高中生在對數概念及其運算性質的主要錯誤類型及其補救教學之研究

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：曹博盛博士. 高中生在對數概念及其運算性質的主要錯誤類型及其補救教學之研究. 研究生：廖純如中華民國一百零一年一月.

(2) 致謝拖了好幾年終於將這篇論文完成，期間因為工作或身體狀況而延誤，過程的辛苦與心酸更不足與外人道，所幸有太多人的幫助與支持，這論文才能呈現出來。首先，我最感謝的是指導教授曹博盛老師，這些年老師花了非常多的時間辛苦的陪伴與建議，沒有曹老師鍥而不舍的教導，我可能無法完成這篇論文。曹老師的用心指導及不放棄任何一個學生的精神，讓我不敢輕言放棄，深怕辜負老師的苦心，這種精神更是我在教育學生上的榜樣。另外，還要感謝楊瑞智教授及張幼賢教授，在百忙之中仍撥出許多時間用心的審視我的論文，並且給予我許多的寶貴的建議，讓這篇論文的架構及文字敘述更加完善，真的萬分感謝！再來是要感謝我的同組伙伴：仕傑、晁熙、鴻成，還有永貞學姐、幸鵑學妹，因為你們一路的鼓勵與協助，讓我得到的不只是珍貴的意見，還有滿滿的關心。謝謝摯友美玲，你永遠都像親姐姐一樣的關心我、幫我。也感謝私立光仁高中的數學老師們，在統計資料的蒐集上給了我最大的方便與支援，也謝謝參與研究的 98、99 級光仁畢業的校友，因為你們的配合，才能讓我順利進行研究，感謝光仁所有協助我的好同事們。接著要感謝的是我的先生忠誾，謝謝你一直以來的配合，即使你自己的工作也是非常忙碌，你仍幫我分擔家事或照顧小孩，讓我在工作之餘還可以抽出時間來作論文研究；當然我的寶貝女兒妮妮，妳的年紀雖小，但妳的乖巧懂事讓媽媽可以專心做研究，並安撫媽媽低落的情緒，謝謝妳！最後，謹以此論文獻給栽培我的雙親，包容我的公婆，及所有關心我的朋友。. 廖純如 i. 2012.02.16.

(3) 摘要本研究目的在探討高中生在學過「對數概念及其運算性質」的課程後，會出現哪些錯誤類型，並針對這些錯誤類型實施補救教學，幫助學生改正這些錯誤類型。本研究採用二階段評量來診斷高中學生對於對數概念及其運算性質有哪些迷思概念，並整理歸納成為錯誤類型，再針對所得的資料進行分析錯誤類型的成因，設計補救教學教材，並進行補救教學活動。根據本研究，高中學生在對數概念及其運算性質的主要錯誤類型有 10 種，為了更容易判斷學生所犯的錯誤是屬於哪一個類型，研究者再將其濃縮分成三大類：(一)不了解正確的數學語言及符號； (二) 不了解對數的定義； (三)錯誤使用對數運算性質。就補救教學的成效而言，在經過補救教學活動之後，後測各題的答對率皆高於前測。在 15 道試題中有 4 題的答對率提高 40%以上，其中有 6 題後測答對率超過 90%。參與補救教學的學生中，僅 1 位學生退步，其餘學生均有得到相當多的進步。可見對數概念及其運算性質的補救教學活動對於改善學生在對數概念及其運算性質常犯的錯誤上是具有成效的。分析後測和延後測的結果來看，在 15 題試題中，學生在後測與延後測的答對率差異不大；以錯誤類型來看，學生在延後測中錯誤類型犯錯的人數並沒有大幅的改變，代表補救教學的成效經過了一個月左右，學生的學習有不錯的保留效果。關鍵字：對數概念及其運算性質、二階段評量、錯誤類型、補救教學、二次補救教學。. ii.

(4) 目. 錄. 第一章緒論...............................................................................................1 第一節問題背景與研究動機...........................................................1 第二節研究目的與研究問題...........................................................5 第三節名詞界定……………………………...…………………...6 第二章文獻探討 ......................................................................................8 第一節二階段評量工具的發展與應用...........................................8 第二節數學概念的學習與教學.....................................................16 第三節錯誤類型及其成因之相關研究.........................................21 第四節補救教學.............................................................................28 第三章研究方法 ....................................................................................38 第一節研究設計.............................................................................38 第二節研究對象.............................................................................39 第三節研究工具.............................................................................40 第四節研究步驟.............................................................................69 第五節研究範圍及限制.................................................................74 第四章. 研究結果之分析與探討 ..........................................................75. 第一節對數概念及其運算性質主要錯誤類型及其成因之分析. ...........................................................................................................75 iii.

(5) 第二節學生在補救教學活動的前、後測結果比較分析 ............87 第三節學生在補救教學活動的後測、延後測結果比較分析 ..103 第四節補救教學結果之綜合分析...............................................114 第五節二次補救教學活動...........................................................116 第五章. 結論與建議 ............................................................................121. 第一節結論...................................................................................121 第二節檢討與建議.......................................................................131 參考文獻.................................................................................................135 一、中文部分.................................................................................135 二、西文部分.................................................................................137 附錄.......................................................................................................141 附錄一、「對數概念及其運算性質」開放性試題 ....................142 附錄二、將開放性試題編製成二階段試題的理由選項 ............146 附錄三、「對數概念及其運算性質」前測試題 ..........................177 附錄四、「對數概念及其運算性質」後測試題 ........................184 附錄五、「對數的概念及運算性質」補救教學教材 ................191 附錄六、補救教學之教案設計.....................................................208 附錄七、二次補救教學教材及練習題 ............................................... 214. iv.

(6) 表. 次. 表 2-1 使用二階段評量來診斷學生數學概念的實徵研究……..……21 表 3-1 各項變因……………………………………………………...…38 表 3-2 對數概念及其運算性質的教學目標、評量目標與對應的開放試題的題號…...…………………………………….…..40 表 3-3「對數概念」開放性試題的雙向細目表………………………42 表 3-4「對數運算性質」開放性試題的雙向細目表…………………42 表 3-5 各題的答對率…………………………………………………...43 表 3-6「對數概念」…………………………………………………….52 表 3-7「對數運算性質」……………………………………………….53 表 3-8 各題的一致率………………………………………...………….53 表 3-9 前測、後測的複本信度係數………………………….………...54 表 3-10「對數概念及其運算性質」二階段評量試題選項與錯誤類型之對照表………………………………………..…..55 表 3-11 錯誤類型及其原因之對照表…….…………………………....56 表 3-12 授課節數分配表…………………….…………………………59. v.

(7) 表 3-13 教學活動設計表……………………………………………….61 表 4-1 高二學生在「對數概念及其運算性質」二階段評量之犯錯率……………………………………..…………………....76 表 4-2 前測、後測的各題答對率及答題差異情形……….……………87 表 4-3 個人於前測、後測個人答對率及其變化…….…………………90 表 4-4 後測答對率低於 70％的 12 位學生在各題的答錯人數統計………………………………………………...………93 表 4-5(a)前測、後測各個學生所犯的錯誤類型………………….……94 表 4-5(b)前測、後測各個學生所犯的錯誤類型…………………..……96 表 4-6 前測、後測未犯此錯誤類型的比率及其差異情形……….……98 表 4-7 後測、延後測的各題答對率及答題差異情形………………..103 表 4-8 個人於前測、後測個人答對率及其變化………..………….…104 表 4-9 個人於延後測答對率比後測降低 20%(3 題)的學生………....107 表 4-10(a)後測、延後測各個學生所犯的錯誤類型………….……….108 表 4-10(b)後測、延後測各個學生所犯的錯誤類型…………………110 表 4-11 後測、延後測未犯此錯誤類型的比率及其差異情形……….112 表 4-12 前測、後測及延後測的各錯誤類型答對率做 vi.

(8) McNemar Test 檢定的結果……………………………........114 表 4-13 錯誤類型四、八、十的文理組犯錯學生人數統計………...116. vii.

(9) 圖. 次. 圖 2-1 二階段評量診斷工具格式………………...…………….. ……..9 圖 3-1 實驗設計模式……...……………………….…………………..38 圖 3-2 研究流程圖…...………………………………………..……….69 圖 4-1 前測、後測的各題答對人次折線圖……………………………88 圖 4-2 個人於前測、後測答對率折線圖…………………………..…..92 圖 4-3 個人於後測、延後測答對率折線圖…………………………..104 圖 4-4 個人於前測、後測答對率折線圖……………………...……...106 圖 4-5 二次補救後練習題的答題情形(學生忽略開平方根需取正負)…………………………………………………………….....118 圖 4-6 二次補救後練習題的答題情形(學生誤以為只要開方皆要取正負)……………………………………………………………….118 圖 4-7 二次補救後練習題的答題情形...……………………….……119 圖 4-8 二次補救後練習題的答題情形...……………………….……119. viii.

(10) 第一章緒論. 第一節問題背景與研究動機個人致力於台灣中等學校(高級中學)的數學教學於民國一百年已邁入了第十九個年頭，隨著教學的經驗不斷的增長，對於學生在某些單元的學習過程中，學生所發生的學習迷思，即使個人用了不同的詮釋方式，仍無法讓學生全然了解，將他們的迷思一一破除。個人過去的教學對象係以文組學生為主，而文組的學生在數學的學習上，學習成就低落的比例通常較理組為高，即便是高三時已重新複習一、兩次，仍然無法有效的降低他們對數學學習的恐懼及障礙。由於學生學習數學意願低落的可能成因很多，要逐一探討發掘，恐怕不是我個人或有限的時間所能做到解決的，故本篇研究將針對特定範圍的人、事、時、地、物進行研究，以期望做出來的結論對數學中等教育的教學研究上有所貢獻。. 本論文研究對象係針對數學能力為中低成就的學生，利用不同的教學方式來協助他們，期望透過這些方式，在積極面降低他們的問題及迷思，提昇他們的數學能力，在消極面則至少延長他們的數學學習興趣，聽得懂老師授教內容為開始。所以我實驗方法係以從最基本的概念、運算性質開始，研究的單元則以高中一年級學生所學的單元為主。受測對象則以高中一年級數學中低成就的學生為受測主體，並利用該群學生暑假重修的時間進行課程補救教學的研究。. 本研究的教學單元則以「對數」為主題，以該單元為研究主題係因研究者當時所任教的班級是高一，其課程編排乃遵循 95 暫綱，內容分別為高一上學期的第一章數與坐標系、第二章數列與級數、第三章多項式，高一下學期的第一章指數與對數、第二章三角函數的基本概念、第三章三角函數的性質與應用。就上述高一上學期的課程內容中，不論是定義、運算性質或符號，對於初由國中升高中的學生而言，尚且能應付，但到了下學期，除了一開始的指數尚且能由舊經驗來拓展，到了對數便是全新的內容、全新的運算性質，甚至是全新且複雜的符號， 1.

(11) 而接著第二章是三角函數，該章節學生所面臨的問題將更甚於對數，但就時間上順序、內容的多寡來說，若能有效地使學生針對對數這個單元，降低其學習時遭遇的問題並提昇學習意願，則對於後續數學的學習較不會因內容更艱深而產生挫折感。另外，由於對數的課程內容較少，較容易達到由小地方做起的精神，在個人的時間及能力上也較容易做到。而再者的進一步研究動機，則於歷年的考題中，不免出現對數的應用題型，若連基本的定義、運算都出了問題，又怎能做進一步的解題。例如：例如： (一)92 年學測多重選擇第 8 題以下各數何者為正？ 2−32. (1). (2) log 2 3 －1. (3) log 3 2 －1. (5) log 1. (4) log 1 3. 3. 2. 1 2. 答案是(1)(2)(5) 根據九十二學年度學科能力測驗數學科的答對率及鑑別指數表，得到報考人數:164521. 缺考人數:2753. 到考人數:161768. 題號. P. Ph. Pl. Pa. Pb. Pc. Pd. Pe. T. D. D1. D2. D3. D4. *8. 55. 86. 19. 90. 78. 59. 34. 12. 43. 67. 12. 19. 25. 22. 本表之分組係依總分得分而為之本表不包含使用點字卷考生人數. P=全體到考考生答對率 Ph=高分組(前 33%)考生答對率 Pl=低分組(後 33%)考生答對率 Pa-Pe=依成績高低分為各佔 20%的五種能力組考生答對率 D=全體到考考生鑑別度 Ph-Pl T=多重選擇題全對率 D1-D4=五種能力組考生鑑別度(D1=Pa-Pb...D4=Pd-Pe) 題號前有星號者為多重選擇題,以得分率代替答對率 (多選題)得分率=( ∑. 該題答對答案數 − 該題答錯答案數該題答案數 × 考生人數. (該題未答者分子以零分計). 2. ) ×100.

(12) (二)93 學測填充 C 設 a, b, c 為正整數，若 a log 520 2 + b log 520 5 + c log 520 13 = 3 , 則 a＋b＋c＝17. 18. 答案是 15 根據九十三學年度學科能力測驗數學科的答對率及鑑別指數表，得到報考人數:157544. 缺考人數:3255. 到考人數:154289. 題號. P. Ph. Pl. Pa. Pb. Pc. Pd. Pe. 17. 26. 61. 2. 75. 34. 13. 5. 18. 10. 27. 0. 39. 6. 2. 0. T. D. D1. D2. D3. D4. 1. 59. 41. 21. 8. 4. 0. 27. 33. 4. 2. 0. (三)94 年學測單選題 4 設 a, b 為正實數，已知 log 7 a = 11, log 7 b = 13 ；試問 log 7 ( a + b) 之值最接近下列哪個選項？. (1) 12. (2) 13. (3) 14. (4) 23. (5) 24. 答案是 2 根據九十四學年度學科能力測驗數學科的答對率及鑑別指數表，得到報考人數:160522. 缺考人數:3384. 到考人數:157138. 題號. P. Ph. Pl. Pa. Pb. Pc. Pd. Pe. 4. 32. 65. 10. 76. 42. 22. 13. 9. T. D. D1. D2. D3. D4. 55. 34. 20. 9. 4. 相信高中數學老師們一看到這幾年的考題，心中應是與我有相同的想法，就是“很基本的概念，應該可以拿到分數”，甚至任教於程度較好的學生之高中的教師們，會認為題目太過簡單，分不出程度來。但看完大考中心的研究報告之後，數學老師們的內心應有所衝擊吧！尤其是後 33％的學生們，或許他們數學的能力是弱的，但如果基本的概念都不會，那他們高中的數學不就是白學了嗎？然而這些學生數學能力的低落，豈是我們所樂見的，而讓他們具有基本的概念，不正是我們應該要去努力的部分。要教會已有 14 級分的學生再多拿一級分實在不容易，但要讓一個只有 2 級或 3 級分的學生多得一個級分，甚至兩個級分，只要我們多用心建立好正確的數學概念，成效一定會較高。如果能從高一開始，就把這一個階段所學都建立好正. 3.

(13) 確的概念，以免因時間的延宕難以改變，而加深了改善的困難。否則到了高三時學生參加學測考試，卻連 log 1 3 是小於 0 這種基本的概念仍無法判斷，又如何期 2. 待他們在數學的學測成績上有好的表現呢？基於這些現象，研究者深思為何學生在學過對數後卻沒有辦法解決這些基本的概念問題呢？能否找到方法了改進自己的教學，進而協助學生改善？因此研究者想進一步探討學生所產生的錯誤原因及相對應的補救教學方針。. 4.

(14) 第二節研究目的與研究問題基於上述的研究動機，本研究目的在探討高中生在學過「對數基本概念及運算性質」的課程之後，對於對數基本概念及運算性質出現哪些主要的錯誤類型以及其錯誤的成因。針對主要的錯誤類型及其錯誤的成因設計補救教學之教材並進行補救教學活動，來改正學生對於對數基本概念及運算性質所存在的迷思概念。研究的主要問題如下：研究的問題主要是以下五點：. 1. 高中生在學習對數單元後，可能產生的錯誤類型為何？ 2. 這些錯誤類型所產生的原因為何？ 3. 針對這些主要的錯誤類型該如何設計補救教學之教材？ 4. 經過補救教學活動之後，學生對於之前所犯的錯誤類型是否有所改善？ 5. 經補救教學活動一段時間後，學生對於對數基本概念及運算性質的保留情形為何？. 5.

(15) 第三節名詞界定. 一、對數：. 本研所指的對數基本概念，係指對數的定義、指數與對數的轉換、底數及真數的限制條件、 log a 1 = 0 和 log a a = 1 (其中 a > 0 且 a ≠ 1 )；運算性質則是對數律、換底公式及 a loga b = b 。. 二、二階段評量( Tow-tier diagnostic assessment )：本研究所稱之二階段評量係由 Treagust（1988, 1997）提出，測驗方式分為兩個層次，其中第一層次是核心概念的內容，第二層次則為解釋或回答第一層次的理由。本研究所指的二階段評量為診斷性測驗，測驗方式分為二層；第一階段共有兩個選項，分為「是」和「否」；第二階段共有五個選項，主要了解學生所選擇的理由敘述是否為正確概念。. 三、錯誤類型：. 本研究所提出的錯誤類型，是參考相關錯誤類型分析的文獻之外，再加上本研究經診斷測驗所分析出的錯誤類型做實證，兩者一起歸納所界定出的錯誤類型。而本研究是依據自編「對數的概念及運算性質」二階段評量學生作答情形，所分析出的錯誤類型。每一個錯誤類型常包含不只一個選項，若一個學生有選. 50%以上(包含 50%)的選項，我們就認定該生有犯這樣的錯誤類型。而一個錯誤類型的犯錯人數有超過 15%的學生，我們就把此錯誤類型認定為主要的錯誤類型。. 6.

(16) 四、補救教學：. 本研究之補救教學是指根據「對數的概念及運算性質」的二階段評量所篩選出學生的主要錯誤類型，根據其錯誤的原因設計合適且有效的補救教學教材，並進行一連串積極性的補救教學活動，其目的在改正學生對於對數的概念及運算性質所存在的迷思概念，達成該階段的學習目標。. 7.

(17) 第二章文獻探討本研究在探討以二階段評量來分析高中生在對數概念及其運算性質中常犯的錯誤類型及其成因，依此分析結果來設計補救教學，希望能有助改善學生在對數概念及其運算性質學習上的錯誤。本章共分為四節，第一節為「二階段評量工具的發展與應用」，第二節為「數學概念學習與教學」，第三節為「錯誤類型及其成因之相關研究」，第四節為「補救教學」。. 第一節二階段評量工具的發展與應用. 一、迷思概念的診斷工具. 根據張惠博(民88)整理國內、外有關迷思概念的研究方法，歸納出以下六種方法：. (一) 診斷式傳統測驗題：通常用於大量施測。 (二) 概念圖法：最常被使用來展現概念關係的測量方法，是Novak 於一九七零年代末期發展出來的。. (三) 晤談法：對個案學童進行事例或事件晤談。 (四) 關係圖法：如單字聯想、樹狀圖、圖形建構、網狀圖、語意分析等。 (五) Vee 圖：利用集合關係圖來推論根據何種觀念、原理、理論來支持其想法。 (六) 二階段式測驗：Treagust (1988)利用二階段的選擇題來診斷學生在特定領域內的科學概念之理解。題目的第一階段利用是非或選擇題診斷學生對概念的理解，第二階段再根據學生之敘述來探究學生對概念的真正想法。近幾年，對於迷思概念的研究較常被使用的工具有診斷式傳統測驗題、概念圖法及晤談法。使用診斷式傳統測驗題，多採用選擇題的測驗形式，雖然可以收集到大量的樣本資料，但卻無法了解學生迷思概念形成的真正原因。利用概念圖法可以獲悉學生對於概念間的聯結關係及區分不同概念的程度，並從中可獲得學生的迷思概念，但缺點是非常耗時，每位學生所畫的概念圖也不盡相同，教師必 8.

(18) 須受過專門的訓練才有辦法來評分及解釋學生的概念。晤談法雖然可以在學生訪談中獲得許多有價值的訊息，但這種方法也是很費時，而且所獲得的資訊要透過訪談者的主觀解釋，資料多而雜，不易統計。根據上述的缺點，Treagust & Haslam (1986)與Odom & Barrow (1995)與. Rollnick & Mahooana (1999)建議使用二階段式(Two-tier)評量診斷工具，來診斷學生科學概念的理解，幫助教師瞭解學生在概念學習的狀況。二階段式評量診斷工具的第一階段是核心概念的內容，題目提供一個情境脈絡讓學生做二選一或三選一的回答。第二階段是探索第一階段做答的理由，題目提供了幾個理由選項讓學生選擇，以瞭解學生在第一階段回答的理由。綜合上述文獻，本研究以二階段式(Two-tier)評量診斷工具，來診斷學生在「對數概念及其運算性質」的迷思概念。而所設計的二階段評量試題的型態，如圖 2-1：第一層為是非題。第二層為敘述選項，每一題都有5個選項，其中最後一個選項為「其他，我的理由是：. 。」，當學生的理由有別於前. 四個理由選項時，可以將自己的理由自由的表達出來。. 題目：………………………………... 第一層次. ……………………………….. □是. □否. 理由：(A)………………………………。. (B)………………………………。 (C)………………………………。 (D)………………………………。 (E)其他，我的理由是：圖 2-1 二階段評量診斷工具格式. 9. 。. 第二層次.

(19) 二、二階段評量工具的編製. 根據Treagust（1988）所提出二階段評量工具設計的編製程序可分為：定義內容、獲得學生概念之相關證據、發展診斷工具三大部分，下面將依序說明這三大部分及其所包含的十個步驟： (一) 定義內容（Defining the content）前四個步驟是定義主題的概念範圍和相關內容知識的敘述，並發展概念圖。步驟1：確立命題知識敘述。就研究主題內容，找出包含在此領域內的知識，並將其中的概念逐項條列出來，以確定命題之範圍。而確立命題知識的敘述，在課程發展及教學上具極重要的地位。步驟2：發展概念圖。對研究主題相關之概念，畫出階層式的概念圖，而研究者可利用概念之間彼此的關聯性，思考其所選擇的教學內容之本質及範圍。所以步驟1和步驟2可以說是同時發展出來的，當命題敘述確立時，所對應的概念圖也已成形，或是當概念圖確定時，所對應的命題敘述也已成形，兩者是相輔相成的。步驟3：將命題知識敘述與概念圖連結比對。每個命題知識的敘述皆要與概念圖中其對應之概念直接相關，用以確保被檢測的內容是具有其內部一致性，且彼此要能涵蓋整個主題。這是一種信度檢核，看兩者是否真正能檢測和覆蓋於相同主題區域。步驟4：將試題內容效度化。命題敘述和概念圖是由學科學者、學科教師和學科專家檢核進行內容效度化，並由這些專家針對命題敘述和概念圖有任何矛盾或不恰當之處進行刪除或修正。當命題敘述及概念圖確定之後，在發展診斷工具的題幹時就會更加明確。 10.

(20) (二) 獲得學生概念之相關證據（Obtaining information about students＇ conceptions）第二部分是發展診斷式的工具來偵測出學生的迷思概念。首先透過對先前研究文獻的檢視，再和學生進行晤談以及利用紙筆測驗ㄧ些開放性的問題後，得到學生的自由反應資料，來瞭解學生對該研究之學科內容的理解，如此該主題的學生概念之典型範例就可以被確定。步驟5：探索相關研究文獻。在開始定義相關的學科問題或是探討學生的某種學科概念時，必須對於ㄧ些研究學生學科概念的相關文獻進行探討，來獲得學生的迷思概念以及學習時有困難的概念，藉此用來發展診斷工具。步驟6：與學生進行非結構性晤談利用非結構性開放式的問題與學生進行晤談，來廣泛地獲得學生的知識結構或迷思概念，並且藉此瞭解學生對此概念理解的程度。步驟7：發展開放性試題，讓學生可以自由回答。每一個選擇題的設計都是依照命題的敘述而來，而且每一題的選擇題都是用來發現學生的迷思概念。每一個選擇題的後面都包括了一個空白空間，讓學生可以填答他所選擇此答案的理由，藉此來收集學生的概念。. (三) 發展診斷工具（Developing a diagnostic instrument）第三部分診斷工具的建構包含了二階段題目的發展，第一階段要求學生對核心概念的內容進行做答，第二階段是在探索學生第一階段做答的理由為何。根據步驟5、6、7來發展題目的第二階段─理由選項。步驟8：發展兩階段式的診斷工具。每一測驗題中的第一階段選擇的是內容問題，通常有2至3個選項；第二階段是選擇第一階段的理由，通常包含4個可能的理由選項，選項為綜合上述文獻、晤談、和開放式紙筆測驗所獲得的該題作答之理由，其中包含了迷思概念、正確概念或是完全錯誤的答案。然而學生必須兩階段都答對，此題才算答對。. 11.

(21) 步驟9：設計雙向細目表。將每一個題目的命題敘述整理成一個雙向細目表，來檢視診斷性試題的題目皆能問到所列出的命題敘述，且概念圖中的概念皆涵蓋在主題範圍之下。步驟10：持續精練。透過不同的班級或不同群的學生進行施測，不斷的修正診斷工具，來確保該診斷工具可以診斷出學生的迷思概念。三、二階段評量的優點. 以 Treagust 所提出的二階段評量診斷工具來診斷學生的錯誤概念，其優點如下：. (一)二階段評量診斷工具兼具了晤談法之質性的優點與測驗法之量化的優點。在診斷學生的科學概念時，若採用晤談法及概念圖的方式來獲得存在學生內心的概念，都是相當耗費人力與時間，對於職場上教師而言，在教學時間有限的條件限制下，晤談法及概念圖並不適用。至於傳統選擇題紙筆測驗雖然可以大量的施測，但傳統評量中的選擇題只能單純評核出學生是否達到單一層次的功能，並無法評核出學生概念和原理的學習發展層級，也無法診斷出學生的迷思概念。然而，二階段評量診斷工具的第二階段─理由選項，是透過文獻探討、開放性紙筆測驗，以及與學生晤談的結果，收集歸納編製而成，因此二階段評量診斷工具結合了學生選擇答案的推理過程，再加上二階段評量診斷工具的兩個階段都是選擇題的形式，可以在短時間大規模探究學生的概念。使用二階段評量診斷工具來診斷學生的錯誤概念，不儘解決了晤談法耗費人力與時間的缺點，也解決了傳統評量中的選擇題不知學生填答背後所抱持之理由為何的缺點，然而卻具有晤談法及概念圖可得知學生內心概念的優點以及傳統評量中的選擇題可大規模施測的優點。. (二)二階段評量診斷工具可以減低學生猜對的機率，來提高題目評量的效果。關於二階段評量診斷工具施測結果的分析所採取的方式是學生對題目的第一階段─核心概念內容(內容知識的部分)進行選答，與第二階段─理由選項(另有 12.

(22) 概念的部分)進行選答，然而兩階段都要答對，這樣才表示學生對於該題有正確的認知。二階段評量診斷工具的優點，除了教師和研究者不必依靠繁瑣費時的晤談工作就可以瞭解學生的學習情況，還可以減低學生作答的猜對率，提高題目評量的效果(蕭志芳，民 92)。根據 Odom 和 Barrow（1995）指出：在一個含有四個選項的典型選擇題測驗中，猜對答案的機率是 25％；但在二階段的選擇題中，如果第一階段含有兩個選項、第二階段含有四個選項，兩階段能做正確聯結而猜對者，其機率只有 12.5％。換句話說，如果二階段的評量試題，第一階段含有四個選項、第二階段也含有四個選項，兩階段能做正確聯結而猜對者，其機率只有. 6.25％，可見在兩階段的評量工具可以減低猜對之機率，相對的也提高題目評量的效果。. (三)二階段評量試題的設計可用來改良傳統選擇題的僵化模式，也可以引導學生改變只重視死背知識而不求理解的嚴重缺點。二階段評量試題的設計強調概念的理解，重視以學生的理由及包括已知的另有概念為基礎而設計的二階段試題，近幾年來已成為許多研究學者所認同的研究工具，學生本身可以在作答的過程中學習、澄清自我概念並幫助原有概念間的連結，因此二階段評量試題也有助於教師瞭解學生在學習上的困難，並可以進一步解決教學中的盲點，提升學生的學習效果。. (四)二階段評量診斷工具可以偵測出學生的錯誤概念，並提供教師作為擬定教學策略或補救教學的重要依據。張賴妙理與鄭湧涇(2000)研究指出，兩階段作答方式的概念診斷工具確實能偵測出學生的錯誤概念。柳賢(2000)針對高一學生進行開放式二階段評量測驗之後提出，經由這種開放式二階段的評量方式，教師可以瞭解學生是否真正理解所學的知識而非一知半解。因此，設計成紙筆式、選擇題型的二階段診斷評量能診斷出學生的錯誤概念，幫助教師對學生學習情況能更進一步的深層瞭解其內涵，同時教師能針對學生的錯誤概念擬定合宜的教學步驟及策略，適時修正教學目標，進行補救教學(楊坤原、張賴妙理，2001)。. 13.

(23) 四、使用二階段評量來診斷學生數學概念的研究. 在科學上，使用二階段評量作為診斷學生迷思概念的工具，已是非常普遍常見的。近年來有越來越多數學教育研究者，也使用二階段評量來診斷學生的數學概念，其實徵研究舉例如下頁表 2-1：表 2-1 使用二階段評量來診斷學生數學概念的實徵研究. 研究者. 二階段評量編製方. 研究主題. 法. 國小六年級數學乘除法概楊坤原(民95). 念二段式診斷測驗之發展與應用國二學生在二次方根的意. 林鴻成(民 96). 義與四則運算上的主要錯誤類型及其補救教學之研究. 林晁熙(民96). 吳秀玲(民 97). 李永貞(民 97). 內部一致性. 開放式紙筆測驗和 Cronbach’s α 半結構性晤談搜集. 係數. 學生迷思概念. 內部一致性. 開放式紙筆測驗和 Cronbach’s α. 的主要錯誤類型產生的. 半結構性晤談搜集. 係數. 原因及、其補救教學研究. 學生迷思概念. 內部一致性. 因數倍數單元安置性評量. 開放式問卷及晤談 Cronbach’s α. 編制之研究. 搜集學生迷思概念. 高二學生在向量概念學習. 開放式紙筆測驗和. 上的主要錯誤類型及其補. 半結構性晤談搜集. 救教學之研究. 學生迷思概念. 困難的診斷工具發展與應用. 張嵐雄(民 98). 搜集學生迷思概念. 對於高中生複數概念學習. 高職學生「圓」單元學習趙慧怡(民98). 開放式問卷及晤談. 試題信度. 開放式問卷及晤談搜集學生迷思概念. 係數內部一致性. 內部一致性. 國中生在多項式乘除運的. 開放式紙筆測驗和 Cronbach’s α. 主要錯誤類型及其補救教. 半結構性晤談搜集. 係數. 學之研究. 學生迷思概念. 內部一致性. 14.

(24) 根據上表中文獻可知，使用二階段評量來診斷學生的迷思概念可以說是一個相當適合的工具。因此，本研究採用二階段評量來診斷高中生在對數概念及其運算性質中常犯的錯誤類型及其成因，並整理歸納成為錯誤類型，再針對所得的資料進行分析，設計補救教學教材，並進行補救教學活動。參考以上的研究，本研究所用來編製二階段評量的方法為開放式紙筆測驗和半結構性晤談蒐集學生迷思概念，對試題信度的檢驗採用 Cronbach’s α 係數以及內部一致性。. 15.

(25) 第二節數學概念的學習與教學. 一、概念的形成. Henderson(1970)則把概念分為具體概念(concrete concept)和抽象概念 (abstract concept)，其中具體概念是指具有物理上實質的例子，如代數書、幾何板、尺；而抽象概念為不具上述具有物理上實質的例子，如數學上會遇到的分數、複數、極限、多項式、機率等都是屬於抽象概念。. Skemp(1979)認為概念就是把具有相似性、共通性的經驗歸類在一起。概念形成的過程一般稱為抽象化。而〝抽象化〞是一種心智活動過程，使我們了解各種週遭環境經驗之間的相似性、共通性，讓我們可以用已經分類的舊經驗和相似性、共通性來認知新經驗。它使我們有分類的能力。因此，要形成一個概念就必須先有實際經驗，而這些經驗又有某些相似性、共通性，將這些經驗與共通性加以分類命名，抽象化即形成概念。許多的概念都是先由我們實際經驗去抽象化所形成的初級概念，然後再根據這些初級概念繼續抽象形成次級概念，而且常常要經歷多次的抽象才形成。形成概念的過程主要有下列五種重要的特徵(Skemp, 1979)：. 1.意識(realization)：意識過程是指一個新的概念，透過環境經由感官輸入概念結構，此時新的概念與概念結構中的任一概念都沒有聯繫上。. 2.同化(assimilation)：同化過程是指在概念結構中找出與新概念相類似的概念。 3.擴張(expansion)：擴張過程是指以概念結構中已有的概念來領悟這新的概念，使其成為概念結構中的一部分。. 4.分化(differentiation)：分化過程是指分辨新的概念與ㄧ些已有概念之間的異同處。. 5.重建(re-construction)：重建過程是指當問題的情境改變時，已建立的概念結構雖具有相關性，卻不適用於此情境，此時必須重建個體的概念結構。. 16.

(26) 二、數學概念. 在各種概念的形成發展中，數學概念不可否認的是相當特殊的人為概念，因為它不像一些具體事物能夠很容易從視覺感官接收到此概念的相關訊息；但基本上它仍然是概念的一種。張新仁(1989)認為「數學概念」是學習數學的基礎，數學除了「計算能力」外，還有「概念理論」的部份。田万海(1992)就廣泛的數學概念意涵來看，認為內涵和外表是構成數學概念的兩個重要面向，而數學概念是揭示現實世界空間形式與數量關係本質屬性的思維形式。由此可知，數學概念對於數學學習是相當重要的，在科學理論的學習也是不可或缺。. Skemp (1971)認為許多的數學概念都是由實際經驗所抽象化形成初級概念，再繼續抽象化成為次級概念。這些經過多次抽象化的數學概念具有高度的濃縮性，因此數學概念變得很困難。. Sfard (1991)認為可用兩種不同的方式來理解抽象數學。概念的形成：一是從結構性(structurally)，另一是從運算性(operationally)。而且他認為大部分的人獲得新數學概念的第一步是藉由運算性的。. Fischbein (1996) 認為數學概念是抽象的、有階級的。例如初級概念可直接由感官經驗得來，如三角形但次級概念則要再多一階的抽象如圖形或數的進位。. Siegel (1981)及 Shuell(1990)對於學生數學概念的建立，特別強調原有概念的重要性。他們認為學習數學的心理歷程都是由前面的知識為基礎，不斷的建構出個人的知識結構，且不斷的獲得新訊息以擴充整個知識內涵。田万海(1992)認為數學概念的產生一般有兩種情形：一種是對客觀事物的空間形式或數量關係的反映而得到的；另一種是在已有的數學基礎上，經過多次的抽象概括而形成。由上面論述可以得知，數學概念的形成最初是來自實際經驗客觀事物或數字計算藉由不斷的獲得新概念，將這些概念濃縮及抽象化，形成一個新的概念或更高層次的概念。協助學生將由實際經驗或數字計算得到的數學概念抽象化，進. 17.

(27) 而得到一個新的數學概念或更高層次的數學概念，是數學教學中很重要的一部份。. 三、數學概念的學習. Dreyfus (1991)認為數學學習的過程是四個階段的發展： 1.透過單一表徵了解數學概念； 2.學習到其他平行的表徵； 3.平行表徵之間的相互連結； 4.整體地將所有表徵整合。 Skemp 對於數學概念的學習提出兩個原則： 1.超過個人已有的概念階級的高階概念不能用定義的方式來進行溝通，只能蒐集相關的例子、提供其經驗，再靠他自己抽象以形成概念；. 2.在數學中有關的例子有時或多或少又含有其他概念，因此，我們在提供例子時必須先確定學生已經形成這些預先的概念了；楊弢亮(1997)認為正確理解數學概念是掌握數學基礎知識的前提。在教學中，應當從實際事例和學生的已有知識出發引入新的概念。對於容易產生混淆的概念，要引導學生用對比方法認識他們之間的區別和聯繫。又認為數學概念的引入通常採取下列幾種方式：. 1.利用學生的生活經驗； 2.利用教材所提供的感性材料； 3.由定義引入，再用感性材料加以證實； 4.由舊概念引入新概念。由上面學者的論點可以發現，學習新概念必須建築在舊概念之上，同時必須確認這些舊概念在學習者的心中已經是穩固形成了。而本研究中補救教學的教學策略，以學生的舊經驗為基礎，誘使學生產生學習遷移，進而學習到新概念。例如：在教材中，由學生的舊經驗「指數律」，讓學生將對數式轉換為指數式，再以學生所熟悉的指數律解題，除了可以聯結指數與對數之間的關係外，也可減少學生計算上的錯誤，或是作為學生驗算之用。 18.

(28) 四、對數概念在 16 世紀末至 17 世紀初，當時在自然科學領域（特別是天文學）的發展上經常遇到大量精密而又龐大的數值計算，於是數學家們為了尋求化簡的計算方法而發明了對數。德國的 Michael Stifel（1487-1567）在他的著作中，寫出了兩個數列，左邊是等比數列（叫原數），右邊是一個等差數列。. 如果想要求出左邊任兩數的積（商），只要先對應其右邊所對應的代表（指數）之和（差），然後再把這個和（差）對應左邊的一個原數，則此原數即為所求之積（商）。可惜 Stifel 並未作進一步探索，沒有將對數的概念引入。而蘇格蘭數學家及天文學家 John Napier (1550-1617)對數值的計算頗有研究，他所製造的 Napier’s Bones 計算器化簡了乘除法運算，其原理就是以加減來代替乘除法運算，而他在經過二十幾年的苦心研究後，在 1614 年發表了對數及其性質。 1619 年，英國倫敦 John Speidell 使對數與自然對數更接近（以 e=2.71828...為底）。英國的 Henry Briggs 在 1624 年創了常用對數。至於最早傳入中國的對數著作是《比例與對數》，它是由波蘭的穆尼斯（1611-1656）和中國的薛鳳祚在 17 世紀中葉合編而成的。當時符號的表示法在. lg2=0.3010 中，2 叫「真數」，0.3010 叫做「假數」，真數與假數對列成表，故稱對數表。中國清代的數學家戴煦（1805-1860）發展了多種的求對數的捷法，著有《對數簡法》（1845）、《續對數簡法》（1846）等。 19.

(29) 二十世紀以後，開始強調對數的重要，如 Haper (1942)強調中學教師應注重對數的教學。Thomas (1974)指出隨著電腦與電算器的出現，對數在學校課程中的角色改變。所以關於對數的概念及對數的教學也開始有了相關的研究，如：. Mayes(1994)讓學生從繪出指數函數 f ( x) = b x 及對數函數 f ( x) = log b x 的圖形，包含底數 b > 1 與 0 < b < 1 兩種指數函數，進而讓他們去找出指數與對數函數中 x 與 f ( x) 兩者的對應關係，用以讓學生去發現這兩個函數的關係。. Hammack 與 Lyons (1995)提到如何用簡易的方法教「對數」，他們是利用指數函數與對數函數互為反函數的關係，所以由指數的運算求出對數值。這和研究者在補救教學的教材上盡量由指數概念及指數律來引導學生求出對數式的一樣。. Weber (2002)指出指數函數與對數函數在數學概念的重要，由分析學生在指、對數的概念得知，學生對於簡易指數的計算可以輕易的完成，但卻無法說出計算過程的理由，所以他利用先給學生做求值運算的練習，待學生學會了求值運算之後，再由所設計的問題如：描述出這些符號及運算的意義，待學生能正確答出後再進行下一個概念，如此學生的指數及對數的概念學習，可以得到較好的成效。. Weber (2002)又利用引導式學習(Pilot study)的教學法，讓學生能真正了解指數與對數的概念。他藉由大學生做實驗，他先引導一組學生做課前的準備，如利用電腦程式設計指數函數的求值，及指數的運算，學生為寫出合宜的程式須先了解指數概念，而對數的部分則讓學生利用學習單，讓學生找出對數與指數的對應關係，並要求他們去描述出。結果發現，對照於另一組只用傳統教學法的學生，學生在計算上並無太大的差異，但對於指、對數的概念的了解，明顯比較好。由上面學者著作及論述，得知在對數的發展及當代學習對數的重點為何，我們的教學方法可能需要調整，在教導學生學習「對數」時，不再只是公式的記憶及計算能力而已，更需要清楚了解「對數的概念」，而且可以善用「對數」與「指數」的關係來教學。. 20.

(30) 第三節錯誤類型及其成因之相關研究. 一、錯誤類型及成因的相關研究. 早期心理學家認為錯誤有兩種：一種是由於不小心做錯而產生，稱為疏忽. (slips)；另一種是由於學習了錯誤的觀念或程序而產生的，稱為系統性錯誤 (systematic errors)。由於疏忽是由於注意力被分散所導致的(Anderson & Jeffies, 1985)，它的產生被認為是不規則的，所以沒有引起太大的注意。而另一方面，系統性錯誤則被認為是由於某種錯誤知識，或是由於缺乏某些必須知識而引起的，因此較受到研究者的重視。通過對系統性錯誤的研究，可以加深對學習過程的認識，由此認識，又可以用來診斷學生的錯誤，以減少重覆犯錯的可能性（李芳樂，1993）。以下是國內外學者及相關研究，對學生在解題過程中所產生的錯誤類型及錯誤產生的原因的看法： (一) 錯誤類型. 1. Marshall (1983)將學生的解題錯誤分成六大類： (1)處理語言訊息錯誤(errors in processing language information)。 (2)解釋空間訊息錯誤(errors in interpreting spatial information)。 (3)選擇適當步驟的錯誤(errors in selecting appropriate procedures)。 (4)概念聯結的錯誤(errors in making concept association)。 (5)應用不相干的規則或訊息(errors in using irrelevant rules or information)。 (6)不專心(unconcentration)。 2.Mayer (1985)將學生的解題錯誤分成三類： (1)遺漏的錯誤(omission error)乃因對命題不能完整回憶的結果。 (2)細節的錯誤(specification error)是指在陳述句中，一個變數轉換到另外一個變數的能力不足所致，如公升改成公合。. (3)轉換的錯誤(conversion error)無法將關係句的形式轉換為陳述句的形式。 Mayer 指出，此三類錯誤中，以轉換的錯誤最為嚴重，其原因是很多學 21.

(31) 生對關係回憶，缺乏表徵的語言知識所導致。. 3.Engelhardt (1982)將學生運算的錯誤分成四種類型： (1)機械性的錯誤：由於知覺動作困難或動作困難所導致，如：錯誤的符號或排列錯誤。. (2)粗心。 (3)概念化的錯誤：因為缺乏或不正確的概念、原則所導致。 (4)過程性的錯誤：因錯誤的順序或不適當的過程所導致。 4.九章出版社(1995)在「錯解辨析」一書中將學生的錯誤類型分為以下四種： (1)由於概念不清產生的錯誤：包含概念實質模糊、混淆相似概念及循環定義概念等產生的錯誤。. (2)由於推理無據產生的錯誤：包含臆造定理、濫用法則、循環論證、論證不足及方法不對等產生的錯誤。. (3)由於忽視條件所產生的錯誤：包含忽視概念中的隱含條件、忽視所使用的定理、公式、法則的適用條件、忽視取值範圍的變化、忽視約束條件中的隱含條件、忽視條件的充分性與必要性、錯誤理解條件、遺漏或濫加條件、忽視結論特徵中的隱含條件、把給定的一般條件特殊化等產生的錯誤。. (4)由於考慮不周產生的錯誤：包含審題馬虎、形式套用、顧此失彼、忽視特例、以偏概全及檢驗不當等產生的錯誤。綜觀上述研究，本研究所指的學生錯誤類型可能包括：粗心、基本概念不清楚、使用錯誤的運算規則、缺少檢驗工作忽略答案合理性等。 (二) 錯誤產生的原因呂溪木(1983)認為錯誤概念的產生，可能源自學生日常生活經驗的自我學習所得；也可能來自於學生對老師機械式教學的一知半解。張鳳燕(1991)認為學生在接受數學、科學或其他教學之前，並不處於一張空白的思想狀態，而能就老師所敎，完全加以學習。由認知心理學的研究結果，得知學生會主動建構或「發明」知識，此一「發明」會受到先前學習知識的影響。學生先前的學習對於其當前的. 22.

(32) 學習，可能有正向的影響，也可能產生干擾。學生的先前知識有時與正統概念相去甚遠，此時，此種生手理論將會干擾課堂學習，不僅影響最後解答，也影響思考過程，形成錯誤概念。楊弢亮(1997)認為學生發生錯誤，主要原因是對概念、定理等理解不透徹和掌握的不正確、不完整。以下是國內外學者對於學生錯誤產生的原因的相關研究論述：. 1.Hinsley、Hayes 與 Simon (1977)指出學生形成代數錯誤的原因有： (1)使用不當的基模(using inappropriate schema) (2)做了錯誤的估計(making faulty estimates) (3)未能有效地使用類比(failure to use analogies effectively) 2.Radatz (1979)以認知理論中的訊息─過程模式，把數學上的錯誤歸因如下： (1)語言困難導致錯誤(language difficulties ) (2)空間訊息獲得的困難(difficulties in obtaining spatial information) (3)不精熟先備的技能、運算和概念(deficient mastery of pre-requisite skills) (4)聯想的錯誤或僵固思考(incorrect associate or rigidity of thinking) (5)使用不當的規則或策略(application of irrelevant rules or strategies) 3.Sutton 與 West (1982)曾提出產生錯誤概念的可能原因為： (1)與生俱來的；(2)從日常生活來的；(3)隱喻而來的；(4)類比產生；(5)同儕文化；(6)正式或非正式的教學；(7)字義的聯想、混淆、衝突或缺乏知識。. 4.Gagne (1985)認為數學計算錯誤的發生可能是因為用了錯誤的規則或是缺乏先備知識。前者可由這些錯誤類型的封閉測驗鑑定出來；後者則可藉設計測驗各類預備知識地考試來鑑定。. 5.Resnick (1989)的研究指出，錯誤演算規則的產生主要有兩個原因： (1)學習者把學過的演算規則類化並外推到其他的情境。 (2)遺忘演算公式或規則的限制(constraints)。 6.MIZ 模式(Movshovitz, Inbar, & Zaslavsky, 1987)是以色列數學家分析大學聯考的資料，依推論將錯誤原因分為以下六類： 23.

(33) (1)誤用資料(misused data)：作答時所用資料與原有資料不符。 (2)誤釋語文(misinterpreted language) 原文整理後轉譯到數學語言時所產生的錯誤。如：圖形、符號或方程式的表達錯誤。. (3)不合邏輯的推理(logically invalid inference)：邏輯推理方面的錯誤。 (4)歪曲的定理或定義(distorted theorem or definition)：曲解已知的定理或定義的原則。. (5)未驗證的答案(unverified solution)：此類錯誤是指答案未經檢查、證明或驗算。. (6)技術上的錯誤(technical error)：計算上的錯誤。 7.陳麗玲(1993)提出的錯誤原因有： (1)做了錯誤的估計。 (2)僵固思考。 (3)誤用資料。 (4)技術上的錯誤。 (5)新知識與舊經驗做錯誤的聯結或類推。 (6)不合邏輯的推理。綜觀上述研究，本研究中學生錯誤產生的原因可能會有：誤釋語文、遺忘演算公式或規則的限制、新知識與舊經驗做錯誤的聯結或類推及計算錯誤。預先了解這些錯誤可能發生的原因，可以幫助在研究中對學生真正錯誤原因的發掘有參考的方向，也更能發現學生錯誤產生的真正原因。而以其發生原因所設計的補救教學和教材，才能發揮最大的改善和學習效益。. 二、對數基本概念及其運算性質之錯誤類型與錯誤成因的相關研究. 陳建蒼(民 90)對數函數概念層次教學成效研究，針對學生的對數函數另有概念的類型與成因提出個別化補救教學策略，其中另有概念的類型有五個：. 1.對數函數的定義； 2.對數函數符號的運用； 24.

(34) 3.對數函數的運算性質； 4.先備知識(指數)的引申； 5.圖形的概念。劉怡蘭(民 90)高雄地區高中生對數運算錯誤類型之研究，發現學生的錯誤原因主要為： 1.因概念不清產生的錯誤；. 2.受先前學習過的知識或本單元學習經驗的影響做錯誤的推論； 3.忽略、遺漏或誤加條件； 4.相似概念原則混淆； 5.受題目設計及編排方式的影響； 6.教學、口訣的影響； 7.缺乏先備知識； 8.粗心計算或書寫的錯誤。沈長榮(民 92)高中對數單元錯誤類型分析之研究，主要針對對數基本概念及對數基本性質運算兩部分，提出以下幾點結論：. 1.學生對於對數較為陌生，不易接受，且不瞭解本身的意義，因而對數發展較困難；. 2.學生因指數函數概念及對數定義概念不足，導致對數的底數和真數的限制，混淆不清；. 3.學生對於符號的書寫，常會忽略底數、真數及次方之字體大小、位置，於是造成學生對題目的誤判，容易產生錯誤；. 4.對於試題中出現文字符號或題目稍複雜，尤其多個對數組合時，則答對率偏低、空白率較高。. 5.學生對數性質誤用情形不少，對數運算之性質多屬模糊或背誦，尤其遇到運算中多個性質時，更容易發生錯誤及降低作答之意願；. 6.由於先備知識不足，學生面對指、對數混合之題型容易錯用指數律和對數性質。洪榮平(民 95)高中生對數概念、運算及應用之分析—錯誤類型與解題歷程，發現對數概念、運算錯誤原因有： 25.

(35) 1.對數基本概念錯誤原因. (1)無法對對數定義的意涵作切確的掌握或錯誤的去詮釋對數概念的意義； (2)使用對數概念時疏忽、遺忘條件； (3)指數的先備知識與運算能力不足； (4)不合邏輯的直觀錯誤。 2.對數運算的錯誤原因 (1)教師對數教學未在學生心中建立心靈影像； (2)錯誤的類化或不當的推廣與延伸； (3)對數運算過程中考慮不夠周延，遺漏條件； (4)表面學習與機械式記憶對數運算規則； (5)缺乏自我檢視、反省與調整等監控能力； (6)指數運算先備知識不足或數字計算能力不佳； (7)教師缺少完整的概念說明或不當使用口訣。陳韻婷(95)高一學生對數函數概念之研究，分別就教師與學生的觀點來探討對數函數的迷思概念：. 1.教師認為學生對數函數的迷思概念： (1)不瞭解當 a > 0 且 a ≠ 1 時，「 a loga b = b 」；. s = log a s − log a t 」； t 1 」； (3)不能運用「 log a b = log b a. (2)不能運用「 log a. (4)不瞭解當 0 < a < 1 時，「 log a x > log a y ⇔ 0 < x < y 」； (5)不瞭解對數圖形的變化及對稱方式。 2.由教師所提設計題目，再就學生的高、中、低能力群分別就下列三類討論： (1)對數函數基本定義的迷思概念； (2)對數函數運算及圖形的迷思概念； (3)對數函數迷思概念的形成原因。以上的研究，列出了學生在學習對數基本概念及其運算性質時會產生的錯誤類型，當中可以發現學生較常出現的錯誤類型有：指數的先備知識與運算能力不 26.

(36) 足、對數的底數和真數的限制易淆不清、舊經驗的影響做錯誤的推論、教師缺少完整的概念說明或不當使用口訣等。以上學生常犯錯誤類型，可做為本研究在設計開放性試題時的參考。另外針對產生這些錯誤類型的成因做探討的研究並不多，因此本研究將對產生錯誤的成因做詳細的討論，並依照這些成因來設計補救教學活動及教材。. 27.

(37) 第四節補救教學之理論基礎本研究以 Piaget 的認知發展理論、Ausubel 的有意義學習理論及 Vygotsky 的鷹架理論，作為補救教學之理論基礎。分別說明如下：一、Piaget 的認知發展理論在 Piaget 的認知發展理論中，有幾個主要的概念：. 1.基模(schema)：Piaget 認為個體會運用與身俱有的基本行為模式來對環境中的事物做出反應，而獲得知識，這種以身體感官為基礎的行為模式，可視為個體用以了解周圍環境的認知結構(cognitive structure)，這認知結構則稱為基模。Piaget 將基模視為人類吸收知識的基本架構，因而將認知發展或者智力發展，均解釋為個體的基模隨年齡增長而產生的改變。當基模與環境或基模與基模彼此之間經由交互作用後，就會再形成另一個認知的基模。. 2.「適應」(adaptation)：就是指的是個體改變基模以適合環境要求的心理歷程。在此過程中會產生兩種彼此互補的心理，分別為「吸收同化(assimilation)」和「調適順應(accommodation)」。「吸收同化」是指個體運用其既有基模解決問題時，將遇見的新事物吸納入既有基模，將此新事物同化在他既有基模之內，成為新的知識。「調適順應」則是指外界的事物或知識與原來的認知結構不一致時，個體就必須改變原來的認知結構，以順應外界新的環境。. 3.認知衝突(cognitive conflict)：當知識的傳入與學習者現有的認知結構不一致時，認知結構即失去平衡，造成認知衝突。此時學習者為了解決認知衝突會產生調適順應進而引起概念改變，讓認知結構達到新的平衡。. 4.平衡化(equilibration)：當外在客觀的環境與個體認知的結構不一致時，心理就會感到「失衡(disequilibration)」。此時個體為就必須重新加以吸收同化或調適順應，使其擴大組織為另一個新的認知結構，以恢復平衡，這樣的過程就稱作「平衡化」。. 28.

(38) 二、Ausubel 的有意義學習理論. Ausubel所提倡的學習類型： (一)有意義或機械式學習「有意義的學習」是指學習者能知覺到新的學習內容和學習者原有認知結構中的舊知識有所關聯，並能將新舊知識連結，經學習後，內化為認知結構的一部分。「機械式學習」是指學習者無法將新的學習內容與其舊經驗連結，於是偏重機械式練習及零碎知識的記憶。這種學習方式，即使知識被記住，但仍無法融入學習者的原有認知結構。. Ausubel將「有意義的」與「機械的」學習視為一個連續的向度，他認為許多的學習是兼具「有意義的」與「機械的」兩種性質，只是程度的多寡而已。. (二)接受式或發現式學習「接受式學習」是指學習內容經教師組織後，以最後的形式呈現，提供給學習者。「發現式學習」是指鼓勵學習者自行操作、探索，以發現學科所隱含的組織結構。同樣的「接受式學習」與「發現式學習」是並容於同一個學習的過程中。. (三)前導組織(Advance Organizer) Advance Organizer 意指教師在教導學生學習新知識之前，教師宜先了解學生已有的知識基礎，若學生的舊知識不足時，教師則利用前導組織來協助學生與新學的知識引導連結，增強學生學習的效果。. Ausubel提到為了進行有意義的學習的，必須具備以下三種條件： 1.學習材料本身必須具備邏輯意義：指學習材料本身可以提供學習者在能力範圍內，以有邏義意義的方式聯結其知識結構。. 2.先備知識（prior knowledge）：有意義的學習，只能產生在學生的先備知識基礎上教他們學習新的知識，也就是說只有考量學生能力與經驗的教學，學生才能產有意義的學習。. 3.學習者是須具有學習的意向：學習者必須為自己的學習負起責任，願意主動嘗試將新知識與既存的概念架構作聯結，以建構起有意義的理解。. 29.

(39) 所以學習要能夠變成ㄧ項有意義的活動，學習者必須要有足夠的「先備知識」、具備主動學習的意向，再加上使用有意義的學習教材，整個活動就容易被引導進入有意義的學習行為中。學習者也就容易將新學習的知識或概念，快速地與既有的舊知識與舊經驗作聯結，統整成為一個更大、更廣的知識結構，以作為後續學習的「先備知識」。三、Vygotsky 鷹架理論：. Vygotsky認為人類的認知發展過程是經由「內化」或「行動的遷移」，將社會意義及經驗轉變成個人內在的意義。Vygotsky將認知的發展分成實際的發展層次以及潛在的發展層次，在這兩個層次之間的差距，Vygotsky稱為「近側發展區. (zone of proximal development，簡稱ZPD)」，而「鷹架(scaffolding)」一詞，則是由ZPD的理念發展而來。為了幫助處於實際發展層次的學習者，跨越近側發展區，進而達到潛在的發展層次，此時所提供的協助就稱為「鷹架」。鷹架在學習上提供的支援有：1.引發學童參與；2.指出所欲學習事物的關鍵特徵；3.示範；4.減輕學習時的負擔；5.進行學習活動方向管理；6.掌控學習過程挫折。鷹架理論有三個重要概念：1.在近側發展區裡，鷹架提供者(教師)和接受者(學生)之間的關係是互惠的，所謂的互惠是指教師所要提供的學習支持和學習者的互動回饋應該是經由彼此協商所決定。2.學習的責任應在過程中逐漸由教師轉移至學習者，而其轉移時機則應視學習的實際情況而定。3.在教師與學生間的溝通語言是促進學習者反思與認知的橋樑。在實際教學活動中，教師必須依據教材的內容以及學習者的特性，提供學習者在學習過程中所需的鷹架，而且這個鷹架的支持程度應該隨著學習者在實際學習的情況不斷修正調整。因此，本研究參考上述理論，使用 Treagust 提出的雙層式診斷測驗(two-tier)，發展出二階段評量試題來偵測出學生的錯誤概念。在補救教學時，參考 Piaget 的說法，對於改善學生的迷思概念及錯誤類型的教學策略，採用的是讓學生產生認知衝突，使學生原有的認知結構失去平衡狀態，進而有機會進行吸收同化與調適順應，來達成新的平衡狀態；而在重新學習正確概念時，根據 Ausubel 有意義學習理論，研究者以學生既有的舊知識與舊經驗為基礎，讓 30.

(40) 學生能夠將新學習的知識或概念與舊有的知識與經驗作聯結，使學生進行有意義的學習；在教學策略上，先以例示化教學策略讓學生獲得正確的概念，再交替使用屬性描述化教學策略，讓學生學習更有成效；學生學習過程中，也藉由鷹架的功能，幫助處於實際發展層次的學習者，跨越近側發展區，進而達到潛在的發展層次。. 四、補救教學的理論. 「補救教學」是指教師經由評量後，發現學生有學習困難，診斷出學生的問題，再針對問題設計一系列適切合宜的教學活動，或改進教學策略，以幫助未達成教學目標或學習有困難的學生進行再次學習，來克服學習障礙，達成學習目標。也就是說，補救教學基本上是種診斷模式，其重點在於瞭解學生的學習困難後，設計適合的課程內容及慎選有效的教學策略，來改善學生的學習困難。補救教學所採用的就是「評量─教學─再評量」的循環歷程。張新仁(2000)把補救教學的歷程分成三個階段：. 1. 藉由篩選，診斷出需要進行補救教學的對象。 2. 透過學生的評量資料，來瞭解學生在學習時所遭遇的困難，以求對症下藥。 3. 根據診斷的結果擬定教學策略，設計適合學生的補救教學活動。而許天威(民 75)指出補救教學大致上有三個要素必需依照一定的程序來進行：. 1. 瞭解學生的學習能力與學習成就。 2. 依據診察的實情作為教學上的處置。 3. 隨時檢驗治療的後果，認清療效以便檢討診察與教學處置的有關措施，作必要的診治方面的調整。整個過程必須重視補救教學對象資料的蒐集、診斷評量，以及在補救教學後的測驗，以瞭解學生接受補救教學後的實際學習狀況，期望在補救教學實施之後，學生可以跟上原先的教學進度，並且能夠幫助學生日後的學習。本研究的目的是探討高中生在對數概念及其運算性質的錯誤類型及其原因，並針對其成因設計補救教學教材，進行補救教學活動。以下針對補救教學課程及教學設計的原則、補救教學適用的教學策略以及補救教學課程內容的類型， 31.

(41) 分別進行探討。. 一、補救教學課程及教學設計的原則. 張新仁(2000)指出補救教學的課程設計，首先要考量學習的原則：由易至難、由簡而繁，從已學到未學等，才能建立學生的自我信心與動機。其次，課程應該具有高度的結構性，同時學習目標需明確與具體，才能掌握學習的重心。此外，學習活動的設計要考量學生的能力、學習動機、學生的接受程度。對中低程度的學生來說，宜簡化教材，學習活動應富有變化，具趣味性。設計一套好的補救教學課程，是達成補救教學成效的最主要基礎。杜正治(民 82)認為一般補救教學的課程設計，應考慮下列項目： (一) 基本能力分析任何學科目標的達成，需要一定程度的心智能力，包括注意力、理解力、記憶力、觀察力、知覺力以及想像力等。相關能力的不足必然造成學習的困難，因此在設計補救教學課程時，要先考量學生的相關能力，再配合教材與教法，如此才能事半功倍。 (二) 評量學科能力在進行補救教學前，需要先對學科的學習能力進行試測與評量，以作為課程設計的依據，然而學科能力的評量大多是成就評量，例如單字的記憶與瞭解、句子結構的理解、文章閱讀能力、寫作能力測驗等。 (三) 評量學習動機學習動機往往會影響學習成就，因此在進行補救教學之前，教師應該先瞭解學生學習動機的強弱。一方面設法對缺乏學習動機的學生提供外在的增強，另一方面可以考慮學習動機強的低成就學生為優先補救的對象。 (四) 擬定課程目標課程目標的研擬決定教學方法的選擇，也關係到教學的成效。然而教師在擬定課程目標時，要先了解學生的學習能力以及學習的客觀條件。此外，課程目標的訂定，務必指出學習對象、學習的內容、行為的標準、教學方法以及評量的方 32.

(42) 式。 (五) 選擇適合受試者能力的教材有效的補救教學課程設計，宜根據學生的程度選擇合適的教材，包括：訓練有效的學習策略、簡化原有教科書內容、另行編選坊間的教材、自行重新設計教材。至於成功的補救教學進行原則，綜合學者(李翠玲，民 82；徐美貞，民 82；. Olivares, 1993；Otto, McMenemy & Smith, 1973)的主張如下：(1)徵求學生參加的意願；(2)根據學生的學習程度教學；(3)循序漸進、小步驟進行；(4)提供回饋和安排增強；(5)使學習教材有意義；(6)協助記憶；(7)將學生安排為合作式小團體的學習；(8)提供充分而多樣化的練習機會；(9)建立成功的經驗；(10)激勵學習動機；(11)可使用電腦多媒體、多元化的教具，以提高學生的學習興趣；(12)建立良好的師生關係。綜合相關研究文獻的探討，本研究在發展對數概念及其運算性質的補救教學活動設計時，將考量到研究對象的先備知識與迷思概念，確立教學目標並且融入教學理念，擬定教學活動設計，規劃安排學習活動、配合學習單的使用及教師佈題，營造整個教學情境的佈置。. 二、補救教學適用的教學策略. 國外學者(Slavin, 1989；McLaughlin & Vacha, 1992)與國內學者張新仁(2000) 指出，使用直接教學法、合作學習、精熟教學及個別化教學等課程計畫，能夠有效幫助低成就的學生(張新仁，2000)。 (一) 直接教學模式(the direct instruction model) 直接教學模式適用於教導學生記憶事實，學習動作技能，以及簡單的讀、寫、算技能。Rosenshine 和 Madeline Hunter 是主要的提倡者，他們主張，教師主要負起組織教材與呈現教材的責任，學生主要的任務式在接受學習。直接教學模式的教學步驟如下(張新仁，民 84)：. 1.恢復舊有相關知識。. 33.

(43) 2.呈現新的教材。呈現新的教材包括：(1)陳述教學目標；(2)組織教材，一次教一個重點；(3)示範個別步驟；(4)教完一個步驟，立即檢查是否學會。. 3.學生在教師的指導下做練習。 4.提供回饋和校正。 5.學生獨立做練習。 6.每週和每月作總複習。 (二) 精熟教學模式(the mastery teaching model) 精熟教學模式的基本理念是：每個人的學習速度快慢不同。教學時只要列出要求學生精熟的標準，並給予學生足夠的時間，則幾乎所有智力正常的學生，都能精熟大部分的學習內容。精熟教學模式適用於中、小學團體教學的情境，適用的教材性質兼及認知和動作技能兩種，但所涉及的層次不高。其中以 Bloom 的精熟教學模式最常為人所引用。精熟教學法主張基本上教師能夠協助學生學得好，學得快，學得有信心。可以使遲緩及缺乏動機的學生變的有效率，充滿學習自信。學生因而改變了學習的情緒，獲得了基本的技能，有助於學習。張新仁(民. 84)指出精熟教學模式的流程為： 1.引導階段在此階段要告訴學生，精熟教學的實施方法和成績評定方式，重點有：. (1)每位學生根據事先訂定的標準評定成績，不須和其他學生作比較。 (2)凡是達到此一標準的學生即可得 A，人數沒有限制。 (3)不須和其他學生作比較。 (4)在學習過程中要接受一系列的評量，並根據提供的回饋，了解自己學習困難的所在。. (5)如有學習困難，必須參加補救教學或其他方式的學習。 2.正式教學階段 (1)將教材分成若干單元，擬定每一單元的具體目標和精熟的標準。 (2)進行班級教學。 (3)每一單元教學結束後實施第一次測驗，並提供回饋。 (4)未達教師事先訂定經熟標準的學生，要參加補救教學，重新學習原教材，然後再接受該單元的第二次測驗。若有少數學生再次未通過，則 34.

(44) 利用課餘時間接受其他學習活動。. (5)至於達到精熟的學生，則參加其他充實性的學習活動。 (6)全班共同進行下一單元的教學。由教師來決定教學進度。 (三)個別化教學模式( the individualized instruction model ) 個別化教學並不是個別教學，而是一種試圖打破僵化的班級教學，創新教學設計，靈活教學活動，使其在功能尚能夠發揮適應個別差異的效果(林生傳，. 1989)。在大班級教學情境下，為了適應學生個別差異的學習性，所採取的各種有效的教學策略，可以說是由一位教師針對幾位學生的獨特性趣、能力、性向、習慣或學習困難等條件，分別提供不同的充實學習活動(林寶山，1989)。個別化教學模式的理念和部分作法，雖然和精熟教學模式相似，但最主要的差異在於：個別化教學模式主張由學生根據教材個別學習，且學習進度由學生自行決定。而精熟教學模式主張由教師進行團體教學，且學習進度是由教師決定。. (四)合作式學習模式( the cooperative learning model ) 傳統的一般教學重視學生個人間的競爭，合作式學習則強調透過小組內合作學習的方式來精熟學習內容。主要的倡導人物有 Slavin 提出與人合作是一種有系統、有結構的教學方法以及 Jonhson & Jonhson 認為活做學習是要互相討論、幫忙、分享。張新仁(1995)指出合作式學習模式的特色有：. 1.異質分組：將不同性別、能力、種族、社經背景的學生作混合編組。 2.建立相互信賴：鼓勵學生互助合作，你需要別人，別人也需要你。 3.重視小組獎勵：只要小組表現達到預定的標準，便可獲得獎勵。而其教學成效有：. 1.增進學業成績。 2.學習人際交往的技巧(social skill)，及合作行為。 3.接納不同背景的同儕。本研究主要是採用直接教學模式來進行二次方根的意義與四則運算的補救教學活動。. 35.