檢討與建議

根據本研究的結果與心得，提出有關數學教學、教材內容編寫與未來研究之 建議，以作為第一線教師教學、教科書編寫及未來相關研究之參考。

一、給第一線教師的建議

(一)教師需能清楚且深入的介紹每一個記號所代表的意義及限制，以及對數符 號正確的讀法，對於中下程度的學生要給更多的舉例說明。就本研究之教 學單元「對數」是用一個新的記號，來表達舊的概念「指數」，但即使對有 豐富教學經驗並熟悉教材的教師而言，也是容易假設學生對這個概念及符 號意義不會有太大的學習難度。實際上，由於對數符號的表徵比較複雜，

在本研究中得知學生易犯以下的錯誤：

(1) 如 log_a

b 的讀法常讀為「 log, a b 」

, ，而與log ab 混淆；讀作「 , log,

a b 」

與

a

log

b 混淆。

(2) 對數式 log_a

b

= 與它所對應的指數式

x a

^x = 之間的互換，只以底數相

b

同與否來作為判斷的依據，忽略對數式與指數式之間各個符號的對應 關係。

(3) 疏忽對數中底數的定義及限制條件，如以為指數式1¹= 對應的對數式1 是log 1，因為國中就知道₁ 1¹ = 是正確的指數式。 1

(4) 疏忽對數中真數的定義及限制條件，如以為log₃

x

² =log 4₃ 中的真數是

x，認為 x 必須大於 0。

(5) 不知道記號「 log_a

b 」代表一個實數，以為「 log 」

、「

a

」、「

b

」是三 個代表數的符號，沒有一個整體的數的感覺，在運算過程中會將「log 」 約掉。

所以，在教師教學時，口述對數符號不宜簡化，要正確讀出對數符號；正 確書寫對數符號中每一個記號的大小及位置，強調「log_a

b 」代表「一個

實數」。尤其面對數學程度較差的學生，要多舉例說明，讓學生在對數的概

念學習時能清楚對數符號所代表的含意。

效不佳或有錯誤概念的學生進行補救教學，而不是延至暑假才進行。如果 能在學期中就實施補救教學，儘快幫學生改善錯誤的概念，避免養成錯誤 習慣，造成積習難改。

(七) 二階段評量對於診斷學生的錯誤類型有良好的成效，教師可使用二階段評 量來發現學生的錯誤類型，並進一步分析其成因，來作為改進教學的參考 依據。

二、對於教科書編寫者的建議

(一) 增加對數讀法、符號表徵、底數的限制、真數的限制的例題或說明。一般 教材編寫，在對數的讀法、符號表徵、底數的限制、真數的限制通常都很 快的帶過，進入對數性質的推導及性質的應用，但研究的結果顯示，學生 在對數的讀法、符號表徵、定義及底數與真數的限制已產生錯誤，所以在 之後的對數性質的理解與應用就會有因難。若能在教材的編寫時，加入更 多對數讀法的例題，在底數及真數的限制中加入一些違反限制條件的對數 符號(如log_{( 3)−} 2

)

讓學生挑錯，增加學生對於讀法、底數與真數的限制條件 的了解。

(二) 在運算性質「 log_a

b

+log_a

c

=log (_a

b c

× 」、「 log) _a log_a log_a

b

b c

− =

c

」及「換 底公式 log

log log

c a

c

b b

=

a

」，可加入讓學生產生認知上衝突的實例，讓學生進 行觀念思考。研究者在二次補救教學運算性質的教材中加了更多的實例，

如log 4 與₂ log 32 所做的不同組合的對數式₂ log 4 log 32₂ + ₂ 、log (4 32)₂ + 、 log (32 4)2 ÷ 、log 32 log 4₂ − ₂ 、 ²

2

log 32

log 4 …等，讓學生先運算求得這些對數 式的值，再將得來的值做比較，然後進行正確的對數式配對，這樣的實例 有助於學生改善這些運算式及公式的混淆。

(三) 在說明運算log_a

b

+log_a

c

= log (_a

b c

× 時，舉真數 b 為整數、c 為真分數的) 例子，強調不要省略真數相乘的記號「×」，避免學生犯了如本研究中的錯

誤類型「『帶分數』與『整數與真分數相乘』的混淆」。 三、對於未來相關研究的建議

(一) 本研究是針對學生在對數概念及其運算性質的教學後，所產生的錯誤類型 來進行補救教學活動，後續研究可考慮在學生第一次學習對數概念及其運 算性質時，針對學生常犯的錯誤，採取一些預防的教學措施(例如：記號

「log_a

b 」是一實數的強調，或是運算公式口訣的完整性)，探討這樣預防

性的教學措施對於學生的錯誤是否具有預防的效果。

(二) 本研究僅以新北市的某一所私立高中一年級學生作為研究樣本，取樣的範 圍較小，取樣的人數較少代表性不足，所得結果不能做較廣泛的推論。若 要提昇研究的代表性，則建議將樣本擴及到其他公、私立高中，請有興趣 的研究者利用本研究所開發的二階段評量及補救教學的教材進行實驗，再 將這些結果綜合起來會更具有代表性。

(三) 若想更深入的了解不同程度學生所犯的錯誤類型，在學生人數夠多且用抽 樣的方式，我們可將學生按數學能力分組，再進行二階段評量，進而分析 出不同程度學生所犯的錯誤類型是否相同。

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附 錄

附錄一、「對數概念及其運算性質」開放性試題

以下是針對光仁中學的學生在學過對數之後，欲了解學生在此單元的概念及運 算性質，是否已建立清楚。請同學讀過題目之後判斷是否正確，並且詳細寫下 理由。

班 號 名 關於對數的符號及概念之迷思：

1．是否「 log_a

b 的讀法與 log ab 」相同？ □ 是 □ 否

理由：

2．是否「定義 2^x= 所對應的對數式為3 log 2 x₃ = 」？ □ 是 □ 否 理由：

3．「log 1 0₁ = 」是否正確？ □ 是 □ 否 理由：

4．「log ( 2)₋₂ − ² = 」是否正確？ □ 是 □ 否 2 理由：

5．「log ( 2)₂ − ² =2log ( 2)₂ − 」是否正確？ □ 是 □ 否 理由：

6．「log 8 4₂ = 」是否正確？ □ 是 □ 否 理由：

7．「(log 3)₂ ² =log 3₂ ²」是否正確？ □ 是 □ 否 理由：

8．「log 6 3₂ = 」是否正確？ □ 是 □ 否 理由：

9．「 ₄ 1 log 2

= 」是否正確？ □ 是 □ 否 2 理由：

關於對數的運算性質之迷思：

10．「2^{log 52} = 2log 5 」是否正確？ □ 是 □ 否 ₂ 理由：

11．是否「log 2 log 4 log (2 4)₁₀ + ₁₀ = ₁₀ + 」？ □ 是 □ 否 理由：

11．是否「log 2 log 4 log (2 4)₁₀ + ₁₀ = ₁₀ + 」？ □ 是 □ 否 理由：

在文檔中 高中生在對數概念及其運算性質的主要錯誤類型及其補救教學之研究 (頁 140-200)