研究工具

本研究利用以下幾項研究工具來蒐集所需的資料及進行實驗，茲將它們分別 說明如下：

一、「對數概念及其運算性質」的開放性試題

為了研究的需要，研究者依據不同的教學目標編，設計出「對數概念及其運 算性質」開放性試題，如表3-2，(「對數概念及其運算性質」開放性試題詳見附 錄一)，用來調查高中學生在學習對數概念及其運算性質之後，主要有哪些錯誤 類型與形成原因。「對數概念及其運算性質」開放性試題分為兩個部分：對數定 義的概念、對數的運算性質，題目共19 題，測驗時間為 45 分鐘。

再參考不同版本教科書後，挑選出欲作研究的教學目標：

表3-2

對數概念及其運算性質的教學目標、評量目標與對應的開放試題的題號

主題 教學目標 評量目標 題號

a.了解對數式的正確讀法。 1 b.對數式的數感。 7、17 c.對數之底數的正確定義的認

知。 3、4

1．能了解對數的概念、符 號與意義。

d.對數之真數的正確定義的認 知。

5、18、

19 對

數 概 念

2．能熟悉對數與指數的 轉換：

e.能了解實數指數與對數的轉 換。

2、6、8、

9

log_a ^y

5．研究者本身的學習經驗與教學經驗。

以下二表為「對數概念及其運算性質」的雙向細目表與各題資料參考來源：

表3-3

「對數概念」開放性試題的雙向細目表

符號表徵：log_a

b

=

x

文字表徵

1．讀法(以 a 為底數，b 的對數為 x) 1 2．底數 (

a a

>0 ,

a

≠1 ) 3、4

3．真數 (

b b

>0 ) 5、18 4．對數與指數的轉換

(

a

^x

= ⇔ b log

_a

b = x

) 2、6、8、9

表3-4

「對數運算性質」開放性試題的雙向細目表

性質 符號表徵 文字表徵

1． log_a

xy

=log_a

x

+log_a

y

8、11、12、17 2． log_a

x

log_a log_a

x y

y

= − 13、14、16

3． log_a

x

^r =

r

log_a

x

5、6、7、9

4．

a

^logab =

b

10

5． log log log

c a

c

b b

=

a

9、13、14、15、16

6．log_a

x

₁=log_a

x

₂ ⇔

x

₁=

x

₂ 19

「對數概念及其運算性質」開放性試題的雙向細目表依單元分為對數概念和 對數運算性質，如表3-3、表 3-4。而在對數運算性質的雙向細目表中，將換底 公式及對數的相等之運算歸在其中。

二、「對數概念及其運算性質」的二階段評量試題(前測、後測、延後測)

(一)「對數概念及其運算性質」二階段評量試題的發展過程

藉由「對數概念及其運算性質」開放性試題，研究者將學生所答的理由中最 多人所寫的正確理由製成一個理由選項，最多人所寫的前三個錯誤理由製成另外 三個理由選項，最後以答對率未達80%的題目(見表 3-5)作為正式測驗的施測題 目。

表3-5

各題的答對率

題號 第1 題 第2 題 第3 題 第4 題 第5 題

答對率(%) 46.67 71.11 10 16.67 20

題號 第6 題 第7 題 第8 題 第9 題 第10 題 答對率(%) 95.56 44.44 77.78 70 38.89

題號 第11 題 第12 題 第13 題 第14 題 第15 題 答對率(%) 65.56 26.67 44.44 56.67 30

題號 第16 題 第17 題 第18 題 第19 題 答對率(%) 41.11 26.67 25.56 64.44

經幾位專家及研究者討論過後，本開放試題中第 6 題答對率偏高，予以刪除。

開放性試題：

6．「log 8 4₂ = 」是否正確？ □ 是 □ 否

理由：

4．1 1 1

13．16 4= ²

1． 2

7．符合公式(好像吧…) 1

16．

1．

14． ⁹ ₉

分試題修改了敘述方式，為使題目更完整，讓學生更易了解題意。例如：

1．是否「 log_a

b 的讀法與 log ab 」相同？ □ 是 □ 否

理由選項：

(A) 讀法相同，但意義不同

(B) log_a

b讀作 「 log, a b 」

, ，而

log ab讀作

「log, , ,

a

×

b

」 (C) log_a

b 讀作「 , log, a b 」

，而

log ab讀作

「log, ,

a b 」

(D) log_a

b 讀作「以 a

為底 的對數 」

b

，

log ab讀作

「以10為底a b的對數 」 × (E) 其他，我的理由是： (請寫出) 其中選項(A)修改為如下：

(A) 讀法相同，都是「 log, ,

a b 」

，但意義不同

待題目修訂完後，再請研究者所任職學校的第三個社會組班級計42 名學生，再 行施測一次，以確定題目的穩定性，正式發展出「對數概念及其運算性質」二階 段評量試題之前測試題。

研究者於高一升高二的暑假中，扣除須進行補教學的高一學生，另外找100 名高一學生，實施「對數概念及其運算性質」二階段評量試題之前測試題，其信 度是利用SPSS 計算得 Cronbach’sα 係數為 0.645。

表3-6 與 3-7 為「對數概念及其運算性質」二階段評量試題之前測試題的雙 向細目表：

表3-6

「對數概念」

符號表徵：log_a

b

=

x

文字表徵

讀法 (以 a 為底數，b 的對數為 x) 1

底數

a a

( >0 ,

a

≠1 ) 2、3、4 真數

b b

( >0 ) 5、15

定義(

a

^x

= ⇔ b log

_a

b = x

) 2

表3-7

「對數運算性質」

性質 符號表徵 文字表徵

1． log_a

xy

=log_a

x

+log_a

y

7、10、11、14 2． log_a

x

log_a log_a

x y

y

= − 12、13

3． log_a

x

^r =

r

log_a

x

5、6、8

4．

a

^logab =

b

9

5． log log log

c a

c

b b

=

a

12 6．log_a

x

₁=log_a

x

₂ ⇔

x

₁=

x

₂ 15

(二)「對數概念及其運算性質」二階段評量平行試題的發展

接著發展平行試題，目的是為了方便瞭解補救教學是否有效及保留情形為 何，研究者在和專家教師及指導教授的討論修訂後，將前測試題更換數字、符號 及選項順序，使之成為「對數概念及其運算性質」二階段評量試題之後測試題（附 錄三），仍請前述100 名學生與前測試題同時施測，本測驗的信度利用 SPSS 計 算得α 係數為 0.699。延後測試題則與前測試題相同。

在此100 名學生的前測與後測的答案中，若 A 生在前測的答案和與之對應 後測的答案相同時，我們就稱A 生在該題的答題有一致性，而 100 名學生中，

在同一題一致性的比例稱為該題的一致率，各題的一致率見表3-8。

表3-8

各題的一致率

題號 第1 題 第2 題 第3 題 第4 題 第5 題

一致率(%) 73 75 75 68 67

題號 第6 題 第7 題 第8 題 第9 題 第10 題

一致率(%) 79 82 71 86 81

題號 第11 題 第12 題 第13 題 第14 題 第15 題

一致率(%) 65 72 72 64 73

前測、後測兩個測驗，訂70%為精熟的標準（即答對 11 題或 11 題以上），

得知複本信度的百分比一致性

P 為 0.87；柯恆的 K 係數為 0.66；Pearson 相關係

_A 數為0.858，各信度係數見表 3-9。

表3-9

前測、後測的複本信度係數

百分比一致性(

P )

_A 柯恆的K 係數 Pearson 相關係數 前測、後測

的複本信度

0.87 0.66 0.858

(三)「對數概念及其運算性質」二階段評量試題選項所對應錯誤類型之成因 「對數概念及其運算性質」二階段評量試題中每個錯誤的理由選項都代表著 不同的錯誤類型，研究者將每個錯誤的理由選項分類，這樣就可以清楚知道學生 犯了何種錯誤類型。表3-10 為「對數概念及其運算性質」二階段評量試題選項 與錯誤類型之對照表。除了第八題在前測、後測有將其理由選項進行順序上的調 換，其餘題目的理由選項順序，前測、後測皆相同。此外，研究者再針對主要的 錯誤類型去探討其成因，見表3-11。

表3-10 一.數學符號的讀法錯誤。 1-(A)、1-(B)、1-(C) 1-(A)、1-(B)、1-(C) 二.指數式與對數式的轉換，

兩類公式混淆。

五.不知道記號「 log_a

b 」

這兩類公式混淆。 所以log

四、補救教學活動

(一) 補救教學活動的實施時間

整個補救教學活動於一般的普通教室內進行，以傳統的講述教學法為主，內 容有三個單元，一天連續上兩節課為期五天(97 年 8 月 7 日的第二節至 97 年 8 月19 日的第一節)共 8 節課，每節課為 50 分鐘。表 3-12 為每個單元的授課節數 分配表：

表3-12

授課節數分配表

授課單元 對數由來及意義 對數的性質 舊知識錯誤認知衍 生的問題

授課節數 2 節 4 節 2 節

(二) 補救教學活動的實施方式

因為補救教學活動是配合重補修的課程進行，而重補修的課程是在高一升高 二的暑期輔導期間來進行，學生是在每天上完六堂的輔導課程之後，接著才上重 補修的課程，加上同時與英文重補修對開，即每週若數學上三天，另兩天則上英 文，若數學上兩天，則英文上三天，為期四週。對於英、數須重補修的同學而言，

課業壓力並不小，擔心學生會疏於練習，因此課堂上都會預留部分時間讓學生寫 指派的作業。

(三) 補救教學活動的設計及所對應的教學目標

1.教學活動一：藉由正整數指數、整數指數、有理數指數到實數指數回顧，

得知指數式中實數指數的表示困難情況，並從數學史的角度來介紹

logarithm 的意義及對數符號「log」的由來，對數符號是為方便表示實數指 數而建立的。

教學目標：能了解對數的必要性及新符號「log」的表示法的由來。

2.教學活動二：藉由實數指數的轉換成對數式，讓學生了解對數式之底數、

真數及對數值在對數式中所代表的意義，並且用正確的讀法來表達對數符

號「log_a

b 」

。

教學目標：(1)能正確的表示出指數與對數的轉換。

(2)能了解底數需大於 0 且底數不等於 1 之限制的由來。

(3)能了解真數需大於 0 之限制的由來。

(4)能正確的讀出記號「 log_a

b 」為「以 a 為底數，b 的對數」

， 並了解正確讀法的重要性。

(5)能了解「 log_a

b 」是代表某一實數。

3.教學活動三：讓學生依序說出正確的指數律

a

^m×

a

ⁿ =

a

^{m n+} 、

m

m n n

a a

a

= − 、 (

a

^{m n}) =

a

^{m n⋅} ，再舉例讓學生思考，例如：從指數的2³×2⁴ =2⁷到

3 4 7

2 2 2

log 2 +log 2 = + = =3 4 7 log 2 ，是否可以猜測到

3 4 3 4

2 2 2

log 2 +log 2 =log (2 ×2 )？其他兩個性質也是如此。然後進 行對數運算性質的證明，並舉例講解、學生隨堂練習。

教學目標：(1)讓學生能明白指數律與對數運算性的關係，並做出正確的對 數運算性質log_a

x

+log_a

y

= log (_a

x y

× 的計算。 )

(2)讓學生能明白指數律與對數運算性的關係，並做出正確的對 數運算性質log_a

x

−log_a

y

= log_a

x

y

的計算。

(3)讓學生能明白指數律與對數運算性的關係，並做出正確的對 數運算性質log_a

x

^r =

r

log_a

x

的計算。

4.教學活動四：先讓學生思考在滿足定義的條件中 log 1_a 、log_a

a 、

1 log_a

b

可 以等於何值？或是何種表示法？再藉由運算性質

log_a

x

^r =

r

log_a

x

來推導運算性質log_a

a

^r = 。

r

教學目標：讓學生了解 log 1 0_a = 、 log_a

a

= 及1 1

log_a log_a

b

b

= − ，並能正確 的做出運算性質log_a

a

^r = 的計算。

r

5.教學活動五：復習指數與對數的對應關係，再推導出運算性質

a

^logab = 。

b

教學目標：學生能正確的使用運算性質

a

^logab = 於化簡求值。

b

先備

義。

中是不成立的，而由

悉此運算性質的正確用法。

(3) 讓學生藉由觀念思考題中就

夠使用log_a

b

^r =

r

log_a

b

此性質

(2) 舉例說明，並讓學生隨堂練習，熟 悉此運算性質的正確用法。

針對的成因：8-b. 以為log log

c c

b a

是口訣中「相除即相減」的相 除，相減就是真數相減，所以 得到log

log

c c

b

a

會等於

log (_c

b a

− 。8-c.以為是舊經驗) 中的分配律，可以提出公因式

log_c來，使得log log log

c

c c

b b

a

=

a

。 五、半結構性的面談

研究者採用半結構性的面談來瞭解學生在對數概念及其運算性質診斷測驗 答題時的想法，特別針對診斷測驗試卷中學生的答案做適度的引導，讓學生利用 口述或紙筆的方式自由地表達出自己的想法或作法，研究者希望藉此瞭解學生在 學習對數時所產生的錯誤類型並且進一步分析學生犯這些錯誤類型的成因。

第四節 研究步驟

在文檔中 高中生在對數概念及其運算性質的主要錯誤類型及其補救教學之研究 (頁 49-78)