二次不等式相關研究

關於二次不等式的相關研究，國內的研究大多為針對學生二次不等式的運 算錯誤或迷思概念的所作的研究，其研究對象包含高中與高職學生，研究主題 均為一元二次不等式的錯誤類型、錯誤產生原因，以及對於二次不等式錯誤概 念的研究，茲歸納分析如下：

陳彥宇（2008）在針對高雄市三所綜合高中三個年級的 469 名學生，其自 編的一元二次不等式評量的測驗中所得出的結果指出，學生錯誤人數超過 10％

的最顯著錯誤類型有四類：

1. 不等式求解過程計算的錯誤 2. 兩項積符號所引發的錯誤 3. 解概念的錯誤

4. 題目文字圖形轉譯的錯誤

研究中並分析造成學生錯誤的原因，其中非理解性的記憶與文字圖形轉譯 能力不足，為其中的兩項。此結果顯示學生只學習到解題的程序法則，不瞭解 其蘊含之數學意義，以及學生對於不同表徵之間的轉移能力不足，是造成二次 不等式解題錯誤的主要原因。本文欲深入分析，學生對於二次不等式的代數 式、圖形、表列三種表徵，其理解情況與轉移的能力為何？學生是否存在熟習 與不熟習的表徵轉移模式？

張淑蘭（2008）針對嘉義市一所國立商職一年級兩個班級 73 位學生所作的 一元二次不等式概念測驗，其研究結果發現：

1. 學生的錯誤類型主要有：使用錯誤的消去法、錯誤推廣、將不等式兩邊 任意同除以未知數、公式解記錯、無理數的計算認知有誤、因式分解錯 誤、不等式開方錯誤、亂猜的方式作答、計算化簡錯誤、對公式解或配 方法的使用不熟悉、移項錯誤、忽視絕對值符號、只將絕對值不等式的 其中一邊平方。

2. 錯誤發生的原因有：先備知識不足、對『解不等式』的真正意義沒有概 念、無法將解的範圍以不等式表示、教師教學的影響、粗心問題、將方 程式的概念錯誤推廣到不等式。

張淑蘭並針對二次不等式的圖解法解題策略，做了錯誤原因的分析，結果 學生在二次不等式圖解法的錯誤類型可歸類為八大項：

1. 無法將圖形與題意結合，缺乏這類的數學能力。

2. 無法利用已知的圖形解決問題。

3. 不清楚判別式的正負值與 x 軸的交點個數有關。

4. 缺乏理解的能力，常以死背的方式學習數學。

5. 一元二次方程式與一元二次不等式的概念混淆。

6. 忘記如何畫出二次函數的圖形。

7. 直觀、猜測的方式作答。

8. 對於數學仍是習於計算，而較不習慣思考。

張淑蘭對於二次不等式圖解法的研究結果，與本文前導性研究的結果相 同，顯示學生對於二次不等式圖形表徵的不瞭解，極可能不只是少數學生的問 題。的分析中提及：學生無法將圖形與題意結合、無法利用已知圖形解題、不 清楚判別式的正負與 x 軸交點個數有關、不等式與方程式混淆、忘記如何繪製 二次函數圖形等，均與本文欲探究的問題：高職學生對於二次不等式的學習困 難與錯誤概念為何？學生對於不同形式的表徵彼此之間轉移的能力為何？

吳季鴻（2001）對 321 位公立高中高三的學生做過關於二次不等式運算錯 誤類型的研究，結果發現學生容易產生七種類型的錯誤：

一、 因式分解錯誤

7. 不會由二次函數圖形直接看出一元二次不等式的解

陳聖雄以 PowerPoint 為工具作一元二次不等式的動態圖解教學，並搭配以 Visual Basic 程式所撰寫的二次函數繪圖軟體的動態圖形展示，進行二次不等式

6. 二次不等式正定性的錯誤 7. 不同表徵間轉移的錯誤

二、 二次不等式的錯誤發生原因 1. 非系統性的疏忽

2. 受到直觀法則影響

3. 程序性知識所產生的錯誤 4. 不瞭解方程式與不等式的差別 5. 不瞭解不等式的運算規則 6. 不瞭解不等式解的意義

7. 不瞭解二次不等式正定性的意義 8. 無法整合不等式的圖形與代數表徵

從這幾份研究結果中可以看出，學生對於二次不等式產生的錯誤與不等式 解的意義、不同形式表徵的整合、二次不等式正定性的理解，均有很高的關聯 性，但國內對於學生學習二次不等式的研究，大多著重於錯誤類型的歸納，卻 未能深究其錯誤發生之原因，是對於表徵的理解不足，還是對於不同表徵之間 的轉移能力不足所致。因此，本文欲探究學生對於二次不等式的表徵認知，並 針對高職學生學習二次不等式，設計一套以多重表徵方式呈現的教學活動，深 入探究學生在教學活動之後，對於二次不等式的表徵整合情況究竟為何，從學 生作答的表徵運用情況與訪談資料中，深入分析學生在二次不等式所產生的錯 誤、困難，與二次不等式表徵理解和運用之間的關聯。

根據P. Tsamir 與 N. Almog（2001）分析學生在解決關於線性（一次）不等 式、二次不等式、分式不等式與根式不等式的研究中，學生容易犯下列五種類 型的錯誤：

一、 忽略棄卻值。

二、 邏輯符號運用的錯誤。

三、 不等號兩邊同時乘除非正的數值。

四、 將乘積的正負與因數的正負做錯誤連結。

五、 將不等式當作等式來解。

在這份研究中，研究者將學生的解題策略分為代數操作、繪製圖形、利用 數線三種形式來加以分析，結果發現採取繪製圖形策略的學生，答對的比率最 高（P. Tsamir, N. Almog，2001）。這樣的結果顯示出，在二次不等式這個數學 單元中，若是學生能夠具備整合不同表徵的能力，在解決二次不等式數學問題 上，遠較只具備在相同表徵之中轉換能力的學生，表現要來得更佳。本文亦將 探討，學生在動態鏈結多重表徵環境下的學習，是否較能學習整合不同表徵的 能力？其解題答對率，是否如同 P. Tsamir 等人所做的研究一般，具備整合多重 表徵能力的學生，會有較佳的表現？