第四章 研究結果與分析
第七節 文字問題的不等式題組測試結果
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第七節 文字問題的不等式題組測試結果
本研究採用解文字問題的不等式工具共有四題，第一題的情境是年齡變化的 問題，欲測試受試者能否理解題意，列出適當的不等式解題；第二題的情境有關 三角形面積，欲測試受試者能否運用三角形面積公式與隱含在文字問題的不等式 來解題；第三題的情境為兩個數量關係的問題，欲測試受試者能否理解題意，列 出兩個數量關係的不等式來解題；第四題的情境為三個數量關係的問題，欲測試 受試者能否理解題意，列出三個數量關係的不等式來解題。本節先就本次量尺的 整體表現與錯誤類型、原因作報導，繼之對各題答題表現、訪談資料作扼要的呈 現。
一、整體表現
經分析之後發現，文字問題的不等式與其他題組的不等式相比，錯誤比率為 最高，錯誤率皆大於50％，與金玉麒（1983）、陳春惠（2007）、陳英貴（2007）
都有類似的結果。表示學生對於文字問題、題意的理解與列出不等式，出現學習 上的困難，因而造成解題錯誤的產生。以下歸納出受試者在文字問題之不等式的 幾種錯誤類型：
1.無法理解題意。根據Polya（1945）提出解決問題的四項程序步驟，第一步就是 要了解問題。文字問題需要透過閱讀題目的敘述之後，了解分析問題內已知數 和未知數的關係，才能列出正確的數學算式進行解題。如果第一個步驟了解問 題時，受試者已經出現理解題意的困難，則無法進行後續的解題動作。
2.能理解題意，但沒有列出合適的不等式。受試者在閱讀文字敘述後，雖能理解 已知數和未知數的關係，但在列式的過程中發生錯誤，如在「綺貞的父親今年 56歲，六年前父親的年齡小於綺貞年齡的4倍，請問綺貞今年至少多少歲？ 」
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3.使用錯誤的三角形面積公式。將三角形的面積當成為底×高，與金玉麒（1983）
的研究中也有相同的發現。
4.忽略題目的已知條件。在文字問題的情境中，有些已知條件是有限制的，如年 齡、物品的數量是要正整數，或是三角形的底、高、面積都要是正數等條件都 是受試者要在解題時考慮進去。
5.解出x值，但答案遺漏或錯誤。文字問題與一般計算問題最大的不同在於文字 問題所求得到的解，必須還要去驗證這個解是否有符合文字問題的要求，如是 否是正數、整數的情況等。
6.不等號的概念錯誤，將文字問題中的不等號同義詞之詞彙轉譯錯誤，造成列出 錯誤的不等式，進行錯誤的解題。
7.多項錯誤。此類受試者在作答時，解題過程中出現的錯誤類型不僅一種，可能 會同時出現兩種或兩種以上的錯誤類型。如在「綺貞的父親今年56歲，六年前 父親的年齡小於綺貞年齡的4倍，請問綺貞今年至少多少歲？」這個問題中，
受試者有以下幾種情況：
（1）數的運算、答案的錯誤。
4
x6
50 4x24504x64x16 正確：4x74 答：16歲（2）不等號的概念、數的運算錯誤。
50≦4
x6
50≦4x2426≦4x 213≦x 正確：50＜4
x6
（3）列不等式、答案錯誤。
4x56 x14 答：14歲 正確：4
x6
566 8.數的運算錯誤。9.遺漏或增加符號。
10.胡亂猜測答案。
11.空白沒有作答。
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56－6＜4x－6 的不等式，正確的列式應為 56－6＜4（x－6）。（2）運算時忽略括號，在「已知一個三角形的底為（x－3）公分，高為6公分，
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4.忽略題目所給條件或答案不夠完備產生錯誤。在文字問題的情境中，受試者在 解題時忽略已知條件，如年齡、物品的數量是要正整數，或是三角形的底、高、
面積都要是正數等條件。由訪談的過程中，可發現受試者可以注意到年齡應為 正整數，但仍有些無法察覺三角形的面積應為正數這個條件。建議教師在教學 時，應提醒學生注意日常生活中，常使用量詞的限制，如年齡、長度、重量、
圖形邊長、面積等。
5.沒有從離散量概念延伸至連續量概念。
（1）利用數值代入的方式嘗試找出答案。黃敏晃（1991）提到嘗試錯誤法是 典型的解題策略。從訪談中發現受試者有發現三角形的底為（x－3）的條件，
需要（x－3）＞0，卻使用將值代入的方式求解，認為如果 x 是 3 的話會變成 0，
然後 0 就不會是底，所以 x 要用 4。
（2）認為整數才是答案。根據 Polya（1945）提出解決問題的四項程序步驟，第 四步就是要檢查得到的答案。不等式與解方程式的文字問題，不同在於解的 形式不同，方程式的解是一個固定的值，不等式的解是一個連續的值，此類 錯誤的受試者會受到舊有在解方程式的經驗，來回答不等式的問題，而造成 錯誤。
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三、各題的表現
表4-7-1 文字問題的不等式次量尺第二題受試者答題分布
題目
已知一個三角形的底為（x－3）公分，
高為6公分，若此三角形的面積不大於27 平方公分，求x的範圍？
正確答案 3 x≦12
作答結果
性別 正確人數 錯誤人數
錯誤比率 83.3％
男 1 11
女 4 14
錯誤類型 錯誤類型的百分比（％）
1.三角形面積錯誤 20
2.數的運算錯誤 20
3.空白 16
4.忽略底、面積應為正數 16
5.列式未解題 8
6.解出x值，但回答錯誤 8
7.其他 12
此題為解文字問題之不等式的第二題，需要先理解題意、利用三角形面積列 出正確的不等式、考慮底與面積應為正數、再進行運算等多種數學概念。由表 4-7-1可發現受試者作答時空白比率只有16％，表示多數人有嘗試解題，但可能 當多個概念在同一個問題出現時，學生未能考慮周詳，而造成錯誤的產生。以下 節錄自S204，低分組女生的錯誤作答：列式6
x3
≦27 x≦2
15，以及訪談原
案。
T：請問你是如何算這個題目？
S：這題喔，因為我不太會算所以我沒有把真正的答案算出來，所以就只有算到
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此題為解文字問題之不等式的第四題，需要能先理解題意、找出三者關係列 出正確的不等式、不等號同義詞的轉譯、再進行運算等多種數學概念。由表4-7-2 可發現有32％受試者能解出x值，表示可能考慮未周詳，而造成錯誤的產生。
以下節錄自S206，中分組女生的錯誤作答：13525x≦300 x≦ 5
6 ，3 x4，
答：5，6枝，以及訪談原案。
T：你解出答案x≦ 5
6 ，3 x4，為什麼要回答 5，6 枝呢？
S：因為解出來x≦ 5
6 ，介於 6 和 7 之間，因為是小於等於，所以是 6，因為說 3
至少買 4 枝，所以 x 要大於 4，所以要買 5 跟 6。
T：所以你認為至少買 4 枝，是指的 x 要大於 4 的意思嗎？
S：對。
由訪談的資料中，可以發現S206對於不等號同義詞的轉換是有錯誤的，至少 是除了大於的意思外，還有包含的意思。
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第五章 討論與建議
本研究主要目的是探討國中七年級學生在一元一次不等式單元學習的錯誤 概念類型及原因，針對此目的設計診斷學生一元一次不等式的概念研究的工具，
歸納七年級學生解一元一次不等式問題的答題表現和錯誤類型，以暸解學生在學 習一元一次不等式單元時可能產生的錯誤概念，並透過晤談方式分析學生錯誤原 因，從中瞭解學生的學習情形與常犯的錯誤，以提供教師在實施補救教學或改進 教學方式的參考。茲將第四章結果與分析統整歸納後，並提出一些建議，以提供 教師教學或未來研究者之參考。
第一節 討論
一、七年級學生在一元一次不等式單元的答題表現
1.錯誤比率較高為一元一次不等式的文字問題，這表示學生對於文字問題較 不易理解題意，且對於涵蓋其他概念的題目答題情形最差；錯誤比率較低 為不等式的圖形，顯示大部分的學生能夠瞭解不等式的圖形與其範圍解的 意義。
2.空白比率較高為一元一次不等式的文字問題，這表示學生對於文字問題較 沒有作答的信心，所以當學生在閱讀題目後，如果沒有先暸解題目的敘述，
就會無法列出不等式來進行解題，因此就會留白；空白比率較低為選擇題，
這表示學生對於選擇題的作答方式，即使不會，仍會選答。
3.解不等式的空白比率與錯誤比率最高，如
5 3 2 2
x
≦ 10
3
x 的問題，顯示學
生對於數的運算、分數的概念、隱含括號、不等號的運算等多種觀念同時 出現在一個題目中，運算時可能未能思考周詳。
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二、七年級學生在一元一次不等式單元的錯誤類型
依據「同義詞的轉換」、「範圍解與圖示」、「一個不等號的不等式」、「含有分 數的不等式」「兩個不等號的不等式」、「文字題的不等式」六種次量尺，歸納出 學生的錯誤類型。
1. 同義詞的轉換
（1）不等號的同義詞概念錯誤，如認為「超過」是大於之外還有相等的意義。
（2）不等號的符號認知錯誤，認為「＞」是小於，「＜」是大於。
（3）作答不細心，看錯題目條件。
2. 範圍解與圖示
（1）將x值代入，但數的運算錯誤。
（2）數的運算正確，但無法判斷所得到的值是否符合不等式的解。
（3）數線認知錯誤，數線的正向、原點0與數之間的大小次序認知不清。
（4）不等號的圖示認知錯誤，無法分辨實心符號或是空心符號的差別。
（5）不等號的方向認知錯誤，認為有「＜」或「≦」時，圖形的方向皆向左邊。
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3. 將解不等式的三個次量尺所出現之錯誤類型，整理成表5-1-1。
表5-1-1 不等式的三個次量尺之錯誤類型 次量尺
錯誤類型
一個不等號 分數 兩個不等號
不等號改變方向的錯誤 V V V
去括號的錯誤 V V
數的運算錯誤 V V V
遺漏或增加符號 V V V
抄錯題目或答案 V V
多項錯誤 V V V
胡亂猜測答案 V V V
空白，沒有作答 V V V
移項的錯誤 V V
等量公理的錯誤使用 V
使用運算符號錯誤 V
未化簡為最簡分數 V
未完成 V V
不等號概念的錯誤 V
由表5-1-1不等式的三個次量尺之錯誤類型，可發現解不等式時，學生容易 出現不等號改變方向、數的運算、遺漏或增加符號、多項錯誤、胡亂猜測答案、
空白等共同的錯誤類型。其中，解分數的不等式所出現之錯誤類型為最多，顯示 學生對於數的運算、等量公理、去括號、不等號的運算規則等多種觀念同時出現 在一個題目中，運算時容易產生錯誤。
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