學生在補救教學活動的前、後測結果比較分析

為了瞭解補救教學活動對於改善學生的錯誤是否有所幫助，本節將針對所有 參與補救教學活動的42 名高一學生，在「對數概念及其運算性質」二階段評量 前測、後測的各題答對率、個人答題情形及錯誤類型的變化作進一步探討。

ㄧ、參與補救教學的學生於前測、後測各題答題分析

為了瞭解參與補救教學的學生於前測、後測各題的答題情形，特將他們於「對 數概念及其運算性質」二階段評量前測、後測中各題的答對率列表並畫折線圖表 示。表4-2 為前測、後測的各題答對率做 McNemar 檢定的結果；圖 4-1 為前測、

後測的各題答題答對人次折線圖：

表4-2

前測、後測的各題答對率及答題差異情形

題號 前測答對率(%) 後測答對率(%) McNemar test P 值 1 76.2 97.6 0.004**

2 45.2 81.0 0.001**

3 57.1 97.6 0.000**

4 21.4 85.7 0.000**

5 11.9 66.7 0.000**

6 59.5 88.1 0.002**

7 61.9 90.5 0.000**

8 57.1 95.2 0.000**

9 71.4 92.9 0.022*

10 50.0 95.2 0.000**

11 26.2 57.1 0.004**

12 35.7 66.7 0.002**

13 45.2 64.3 0.077 14 26.2 64.3 0.001**

15 28.6 38.1 0.424

（有*者，表示前、後測差異的 P 值達 0.05 的顯著水準；有**者，表該題 P 值達

(C) ⁹ _{9 9}

9

log 27

log (27 3) log 24 log 3 = − = ，

9 9 9 9

3 1

2 2 3 1

log 27 log 3 log 9 log 9 1

− = − = − = 2 2 (D) 可由log

log log log

a

a a

a

b b c

c

= − 的運算性質得知

(E) 其他： (請寫出

15．「若log₃

x

² =log 4₃ ，則

x = ± 2

」是否正確？ □ 是 □ 否 理由選項：

(A) 由log₃

x

² =log 4₃ ⇒

x

² = ⇒ = ± 4

x

2

(B) 因為，將

x = − 2

代入左式log ( 2)₃ − ² =2log ( 2)₃ − ，真數

− < 2 0

不合，

將

x = 2

代入左式log 2₃ ² =2log 2₃ ，真數

2 0 >

合，所以

x = 2

(C) 因為log₃

x

² =2log₃

x

，而 log 4 2log 2₃ = ₃ ，所以

3 3

2log

x

=2log 2⇒ =

x

2

(D) 將

x = − 2

代入左式=log ( 2)₃ − ² =2log ( 2)₃ − ，

而右式=log 4 log 2₃ = ₃ ² =2log 2₃ ，即2log ( 2) 2log 2₃ − ≠ ₃ ，所以

x ≠ − 2

(E) 其他，我的理由是： (請寫出) (1)因為第 11、12 題的 McNemar test 的 P 值雖小於 0.05，但後測答對率並不

高，第13 題與第 11、12 題是相近的錯誤類型，均是深受「相加等於相乘」

及「相減等於相除」口訣影響，要重建學生正確的概念，需要足夠的時間 才能讓學生產生內化，而重修課程的時間有限，加上補救教學的教材中設 計中引發學生認知衝突的例子仍不夠多，因此學生對於這幾個題目所造成 的錯誤類型，明顯的改善不足。

(2)第 15 題則是因為學生在補救教學中，對於真數須大於 0 的限制條件記得很 清楚，卻無法辨識清楚一個對數式中的真數，因此誤以為此題log x 中，₃ ²

只有 x 是真數，所以在

x = − 2

時，學生就認為真數是

− < 2 0

不合。

3.後測答對率達 90％的題目，有第 1、3、7、8、9、10 題，參與補救教學的學生 在這些題目的表現相對於其他問題是比較好的。第4 題的答對率雖然只有 85.7

％，但與前測試題的答對率比較，也足足進步了64.3％。分析這些題目發現：

(1)第 1 題的目的是在測驗學生是否能正確的讀出對數符號。在補救教學的活 動中，藉由不同的對數符號「log_a

b 」

、「log ab 」、「 log

a b 」於以前所學的

省略念法卻相同，造成學生無法判斷所讀出的為何，而了解正確讀法的重 要性，且在整個補救教學的過程中，皆以正確讀法教學講解，建立學生的 正確的數學語言習慣。

(2)第 3 題與第 4 題皆是測驗學生對於對數底數的定義及限制條件底數大於 0 且不等於1 是否了解。在教學中藉由以 1 及負數為底的指數中，例如：

10 = 、1 1¹= 、1 1² = 、…對應的對數式都是1 log 1，表示這個記號不唯一，₁ 而產生認知衝突，進而了解此限制條件的重要性。

(3)第 8、9、10 題皆是測驗學生是否會正確使用對數運算性質。學生大部分是 死背口訣，因而混淆了運算性質，所以在補救教學活動中，利用學生所熟 悉的指數律來推導出正確的對數式來，而非只是死背公式。

二、參與補救教學的學生在前測、後測的個人答題分析

為了解參與補救教學的學生在「對數概念及其運算性質」二階段評量前測、

後測的個人表現，特將他們42 人於前測、後測的答對率列表並畫折線圖表示。

表4-3、圖 4-2 為個人於前測、後測答對率比較表與折線圖：

表4-3

個人於前測、後測個人答對率及其變化

學生編號 前測答對率(%) 後測答對率(%) 後測答對率- 前測答對率(%)

S01 26.7 66.7 40.0

S02 60.0 80.0 20.0

S03 60.0 73.3 13.3

S04 13.3 73.3 60.0

S05 60.0 80.0 20.0

S06 53.3 100.0 46.7

S07 46.7 86.7 40.0

S08 40.0 86.7 46.7

S09 46.7 86.7 40.0

S10 53.3 86.7 33.3

S11 46.7 80.0 33.3

S12 60.0 93.3 33.3

S13 46.7 80.0 33.3

S14 26.7 86.7 60.0

S15 53.3 73.3 20.0

S16 33.3 73.3 40.0

S17 20.0 66.7 46.7

S18 60.0 100.0 40.0

S19 73.3 60.0 -13.3

S20 40.0 80.0 40.0

S21 33.3 73.3 40.0

S22 46.7 86.7 40.0

S24 20.0 73.3 53.3

S25 33.3 80.0 46.7

S26 66.7 86.7 20.0

S27 33.3 86.7 53.3

S28 46.7 86.7 40.0

S29 60.0 86.7 26.7

S30 60.0 93.3 33.3

S32 53.3 73.3 20.0

S33 40.0 80.0 40.0

S34 53.3 80.0 26.7

S35 53.3 73.3 20.0

S36 33.3 66.7 33.3

S37 40.0 53.3 13.3

S38 40.0 66.7 26.7

S39 60.0 80.0 20.0

S41 33.3 60.0 26.7

S42 40.0 80.0 40.0

S43 26.7 60.0 33.3

S44 66.7 86.7 20.0

S45 20.0 86.7 66.7

個人前後答對率

0.0%

20.0%

40.0%

60.0%

80.0%

100.0%

120.0%

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 學生編號

答 題 正 確 率

前測 後測

圖 4-2 個人於前測、後測答對率折線圖 由圖4-2，我們分下列幾點來討論：

1.大致可看出，相較於前測，在 42 位學生中有 41 位在後測答對率是提昇的，只 有一位學生於後測答對率是降低的，這說明了大多數學生在經過補救教學活動 後，對於對數基本概念的認知及運算性質的運用是有改善的。

2.學生個人在後測答對率為 100％的只有 2 位，S6 在前測錯誤的題目有第 1、4、

5、6、12、13、15 題，從對數的概念到運算性質都不是很了解，在補救教學 活動後則均有改善；而S18 在前測錯誤的題目是第 2、3、4、5、11、12，主 要在於對數定義中底數與真數的限制條件，在補救教學活動後，做對數問題時 會特別的去注意底數與真數的限制條件，也獲得改善。

3.學生個人在後測答對率低於 70％的有 12 位，分析這 12 位學生在後測的答題情 形(如表 4-4)，發現第 5 題及 15 題是在測驗學生對於真數要大於 0 的概念，從 訪談得知第5 題是因為學生一看到有公式，就認為答案是正確的，而第 15 題 則是研究者補救教學時的疏失，以為讓學生了解真數大於0 即可改善，而忽略 了提醒學生如何判斷在對數方程式中何者是真數，而導致學生以為方程式

2

5 5

log

x

=log 9中的 x 是真數，

x = − < 3 0

是不合的；在第11、12、13、14 題都 是關於對數運算性質，經訪談得知大多數學生是因為受到前面所提到受口訣影 響太深，加上時間不足及材教設計的缺失，而導致學生無法很快的建立這些運 算性質正確的使用方法，當然像這樣數學能力較低的學生，原本就比一般學生 更需要時間及練習，才能有更好的改善效果。

表4-4

後測答對率低於 70％的 12 位學生在各題的答錯人數統計

題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答錯

人數 0 3 1 4 8 4 4 2 1 1 7 11 6 9 7 4.編號 S19 在訪談過程中，表示在做後測試時，覺得題目與前測都差不多，題目

越做越無聊，所以比較不用心做答。

三、參與補救教學的學生在前測、後測錯誤類型分析

為了解參與補救教學的學生之所犯的主要錯誤類型，在經過補救教學之後是 否有改善，在此將參與補救教學的學生於前測、後測所犯的錯誤類型作整理與分 析，並比較這些錯誤類的改善情形。在「對數概念及其運算性質」二階段評量中，

每一個錯誤類型不止包含一個選項，若一個學生有選到50％以上(含 50％)的選 項，我們就認定該學生犯有此錯誤類型，在下表4-5(a)、(b)中以 1 表示學生犯了 此類型，以0 來表示學生沒有犯此錯誤類型。

表4-5(a)

前測、後測各個學生所犯的錯誤類型

錯誤類型

一 二 三 四 五

學生

編號 前測 後測 前測 後測 前測 後測 前測 後測 前測 後測

S01 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0

S02 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0

S03 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0

S04 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0

S05 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0

S06 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

S07 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0

S08 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0

S09 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

S10 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0

S11 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0

S12 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

S13 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0

S14 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0

S15 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

S16 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0

S17 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0

S18 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0

S19 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

S20 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0

S21 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0

S22 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0

S24 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0

S25 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0

S26 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0

S27 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0

S28 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0

S29 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

S30 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

S32 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0

S33 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0

S34 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

S35 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0

S36 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0

S37 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0

S38 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

S39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

S41 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0

S42 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0

S43 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0

S44 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

S45 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0

總計 9 1 23 6 25 6 29 19 7 0

表4-5(b)

前測、後測各個學生所犯的錯誤類型

錯誤類型

六 七 八 九 十

學生 編號

前測 後測 前測 後測 前測 後測 前測 後測 前測 後測 S01 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 S02 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 S03 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 S04 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 S05 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 S06 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 S07 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 S08 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 S09 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 S10 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 S11 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 S12 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 S13 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 S14 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 S15 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 S16 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 S17 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 S18 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 S19 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 S20 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

S21 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 S22 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 S24 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 S25 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 S26 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 S27 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 S28 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 S29 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 S30 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 S32 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 S33 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 S34 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 S35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S36 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 S37 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 S38 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 S39 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 S41 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 S42 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 S43 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 S44 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 S45 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 總計 24 3 11 0 27 15 11 2 10 8

表4-6

從表4-5(a)、(b)及表 4-6 可以看出：

1.學生在後測的各錯誤類型之犯錯人數相較於前測降低許多，其中有 6 個類型的 未犯此錯誤類型的比率達到90％以上。

2.由 McNemar Test 來看，有 9 個主要的錯誤類型的 P 值小於 0.05，這表示學生 於前測與後測的答題情形有顯著的差異，換句話說就是學生在經過補救教學活 動後，在對數的概念及其運算性質有顯著的改善。以下根據「表4-5(a)、(b)前 測、後測各個學生所犯的錯誤類型」，對學生的主要錯誤類型變化的情形進行 探討：

類型一「數學符號的讀法錯誤」

在前測中有9 位學生，在對數式 log_a

b 的讀法與 log ab 及 log a b 等對數式的

讀法不正確的簡化慣用，而造成混淆。在補救教學活動中，先讓學生們分別用自 己的習慣去讀出「log_a

b 」

、「log ab 」及「 log

a b 」

，讓他們發現讀法上的意見衝 突，再告知他們正確讀法「以 a 為底 b 的對數」，雖然讀起來較長，但才能避免 對數式的混淆。在經補救教學活動之後，僅剩1 位犯此錯誤類型，經訪談過程得 知，該生只是因讀題太快誤寫而已。由此可知，若能平日教學中就能注意正確的 數學語言，不隨意簡化，就可減少學生的錯誤認知。

類型二「指數式與對數式的轉換，兩式之間記號的對應錯誤」

在前測中有23 位學生，對於對數式 log_a

b

= 與它所對應的指數式

x a

^x = 沒

b

有真正了解兩式之間的轉換關係，經過補救教學活動之後，在後測中犯錯的人數 減少了15 人，還剩 8 人仍犯此錯誤類型。在補救教學活動中，藉由學生所熟悉 的整數指數式的轉換對數式3² = ⇔9 log 9 2₃ = 及 ⁵ 1 ₂ 1

2 log 5

32 32

− = ⇔ = − 說明，並

讓學生練習有理數指數^{3 13} ₂₁₆ 1

216 6 216 6 log 6

= ⇔ = ⇔ = ，到實數指數的3 2^x= ⇔5 log 52 = ，用來說明一個對數式即是代表一個實數，並且說明指數式與

x

對數式都是在相同底數的條件下進行轉換，而指數式的值即是對數式的真數，指 數式的指數(次方 x)即是對數式的值。在訪談得知 8 位學生中有 4 位在答案中選

了(B)選項「3^x = 所對應的對數式是8 log₃

x

= 」，因為看到相同的底數 3 就立即8 選了(B)選項，而忽略其他的部分。

類型三「不清楚『對數底數的定義及底數的限制條件』」

在前測中有25 位學生，對於對數中底數的定義及對數式中底數的限制條件 是不是很清楚，經過補救教學活動之後，在後測中犯錯的人數減少了19 人，只 剩6 人仍犯此錯誤類型。這顯示在補救學中，利用指數與對數的對應關係，再來 了解符號的唯一確定性的重要，進而了解到實數底數需大於0 及底數不等於 1，

對於學生在這種錯誤類型改善是有助益的。

類型四「不清楚『對數真數的定義及真數的限制條件』」

在前測中有29 位學生犯有此錯誤類型，經補救教學的活動之後，在後測試 題中卻只減少了10 位學生。原因並非學生不知道「對數真數的定義及真數要大 於0」，因為從第 5 題的(B)選項便可得知，學生在此題中均無犯此錯誤，而是在 第15 題中忽略真正的真數是

x ，誤以為選項中所有的

²

x

均是真數，所以

x ≠ − 2

是 正確的，因而造成此錯誤類型的改善不夠好。

類型五「不知道記號『log_a

b 』為一個實數，以為『 log

_a』是一般的文字符號」

關於此一類型，在此研究中補救教學的學生於前測僅有5 位犯此錯誤，但因 為此錯誤類型是由上一屆的高二學生所找出，雖說同校但因學生不同、任課教師 亦不同，多少會有錯誤類型的差異。而在補救教學的活動中，藉由底數是正整數

關於此一類型，在此研究中補救教學的學生於前測僅有5 位犯此錯誤，但因 為此錯誤類型是由上一屆的高二學生所找出，雖說同校但因學生不同、任課教師 亦不同，多少會有錯誤類型的差異。而在補救教學的活動中，藉由底數是正整數

在文檔中 高中生在對數概念及其運算性質的主要錯誤類型及其補救教學之研究 (頁 96-112)