第二章 文獻探討
第三節 錯誤類型及其成因之相關研究
一、錯誤類型及成因的相關研究
早期心理學家認為錯誤有兩種：一種是由於不小心做錯而產生，稱為疏忽 (slips)；另一種是由於學習了錯誤的觀念或程序而產生的，稱為系統性錯誤 (systematic errors)。由於疏忽是由於注意力被分散所導致的(Anderson & Jeffies, 1985)，它的產生被認為是不規則的，所以沒有引起太大的注意。而另一方面，
系統性錯誤則被認為是由於某種錯誤知識，或是由於缺乏某些必須知識而引起 的，因此較受到研究者的重視。通過對系統性錯誤的研究，可以加深對學習過程 的認識，由此認識，又可以用來診斷學生的錯誤，以減少重覆犯錯的可能性（李 芳樂，1993）。
以下是國內外學者及相關研究，對學生在解題過程中所產生的錯誤類型及錯 誤產生的原因的看法：
(一) 錯誤類型
1. Marshall (1983)將學生的解題錯誤分成六大類：
(1)處理語言訊息錯誤(errors in processing language information)。
(2)解釋空間訊息錯誤(errors in interpreting spatial information)。
(3)選擇適當步驟的錯誤(errors in selecting appropriate procedures)。
(4)概念聯結的錯誤(errors in making concept association)。
(5)應用不相干的規則或訊息(errors in using irrelevant rules or information)。
(6)不專心(unconcentration)。
2.Mayer (1985)將學生的解題錯誤分成三類：
(1)遺漏的錯誤(omission error)乃因對命題不能完整回憶的結果。
(2)細節的錯誤(specification error)是指在陳述句中，一個變數轉換到另外一 個變數的能力不足所致，如公升改成公合。
(3)轉換的錯誤(conversion error)無法將關係句的形式轉換為陳述句的形式。
Mayer 指出，此三類錯誤中，以轉換的錯誤最為嚴重，其原因是很多學
生對關係回憶，缺乏表徵的語言知識所導致。
3.Engelhardt (1982)將學生運算的錯誤分成四種類型：
(1)機械性的錯誤：由於知覺動作困難或動作困難所導致，如：錯誤的符號 或排列錯誤。
(2)粗心。
(3)概念化的錯誤：因為缺乏或不正確的概念、原則所導致。
(4)過程性的錯誤：因錯誤的順序或不適當的過程所導致。
4.九章出版社(1995)在「錯解辨析」一書中將學生的錯誤類型分為以下四種：
(1)由於概念不清產生的錯誤：包含概念實質模糊、混淆相似概念及循環定 義概念等產生的錯誤。
(2)由於推理無據產生的錯誤：包含臆造定理、濫用法則、循環論證、論證 不足及方法不對等產生的錯誤。
(3)由於忽視條件所產生的錯誤：包含忽視概念中的隱含條件、忽視所使用 的定理、公式、法則的適用條件、忽視取值範圍的變化、忽視約束條件 中的隱含條件、忽視條件的充分性與必要性、錯誤理解條件、遺漏或濫 加條件、忽視結論特徵中的隱含條件、把給定的一般條件特殊化等產生 的錯誤。
(4)由於考慮不周產生的錯誤：包含審題馬虎、形式套用、顧此失彼、忽視 特例、以偏概全及檢驗不當等產生的錯誤。
綜觀上述研究，本研究所指的學生錯誤類型可能包括：粗心、基本概念不清 楚、使用錯誤的運算規則、缺少檢驗工作忽略答案合理性等。
(二) 錯誤產生的原因
呂溪木(1983)認為錯誤概念的產生，可能源自學生日常生活經驗的自我學習 所得；也可能來自於學生對老師機械式教學的一知半解。張鳳燕(1991)認為學生 在接受數學、科學或其他教學之前，並不處於一張空白的思想狀態，而能就老師 所敎，完全加以學習。由認知心理學的研究結果，得知學生會主動建構或「發明」
知識，此一「發明」會受到先前學習知識的影響。學生先前的學習對於其當前的
學習，可能有正向的影響，也可能產生干擾。學生的先前知識有時與正統概念相 去甚遠，此時，此種生手理論將會干擾課堂學習，不僅影響最後解答，也影響思 考過程，形成錯誤概念。楊弢亮(1997)認為學生發生錯誤，主要原因是對概念、
定理等理解不透徹和掌握的不正確、不完整。
以下是國內外學者對於學生錯誤產生的原因的相關研究論述：
1.Hinsley、Hayes 與 Simon (1977)指出學生形成代數錯誤的原因有：
(1)使用不當的基模(using inappropriate schema) (2)做了錯誤的估計(making faulty estimates)
(3)未能有效地使用類比(failure to use analogies effectively)
2.Radatz (1979)以認知理論中的訊息─過程模式，把數學上的錯誤歸因如下：
(1)語言困難導致錯誤(language difficulties )
(2)空間訊息獲得的困難(difficulties in obtaining spatial information)
(3)不精熟先備的技能、運算和概念(deficient mastery of pre-requisite skills) (4)聯想的錯誤或僵固思考(incorrect associate or rigidity of thinking)
(5)使用不當的規則或策略(application of irrelevant rules or strategies) 3.Sutton 與 West (1982)曾提出產生錯誤概念的可能原因為：
(1)與生俱來的；(2)從日常生活來的；(3)隱喻而來的；(4)類比產生；(5)同儕文 化；(6)正式或非正式的教學；(7)字義的聯想、混淆、衝突或缺乏知識。
4.Gagne (1985)認為數學計算錯誤的發生可能是因為用了錯誤的規則或是缺乏先 備知識。前者可由這些錯誤類型的封閉測驗鑑定出來；後者則可藉設計測驗各 類預備知識地考試來鑑定。
5.Resnick (1989)的研究指出，錯誤演算規則的產生主要有兩個原因：
(1)學習者把學過的演算規則類化並外推到其他的情境。
(2)遺忘演算公式或規則的限制(constraints)。
6.MIZ 模式(Movshovitz, Inbar, & Zaslavsky, 1987)是以色列數學家分析大學聯考 的資料，依推論將錯誤原因分為以下六類：
(1)誤用資料(misused data)：作答時所用資料與原有資料不符。
(2)誤釋語文(misinterpreted language) 原文整理後轉譯到數學語言時所產生的 錯誤。如：圖形、符號或方程式的表達錯誤。
(3)不合邏輯的推理(logically invalid inference)：邏輯推理方面的錯誤。
(4)歪曲的定理或定義(distorted theorem or definition)：曲解已知的定理或定義的 原則。
(5)未驗證的答案(unverified solution)：此類錯誤是指答案未經檢查、證明或驗 算。
(6)技術上的錯誤(technical error)：計算上的錯誤。
7.陳麗玲(1993)提出的錯誤原因有：
(1)做了錯誤的估計。
(2)僵固思考。
(3)誤用資料。
(4)技術上的錯誤。
(5)新知識與舊經驗做錯誤的聯結或類推。
(6)不合邏輯的推理。
綜觀上述研究，本研究中學生錯誤產生的原因可能會有：誤釋語文、遺忘演 算公式或規則的限制、新知識與舊經驗做錯誤的聯結或類推及計算錯誤。預先了 解這些錯誤可能發生的原因，可以幫助在研究中對學生真正錯誤原因的發掘有參 考的方向，也更能發現學生錯誤產生的真正原因。而以其發生原因所設計的補救 教學和教材，才能發揮最大的改善和學習效益。
二、對數基本概念及其運算性質之錯誤類型與錯誤成因的相關研究
陳建蒼(民 90)對數函數概念層次教學成效研究，針對學生的對數函數另有概 念的類型與成因提出個別化補救教學策略，其中另有概念的類型有五個：
1.對數函數的定義；
2.對數函數符號的運用；
3.對數函數的運算性質；
4.先備知識(指數)的引申；
5.圖形的概念。
劉怡蘭(民 90)高雄地區高中生對數運算錯誤類型之研究，發現學生的錯誤原 因主要為：
1.因概念不清產生的錯誤；
2.受先前學習過的知識或本單元學習經驗的影響做錯誤的推論；
3.忽略、遺漏或誤加條件；
4.相似概念原則混淆；
5.受題目設計及編排方式的影響；
6.教學、口訣的影響；
7.缺乏先備知識；
8.粗心計算或書寫的錯誤。
沈長榮(民 92)高中對數單元錯誤類型分析之研究，主要針對對數基本概念及 對數基本性質運算兩部分，提出以下幾點結論：
1.學生對於對數較為陌生，不易接受，且不瞭解本身的意義，因而對數發展較困 難；
2.學生因指數函數概念及對數定義概念不足，導致對數的底數和真數的限制，混 淆不清；
3.學生對於符號的書寫，常會忽略底數、真數及次方之字體大小、位置，於是造 成學生對題目的誤判，容易產生錯誤；
4.對於試題中出現文字符號或題目稍複雜，尤其多個對數組合時，則答對率偏 低、空白率較高。
5.學生對數性質誤用情形不少，對數運算之性質多屬模糊或背誦，尤其遇到運算 中多個性質時，更容易發生錯誤及降低作答之意願；
6.由於先備知識不足，學生面對指、對數混合之題型容易錯用指數律和對數性質。
洪榮平(民 95)高中生對數概念、運算及應用之分析—錯誤類型與解題歷程，
發現對數概念、運算錯誤原因有：
1.對數基本概念錯誤原因
(1)無法對對數定義的意涵作切確的掌握或錯誤的去詮釋對數概念的意義；
(2)使用對數概念時疏忽、遺忘條件；
(3)指數的先備知識與運算能力不足；
(4)不合邏輯的直觀錯誤。
2.對數運算的錯誤原因
(1)教師對數教學未在學生心中建立心靈影像；
(2)錯誤的類化或不當的推廣與延伸；
(3)對數運算過程中考慮不夠周延，遺漏條件；
(4)表面學習與機械式記憶對數運算規則；
(5)缺乏自我檢視、反省與調整等監控能力；
(6)指數運算先備知識不足或數字計算能力不佳；
(7)教師缺少完整的概念說明或不當使用口訣。
陳韻婷(95)高一學生對數函數概念之研究，分別就教師與學生的觀點來探討 對數函數的迷思概念：
1.教師認為學生對數函數的迷思概念：
(1)不瞭解當
a > 0
且a ≠ 1
時，「a
logab = 」；b
(2)不能運用「logas
loga logas t
t
= − 」；(3)不能運用「 1 loga
b
logb=
a
」；(4)不瞭解當
0 < < a 1
時，「logax
>logay
⇔ < < 」； 0x y
(5)不瞭解對數圖形的變化及對稱方式。2.由教師所提設計題目，再就學生的高、中、低能力群分別就下列三類討論：
(1)對數函數基本定義的迷思概念；
(2)對數函數運算及圖形的迷思概念；
(3)對數函數迷思概念的形成原因。
以上的研究，列出了學生在學習對數基本概念及其運算性質時會產生的錯誤 類型，當中可以發現學生較常出現的錯誤類型有：指數的先備知識與運算能力不
足、對數的底數和真數的限制易淆不清、舊經驗的影響做錯誤的推論、教師缺少 完整的概念說明或不當使用口訣等。以上學生常犯錯誤類型，可做為本研究在設 計開放性試題時的參考。另外針對產生這些錯誤類型的成因做探討的研究並不 多，因此本研究將對產生錯誤的成因做詳細的討論，並依照這些成因來設計補救 教學活動及教材。