二次補救教學活動

本節主要討論的是，藉由前測、後測及延後測結果的分析，針對改善不佳 的題目，分別是11、12、13 及 15 題得知，其主要的錯誤類型為類型四「不清楚

『對數真數的定義及真數的限制條件』」及類型八「將換底公式 log log log

c a

c

b b

=

a

與 對數運算性質log_a log_a log_a

b

b c

− =

c

這兩類公式混淆」。而類型十「『帶分數』與

『整數與真分數相乘』的混淆」在之前的補救教學沒有強調，造成改善不佳，所 以也在二次補救的教材中加入實例。

一、參與二次補救教學的對象：

二次補救的主要對象為犯錯誤類型四、八、十的學生。由表4-13 發現犯錯 學生以文組居多數。

表4-13

錯誤類型四、八、十的文理組犯錯學生人數統計

類型四 類型八 類型十

錯誤類型

文 理 文 理 文 理

後測 18 1 14 1 6 1

延後測 19 4 18 1 4 2

文組18 名學生，分成 9 個人一班，分別利用了 98 年 5 月 27 日及 5 月 31 日進行二次補救教學的活動，每班約花70 分鐘；對於理組的學生，則在 98 年 7 月16、17 日利用與學生訪談時，順便進行個別的補救教學。

二、二次補救教學活動的設計原則：

針對二次補救教學的學生，研究者經由前面的前測、後測及延後測結果的分 析，再以晤談的方式來深入了解學生的犯該錯誤類型的成因之後，與指導教授討 論針對這三種錯誤類型所犯的成因而設計二次補救的教學活動，詳見附錄七。

1.對於「不清楚『對數真數的定義及真數的限制條件』」的錯誤類型，主要是因 為學生對於誰是真數不清楚，而非對真數限制條件「真數要大於0」不清楚，

因此設計的原則為先確認對數式中誰才是真數。所以在補救教學中，先複習 log_a

x

=log_a

y

，可得知 x= ；接著舉例讓學生指出對數式中何者才是真正的

y

真數，再進行運算求解，並檢驗所求之值是否滿足真數的限制。

2.「錯誤使用對數運算性質 log_a

b

+log_a

c

= log (_a

b c

× 」與「將換底公式) log log

log

c a

c

b b

=

a

與對數運算性質log_a log_a log_a

b

b c

− =

c

這兩類公式混淆」的錯誤 類型因為深受「相加等於相乘」及「相減等於相除」口訣影響，要重建學生正 確的完整口訣，需要足夠的時間才能讓學生產生內化，加上補救教學的教材中 設計中引發學生認知衝突的例子仍不夠多，所造成這兩個錯誤類型的改善不佳 情形，因此二次補救教學的設計原則是在二次補救的教材中加了更多的實例，

讓學生從log 4 與₂ log 32 所做的不同組合的對數式(如₂ log 4 log 32₂ + ₂ 、

log (4 32)2 + 、log (32 4)₂ ÷ 、…等)，學生能先運算求得這些對數式的值，再將 得來的值做比較，待學生產生認知上衝突後，再讓學生進行正確的對數式配對。

3.針對「『帶分數』與『整數與真分數相乘』的混淆」則加入實例說明。

三、二次補救教學的實施與結果

二次補救教學結束後立即進行課後練習(附錄七)，所做的練習題則用來評估 二次補救教學之成效：

1.對於錯誤類型四「不清楚『對數真數的定義及真數的限制條件』」：參加補救的 18 名學生中有 16 位學生都能做正確的運算，找出真正的真數，並求出正確的

x

之值。經檢討兩位犯錯學生的答案，得知他們皆忽略了對於

x

² =36中

x

開平方 根需取正負，如圖4-5；而另有一名學生則以為

x

³=27，

x

的值會等於

± 3

，如 圖4-6。

圖 4-5 二次補救後練習題的答題情形(學生忽略開平方根需取正負)

圖 4-6 二次補救後練習題的答題情形(學生誤以為只要開方皆要取正負)

為了確定學生是否能了解正確的真數及注意真數的限制，所以藉由練習題

「log₃

x

² =log (3₃

x

+10)」與「log₂

x

=log (3 4 )₄ +

x

」來協助判斷。學生在

2

3 3

log

x

=log (3

x

+10)中全數解出 x 正確的值 5 或-2；在log₂

x

=log (3 4 )₄ +

x

中 學生均可利用正確運算作出

x

=4

or

− ，有 3 名學生未能注意到左式1 log x 中₂ 的真數 x 是要大於 0 的，其餘則可指出

x = − 1

是不合的，如圖4-7。由此可見，

多數學生對於對數式中何者是真數已能分辨，並且能注意真數須大於0 的限制 條件。

圖 4-7 二次補救後練習題的答題情形

2.對於「錯誤使用對數運算性質 log_a

b

+log_a

c

= log (_a

b c

× 」與「將換底公式) log log

log

c a

c

b b

=

a

與對數運算性質log_a log_a log_a

b

b c

− =

c

這兩類公式混淆」的錯誤 類型：在二次補救後的練習題關於此類型的共有5 題，參加補救的 18 名學生 均能做正確的對數式相加與相減的運算過程，但有兩名學生分別在不同兩題的 最後答案計算發生錯誤，經檢討問得學生的做法均是在心算log 144、₁₂ log 100₁₀ 時，想太快了，因為144 12 12= × 、

100 10 10 = ×

直接就寫log 144 12₁₂ = 、log 100₁₀ 是10，忽略了是12 及² 10 的 2 次方才是正確答案，如圖 4-8。由此可知學生在² 此錯誤類型中已能正確作出對數式相加、相減的運算。

圖 4-8 二次補救後練習題的答題情形

3.關於帶分數的問題，經過二次補救教學活動之後，由練習題「 2 3

log (2 )1

4 = ？」

中得知18 名學生全數能將 1

24先化為假分數9

4再作運算，而不再以為是 1 2× ，4 這表示了學生已能區分「帶分數」及「整數與真分數相乘」的不同。

在文檔中 高中生在對數概念及其運算性質的主要錯誤類型及其補救教學之研究 (頁 125-130)