對數概念及其運算性質主要錯誤類型及其成因之分析

研究者利用自編的「對數概念及其運算性質」開放性試題，針對90 名高二 學生進行施測，並統整、分析、歸納所有受試學生答題的情形，找出學生在「對 數概念及其運算性質」這個單元所犯的錯誤類型，共有10 種錯誤類型：

1.數學符號的讀法錯誤；

2.指數式與對數式的轉換，兩式之間記號的對應錯誤；

3.不清楚「對數底數的定義及底數的限制條件」；

4.不清楚「對數真數的定義及真數的限制條件」；

5.不知道記號「 log_a

b 」代表一個實數，以為「 log

_a」是一般的文字符號；

6.錯誤使用對數運算性質 log_a

b

^r =

r

log_a

b

；

7.錯誤使用對數運算性質 log_a

b

+log_a

c

=log (_a

b c

× ； ) 8.將換底公式 log

log log

c a

c

b b

=

a

與對數運算性質log_a log_a log_a

b

b c

− =

c

這兩類公 式混淆；

9.誤用補習所教「翹翹板原理：

a

^logbc =

c

^logba，即以log_b為支點，a與

c 互換」

； 10.「帶分數」與「整數與真分數相乘」的混淆。

根據開放性試題測試的結改編為二階段評量的試題，然後另外找了78 名高 二學生進行「對數概念及其運算性質」二階段評量的第一次測試，根據第一次測 試的結果略作修改後，又找43 名高二學生做二階段評量的第二次測試。將這兩 次測試的結果進行分析、歸納得表4-1。

在「對數概念及其運算性質」二階段評量中，因每一個錯誤類型可能出現在 好幾個選項。若一個學生有選到該一錯誤類型的50%以上(含 50%)的選項，我們 就認定該生有犯此錯誤類型。而犯此錯誤類型之人數達到受施測總人數的15%

以上(含 15%)，即認定此錯誤類型為本研究之主要的錯誤類型。從表 4-1 中發現 除了錯誤類型5 之外，其他的錯誤類型皆是主要錯誤類型。而錯誤類型 5 在第一 次測試中雖然只有6.4%的錯誤率，但在第二次測試有 14.0%的錯誤率，兩次合 併計算得9.1%的錯誤率，雖沒達到犯錯誤類型的標準，但為了教材的整體性，

以及顧及補救教學對象是高一學生，兩屆學生之間可能的有差異，因此本研究仍 將此錯誤類型列入主要的錯誤類型。

表 4-1

高二學生在「對數概念及其運算性質」二階段評量之犯錯率

人數 類型1 類型 2 類型 3 類型 4 類型 5 類型 6 類型 7 類型 8 78 32.1% 46.2% 91.0% 74.4% 6.4% 64.1% 34.6% 59.0%

43 37.2% 53.5% 81.4% 62.8% 14.0% 58.1% 46.5% 55.8%

121 33.9% 48.8% 87.6% 70.2% 9.1% 62.0% 38.8% 57.9%

人數 類型9 類型 10 78 20.5% 37.2%

43 30.2% 27.9%

121 24.0% 33.9%

為了要深入了解學生真正犯錯的原因，因此分別對每個錯誤類型做了訪談，

以釐清學生真正的想法，以利作進一步的分析。以下為學生於前測時在對數基本 概念及運算性質所犯的10 種主要錯誤類型及類型成因：

類型一「數學符號的讀法錯誤」

在「對數概念及其運算性質」二階段評量中的第1 題的(A), (B), (C)選項中，

在121 位學生中，共有 41 位。其錯誤類型的成因：符號「 log_a

b 」的讀法不正

確，而與符號「log ab 」及「 log

a b 」的讀法造成混淆。如下面實例：

師：你在這裡選了「(A) 讀法相同，但意義不同」這個選項，請問他們的「讀 法」是什麼呢？

生：「log、a、b」呀！

師：兩個都是一樣？

生：是。老師平常就都是這麼唸，我們也不會特別去注意。

師：那你知道這兩個的正確讀法嗎？

生：我剛剛唸的不對嗎？

師：嗯！應該是選項(D)才是。老師有這樣教嗎？

生：嗯~可能一開始有吧！我也沒在注意聽，後來好像都是這樣唸。

師：哦！

生：這樣唸不是很麻煩嗎？這麼長，全部唸完多累啊！

由於平常為了教學方便，對於log_a

b 的讀法通常是「log、a、b」或「a、log、

b」

，到了以底數為10 的常用對數時，我們會省略底數 10，因而造成唸出對數時 讓學生無法分辨到底正確的對數式為何。

類型二「指數式與對數式的轉換，兩式之間記號的對應錯誤」

在「對數概念及其運算性質」二階段評量中的第 2 題(A), (B), (D)選項和第 7 題(D)選項，在 121 位學生中，共有 54 位犯錯。其錯誤類型的成因：因為學生對 於對數式log_a

b

= 與它所對應的指數式

x a

^x = 沒有真正了解之間的轉換關係，所

b

以只以底數相同與否來作為判斷對應式的依據。如下面實例：

(訪談時備有該生的應試試卷、空白紙、筆)

題目：從2^x= 是否可推得3

x

=log 2₃ ？ □ 是 □ 否 學生答案：否；(B) 2^x = 所對應的對數式是3 log₂

x

= 3

師：第 2 題你寫了(B)這個選項，你是覺得 2^x = 所對應的對數式應該是3 log₂

x

= ，3 那你的理由是什麼？

生：因為答案都不確定，找感覺最像的。

師：什麼是感覺最像的？

生：就…，看到底數一樣就選了。

師：那你知道真數所對應的是那一個嗎？(指著2^x= 中的 x 及 3) 3 生：我不清楚！

就上例的學生，只憑底數相同來做判斷，以為指數式與對數式的底數 2 相 同，其他如 x 及 3 的相對應位置根本搞不清楚，甚至不清楚「真數」對應指數式 中的那一個符號(數)。

類型三「不清楚『對數底數的定義及底數的限制條件』」

在「對數概念及其運算性質」二階段評量中的第3 題的(A), (B), (D)選項及 第4 題的(B), (C), (D)選項，在 121 位學生中，共有 106 位犯錯。其錯誤類型的成 因有： a.對於對數的底數須大於0 且底數須不等於 1，由學生在國中學習指數 的舊經驗中1 可以是底數，以為一個指數式1¹= 成立，就誤以為對應的對數式1

log 1是有意義的，但卻忽略了1 1² = 、1 1³= 、…也是成立的。如下面實例： 1 師：這題你寫了“否，B”，為什麼會選擇這個理由？

生：因為…，因為 1 呀！就感覺好像是對的！

師：什麼樣的感覺？

生：就是1 的 1 次方等於 1，所以 log、1、1 等於 1。

b.由學生的舊經驗中分數的分母如果是負數，可以將負號提到分數前面，所以誤 以為底數若為負數，即可將負號提到對數符號的前面。如下面實例：

題目：「log 4 2₋₂ = 」是否正確？ □ 是 □ 否 學生答案：(D) 由運算性質知 ₂ 2 ₂ 2

log 4 log 2 1 2

1 1

− = = − × = −

−

師：第4 題你是寫錯，理由是(D)。

生：嗯！

師：為什麼？

生：你是說為什麼要選(D)？

師：嗯！

生：− 啊！4 可以變成 2 的平方，然後啊！我就想說這兩個可以同時提出 2 來，提出− 跟 2。 1

師：所以你是把− 跟 2 提出來。 1 生：然後log、2、2，就等於 1。1 跟 2

−1相乘就等於− 。 2 師：好！所以提出來的2，是因為跟 4 的關係是？

生：2 的平方。

師：− 是因為？ 1 生：提負號出來啊！

師：為什麼可以提出來？

生：像 2 2 2= −2

− ，不是可以把分母的負號提出來嗎？

類型四「不清楚『對數真數的定義及真數的限制條件』」

在「對數概念及其運算性質」二階段評量中的第5 題的(B)選項及第 15 題(B), (C), (D)選項，在 121 位學生中，共有 85 位犯錯。其錯誤類型的成因有：在利用 運算性質作運算時，直接代入運算公式卻忽略真數的限制條件，錯將運算過程中 的真數誤以為正確的真數。如下面實例：

題目：「若log₃

x

² =log 4₃ ，則

x = ± 2

」是否正確？ □ 是 □ 否 學生答案：(C) 因為log₃

x

² =2log₃

x

，而 log 4 2log 2₃ = ₃ ，所以

3 3

2log

x

=2log 2⇒ =

x

2

師：第15 題你是寫“否，C＂，是什麼理由讓你選(C)？

生：因為真數不可以是小於0，所以真數 2− 就是不行。

師：你覺得誰是真數？

生：x。

上例中，學生以為所求 x 即是正確的真數，因而認定 2− 是不合。

類型五「不知道記號『log_a

b 』代表一個實數，以為『 log

_a』是一般的文字符號」

在「對數概念及其運算性質」二階段評量中的第8 題(D)選項、第 12 題(C) 選項、第13 題(B)選項，在 121 位學生中，共有 14 位犯錯。其錯誤類型的成因 有：缺乏對數式的整體性的數感，將對數符號“log_a＂看成一般的文字符號，所 以可直接約分。如下面實例：

(這是由開放性試題中，學生的做答狀況，所做的訪談。「對數概念及其運算性 質」二階段評量中的第13 題即是由開放試題中的第 16 題所造的題目。) 師：回想一下，當初16 題怎麼寫的？

生：(笑)嗯…

(學生持續看著問卷上自己寫的算式)

生：啊！我做了約分，你看！我這裡有做了撇下來的動作，我把log 給約掉了，₉ 9 是 27 除以 3 來的。(如照片)

類型六「錯誤使用對數運算性質log_a

b

^r =

r

log_a

b

」

在「對數概念及其運算性質」二階段評量中的第4 題(A)選項、第 5 題(A), (D) 選項、第6 題(A), (B)選項、第 8 題(A), (B)選項，在 121 位學生中，共有 75 位犯 錯。其錯誤類型的成因有： a.將對數式(log 3) 的指數 2，誤認為是真數 3 的指₂ ² 數，即log 3 ，直接套用 log₂ ² _a

b

^r =

r

log_a

b

性質。如下面實例：

師：第6 題你寫了「是」，然後選(A)，為什麼你會選(A)呢？

生：不是那個次方可以提到前面嗎？(指(log 3) 中的 2 次方) ₂ ²

上例中，學生以為(log 3) 的 2 次可以提到前面，所以₂ ² (log 3) 會等於₂ ² 2log 3。 ₂

b.將指數律( )

ab

ⁿ =

a b

^{n n}套用於對數式的指數與真數，例如： 2

2 2

2 2

(log 3) = log 3

。 如下面實例：

題目：「(log 3)₂ ² =log 3₂ ²」是否正確？ □ 是 □ 否 學生答案：(B) 因為 2

2 2 2

2 2 2 2

(log 3) = log 3 = log 3 log 3 ≠

師：這題你是寫“否”，選(B)。

生：…，因為它是這個整個的平方，並沒有等於只有3 的平方而已。

師：什麼？

生：就是這樣子啊！就是這個2 要平方(學生指著選項中底數 2)，這個 3 也要平 方(指真數 3)。

師：就是它們兩個都要平方。

生：對！

c.學生在作指數題目時，常忽略了底數的限制條件，因此學生在做對數的題目時 也同樣會疏忽底數與真數的限制。如下面實例：

d.將底數與真數看成分數之分母與分子分別提出因數。例如：

4 1

2 1

log 2 log 1

4 2

= = 。如下面實例：

師：第 8 題你寫(A)，由運算性質得到 ₄ 2 ₁ 1 log 2 log 1

4 2

= = 。 生：對啊！

師：為什麼你會這樣想？

生：…

師：是提公因數嗎？

生：…(搖頭)

師：不然是什麼原因？

生：因為 4、1 得 4，2、1 得 2。

師：然後呢？

生：把 4 和 2 都提出去，而log 1 1₁ = ，2

4乘 1 答案為1 2。

師：你第4 和第 5 題的理由選項都是選了(A)。都是「根據運算性質 log_a

b

^r =

r

log_a

b

」，為什麼？

生：對吧！

師：那“對＂的意思是什麼？

生：算出來對！

師：所以這樣把真數的次方提到前面是對的？

生：應該是吧！

師：對數在其定義時就有限制條件，你知道那是什麼嗎？如log_a

b ，誰是底數？

誰是真數？

生：a 是底數，b 是真數。

師：那 a 的限制條件呢？

生：不可以是負的。

師：真數呢？

生：…，不可以是0。

類型七「錯誤使用對數運算性質log_a

b

+log_a

c

=log (_a

b c

× 」)

在「對數概念及其運算性質」二階段評量中的第6 題(D)選項、第 7 題的(B), (C)選項、第 10 題的(A), (C), (D)選項、第 11 題的(A), (B), (D)選項、第 14 題的(B) 選項，在121 位學生中，共有 47 位犯錯。其錯誤類型的成因有： a.對數運算性 質log_a

b

+log_a

c

=log (_a

b c

× ，如果用文字來描述是「同底的兩對數相加，合併成) 一個同底對數，兩真數相乘」，學生將“加＂與“乘＂混淆，或是只記得“相加 等於相乘＂的口訣，所造成的錯誤。例如：log (_a

b c

+ =) log_a

b

×log_a

c

或

log_a

b

+log_a

c

=log_a

b

×log_a

c

。如下面實例：

師：那 ₅ 1 log (4 )

+4 怎麼變成 _{5 5} 1 log 4 log

× 4的？

生：…，要怎麼講…

師：沒關係！

生：裡面相加，分開，所以變乘。

師：你的意思是，裡面真數相加，分開來變成兩個對數相乘。

生：對！

b.受「同分母分數的相加只要分子相加即可」的影響，將log_a視為分母，真數就 像分子一樣可合併相加，所以認為log_a

b

+log_a

c

=log (_a

b c

+ 。如下面實例： )

師：這題你寫的答案是因為底數相同，所以對數相加等於真數加真數。

生：對！

師：為什麼會對？

生：因為下面一樣啊！(學生手指底數 10)

師：因為下面一樣，所以相加可以合併變成這兩個相加(指 2 及 4)。國中有這樣 教嗎？

生：因為都一樣，所以可以合在一了，跟分數差不多！(有點小聲) 師：跟什麼差不多？

生：跟分數差不多。

師：喔~跟分數差不多！

生：因為分母一樣！

在文檔中 高中生在對數概念及其運算性質的主要錯誤類型及其補救教學之研究 (頁 84-96)