜0，以及訪談原案。
T：請問你是怎麼算這一題的？
S：括號外有一個3先乘進去，會得到 x3 6，然後得到10≦ x3 8＜8， 然後再減去8，得到18≦3x＜0。
T：你從18≦3x＜0之後到下一步驟6≦x＜0，你是怎麼算出來的呢？
S：還要除以3。
T：還要除以3，所以會得到這些答案，那你覺得除以3，還要做什麼改變嗎？
S：負負要得正。
T：負負要得正，那還有沒有其他的呢？
S：沒有。
由以上兩個訪談的資料中，可以發現S207 在不等式的運算過程中，忽略不 等式在乘除負數是需要改變不等號的方向，僅對於數作運算。在S207 的訪談過 程，研究者發現S207 在第二次提問問題時，S207 本身可能覺察出她錯誤的地方，
在口頭訪談中，並沒有說出錯誤之處。
以下節錄自S121，中分組男生的錯誤作答： x3
2
2＜8 x3 62＜8 x3 888 x3 0 x3 ，以及訪談原案。
T：你在這個算式 x3 0到x3，你是怎麼算的？
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S：會變成正的。
T：你覺得 x3 0 x3，如果再讓你想一次的話，你會怎麼算？
S：x要大於3。
由以上兩個訪談的資料中，可以發現S121使用移項法則求解的過程，把乘除 法的運算當成加減法的運算，經由訪談，S121仍無法覺察出錯誤，僅認為負數在 移項過程中是需要變成正數的。