國一學生一元一次不等式錯誤類型分析之研究 - 政大學術集成
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(2) 國一學生一元一次不等式錯誤類型分析之研究. 中文摘要 本研究的主要目的是探討國一學生在一元一次不等式的錯誤類型，並分析 錯誤原因。 本研究的設計採用調查研究法，共分成兩個階段進行，第一階段為準備階 段，主要工作為文獻探討、分析國中數學教材、自編「一元一次不等式錯誤類 型分析研究」試卷，進行試卷的施測，預試樣本共 56 名國三學生，抽樣方式非. 政 治 大. 隨機取樣，採方便取樣進行，再由預試結果經修改編製正式施測之試卷。第二. 立. 階段為正式施測與分析階段，正式施測樣本共 30 名國一學生，男生 12 名、女. ‧ 國. 學. 生 18 名，根據施測結果，依成績分成高分組、中分組、低分組三組，再隨機抽 取男女生各 2 名進行半結構的晤談，以瞭解學生答題的想法，分析學生錯誤的. ‧. 原因。. y. Nat. sit. 本研究的主要結果如下：. n. al. er. io. 一、不等式答題表現在文字問題的錯誤比率、空白比率最高。 二、在一元一次不等式的錯誤類型為：. Ch. engchi. i n U. v. （一）同義詞的轉換：1.不等號的同義詞概念；2.不等號的符號認知。 （二）範圍解與圖示：1.數的運算；2.無法判斷範圍解；3.數線的認知；4.不等 號的圖示認知；5.不等號的方向。 （三）解不等式：1.不等號改變方向；2.去括號；3.數的運算；4.遺漏或增加符 號；5.移項的錯誤；6.等量公理的誤用；7.未化簡；8.不等號概念的錯誤 9. 多項錯誤；10.抄錯題目或答案；11.胡亂猜測答案。 （四）文字問題：1.無法理解題意；2.列式錯誤；3.三角形面積公式錯誤；4. 忽略題目的已知條件；5.答案遺漏或錯誤；6.不等號的概念；7.數的運算； 8.多項錯誤 9.不等號的同義詞概念。 i.
(3) 三、一元一次不等式的錯誤原因：1.先備知識的不足；2.資料使用錯誤；3.新舊學 習經驗的互相干擾；4.錯誤的使用運算規則；5.由題目所給數字直接產生答 案；6.不清楚題目設計或文字敘述而產生錯誤；7.忽略題目所給條件或答案 不夠完備而產生錯誤；8.沒有從離散量概念延伸至連續量概念。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 關鍵詞：錯誤類型；一元一次不等式. ii.
(4) A study of seventh grade students' misconceptions and error types of linear inequalities in one unknown Abstract The main purpose of this study is to investigate “seventh grade students' misconceptions and error types of linear inequalities in one unknown”and analyze the causes of the errors. This study adopts survey research and includes two phases. The first stage is. 政 治 大 self-compiled test papers on “misconceptions and error types of linear inequalities in 立. the preparation phase, including literature review, analysis of mathematics textbooks,. one unknown,” and the pretest. The pretest adopts convenience sampling- totally 56. ‧ 國. 學. students from ninth grade. The results were later revised to compile the formal test. ‧. papers. The second stage is the official survey and analysis phase. The 30 samples. sit. y. Nat. are seventh grade students, 12 boys and 18 girls. According to the results of the test,. io. er. these sample students are divided into three groups-high, medium and low performances. Out of each group, two boys and two girls are randomly sampled and. al. n. v i n C hto analyze the causes conduct semi-structured interviews of the errors. engchi U The findings of this study are as follows:. 1. Most of the errors are due to text problems. 2. Error types of linear inequalities in one unknown are: (1) The conversion of synonyms: a. the concept of synonyms; b. symbolic cognitive. (2) The range of solution: a. calculation; b. to determine the range of solution; c. number line; d. notation of inequality sign; e. direction of inequality sign. (3) Problem-solving in inequality: a. to reverse symbol; b. to remove iii.
(5) bracket; c. calculation; d. to omit or add symbols; e. transposition errors; f. isometric axiom errors; g. lack of simplification; h. the misconception of inequality sign; i. multinomial errors; j. to copy wrong questions or answers; k. to speculate answers. (4) Text problem: a. not to understand the questions; b. mistakes in formulating expressions; c. triangle area formula errors; d. to ignore provided conditions; e. omission or wrong answers; f. notation of inequality sign; g. calculation; h. multinomial errors; I. the concept of synonyms. 3. Cause of errors:. 立. 政 治 大. (1) lack of prior knowledge; (2) to use wrong data; (3) the mutual. ‧ 國. 學. interference of old and new learning experiences; (4) to use wrong. ‧. calculating rules; (5) to generate answers from given numbers of the. sit. y. Nat. questions; (6) not to understand description of the questions; (7) to ignore. io. er. the provided conditions or the answers are not complete; (8) not extend to continuous volume.. n. al. Ch. engchi. i n U. v. Keywords：error types；linear inequalities in one unknown. iv.
(6) 目 次 第一章 緒論..................................................................................................................1 第一節 研究動機........................................................................................................1 第二節 研究目的........................................................................................................4 第三節 待答問題........................................................................................................5 第四節 名詞解釋........................................................................................................6 第五節 本研究的貢獻...............................................................................................6 第六節 研究範圍與限制...........................................................................................7. 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. 第二章 文獻探討........................................................................................................8 第一節 概念的理論與基礎.......................................................................................8. ‧. 第二節 錯誤概念的探討.........................................................................................13. sit. y. Nat. 第三節 數學解題......................................................................................................20. n. al. er. io. 第四節 不等式的相關研究.....................................................................................28. Ch. en chi. i n U. v. g 第三章 研究方法...................................................................................................... 39 第一節 研究設計......................................................................................................39 第二節 研究對象......................................................................................................39 第三節 研究工具的開發.........................................................................................42 第四節 研究過程......................................................................................................56 第五節 計劃進行的資料分析.................................................................................57. v.
(7) 第四章 研究結果與分析.......................................................................................58 第一節 學生的答題表現.........................................................................................58 第二節 同義詞轉換的題組測試結果....................................................................67 第三節 範圍解與圖示的題組測試結果................................................................70 第四節 一個不等號的不等式題組測試結果.......................................................74 第五節 含有分數的不等式題組測試結果...........................................................80 第六節 兩個不等號的不等式題組測試結果.......................................................89 第七節 文字問題的不等式題組測試結果...........................................................97. 立. 政 治 大. 第五章 研究討論與建議.....................................................................................105. ‧ 國. 學. 第一節 討論............................................................................................................110. ‧. 第二節 建議............................................................................................................110. sit. y. Nat. n. al. er. io. 參考文獻....................................................................................................................112. i n U. v. 中文文獻................................................................................................................112. Ch. engchi. 英文文獻................................................................................................................115. 附錄..............................................................................................................................118 附錄一 一元一次不等式預試試題........................................................................118 附錄二 一元一次不等式正式試題........................................................................121. vi.
(8) 表 次 表1-1-1 不等式的教材呈現..........................................................................................3 表 2-2-1 錯誤概念的使用名詞（引自鐘聖校，1995）.............................................14 表 2-3-1. Polya（1945）解決問題的四項程序步驟................................................22. 表 2-3-2. Schoenfeld（1980）的解題三層次............................................................26. 表 2-4-1 代數代號發展的三階段（引自簡珮華，2000）......................................28 表 2-4-2 一元一次不等式錯誤類型的研究..............................................................38 表 3-2-1 正式施測學生的背景資料...........................................................................41. 政 治 大 不等式錯誤類型之各題評分者的一致性..................................................50 立. 表3-3-1 「一元一次不等式的錯誤類型」預試題本的雙向細目表......................48 表3-3-2. ‧ 國. 學. 表3-3-3 「一元一次不等式的錯誤類型」預試之難易度、鑑別度、庫李信度..51 表 3-3-4 預試編修及刪減形成正式題本過程..........................................................53. ‧. 表3-3-5 「一元一次不等式的錯誤類型」正式施測之難易度、鑑別度、庫李信度. sit. y. Nat. ............................................................................................................................54. 表4-1-2. 各次量尺的 Pearson 線性相關係數............................................................59. 表4-1-3. 整體在各次量尺中的平均分數與標準差等統計資料.............................60. 表4-1-4. 學生個人分數和累積人數............................................................................61. 表4-1-5. 不等式的錯誤統計表.....................................................................................63. 表4-1-6. 學生不等式的錯誤情形分佈表....................................................................64. 表4-1-7. 學生不等式的錯誤情形分析表（引自郭正仁，2001）...............................65. 表4-2-1. 同義詞的轉換次量尺第一題受試者答題分布..........................................68. 表4-2-2. 不同版本在不等號同義詞的編寫...............................................................68. 表4-3-1. 範圍解與圖示次量尺第一題受試者答題分布..........................................71. 表4-3-2. 範圍解與圖示次量尺第三題受試者答題分布..........................................72. n. al. er. 學生在各次量尺的平均分數與標準差.......................................................59. io. 表4-1-1. Ch. engchi. vii. i n U. v.
(9) 表4-4-1 一個不等號的不等式次量尺第一題受試者答題分布...............................78 表4-4-2 一個不等號的不等式次量尺第三題受試者答題分布...............................79 表4-5-1 含有分數的不等式次量尺第二題受試者答題分布...................................86 表4-5-2 含有分數的不等式次量尺第三題受試者答題分布...................................87 表4-6-1 兩個不等號的不等式次量尺第二題受試者答題分布...............................93 表4-6-2 兩個不等號的不等式次量尺第三題受試者答題分布...............................94 表4-7-1 文字問題的不等式次量尺第二題受試者答題分布.................................101 表4-7-2 文字問題的不等式次量尺第四題受試者答題分布.................................103. 政 治 大. 表5-1-1 解不等式的三個次量尺之錯誤類型...........................................................107. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. viii. i n U. v.
(10) 圖 次 圖 2-1-1 概念其三個特性及其關係（引自黃台珠，1984）..................................9 圖 2-1-2 圓錐型概念模型圖（引自 Pines，1980）......................................................11 圖 2-2-1 錯誤概念的概念背景（引自鐘聖校，1995）..............................................13 圖 2-3-1. Schoenfeld（1980）的解題歷程................................................................23. 圖2-4-1 國中階段不等式的教材分析........................................................................33 圖 3-3-1 向度與次量尺的關係....................................................................................47 圖4-1-1 學生整體得分與人數.....................................................................................62. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. ix. i n U. v.
(11) 第一章緒論 本研究在探討宜蘭地區學生學習一元一次不等式之錯誤類型。本章緒論分為 六節，第一節闡述研究動機；第二節說明研究目的；第三節針對本研究提出待答 問題；第四節則為名詞解釋；第五節為本研究之貢獻；第六節指出研究範圍與限 制。. 第一節 研究動機 在某個假日，研究者在百貨公司搭乘電梯時，聽到一位年約五歲的孩童對著. 政 治 大. 母親童言童語的提了一個問題，孩童問一格一格數字上面寫著8人還有550公斤是. 立. 做什麼用的啊？媽媽回答說這是一部可以載人上下樓的電梯，但是一次沒有辦法. ‧ 國. 學. 載很多人，所以它限制每次載人的時候最多只能載8個人，這樣比較安全。接著 小孩馬上問，可是我們這裡有9個人耶！媽媽回答：「因為你跟妹妹體重都很輕，. ‧. 所以這樣沒有關係的。」媽媽接著說，你看它上面的550公斤就是在說每次在載. y. Nat. sit. 人的時候，最多的重量可以到550公斤，如果是體重很重的大人，那麼電梯一次. n. al. er. io. 可能只能載6個人而已。看著小孩好奇的表情，研究者想到這樣的問題在我們日. i n U. v. 常生活中，隨時都會發生，然而卻包含了重要的數學觀念。. Ch. engchi. 在我們日常生活中，經常會使用到「不等」的關係，例如搭乘電梯的限制、 手機的使用費率、電影院的分級制度、馬路上的速限標誌、BMI值是不是標準值、 搭公車時的票價等，而我們的學生是否有正確的「不等」概念，去解決日常生活 中所遇到的問題？根據美國數學教師學會（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）公佈之「學校數學課程與評量標準」，認為九到十二年級 的學生應能夠使用相關的數學符號去解釋不等式，在代數上能夠流利地解方程式 和不等式（NCTM，2000），Bazzini & Tsamir（2004）認為不等式扮演一個在數 學領域上重要的角色，在代數學、三角學、線性規劃、微積分等有著重要的地位。 數學是科學之母，但有些學生認為數學是一門枯燥且困難的學科，由研究者 1.
(12) 這幾年的教學經驗，體認到在學校的課程中，數學這一科確實給學生在學習上很 大的挫折與無力感，甚至有許多的學生對數學產生厭惡、排斥與拒絕思考數學相 關的問題。Whitney（1985）認為學生不能理解數學在學什麼，而大人又錯誤地 認為這是因為學生的努力不夠，因而要求他們反覆練習。身為數學教育工作的研 究者，應該要提醒自己是否心中也有這樣的想法，或是能不能從哪方面著手找出 改善的方法。 Fisher等人認為「錯誤」不只是偏差或缺點，也是學生在學習過程中重要部 分，在錯誤產生的同時，也創造了一個新的學習機會，這個機會是非常有用的，. 治 政 大 誤的價值，對學生和老師都非常重要。因為對於學生，發現錯誤的學習來源，可 立 如果學生能夠1.認識錯誤、2.發現什麼造成錯誤、3.下次如何避免錯誤，那麼錯. 以減少往後錯誤的發生；對於老師，可利用學生的錯誤當作達成課程目標的指引. ‧ 國. 學. (郭丁熒，1992)。由上述可知，從學生的錯誤策略中所獲得的資訊，往往比正確. ‧. 策略中所獲得的資訊更有助於教學設計。教師若能發現學生數學單元常犯的錯誤. y. Nat. 後，可以立即修正教學，獲得良好的教學參考資源，了解學生錯誤概念形成的原. er. io. sit. 因，在教學上可以幫助學生自我改正錯誤的觀念，進而能使學生更輕鬆地學習。 所以探討學生錯誤類型和錯誤概念形成的原因，能使教師在教學上實施更有效的. n. al. Ch. 診斷教學，以避免學生重複出現錯誤概念。. engchi. i n U. v. 研究者在教學過程中常發現，學生在遇到不等式的問題，有不少的學生常被 「不少於」、「不滿」、「不超過」同義詞的語意給混淆不清。學生處理不等式 含有負數的運算時，該不該改變不等號的方向會存有疑惑，在方程式的運算時， 學生解方程式，如－2x＝6，學生會得到x＝－3，當不等式運算時，學生解不等 式，如－2x＜6，會使用像方程式一樣的作法得到x＜－3，這是錯誤的作法。學 生看到數學算式中含有兩個不等號的運算會感覺困難，會想辦法把它變成一個不 等號作運算，如2＜x＋3＜6，學生會簡化成x＋3＜4，再求解。學生對於不等式 所求得的範圍解也不太容易理解，這表示學生對於不等式的學習產生了困難，是 值得身為教育工作的研究者去探究。 2.
(13) 國中數學課程內容可分為五大主題，1.數與量、2.圖形與空間、3.統計與機 率、4.代數、5.連結。以文字代號設方程式解決問題的能力是代數項目的主要學 習目標，所以在目前的數學教育文獻中，對於錯誤類型的研究大多以方程式為主 題，研究者認為不等式單元是國中代數學習的重要單元，最近十幾年教育改革以 來，在中小學數學領域的教材結構變化很大，尤其是國中不等式單元的課程內容 方面，表1-1-1說明最近十幾年的國中數學不等式內容在教科書的呈現。 表1-1-1 不等式的教材呈現 年度 82學年. 適用年級. 學習內容、能力指標. 二年級上. 不等式的意義、一元一次不等式解法及其圖示、二元一. 政 治 大 次不等式的圖解、二元一次聯立不等式及其圖解。 立. 第五章. ‧ 國. 不等式，透過生活經驗檢驗、判斷其解，並能解釋. 九年級下 式子與解與原問題情境的關係。. ‧. 第一章. A-4-3 能檢驗、判斷不等式的解並描述其意義。. y. Nat. A-4-5 能利用一次式解決生活情境中的問題。. sit. 92學年. 學. A-3-2 能將生活中的問題表徵為含有x、y、…的等式或. er. io. A-3-04 能用含未知數的等式或不等式，表示具體情. a l境中的問題，並解釋算式與原問題情境的關係。 v i n Ch A-3-09 能檢驗、判斷一元一次不等式的解並描述其 engchi U. n. 94學年. 七年級下 第一章. 意義。 A-3-14 能利用一次式解決具體情境中的問題。 A-4-03 能用x、y、…符號表徵問題情境中的未知量 及變量，並將問題中的數量關係，寫成恰當的 99學年. 七年級下 第五章. 算式(等式或不等式)。 A-4-06 能理解解題的一般過程，知道解出方程式或 不等式後，還要驗算其解的合理性。 A-4-08 能理解一元一次不等式解的意義，並用來解題。 （研究者整理）. 3.
(14) 陳英貴（2007）研究國中三年級學生一次不等式的解題策略，將學生在不等 式單元的解題策略依解題歷程分成12個解題策略，探討學生的解題思考型態，因 當時的研究是在九十五學年度，國一與國三學生同時學習解不等式，之後隨著能 力指標的修訂與課程調整，陳英貴建議對於國一學生是否會與國三學生有類似的 學習表現，可以留給有興趣的研究者去研究；陳春惠（2007）研究國二學生一元 一次不等式錯誤類型，僅探討「不等號之意義」 、 「不等式的解的意義」 、 「解一元 一次不等式」 、 「一元一次不等式的文字題」四種，建議若能再深入的加以研究， 相信更能有效促進學生學習此單元之成效。由此可見，探討學生於國中階段在一. 治 政 大 未來十二年國教的實施，高中階段數學科在不等式的學習，一年級有一元二 立. 元一次不等式的表現，仍有不少可待開發的空間。. 次不等式、多項式方程式及不等式，二年級有二元一次聯立不等式，而國中階段. ‧ 國. 學. 的基礎內容會影響著未來更深一層的學習，因此，研究者以一元一次不等式為研. ‧. 究主題，透過紙筆測驗與個別晤談，了解學生在學習一元一次不等式之後的答題. er. io. sit. y. Nat. 表現情形，歸納出學生的錯誤類型與原因，當作教師們在不等式教學時的參考。. n. a l 第二節 研究目的 i v n Ch U engchi 根據上述之研究動機，本研究以數學課本翰林版為教材背景，其主要原因是 宜蘭縣是以蘭陽溪為界，分成溪北、溪南兩區域，兩個區域內學生人數最多的兩 所國中，在七年級的數學科課本皆使用翰林版，所以本研究以翰林版為教材背 景，分析七年級學生在學習一元一次不等式之後的數學概念及解題表現，瞭解學 生在解決問題時常犯哪些錯誤、存在哪些錯誤概念，期望能找出學生學習時容易 出錯之處，希望能對學生及從事數學教學的老師，提供一些實質上的助益和教學 的參考。根據上述的構思，整理出本研究的主要研究目的如下： 一、瞭解七年級學生在解一元一次不等式問題的答題表現。 二、探討七年級學生在解一元一次不等式時可能會出現的錯誤類型。 4.
(15) 第三節 待答問題 根據前述兩個主要的研究目的，以及文獻探討所歸納出不等式的七個向度， 提出下列七個明確的研究問題，作為本研究的探討方向。 一、學生是否能在含有不等號同義詞的詞彙之敘述中，找出不等號的同義詞並 能轉換成正確的不等號的符號？如果無法轉換出正確的不等號，其困難為 何？可能會出現哪些錯誤的類型？ 二、學生是否能了解不等式的範圍解的意義？其困難為何？可能會出現哪些錯誤 的類型？. 政 治 大 出正確的圖形，其困難為何？可能會出現哪些錯誤的類型？ 立. 三、學生是否能在數線上畫出圖形來表示不等式的範圍解？如果無法在數線上畫. ‧ 國. 學. 四、學生是否能在含有一個不等號的不等式中解出一元一次不等式的範圍解？如 果無法正確找出不等式範圍解，其困難為何？可能會出現哪些錯誤的類型？. ‧. 五、學生是否能在含有分數的不等式中解出一元一次不等式的範圍解？如果無法. sit. y. Nat. 正確找出不等式範圍解，其困難為何？可能會出現哪些錯誤的類型？. al. er. io. 六、學生是否能在含有兩個不等號的不等式中解出一元一次不等式的範圍解？如. v. n. 果無法正確找出不等式範圍解，其困難為何？可能會出現哪些錯誤的類型？. Ch. engchi. i n U. 七、學生是否能在含有文字問題的不等式解出一元一次不等式的範圍解？如果無 法正確找出不等式範圍解，其困難為何？可能會出現哪些錯誤的類型？. 5.
(16) 第四節 名詞解釋 本研究所涉及的重要名詞，說明如下： 一、一元一次不等式：由符號、數字和不等號「＞」 、 「≧」 、 「＜」或「≦」所組 合成的數學式叫做不等式。像a＜5、x－35＞10、−3＜2y≦5 ……這類不等 式，式子中只有一種符號未知數，而且未知數的最高次數是1，稱為一元一 次不等式。 二、錯誤概念：是學生在學習一項新知識的過程中，原先自己本身就已有的 或是自行發展出某些想法，但這與學者專家所公認的概念並不一致。. 政 治 大 成各種類型稱為錯誤類型，本研究所探討的錯誤類型，是經由本研究之「一 立. 三、錯誤類型：在數學運算式中產生錯誤的解題歷程，依據其錯誤的關鍵處，分. ‧. ‧ 國. 型。. 學. 元一次不等式單元」正式施測試卷及與學生晤談的資料分析所得到的錯誤類. er. io. sit. y. Nat. n. a第五節 iv l C 本研究的貢獻 n hengchi U 關於不等符號的講法有很多種，不是只有大於、小於， 「＞」這個符號除了 大於的講法之外，高於、超過都可以使用「＞」這個符號，而高於、超過這些不 等號的同義詞語都是日常生活中很容易就會碰到使用的。在文獻探討中，討論學 生在不等式的錯誤類型，國外的Warren（2006）有提到「多於」和「少於」，沒 有提供學生在同義詞語這方面的資料；國內的文獻中，亦無研究探討不等號的同 義詞，再者，數線是表徵不等式概念的有利工具，在文獻探討中並沒有直接探討 學生對於在數線上圖示不等式範圍解的整體表現與可能的錯誤類型，本研究希望 可以補充文獻中未探討的的部份。. 6.
(17) 第六節 研究範圍與限制 本研究僅以研究者所任教的宜蘭縣某國中的七年級學生作為研究樣本，故所 得的研究結果只能推論到相同地區或類似樣本，至於本研究是否能推論到其他地 區或其他年級學生，則應特別謹慎考慮，並有待進一步的研究。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 7. i n U. v.
(18) 第二章 文獻探討 本章共有四節，第一節為概念的理論基礎，第二節探討錯誤概念，第三節探 究數學解題，第四節是不等式的相關研究。. 第一節 概念的理論基礎 一、概念的意義 學習任何一門學科時，「概念」這一詞經常聽到，經常被使用，但各個學派. 政 治 大. 對於概念仍無法定義清楚，事實上概念是否真的存在，亦是一個爭論，然而什麼 是概念呢？. 立. 概念是包括重要屬性或特徵的同類事物之總稱（鄭麗玉，2009） ，舉例來說，. ‧ 國. 學. 鉛筆有許多種類，有自動鉛筆、有需要削的鉛筆、有一端是有橡皮擦的鉛筆等，. ‧. 但是它們共同的特徵是有鉛筆心，書寫之後可以使用橡皮擦擦拭，凡是具有這兩. y. Nat. 種重要特徵，就是「鉛筆」的概念。國內心理教育學者張春興、林清山（1994）. er. io. sit. 認為屬性是指可以辨認的特徵，概念是用一個概括的名稱或符號來代表具有共同 屬性一類事物的全體，也就是對於具有共同屬性事物全體的概括性認識。. al. n. v i n 概念是學習的基本單位、人類思考和了解的工具，經由有意義的學習而獲得 Ch engchi U. 的概念，使得人類能夠具有深入思考的能力（黃台珠，1984）。. Duit & Treagust（1995）提出概念是指一個概括的名稱或具有能被信號或符 號以代表所指共同屬性的一類事物或事件，及一些已明確定義或廣泛為大眾所接 受的觀念；Skemp（1987）認為概念是一種延續性的心智變化，使我們能夠用已 經分類的舊經驗之相似性、共通性來認知新經驗，也可以說是我們領悟的一種東 西，它使我們有「分類」的能力；Klausmeier（1992）認為概念是一種心理的象 徵，包括一個人對於某一或某一類項目有組織的資訊。 Vergnaud（1983，1987）提出，構成一個概念的意義包含三個特性：1.不變 性：包含定義概念的性質、2.符號的表示：表示概念的特殊方式、3.情境：使概 8.
(19) 念有意義。黃台珠（1984）概念具有三個主要的特性，若缺一則概念無法存在： 1.共同性：概念會有其共同性，了解一個概念是指知道其分類規則，能分辨哪些 是屬於此範圍觀念，而哪些不是，並能同時找出此一概念和其他概念的關係 及其差異性。 2.符號化：符號化是為了人與人之間的溝通及認知解構中概念的使用。 3.概念使用者：概念是依據文化的方式來表達，方便人類溝通的使用，當文化毀 滅了，文化當中的語言及概念就不存在。提出概念其三個特性及其關係圖， 如下圖 2-1-1：. 政 治 大. 圖 2-1-1 概念其三個特性及其關係（引自黃台珠，1984）. 立. ‧. ‧ 國. 學 er. io. sit. y. Nat. 因此，綜合上述學者的看法，我們可以將概念視為是一種抽象化的結果，經. al. n. v i n 由學習或是經驗所得到的符號或名稱，概括表示事物的共同特徵或屬性，能讓我 Ch engchi U 們分類的舊經驗的相似性、共通性來認知新經驗。. 二、概念的類型 國內學者張春興、林清山（1994）將概念分為以下三種類別： 1.連言概念：概念中的屬性同時具備而且具有相加性質者。例如，要敎兒童學到 「毛筆」這一概念，最後他能辨認出毛筆的主要屬性為用毛做的、可以書寫 的工具，這兩個屬性必須同時具備，缺一不可。 2.選言概念：概念中屬性的組合可以二者選一或兩者兼具的情形。例如說，在棒 9.
(20) 球比賽中裁判員判定「好球」時，是根據打擊者揮棒未中者是好球，球經由 打擊者膝上肩下的好球帶空間是好球，兩者之一或兩者兼具時，也判為好球。 3.關連概念：概念中之各屬性具有特殊關係者，如含有時間和空間屬性者，多為 關連概念，舉例來說，「台灣位在赤道以北」是用一種表示空間的概念，這 個概念包含地圖上兩個地區的關係，同時也包括了兩個地區和整個地圖的關 係。 Skemp（1987）把概念分成兩種，一是由肌肉、感官對外在世界經驗後而得 的概念，稱為初級概念，例如：紅色、汽車、重、熱等等；另一是由數個概念再. 政 治 大. 抽象之後得到的概念，稱為二級概念。. 立. ‧ 國. 學. 三、概念的形成. 概念是某些事物所形成的共同經驗，每天的經驗都可以產生許多的概念，生. ‧. 活中越常發生的實例越容易幫助概念的形成，或者是與其他週遭的環境成強烈的. y. Nat. sit. 對比，更容易使概念簡單化（林碧珍，1985）。要形成一個概念就必須先有實際. al. n. （Skemp，1987）。. er. io. 經驗，而這些經驗又有某些相似性、共通性，越常接觸的事物也就越快形成概念. Ch. engchi. i n U. v. 概念的形成是個體從刺激的情境中，將重要的屬性提取、抽象而形成的概括 性的反應（張春興、林清山，1994）。 Mayer 認為記憶的負荷也可能是概念學習產生困難的一個原因，透過技巧能 使材料的特徵明顯化，可使兒童注意力遠離許多不相關的特徵，減少兒童記憶的 負荷量，使他們集中注意考驗假設的歷程，直到正確概念形成。1963 年 Zeman 和 Honse 研究發現，當有關的線索相當明顯時，智能不足兒童也可以和正常兒童一 樣快的學會形成概念（林清山，1993）。 Pines（1980）以圓錐形來代表概念的模型，圓錐形的底部稱為延伸，表明 它是概念的延伸部分，包含所有屬於此概念的事例，圓錐形的頂端稱為內涵，它 10.
(21) 是萃取出此概念的特質、共同性或定義等規律，當由概念延伸部分推到其內涵部 份，稱這個過程為概念化。圓錐形的概念模型圖如下圖 2-1-2： 圖 2-1-2 圓錐型概念模型圖（引自 Pines，1980）. 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. Skemp（1979）提出概念形成有五個重要特徵：. 1.意識：是指一個新概念透過環境，經由感官輸入概念結構，此時新概念與概念. ‧. 結構中的任一概念都沒有聯繫上。. sit. y. Nat. 2.同化：在概念結構中找出與新概念相類似的概念。. al. n. 4.分化：分辨新概念與一些已有概念間的異同之處。. Ch. engchi. er. io. 3.擴張：從概念結構中已有的概念，來領悟新概念使其成為概念結構中的一部份。. i n U. v. 5.重建：當問題情境改變時，已建立的概念結構雖具有相關性卻不適用於此情 境，此時必須重建個體的概念結構。. 四、概念的改變 有關概念改變的理論，較為熟知的是Posner, Strike, Hewson和Gertzog所提出 的概念改變模式（conceptual change model, CCM），這概念改變模式是根據Kuhn 和Lakatos認識論的論證所發展的（邱美虹，2000）。 1982年他們提出要讓學生放棄迷思概念而產生科學概念的三要素： 1.學生需要認出科學對現象的解釋和他自己的解釋之間有衝突。 11.
(22) 2.學生需要意識到他自己的概念不是不足以解釋，就是和可觀察的證據不一致。 3.學生需要相信科學的另一種說法比他自己的看法提供較充分、一致、或有用的 解釋（鄭麗玉，1988）。 黃台珠（1984）提出學習過程中，本身及被包含的概念均被修正，當新的概 念加入時，它會改變及修正原有的知識，所以學生對知識的了解是經由其逐漸加 入的附屬概念及修訂過程。 鐘聖校（1995）依建構主義的觀點，概念學習即概念的改變，概念改變的結 果可以分成兩類：一為錯誤概念得到修正，一為繼續執著。. 治 政 大 所公認的概念之間有衝突，是需要許多因素的配合。 立. 綜合上述，概念改變不是容易的過程，要讓學生能知覺到他的概念與科學家. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 12. i n U. v.
(23) 第二節錯誤概念的探討 一、背景與稱呼 Kathleen 認為錯誤是指與期待的或理想的（正確的）表現模式，有顯著不同 之可觀察的事件或表現，因此，「錯誤」需要有判斷的標準，沒有正確的期望或 目標存在，就沒有所謂的錯誤（郭丁熒，1992）。 鐘聖校（1995）認為錯誤概念在整個科學真理的追求（包括學習）過程中， 是無法避免的現象，這與 1.自然科知識的「學習」觀、2.科學哲學的「錯證」觀、 3.概括的「認知發展」程度有關，只是錯誤程度輕重有別而已，整個現象稱為錯. 政 治 大. 誤概念的背景，以下圖 2-2-1 說明錯誤概念的背景：. 立. 圖 2-2-1 錯誤概念的概念背景（引自鐘聖校，1995）. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 鄭麗玉（1998）認為教師有必要改變學生這些似是而非的概念，許多研究者 對於這些既存的概念有不一樣的稱呼，有稱「迷思概念」 （misconceptions） 、 「另 類概念」（alternative conceptions） 、「直覺概念」（intuitive conceptions）、「另類基 模」（alternative schemas）……等。以下列出學者們較常使用的名詞，如下表 2-2-1：. 13.
(24) 表 2-2-1 錯誤概念的使用名詞（引自鐘聖校，1995） 先前概念 Ausubel（1968）、Novak（1977） preconceptions Fisher（1985）、Gilbert＆Watts（1983）、Helm（1980）、 Mohapatra （ 1989 ）、 Osborne ＆ Cosgrove （ 1985 ）、 Pines 錯誤概念或迷思概念 （1985）、Shuell（1987）、王美芬（民 80）、徐順益、許榮 misconceptions. 富（民 79）、黃台珠（民 78）、黃湘武、黃寶鈿（民 76）、 陳忠志（民 78）、陳世輝（民 76）、鐘聖校（民 78）. 政 治 大 王龍錫（民 80）郭重吉（民 78）、楊其安（民 78） 立. Driver（1981） 、Driver＆Easley（1978） 、McClelland（1984） 、. 替代性架構 Alternative frameworks. Gilbert, Osborne＆Fensham（1982）、Kuhn（1989）、Preece. intuitive seience or ideas （1984）、Sutton（1980）. sit. io. er. Resnik（1983）. y. Champagne,Gunstone,＆Klopfer（1983） 、McClosky（1983） 、. Nat. naive conceptions or naive theories. ‧. 素樸概念或理論. 學. ‧ 國. 直覺的科學. al. n. v i n Ch 謝青龍（1995）認為研究的學者使用的名稱不盡相同，但主要的定義是指學 engchi U. 生在某一特定學科中，對某事件或現象，所持有的一些有別於目前科學家所公認 的想法，研究的目的是找出學生在某些學科上的主要「迷思概念」，並藉此希望 能引導學生到「正確」的概念上。 綜合上述，無論採用何種稱呼，意義是學生在學習一項新知識的過程中，原 先就已有的或是自行發展出某些想法，但這與學者專家所公認的概念並不一致。 本研究以「錯誤概念」敘述之，目的是為了找出學生在學習過程中的錯誤概念有 哪些？原因為何？. 14.
(25) 二、錯誤類型與原因的相關研究 鐘聖校（1995）認為科學上的錯誤概念可分為以下兩種： 1.敘述性知識：具有一種異於科學追求普遍的性質－內容領域特殊性。意思是電 學的錯誤概念即是完全屬於電學的，與其他的物理主題如「光」……等無法參照。 2.程序性知識：有問題解決、知識論、和對探討的觀念和態度三方面。 Kathleen 認為在科學教育研究中， 「錯誤率」的測量常被當作是研究科學學 習的工具，研究學生錯誤的類型及錯誤性質，將有助於「有效教學策略」的設計。 他將敘述性知識陳述錯誤分成四種： 1.概念間有不正確的關連。. 立. 2.概念間缺乏基本的關連性。. 政 治 大. ‧ 國. 學. 3.對概念有不正確的認知。 4.缺乏基本概念等（郭丁熒，1992）。. ‧. Mayer將學生解題錯誤分成三類：. sit. y. Nat. 1.遺漏的錯誤：對命題不能完整回憶的結果。. al. er. io. 2.細節的錯誤：在陳述句中一個變數轉換到另一個變數的能力不足所致。. v. n. 3.轉換的錯誤：無法將關係句的形式轉換為陳述句的形式（林清山，1993）。. Ch. engchi. i n U. Booth曾在民國75年應邀來台講學，講題是「學生數學學習上的困難」 ，他以 英國CSMS（Center for the Study of Mathematics Curriculum）的研究所發現的學 習困難，目前仍然存在著，提出對於學生學習初等代數的錯誤分析，歸納出以下 幾種錯誤類型與原因： 1. 2a＋5b＝7ab。Booth 提到學生面對不同的老師、不同的教科書，處理代數問題 時卻發生相同的錯誤，其原因有以下三點： （1）學生認為數學就是要求答案，而答案通常是「數」如果不是「數」 ，最 好也要是「單項式」，才像答案，如 2a＋5b 不是單項式，不像答案。 （2）問題可能在出在「＋」號，學生看到「＋」號就認為要做點事情，做了. 15.
(26) 結果就是 7ab 或 8ab。 （3）學生認為相加就是要「合併起來」的意思，把能相加的加起來，不能相 加的就合併擺著，因此就有 2a＋5b＝7ab 的錯誤型態出現。 2. 5×e＋2＝5×（e＋2）。Booth 認為學生知道求面積的方法，但學生為什麼會忽 略括號的原因？他提出以下原因： （1）學生認為運算式都是由左算到右，所以不必括號。 （2）運算結果與次序無關，不必括號。 3.文字代號是什麼？Booth 提出學生會把文字代號當成是：單字的起頭字母、特. 治 政 大 楊弢亮（1992）認為學生的作業最基本的要求是達到正確無誤，他歸納八種 立. 定數、或是相同符號代表相同數（張素鎔，1987a）。. 學生作業錯誤發生的原因：. ‧ 國. 學. 1.概念混淆，例如代數式與等式的概念混淆，就會把等式中的恆等變形的法則誤. bc bc b c b c 2b 的錯誤。 a a. ‧. 用到代數式上去造成如. sit. y. Nat. 2.定義不明確，例如把點到直線上任一點的距離當作「點到直線的距離」。. al. er. io. 3.定理理解不清楚，例如混淆了判定定理與性質定理，誤以為原命題成立，逆命. v. n. 題也成立，或是沒有分辨清楚條件是充分的還是必要的。. Ch. engchi. i n U. 4.條件不注意，如在反三角函數關係式 sin(arcsin x) x 中沒有注意 1 x 1 這個. 3 3 條件，產生 sin(arcsin ) 的錯誤。 2 2 5.邏輯錯誤，例如幾何論證中或是根據不足，或是推理不合邏輯；在軌跡的探求 或證明中，沒有同時說明純粹性和完備性。 6.法則不會，例如三角函數表的查表法則不會，查 cos 42 014 ' 的值時出現 cos 42 012 ' 的值加上相應於 2 ' 的修正值錯誤。 7.公式記錯，例如發生 (a b) 2 a 2 b 2 ， sin( A B) sin A sin B 的錯誤；例如 很多三角公式也是很容易記錯用錯的。 8.計算錯誤，主要是粗心大意或慌亂而造成的。 16.
(27) 洪有情（2007）採用乾實驗和探究教學法研究青少年數學概念，探究學生代 數運算概念學習困難的背後原因、發展代數運算概念的學習模組、提出代數運算 概念的假設性學習路徑，主要的研究方法包括晤談、施測、臆測、檢測來完成二 階分析。歸納學生在代數運算概念學習的主要錯誤類型有下列十項： 1.數字與符號的加乘混用。例如：3＋5n＝8n。 2.不同類項隨意合併。例如：2a＋3b＝5ab。 3.括號隨意省略。例如：3乘以n＋8等於3n＋8或n＋24。 4.括號的誤用。例如：a－(b－a)＝b。. 政 治 大. 5.不同文字代號只能代表不同的數。例如：a＋b＋c＝a＋b＋d 一定不成立。 6.加減乘除運算的混用。. 立. 7.數字與文字分開運算，且忽略係數1。例如：3x－x＝3. ‧ 國. 學. 8.將甲、乙、丙、…看成1、2、3、…。例如：甲＋2＝丙，那麼甲＋4＝戊. ‧. 9.係數與指數混用。例如：邊長為a的正方形周長為a4. sit. io. er. 斤。. y. Nat. 10.將文字代號當成物品。例如：甲魚每斤甲元，買了3斤甲魚，3甲代表買甲魚3. 而造成以上十項主要錯誤類型的原因可歸納下列三點及主要原因：. al. n. v i n 1.文字代號認知上的差異。例如：將文字代號當成物件、特定數、整數、相同的 Ch engchi U 符號代表相同的數，不同的符號代表不同的數。. 2.代數式認知上的差異。例如：記號、制約認知上的差異、代數思維受算術思維 的影響。 3.對解題認知上的差異。例如：加減乘除運算的混用。. 17.
(28) 三、錯誤概念的研究方法 錯誤概念的研究方法，主要的有臨床晤談法、紙筆測驗、自然觀察法，為了 深究錯誤概念的想法內容，仍以臨床晤談法使用最多（鐘聖校，1995）。國內的 錯誤概念研究大多使用紙筆測驗與臨床晤談法，以下就這兩種方法加以說明： 1.臨床晤談法： 晤談是經常使用的調查法，主要的步驟依序為：敘述訪問目標、閱覽有關文 獻、選取樣本、設計訪問結構、發展訪問題目、選擇與訓練訪問者、執行測驗性 測試訪問、實施訪問、把訪問資料編碼與列表、分析與解釋結果。運用訪問調查. 政 治 大 （1）容易取得較完整的資料。 立. 進行研究，具有以下優點：. ‧ 國. 學. （2）較易深入了解問題的核心。 （3）可以揭示明確的目標。. ‧. （4）可評鑑答案的真實性。. sit. y. Nat. （5）可適用於特殊的對象。. al. er. io. （6）可以控制環境。. n. （7）可以掌握問題的次序。. Ch. engchi. i n U. v. 為增加晤談結果的可信性、客觀程度，會依晤談的結構來分，而有所不同， 約可分為三種： （1）無結構性晤談訪問：又稱非標準化晤談，具有彈性，很少限制回答者的 答案，但收集資料過程缺乏一致性的程序。 （2）結構性晤談：又稱為標準化訪問，此種晤談的程序要求標準化與正式化， 即按照同樣方式與順序向訪問者提出相同的問題，其答案只有是、否或從一組變 通答案中選擇其一，本質上較符合科學要求。 （3）半結構性晤談：訪問者最初向受訪者發問一系列結構性問題，為做深入 探究基礎，再採用開放性問題，希望得到更完整的答案。此種晤談具備合理的客. 18.
(29) 觀性，並允許受訪者充分反映己見，因此常使用於教育研究領域（王文科、王智 弘，2009）。 臨床晤談法最初在皮亞傑研究兒童的概念想法時大量使用，使用時要注意以 下五類型的反應：隨意回答、漫談式回答、被暗示的信念、解放出來的信念、自 發的信念（鐘聖校，1995）。 2.紙筆測驗： 紙筆測驗的主要特點是對參與測驗的受試者，用相同的文字發問的方式所得 到的測驗，常見有兩種形式：. 治 政 在錯誤概念研究，最常見的是二階段式紙筆測驗。大 Treagust（1988）指出，晤談 立. （1）開放式紙筆測驗：無論如何組成，最後均要求受試者用文字回答問題，. 法雖可深究學生的想法，但耗時費力，他發展了二階段式診斷測驗，包含三個階. ‧ 國. 學. 段及十個步驟，第一階段是界定數學學習單元內容，確認命題知識的敘述，發展. ‧. 所含的概念圖，檢視概念圖所含概念與命題知識的敘述均涵蓋相同的內容；第二. y. Nat. 階段是回顧相關的研究文獻，經由開放性的晤談，對學生的錯誤概念有更廣泛的. 向細目表，並針對診測驗的試題不斷地修正改良。. al. er. io. sit. 觀點，發展開放式的選擇題試題；第三步驟是發展二階段式的診斷工具，設計雙. n. v i n （2）封閉式紙筆測驗：此種測驗採選擇題型式，答案批改簡易，整理時間較 Ch engchi U. 少，適合大樣本的研究（鐘聖校，1995） 。對於封閉式測驗的疑慮，陳啟明（1991） 指出在條件控制得宜的情況下，例如施測前要求受試者在測驗時務必誠實作答， 以及解題時儘量先看題幹而不要直接看選項等，可使封閉性測驗的暗示性與干擾 降到不顯著。. 19.
(30) 第三節 數學解題 美國數學教師協會（NCTM）在 1980 年對美國數學教育的建議書中，第一 條建議：數學解題（problem solving）是美國數學教育必須全力以赴的課題。這 項建議明確指出數學解題的重要性。 我國在九年一貫課程綱要中將「獨立思考與解決問題」定為十大基本能力之 一，顯示教育當局對於培養解決問題的重視，身為在教學現場的教師，值得在這 個議題來研究，以下分別由解題的意義、數學解題歷程、數學解題策略三方面來 進行文獻探討。. 立. 一、解題的意義. 政 治 大. ‧ 國. 學. 自古以來，人類時時刻刻在面對問題、解決問題，隨著時代的演變，生活環 境的進步，人類文明越來越進步的同時，所面臨的問題也越來越多變化，因此解. ‧. 決問題的原理原則就越來越重要了。. y. Nat. n. al. er. io. 得的概念和原則達到解決問題的目的。. sit. 國內學者張春興、林清山（1994）認為解題就是思考，思考時都是運用以學. i n U. v. Newell 和 Simon（1972）提出解題是某人面對問題進而想找出答案時，卻. Ch. engchi. 又不知道如何立即採取行動，以達成其目的。. Kilpatrick（1985）認為解題是一個情境，在此情境中某人想達到某一目標， 但直接通往此目標的路徑已經被阻塞了，在尋求答案的過程中，需要用一些概 念、方法、原理等。 解題就是解題者如何把自己從困境中解脫出來的過程，在解題的前面加上數 學，表示所牽涉到的是數學問題，或在解題時需要用到數學的知識或方法（黃敏 晃，1991）。 吳德邦和吳順治（1989）提出問題解決是個人運用先前舊有的經驗、知識、 技巧和了解去滿足未能解決情境的要求。 20.
(31) 劉錫麒（1993）認為解題是一個不斷省思的歷程，解題者需要有豐富的相關 知識基模，也需要策略的引導搜尋，否則解題是盲目的。 大多數人認為解文字題就是數學解題，Kantowski（1981）認為數學解題還 包含非例行性的數學問題與真正的應用問題，非例行性問題界定為解題者無法回 答的問題，或解題者無法利用已有的知識及技能直接解決的情境，解決非例行性 問題的經驗可以幫助學生解題的方法，遷移到新的問題情境。 綜合上述學者的看法，解題可以看成是解題者在面對一個問題時想要解決 它，卻沒有立即可用的方法或算式來完成，解題就是解題者在執行這項工作的一 系列活動過程。. 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. 二、數學解題歷程. ‧. 由國小的算術進入到國中的代數時，有些學生出現學習上的不適應，其主要. sit. y. Nat. 的困難是，國小做算術時，他們只是做解題的運算，國中做代數題時，必須先描. al. er. io. 述問題的情況，而不是只做運算。. v. n. 數學解題歷程就是在處理數學問題時所用的程序（張景媛，1994）。John. Ch. engchi. i n U. Dewey在1910年的著作「How We Think」，將解決問題分為五個步驟： 1.瞭解一個問題的存在：一種困難的感覺、挫折、興奮和懷疑。 2.辨別問題：澄清問題和定義問題，包含目標的設定，被問題難住之情境的辨認。 3.使用先前的經驗，諸如相關的資料，原先的解答或公式假設的概念以及相關問 題的解決計畫的觀念。 4.首先嘗試看看，再持續的思考，進而提出假設或可能的解答，如果需要的話， 問題可以加以改變成其他的型式。 5.評估解答並且在解題過程中畫定出一個結論。這個動作伴隨著成功的解答，合 併應用到個人的了解以及應用到其他類似的問題內（吳德邦和吳順治，1989）。. 21.
(32) Polya（1945）所寫的書籍「How To Solve It」提出解決問題的四項程序步驟， 整理如下表 2-3-1： 表 2-3-1 Polya（1945）解決問題的四項程序步驟 程序步驟. 捷思法（啟發推理法） 1.未知數是什麼？已知數是什麼？條件是什麼？ 2.可能滿足條件的各部份嗎？已知條件足夠決定 未知數嗎？太少？太多？或者矛盾？ 3.畫個圖，導入適當的計畫。 4.你能把條件的各部分分開並將它們寫下來嗎？. 第一步 你要了解問題. 1.你以前看過這個問題嗎？或者看過相同但以不 同的方式表達的問題？ 2.你知道什麼相關的問題嗎？你知道可能有用定. 治 政 大 理嗎？. 立 3.仔細看未知數。嘗試去想一個有相同或類似未知 ‧. ‧ 國. 學. 數的熟悉問題。 4.這裡有一個以前解過的問題你能應用它嗎？ 5.你能重述問題嗎？或是用不同的話再說一次？ 第二步 6. 如果不能解決問題，試著先解比較容易的問 找出已知數和未知數之間 題。考慮一些相關但比較容易解決的問題？例 的關係，如果關係不明顯， 如：更一般化的問題？能夠想到一個更特殊的問 考慮其他類似問題，最後， 題？能夠想到一個類似的問題？你能解決這個 你應該能夠想出解題計畫 問題的一部分嗎？保留已知條件的一部分，丟開 其他部分，這樣決定的未知數會如何？你能從已 知條件導得有用的結果嗎？你能考慮其他已知 數去決定未知數嗎？你能改變已知數和未知數 嗎？如果必要的話，兩個都改變，如此新的未知 數和已知數會更接近嗎？ 7.你使用了所有已知數嗎？你使用了所有的條件 嗎？你已經考慮過問題相關的所有觀念嗎？. n. er. io. sit. y. Nat. al. 第三步 執行你的計畫. 第四步 檢查你得到的解答. Ch. engchi. i n U. v. 實行你所擬定的計劃，檢查每一步驟。你能清楚的 知道每一步驟都正確嗎？你能證明它是對的嗎？ 1.你能檢驗結果嗎？你能檢驗論證過程嗎？ 2.你能用不同方法得出相同結果嗎？你能一眼就 了解它嗎？ 3.你能把這結果或方法應用到別的問題嗎？ 22.
(33) 黃敏晃（1991）認為解題時 Polya 的四個步驟，並不是階段分明的，也就是 並不是了解題意之後才去擬定解題計畫，然後再按照計畫解題，因為所擬定的計 畫無法執行時必須得要重新檢討是否有誤解、誤用，然後重新了解題意後再重新 擬計畫、解題。因此，在實際的解題時，經常是前三個步驟繞圈子，一直到題目 解出來為止。. Schoenfeld（1980）提出解題活動一開始都需要對問題加以分析，他修定 Polya 所提出的而將解題歷程分為：分析題意、設計解題計畫、探討、實施計劃、驗證 ，如下圖 2-3-1：. 政 治 大. 圖 2-3-1 Schoenfeld（1980）的解題歷程. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 23. i n U. v.
(34) Kantowski（1981）認為求解的處理是數學解題各階段活動中最困難的，但 也是最關鍵的部份。所謂求解的處理是指處理問題中所給的各項資料，把其間的 關係建立或組織起來的各種方法，例如把資料組成表格、作某種分類、寫出方程 式以表達其關係。. Bloom 和 Broder 的研究顯示：問題解決的教學法應該集中注意於「歷程」 而不是成果。Mayer 認為數學的問題解決最少牽涉到四項主要成分：問題轉譯、 問題整合、解題計畫及監控、解題執行，也就是如果能夠將問題的每一個陳述句 加以轉譯，能夠將資料整合而成連貫一致的問題表徵，能夠想出及監控解題計. 治 政 大 楊弢亮（1992）認為解題教學一方面是教師對學生運用知識和進行獨立思考 立. 畫，及能夠準確地和有效的執行計畫（林清山，1993）。. 的指導過程，另一方面是使學生牢固掌握基礎知識和基本技能的必要途徑。他提. ‧ 國. 學. 出解題過程一般須遵循以下步驟：. ‧. 1.審題：解題時首先掌握題意。. y. Nat. 2.知識的重現：在分析問題的條件、圖形、結論、概念、類型的特點基礎上，回. er. io. sit. 憶與問題有關的知識。. 3.尋求解題途徑：運用分析、綜合、類比、演繹、歸納等思維方法尋求解題的關. n. al. 鍵。. Ch. 4.按照規範格式，寫出解答過程。. engchi. i n U. v. 5.檢查或驗證答案的正確性和合理性。 綜合上述學者的看法，解題歷程可以看成是一個過程，當面對問題時，首先 要能對於問題有所了解，了解問題後找出內部關係中可以用的資訊，然後擬定解 決問題的計畫，從擬定的計畫中，一步步地去尋求問題的答案，得到答案時，還 要檢驗所得到的答案，是否有滿足問題的要求。. 24.
(35) 三、數學解題策略 策略是解題歷程中的一部份，它提供了解題者找尋答案的方向，因此策略的 選擇與使用是相當重要的。Kantowski（1981）認為在成功的數學解題中，重要 的是擁有有效計畫的能力與有辦法採取自發性的策略，如將資料組織成有系統的 表格，或畫出有助於解題的圖型等。 黃敏晃（1987）認為解題的關鍵在「擬定計畫」 ，他解釋當我們面對問題時， 如果能針對它擬出一個計畫，這就是解題的策略，他並提出幾個常用的解題策略： 1.圖示化：數學問題有時候抽象度很高，畫出圖形常有助於問題的解決，故圖示. 政 治 大 2.特殊化或極端化：把一個一般的問題放在特殊的或極端的狀況來考慮，常可使 立 是有其必要的。. ‧ 國. 學. 我們得到額外的資訊，使得問題比較容易解決。. 3.一般化：當我們把一個特殊的事實或片段的知識，放入一個理論架構裡討論. ‧. 時，這個事實或知識的成立就很容易解釋。. y. sit. al. er. io. 作。. Nat. 4.對稱原則：對稱是數學常談到的性質，利用對稱的特性來簡化問題、運算、操. v. n. Wickelgren（引自林清山，1992）建議數學解題時可採用的策略有：. Ch. engchi. 1.次目標：將問題分成許多較小的問題。. i n U. 2.逆向工作：從解題目標開始，往已知條件的方向解題。 3.發現有關問題：使用解題計劃去解有關的問題。 4.矛盾法：顯示解題目標無法完成。. Schoenfeld（1980）認為解題計劃的設計是解題過程的整體控制，功用是使 解題者進行有助於解題的活動，而探討活動是啟發策略的心臟部位，大部分的解 題策略都在探討的層次上運作，並提出探討活動分成三個層次，整理如下表. 2-3-2：. 25.
(36) 表 2-3-2 Schoenfeld（1980）的解題三層次. 分析. 1.儘可能畫圖來幫忙了解題意或解題。 2.檢查問題的特例。 （1）讓問題中的數值取特別的值，使對問題有較具體了解。 （2）檢查極端狀況，探討可能的範圍。 （3）令問題中的整數取 1、2、3、4 與 5，是否歸納出規律。 3.嘗試簡化問題。 （1）探討對稱的論點。 （2）採取”不妨假定….”而不失問題一般性的討論方式。. 探討. 1.考慮基本上一樣的問題。 （1）用等價的條件取代問題中的條件。 （2）把問題中的資料以不同方式重組。 （3）引入輔助資訊。 （4）用下列方式把題目變形 1 改變題目的背景或外表的符號、形式。 ○ 2 考慮歸謬法或倒置法。 ○ 3 假定你已有的解答，由此導出解答的性質。 ○ 2.考慮稍微修改過的問題。 （1）選擇一個子目標。 （2）放鬆問題中的某一條件，然後再將它重新收緊。 （3）把問題分解成不同狀況，再依各類狀況解題。 3.考慮修改甚多的問題。 （1）列出少些變數的類似題。 （2）只令式子的一個變數變化，其他變數固定，檢驗變數 對問題的影響。 1 相似、○ 2 已知條件、○ 3 結論的相關題 （3）想辦法利用有○ 目的結果或其解法。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. 驗證你的結果. Ch. engchi. i n U. v. 1.你的解答能通過下列的特殊檢定嗎？ （1）你是否用到了問題中所有的相關資料？ （2）結果是否合乎合理的估計或預測？ （3）利用對稱、維度與比例等原則來檢查時，你的結果是 否能符合題意？ 2.你的結果能通過下列的一般檢定嗎？ （1）這樣的答案可以用不同的方法的到嗎？ （2）這個抽象的答案能放在特別的狀況，使其更具體些？ （3）這個解答能否簡化成已知的結果嗎？ （4）我們能由此解答推出一些已知的結果嗎？. 26.
(37) 吳德邦和吳順治（1989）認為在進行問題解決的教學方式應該發展和強調兒 童具有閱讀問題、探究、選擇策略、解決問題、複習、回顧和驗證答案，而策略 的選擇是經由閱讀問題、探究這兩項的程序而選定的，並提出七種被解題者運用 最廣泛的策略：算式的理解、化簡和變形、試驗和模擬、猜測和嘗試、邏輯演繹 、組織列式、回顧舊經驗。 歸納上述，數學解題策略的使用是解題過程非常重要的一個步驟，能夠使用 正確的策略在解題上，是解題成功的關鍵。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 27. i n U. v.
(38) 第四節 不等式的相關研究 一、文字代號 Skemp（1987）認為代號（symbol）有以下十種功用：溝通、紀錄知識、形 成新概念、使多重分類直接化、解釋、促成反應活動、有助於顯示結構、使常規 計算自動化、回憶資料或理解、一種創造性的心智活動，這些功用彼此間互有關 聯，尤其和溝通關聯更密切。 西方數學依不同時代的發展特徵而將代數代號發展分為三大階段：文辭階 段、簡單代數、代號代數（簡珮華，2000） 。其發展階段與特徵整理如下表 2-4-1：. 政 治 大. 表 2-4-1 代數代號發展的三階段（引自簡珮華，2000）. 立 階段特徵敘述. 階段代表著作. ‧ 國. 學. 古希臘數學家丟番圖（Diophantus of. Alexandria，約公元 250 年）提出運用代 文辭代數. 號之前。是代數學的開始，使用一般語. 階段. 言敘述一些特殊問題的解決方法，代號. ‧. 德蘭紙草書、卡洪紙草. n. al. 殊記號的使用。. Ch. engchi. y. er. 算術。. 發展未完備，缺乏對未知數的代號或特. io. sit. Nat. 書、巴比倫泥板、九章. i n U. v. 丟番圖著作－算術、阿. 從數學家丟番圖使用文字縮寫表示未知 拉伯學者花拉子米著作 簡單代數. 量到十六世紀左右。能利用代數符號及 －代數學、元朝李冶完. 階段. 較簡單的代號來代替文字，加速了代數 成－測圓海鏡、朱世傑 學的發展。 －四元玉鑒。. 符號代數 階段. 始於維塔（Francois Vieta，1540~1603） 在十六世紀用字母代替給定量。. 林炎全、洪萬生、楊康景松（1983）提到在代數的發展過程中，十六世紀因 為當時科學對數學的需要快速增長的壓力下，有了新的代號法則產生。早期的作 28.
(39) 者，喜歡將未知數寫成 radix 即拉丁文的解或 res 即拉丁文的物。米吉利亞（Claude. Bachet de M’eziriac 1581~1638）則將 x3＋13x2＋5x＋2 寫成 1C＋13Q＋5N＋2。 維塔（Francois Vieta 1540~1603）是第一位系統地、在意地引用字母的人，他不 只用字母表示未知數和未知數的乘冪，還用來當作一般係數，他通常使用母音字 母代表未知數，子音字母代表已知數。笛卡兒（Descartes 1596~1650）將正整數 指數的應用更加系統化，他將 1＋3x＋6x2＋x3 寫成 1＋3x＋6xx＋x3，最先使用 平方根的代號√也是笛卡兒。高斯於 1801 年以 x2 代替 xx 時，就成為了標準的 寫法。. 治 政 大 礎，更是學生由算術概念到代數概念的溝通橋樑。此外，對文字代號概念的分類， 立 郭汾派（1991）認為使用文字代號代表數，是數字抽象化與形式化的重要基. Collis（1975）從學生的觀點出發，將文字代號概念區分成六種不同使用層次：. ‧ 國. 學. 1.文字代號為可以算出的值，如：x＋5＝8中的x，x＝3。. ‧. 2.文字代號在計算裡是可以忽略而不用，如a＋b＝43，a＋b＋2＝？在解題過程裡. y. Nat. 並不需要考慮到文字代號所代表的意義。. 是代表其中的一邊，而不是邊長是多少。. al. er. io. sit. 3.把文字代號當作某一代表物的簡寫或標記，如將h代表多邊形的一邊，所以只. n. v i n 4.把文字代號當做特定未知數，可直接用來運算的，如一多邊形有 n個邊，而且 Ch engchi U 每邊長皆為2，可知此多邊形周長為2n。. 5.把文字代號當作一般化的數字，文字代號代表的是一組數字而非單一數值，如. c＋d＝10，且c＜d，c代表小於5的數。 6.把文字代號當作變數使用，也就是一個可隨條件變動的未定數值，如比較n＋2 和2n的大小，n可以是任何數，兩者也一定可以做比較。 由上述Collins的分類，前三種層次文字代號的使用停留在具體層面，而後三 種層次則是到了抽象思考模式，若學生對文字代號的認知仍停留在具體階段，固 然可以解決一些簡單的問題，如果遇到結構較為複雜的問題時，往往沒有辦法適 當使用文字代號，因而形成了解題困難與概念迷思。 29.
(40) 袁媛（1993）曾對國一學生三個班級共132人進行文字代號概念發展的測驗， 發現多數國中一年級的學生尚未達到抽象運思的認知發展階段，學生無論在文字 代號概念的理解或代數文字題的解題上，均出現極大的困難。郭汾派（1991）參 考英國CSMS所設計的題目，擬定「國中生文字代號概念之發展」測驗卷，全國 分區抽樣測試25所國中一、二、三年級共約2900名學生，了解國中生在文字代號 概念的主要錯誤型態有： 1.帶分數模式，如求 4 加 3n，答：7n。 2.係數、文字分別處理，如 2a＋5b＝？答：7ab，7＋ab，7（a＋b），7＋a＋b。. 治 政 4.不曾使用括號，如 4 乘以（n＋5），答：4n＋5，n大 ＋20。 立. 3.不是同類項擺在一起，學生認為單項式才是答案，缺乏同類項才可合併的觀念。. 5.忽視數據資料，如 c＋d＝10，且 c＜d，求 c＝？答：c＝10－d。. ‧ 國. 學. 6.認為不同文字代表不同數，學生易把文字看成某一特定數，不同文字視為不同. ‧. 的數字。. y. sit. io. er. 化的觀念。. Nat. 7.將文字當特定數處理，學生認為答案一定是一個已知數才可以，未能建立一般. 8.受定義影響，學生讀題過程中，有時會誤解或不明白題意，如 n 加 4 記成 n＋4. al. n. v i n 求 n＋5 加 4 的結果？答：（C n＋5）＋（n＋4），n＋1＋4，2n＋5。 hengchi U. 9.重新設定未知數，學生習慣以 x、y、z 來表示未知數，還沒達到文字代號只是 「代號」不管以什麼來替代都可以的境界。 10.不能辨別代號與物品。 11.文字代號當有次序的特定數，學生隱約把甲、乙、丙加入順序關係，此與英 國學生將 a、b、c 當作成 1、2、3，有異曲同工的現象。 12.文字代號只當不為負整數處理。 許秀如（2007）對於國中學生對文字代號概念的認知研究發現： 1.基本計算能力不足。 2.缺乏對「以文字代號代表數」的認知及對代數式概念、定理定義認知不成熟。 30.
(41) 3.閱讀能力的限制。 4.理解應用與抽象思考能力尚待加強。 5.學生文字代號運算概念認知層次的高低對於其在代數運算的表現有顯著的影 響，其成就表現取決於文字代號概念的認知成熟度。 6.國中生在理解與使用文字代號概念方面的學習需再延長時間，相關能力才能充 分獲得發展。 從上述可知，在代數的發展過程中，人類花非常久的時間才會使用文字代 號，而數學能蓬勃的發展要歸功於文字代號的誕生，但這段發展的時間並不算. 政 治 大. 短，因此學生要在短短的兩、三年內，對文字代號有較好的概念確實不易。. 立. ‧ 國. 學. 二、方程式. 什麼是方程式？方程式是某種特殊數學敘述的名稱，如果這些敘述有「同一. ‧. 性」，可以用等號「＝」表示，例如：3＋2＝5、7×4＝28。在包含變數的方程式. sit. y. Nat. 例如 6x－3＝7＋x 之中，有些 x 的值代入之後使得敘述為真，則 x 就稱為方程式. al. er. io. 之解（Skemp，1987）。. v. n. Booth曾在民國75年應邀來台講學，他認為研究解方程式的了解，需要探討 的問題有：. Ch. engchi. i n U. 1.文字代號的了解，檢驗學生對文字代號，像x的看法。 2.記號的了解，－像等號「＝」，加號「＋」的了解。 3.學生自己解題的方法。 4.平衡的觀念。 5.逆運算的觀念。. Booth從實驗得到一個結論：要學生學好方程式一定要保證學生已經學好平 衡和逆運算兩種概念，如果學生在學解方程式時，並未學好這兩種概念，其補救 的方法就是在敎解方程式前，先增強這兩種概念了解的教學（張素鎔，1987b）。. 31.
(42) 謝夢珊（2000）研究以不同符號表徵未知數對解方程式之探討，發現學生在 解方程式的錯誤類型有：文字代號認知、等號的認知、代數式認知、解題策略、 解題程序等五種錯誤類型，而影響方程式的解題因素有以下七大類：1.運算符號 的性質、2.運算符號的個數、3.運算符號及未知數的位置、4.未知數出現的次數、 5.答案是否為整數、6.係數的大小、7.題目中是否有括號。 王如敏（2004）研究使用傳統式和引導式兩種不同陳述方式，探討國二學 生在一元一次方程式的基本概念及應用問題的解題情形與錯誤類型，並分析錯誤 原因，發現國二學生對於一元一次方程式的基本概念，產生錯誤的類型共分成以. 治 政 大 求式子的值、5.文字符號當作特定的未知數、6.以文字符號代表數、7.式子的運 立. 下八大類：1.文字符號的意義、2.一元一次方程式的認識、3.文字符號的簡記、4.. 算、8.解一元一次方程式。. ‧. ‧ 國. 學. 三、不等式. y. Nat. sit. 教育部在2008年頒布的課程綱要，在國小階段有關於不等概念的能力指標只. n. al. er. io. 有A-1-01能在具體情境中，認識等號兩邊數量一樣多的意義與＜、＝、＞的遞移. i n U. v. 律，到了國中階段有關於不等概念的能力指標有A-4-03能用x、y、…符號表徵問. Ch. engchi. 題情境中的未知量及變量，並將問題中的數量關係，寫成恰當的算式（等式或不 等式）、A-4-06能理解解題的一般過程，知道解出方程式或不等式後，還要驗算 其解的合理性、A-4-08能理解一元一次不等式解的意義，並用來解題。 在國中的課程，學生會在七年級下學期學到不等式，其教材地位分析，以翰 林版為例，如圖2-4-1：. 32.
(43) 圖2-4-1 國中階段不等式的教材分析. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學 y. Nat. sit. Warren（2006）進行了為期三年了縱向研究，探討學生如何被教導學習不等. n. al. er. io. 式的相關數學語言，她分析國小五年級的教科書，發現只有5％的教材讓學生掌. i n U. v. 握和理解「多」與「少」，大多數的課堂教學都是涉及數字的加法和減法的運算. Ch. engchi. 問題，她認為學生對於不等式的困惑可歸因於他們缺乏一個完整的理解有關術語 用於描述不等概念，諸如「以上」，「大於」，「至少」，「最多」，「沒有超 過」等，教師在課堂上教學時往往對一個數學問題匆匆帶過問題中所用到的「多」 與「少」。 林炎全（2004）研究與不等概念相關的能力指標 N-2-15 能在具體情境中理 解乘法交換律、等號的對稱性、「＜、＝、＞」的遞移性……、A-3-2 能將生活 中的問題表徵為含有 x、y…的等式或不等式，透過生活經驗檢驗、判斷其解， 並能解釋式子解與原問題情境的關係、及 A-4-3 能檢驗、判斷不等式的解並描述 其意義、N-1-10 能透過感官活動感覺一個量，並能對兩個同類量做直接比較， 33.
(44) 進而對一個量做複製活動，四個與不等概念相關的能力指標之實驗教學，實驗教 學的步驟：1.討論能力指標的意涵、2.撰寫教學計畫、3.實施教學、4.測試並分析 結果。發現比較兩群物件數量的多寡時，有些學生不會採等量相抵的方法；中學 生尚未受過邏輯訓練，不易脫開「或」與「且」的困局，難以釐清「≦」及「≧」 的混淆，建議不等概念在表徵方面的發展，是「量」到「數」再到「式」逐漸提 高抽象度；等量公理應延伸到不等關係的運算，以建立解不等式的基礎；國中小 階段，數線是表徵不等概念有力的工具。. Blanco（2007）對 91 名學生採用問卷調查方式，發現學生處理不等式時與. 治 政 大 算得到解為「x＝－3」；學生解「－2x＜6」的不等式時，利用相同的方法得到 立 處理等式的方式是相同的，如學生解「－2x＝6」的方程式時，使用等量公理運. 解為「x＜－3」。導致許多人無法理解他們找到的解，他們很難理解哪些值使得. ‧ 國. 學. 不等式正確，哪些值不是。. ‧. Rowntree（2009）認為不同的策略能幫助更多學生了解不等號的概念，學生. y. Nat. 可以避免很多的失誤。Tsamir & Almog（2001）透過問卷調查瞭解學生解方程式. er. io. sit. 和不等式的步驟，並對 25 名學生進行訪談，研究指出學生解不等式的主要策略 有三項：1.代數運算，這是學生最普遍的做法、2.繪製圖形、3.使用數線，學生. al. n. v i n 繪畫有關圖形進而產生正確的解決方案，而大多數學生使用代數運算，應用這種 Ch engchi U 方法產生的不正確率最高，學生解不等式常會遭遇的困難有: 1.未注意基本限制，如分母為非 0，平方根要為非負數。 2.邏輯連接詞的困難，缺乏了解有關何時和如何運用「和」或「或」。 3.乘除運算時，沒有正確地注意符號。 4.運用解方程式的方式來解不等式。 5.乘除運算時，沒有注意運算式不一定為正。 6.給平方根做無意義的連結。 7.把不等式平方後，再求解。. 34.
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