第二章 文獻探討
第二節 數學概念的學習與教學
一、概念的形成
Henderson(1970)則把概念分為具體概念(concrete concept)和抽象概念 (abstract concept)，其中具體概念是指具有物理上實質的例子，如代數書、幾何 板、尺；而抽象概念為不具上述具有物理上實質的例子，如數學上會遇到的分數、
複數、極限、多項式、機率等都是屬於抽象概念。
Skemp(1979)認為概念就是把具有相似性、共通性的經驗歸類在一起。概念 形成的過程一般稱為抽象化。而〝抽象化〞是一種心智活動過程，使我們了解各 種週遭環境經驗之間的相似性、共通性，讓我們可以用已經分類的舊經驗和相似 性、共通性來認知新經驗。它使我們有分類的能力。因此，要形成一個概念就必 須先有實際經驗，而這些經驗又有某些相似性、共通性，將這些經驗與共通性加 以分類命名，抽象化即形成概念。許多的概念都是先由我們實際經驗去抽象化所 形成的初級概念，然後再根據這些初級概念繼續抽象形成次級概念，而且常常要 經歷多次的抽象才形成。
形成概念的過程主要有下列五種重要的特徵(Skemp, 1979)：
1.意識(realization)：意識過程是指一個新的概念，透過環境經由感官輸入概念結 構，此時新的概念與概念結構中的任一概念都沒有聯繫上。
2.同化(assimilation)：同化過程是指在概念結構中找出與新概念相類似的概念。
3.擴張(expansion)：擴張過程是指以概念結構中已有的概念來領悟這新的概念，
使其成為概念結構中的一部分。
4.分化(differentiation)：分化過程是指分辨新的概念與ㄧ些已有概念之間的異同 處。
5.重建(re-construction)：重建過程是指當問題的情境改變時，已建立的概念結構 雖具有相關性，卻不適用於此情境，此時必須重建個體的概念結構。
二、數學概念
在各種概念的形成發展中，數學概念不可否認的是相當特殊的人為概念，因 為它不像一些具體事物能夠很容易從視覺感官接收到此概念的相關訊息；但基本 上它仍然是概念的一種。
張新仁(1989)認為「數學概念」是學習數學的基礎，數學除了「計算能力」
外，還有「概念理論」的部份。
田万海(1992)就廣泛的數學概念意涵來看，認為內涵和外表是構成數學概念 的兩個重要面向，而數學概念是揭示現實世界空間形式與數量關係本質屬性的思 維形式。由此可知，數學概念對於數學學習是相當重要的，在科學理論的學習也 是不可或缺。
Skemp (1971)認為許多的數學概念都是由實際經驗所抽象化形成初級概念，
再繼續抽象化成為次級概念。這些經過多次抽象化的數學概念具有高度的濃縮 性，因此數學概念變得很困難。
Sfard (1991)認為可用兩種不同的方式來理解抽象數學。概念的形成：一是從 結構性(structurally)，另一是從運算性(operationally)。而且他認為大部分的人獲 得新數學概念的第一步是藉由運算性的。
Fischbein (1996) 認為數學概念是抽象的、有階級的。例如初級概念可直接
由感官經驗得來，如三角形 但次級概念則要再多一階的抽象如圖形或數的進位。
Siegel (1981)及 Shuell(1990)對於學生數學概念的建立，特別強調原有概念 的重要性。他們認為學習數學的心理歷程都是由前面的知識為基礎，不斷的建構 出個人的知識結構，且不斷的獲得新訊息以擴充整個知識內涵。
田万海(1992)認為數學概念的產生一般有兩種情形：一種是對客觀事物的空 間形式或數量關係的反映而得到的；另一種是在已有的數學基礎上，經過多次的 抽象概括而形成。
由上面論述可以得知，數學概念的形成 最初是來自實際經驗客觀事物或數 字計算藉由不斷的獲得新概念，將這些概念濃縮及抽象化，形成一個新的概念或 更高層次的概念。協助學生將由實際經驗或數字計算得到的數學概念抽象化，進
而得到一個新的數學概念或更高層次的數學概念，是數學教學中很重要的一部 份。
三、數學概念的學習
Dreyfus (1991)認為數學學習的過程是四個階段的發展：
1.透過單一表徵了解數學概念；
2.學習到其他平行的表徵；
3.平行表徵之間的相互連結；
4.整體地將所有表徵整合。
Skemp 對於數學概念的學習提出兩個原則：
1.超過個人已有的概念階級的高階概念不能用定義的方式來進行溝通，只能蒐集 相關的例子、提供其經驗，再靠他自己抽象以形成概念；
2.在數學中有關的例子有時或多或少又含有其他概念，因此，我們在提供例子時 必須先確定學生已經形成這些預先的概念了；
楊弢亮(1997)認為正確理解數學概念是掌握數學基礎知識的前提。在教學 中，應當從實際事例和學生的已有知識出發引入新的概念。對於容易產生混淆的 概念，要引導學生用對比方法認識他們之間的區別和聯繫。又認為數學概念的引 入通常採取下列幾種方式：
1.利用學生的生活經驗；
2.利用教材所提供的感性材料；
3.由定義引入，再用感性材料加以證實；
4.由舊概念引入新概念。
由上面學者的論點可以發現，學習新概念必須建築在舊概念之上，同時必須 確認這些舊概念在學習者的心中已經是穩固形成了。而本研究中補救教學的教學 策略，以學生的舊經驗為基礎，誘使學生產生學習遷移，進而學習到新概念。例 如：在教材中，由學生的舊經驗「指數律」，讓學生將對數式轉換為指數式，再 以學生所熟悉的指數律解題，除了可以聯結指數與對數之間的關係外，也可減少 學生計算上的錯誤，或是作為學生驗算之用。
四、對數概念
在16 世紀末至 17 世紀初，當時在自然科學領域（特別是天文學）的發展上 經常遇到大量精密而又龐大的數值計算，於是數學家們為了尋求化簡的計算方法 而發明了對數。
德國的Michael Stifel（1487-1567）在他的著作中，寫出了兩個數列，左邊 是等比數列（叫原數），右邊是一個等差數列。
如果想要求出左邊任兩數的積（商），只要先對應其右邊所對應的代表（指 數）之和（差），然後再把這個和（差）對應左邊的一個原數，則此原數即為所 求之積（商）。可惜Stifel 並未作進一步探索，沒有將對數的概念引入。
而蘇格蘭數學家及天文學家John Napier (1550-1617)對數值的計算頗有研 究，他所製造的Napier’s Bones 計算器化簡了乘除法運算，其原理就是以加減來 代替乘除法運算，而他在經過二十幾年的苦心研究後，在1614 年發表了對數及 其性質。
1619 年，英國倫敦 John Speidell 使對數與自然對數更接近（以 e=2.71828...為 底）。
英國的Henry Briggs 在 1624 年創了常用對數。
至於最早傳入中國的對數著作是《比例與對數》，它是由波蘭的穆尼斯
（1611-1656）和中國的薛鳳祚在 17 世紀中葉合編而成的。當時符號的表示法在 lg2=0.3010 中，2 叫「真數」，0.3010 叫做「假數」，真數與假數對列成表，故稱 對數表。
中國清代的數學家戴煦（1805-1860）發展了多種的求對數的捷法，著有《對 數簡法》（1845）、《續對數簡法》（1846）等。
二十世紀以後，開始強調對數的重要，如Haper (1942)強調中學教師應注重 對數的教學。Thomas (1974)指出隨著電腦與電算器的出現，對數在學校課程中 的角色改變。所以關於對數的概念及對數的教學也開始有了相關的研究，如：
Mayes(1994)讓學生從繪出指數函數 ( )
f x
=b
x及對數函數f x
( ) log= bx
的圖 形，包含底數b > 1
與0 < < b 1
兩種指數函數，進而讓他們去找出指數與對數函數 中x
與f x 兩者的對應關係，用以讓學生去發現這兩個函數的關係。
( )Hammack 與 Lyons (1995)提到如何用簡易的方法教「對數」，他們是利用指 數函數與對數函數互為反函數的關係，所以由指數的運算求出對數值。這和研究 者在補救教學的教材上盡量由指數概念及指數律來引導學生求出對數式的一樣。
Weber (2002)指出指數函數與對數函數在數學概念的重要，由分析學生在 指、對數的概念得知，學生對於簡易指數的計算可以輕易的完成，但卻無法說出 計算過程的理由，所以他利用先給學生做求值運算的練習，待學生學會了求值運 算之後，再由所設計的問題如：描述出這些符號及運算的意義，待學生能正確答 出後再進行下一個概念，如此學生的指數及對數的概念學習，可以得到較好的成 效。
Weber (2002)又利用引導式學習(Pilot study)的教學法，讓學生能真正了解指 數與對數的概念。他藉由大學生做實驗，他先引導一組學生做課前的準備，如利 用電腦程式設計指數函數的求值，及指數的運算，學生為寫出合宜的程式須先了 解指數概念，而對數的部分則讓學生利用學習單，讓學生找出對數與指數的對應 關係，並要求他們去描述出。結果發現，對照於另一組只用傳統教學法的學生，
學生在計算上並無太大的差異，但對於指、對數的概念的了解，明顯比較好。
由上面學者著作及論述，得知在對數的發展及當代學習對數的重點為何，
我們的教學方法可能需要調整，在教導學生學習「對數」時，不再只是公式的記 憶及計算能力而已，更需要清楚了解「對數的概念」，而且可以善用「對數」與
「指數」的關係來教學。