第五章 結論與建議
第一節 結論
本研究以研究者本身所服務學校的高一學生作為研究對象，首先探討高一學 生在一般的教學之後，藉由自編的「對數基本概念及其運算性質」二階段評量試 題，來發掘學生在對數基本概念及其運算性質會有哪些主要的錯誤類型，再藉由 訪談了解造成這些主要錯誤類型的成因，然後針對這些成因，設計補救教學教材 並進行補救教學，以改善學生的學習成效。
由研究發現：
一、學生在對數基本概念及其運算性質的主要錯誤類型有以下10 種主要錯誤類 型：
類型一「數學符號的讀法錯誤」。
例如：記號「loga
b 」直接讀作「log、a、b」或「a、 log、b」
。 類型二「指數式與對數式的轉換，兩式之間記號的對應錯誤」。例如：因為只看到底數相同，就以為2x= 所對應的對數式是3 log2
x
= 。 3 類型三「不清楚『對數底數的定義及底數的限制條件』」。例如：學生以為在指數中11 = 是成立的，所以誤以為對數的底數也可以是 1。 1 類型四「不清楚『對數真數的定義及真數的限制條件』」。
例如：學生以為log ( 5)5 − 是存在的，只要在計算過程中將真數
− 5
的“−
＂號 提到log 前面即可，所以log ( 5)5 − = −log 55 = − 對於真數要大於 0 完1 全沒有注意。類型五「不知道記號『loga
b 』代表一個實數，以為「 log
a」是一般的文字符號」。例如：學生以為loga是文字符號，在 3
號」。
類型十「『帶分數』與『整數與真分數相乘』的混淆」。 (二)不了解對數的定義：
類型二「指數式與對數式的轉換，兩式之間記號的對應錯誤」。 類型三「不清楚『對數底數的定義及底數的限制條件』」。 類型四「不清楚『對數真數的定義及真數的限制條件』」。 (三)錯誤使用對數運算性質：
類型六「錯誤使用對數運算性質loga
b
r =r
logab
」。類型七「錯誤使用對數運算性質loga
b
+logac
=log (ab c
× 」。 ) 類型八「將換底公式 loglog log
c a
c
b b
=
a
與對數運算性質loga loga logab
b c
− =
c
這兩 類公式混淆」。類型九「誤用補習所教『翹翹板原理：
a
logbc =c
logba，即以logb為支點，a 與 c 互換』」。二、高一學生在對數基本概念及其運算性質的主要錯誤類型，針對學生錯誤的答 案內容的成因共17 個，為使第一線教師更容易判斷這些錯誤成因產生的原 因，研究者再將這17 個成因歸納為四大類：
(一) 對於新概念的單一表徵方式或不同表徵方式之間的轉換或是其使用的條件 限制無法正確地認識與連結：
1- . loga
b 的讀法與 log ab 及 log a b 等對數式的讀法不正確而造成混淆。
3-a.對於對數的底數須大於 0 且底數須不等於 1，由學生在國中學習指數 的舊經驗中1 可以是底數，以為一個指數式11 = 成立，就誤以為對應1 的對數式log 1是有意義的，但卻忽略了1 12 = 、1 13 = 、…也是成立的。 1 5-.缺乏對數式的整體性的數感，將對數符號“log”看成一般的文字符號，
所以可直接約分。
10-.受了文字符號的影響，認為省略的運算符號都是乘號，錯將帶分數視
為整數與真分數相乘。
(二) 無法將兩個概念之間的符號表徵關係或不同運算性質間的差異，作正確的 轉換或區分：
2-.因為學生對於對數式 loga
b
= 與它所對應的指數式x a
x = 沒有真正了b
解之間的轉換關係，所以只以底數相同與否來作為判斷對應式的依 據。6-c.學生在作指數題目時，常忽略了底數的限制條件，因此學生在做對數 的題目時也同樣會疏忽底數與真數的限制。
(三) 對於新概念的運算性質或使用的限制不熟悉，就將先前的經驗作過度的類 推，而產生錯誤：
3-b.由學生的舊經驗中分數的分母如果是負數，可以將負號提到分數前 面，所以誤以為底數若為負數，即可將負號提到對數符號的前面。
4-.在利用運算性質作運算時，直接代入運算公式卻忽略真數的限制條 件，錯將運算過程中的真數誤以為正確的真數。
6-a.將對數式(log 3) 的指數 2，誤認為是真數 3 的指數，即2 2 log 3 ，直接2 2
套用loga
b
r =r
logab
性質。6-b.將指數律 ( )
ab
n =a b
n n過度使用於對數式的指數，例如：2
2 2
2 2
(log 3) = log 3
。6-d.將底數與真數看成分數之分母與分子分別提出因數。例如：
4 1
2 1
log 2 log 1
4 2
= =
。
7-b.受「同分母分數的相加只要分子相加即可」的影響，將 loga視為分母，
真數就像分子一樣可合併相加，所以認為loga
b
+logac
=log (ab c
+ 。 ) 8-c.以為是舊經驗中的分配律，可以提出公因式 logc來，使得log log log
c
c
b b
a
=a
。。(四) 為方便學生記憶的口訣的影響，而造成的錯誤運算：
2.在教材中，關於運算性質的部分，先將對數式轉換為指數式，再以學生熟 悉的指數律來做對數運算性質的推導及做對數式的運算，避免因公式的背 錯而產生運算上的錯誤。
(二) 使學生產認知衝突來改正學生原有的迷思概念或進行新概念的學習。
1.在教材中使用觀念思考單元，讓學生分別去讀出「 log 3 」2 、「log 2 3⋅ 」與
「2log 3」，從他們所讀出的結果是無法分辨這些對數式，藉此產生認知上 的衝突，再強調正確的讀法的重要性，可避免在讀出對數式的誤認。
2.在教材中讓學生先由log( 3)− 2、log 3 、1 log ( 2)3 − 3 轉換成指數式，思考由 指數式所產生的矛盾，來產生認知上的衝突，而能增加對數定義的底數與 真數的限制條件更加了解。
3.在教材中使用觀念思考的單元，例如讓學生分別求出log 8 、2 log 4 、2
2 2
log 8 log 4+ 、log 8 42 + 、log (8 4)2 + 、log (8 4)2 × 的值，再由值的相等來 讓學生進行這些式子的配對，而使學生產生認知上的衝突，而不再犯
「loga
b
+logac
=log (ab c
+ 」、「 log () ab c
+ =) logab
×logac
」及「loga
b
+logac
=logab
×logac
」的錯誤，改善運算性質「loga
b
+logac
=log (ab c
⋅ 」的了解。在運算性質「 log) a loga logab
b c
− =
c
」 及換底公式「 loglog log
c a
c
b b
=
a
」也是類似的方法，來達到改善的目的。四、補救教學活動的成效
關於對數概念及其運算性質的補救教學活動的成效可得下列的結論：
(一) 就答對率的變化情形來看：
1.學生在經過對數概念及其運算性質的補救教學活動之後，其後測各題的答 對率皆高於前測，15 題的試題中有 9 題的答對率提高了 30％以上(含 30
％)。
2.以 McNemar test 來檢測前測與後測各題答題之差異，除了第 13 及 15 題，
其餘的13 題，其 McNemar test 的 P 值皆小於 0.05，這說明了對數概念及 其運算性質的補救教學活動，對於學生在對數概念及其運算性質是有部分 提昇的效果。
3.學生在經過對數概念及其運算性質的補救教學活動之後，相較於前測，在 42 位學生中有 41 位在後測答對率是提昇的，這說明了學生在經過補救教 學的活動後，對於對數的基本概念的認知及對數運算性質的運用是有改善 的。
4.學生個人在後測答對率為 100％的只有 2 位，其中一位在前測錯誤的題目 有第1、4、5、6、12、13、15 題，錯誤類型相當分散，在補救教學的活 動後則均有改善；而另一位在前測錯誤的題目是第2、3、4、5、11、12，
主要在於對數定義中底數與真數的限制條件，補救教學的活動後，在做對 數問題時會特別的去注意底數與真數的限制條件，便即刻改善。
(二) 就錯誤類型的變化來看：
1.參與補救教學的學生在後測的各個錯誤類型中，犯錯人數相較於前測降低 許多，在10 個錯誤類型中有 5 個錯誤類型的答對率達到 90％以上(含 90
％)。
2.10 個錯誤類型的後測答對率皆高於前測，其中更有 4 個類型的答對率提昇 了40％以上(含 40％)。
3.以 McNemar Test 的 P 值來看，有 9 個主要的錯誤類型的值小於 0.05，這 表示學生於前測與後測的答題情形有顯著的差異，換句話說就是學生在經 過補救教學活動後，在對數的概念及其運算性質有顯著的改善。
4.以 McNemar Test 來檢測「不知道記號『 loga
b 』代表一個實數，以為『 log
a』 是一般的文字符號」這個錯誤類型，得其P 值 0.500 大於 0.05，似乎是補 救教學的前後變化並不明顯，但從犯錯人數來看得知前測中僅5 人犯此類 型的錯誤，在後測則全數改善，可見補救教學對於此錯誤類型是有改善的。5.以 McNemar Test 來檢測「『帶分數』與『整數與真分數相乘』的混淆」這
個錯誤類型，得其P 值 0.581 大於 0.05，似乎是補救教學的前後變化並不 明顯，但從犯錯人數來看得知前測中只有10 位學生犯有此錯誤類型，然 而經補救教學的活動之後，在後測中減少了6 位學生，仍有 4 名學生犯有 此錯誤類型。因為在補救教學的教材上，只有在最後只是讓學生去思考
3
log (4 )1
2 的真數 1
42，其中 4 與1
2間的省略符號為“＋＂號，讓學生不至 於以為是數與數的相乘而已，沒有特別找例子讓學生練習，因此上述的混 淆對於部分學生仍是存在的。
(三) 就保留情形來看：
1.從後測與延後測的結果分析來看，15 題的答對率並沒有太大的差異。
2.以 McNemar Test 來檢測後測與延後測各題答題之差異，15 題的 McNemar Test 的 P 值全都大於 0.05，這表示學生在後測與延後測的答題情形差異不 大，也意味著補救教學的成效經過了一個月後，學生對於對數概念及其運 算性質補救教學的學習有不錯的保留效果。
3.就個人答題的變化來看，42 名學生中有 24 位學生在延後測的答對率比後 測低，有5 位學生在延後測的答對率比後測高，而有 9 位學生在延後測的 答對率和後測相同，可見對數概念及其運算性質的補救教學活動具有一定 的保留效果。
4.分析個人於延後測答對率比後測低的 24 名學生中有 5 人的下降幅度為 20
％(3 題)，這 5 人在後測正確而延後測錯誤的答案中，主要是延後測答案 皆是回復原本前測的答案，學生深受口訣的影響，這表示經過一段時間 後，學生還是回復了原本簡短的口訣的記憶，導致保留不理想。
5.分析個人於後測與延後測的答對率發現，在後測答對率超過 90%的學生有 4 人，其中 2 名學生在延後測答對率大於或等於後測答對率，退步的學生 在延後測中的第15 題犯錯，選了「因為log3
x
2 =2log3x
，而3 3
log 4 2log 2= ，所以2log3
x
=2log 23 ⇒ = 」，仍然忽略了何者才是真x
2 數且真數大於0 的條件。6.在以後測、延後測 McNemar Test 的 P 值來看，十個主要錯誤類型的 P 值
救教學的18 名學生中，仍有 3 名學生忽略了「對於
x
2 =36中x
開平方根 需取正負」，或是忽略「對數式中所有真數中的一個，而造成作答的錯誤」，救教學的18 名學生中，仍有 3 名學生忽略了「對於