研究動機

P. Tsamir 與 N. Almog（2001）從表徵的觀點來分析學生在解決關於線性

（一次）不等式、二次不等式、分式不等式與根式不等式的研究中分析：學生 在不等式的解題策略上大致可以分為代數操作、繪製圖形、利用數線三種表徵 形式策略，而研究結果發現：採取繪製圖形策略的學生，答對的比率最高；且 採取圖形策略的學生中，有一半的學生懂得合併數線來幫助解決 and、or 等邏 輯性的問題。由 P. Tsamir 與 N. Almog 的此研究結果可以看出，學生若能理解多 種不同形式的表徵，並學會利用適當表徵來解題，對於解決關於不等式的數學 問題，具有較佳的解題表現。

在國內對於二次不等式的相關研究中，吳季鴻（2001）針對 321 位公立高 中三年級學生所做的研究當中顯示出，學生在做圖形表徵型的二次不等式題目 時，出現兩個現象：一是有作答的學生答對率很高，二是此類型題目未作答的 比率相對於其他類型的題目，要來得較高。這兩個現象反映出：圖形表徵問題 困難度並不高，以至於有作答的學生答對率很高；但大多數的學生卻對於圖形 表徵無法理解，導致空白率也高的現象。這也許是由於考試題型的難題大多偏 重計算，再加上考試領導教學的效應，教師在教學的時候著重於二次函數的因 式分解、公式解等代數表徵的操作，學生亦較能正確處理代數形式的資訊，但 對於二次不等式的學習，學生卻只學習到利用代數操作來解題的程序法則，並 沒有建立完整的數學概念，進而產生了學生對於二次不等式代數以外的其他表 徵無法理解，多重表徵之間無法有效連結的結果。

根據研究者的教學經驗與相關文獻，以及國內相關的研究論文指出，學生 對於二次不等式的多重表徵之間的轉移，存在許多困難與錯誤（吳季鴻，

2001；陳聖雄，2005）。在現行高職教材中，對於二次不等式的教材編寫方 式，大多未能配合圖形表徵整合代數表徵，來解說如何解二次不等式，而是直 接由代數操作或配合數線說明不等式解範圍，來解說如何解二次不等式（如圖 1–2）。

圖1–1 二次不等式解範圍教材編寫方式（摘自工職數學 C，龍騰出版社，2009）

研究者發現在二次不等式的教學實務上，經過教師解說課本內容，並進行 類似題型的練習，但並未配合二次函數圖形解說二次不等式解範圍的意義，在 此形式的教學活動之後，學生在解二次不等式的表現上，容易產生錯誤概念。

以下列兩種類型的問題為例：

問題一：對於領導係數為負之二次不等式容易產生系統性錯誤。例如：

題目：(x+3)(x–7) < 0

解答：因式分解之後小於0，故解在–3 與 7 之間，解為–3 < x < 7 。 這樣的解題過程與答案均正確，但學生對於下列類型題目，亦會使用類似 的程序處理，產生錯誤卻不容易發覺：

題目：(x+1)(4–x) < 0

解答：因式分解之後小於0，故解在–1 與 4 之間，解為–1 < x < 4 。

問題二：無法處理二次方程式有重根或無實根的情況。例如：

題目一：x² – 2x + 1 > 0

解答一：最後學生的答案常是「x > 1」 或者「x >1 or x < 1」 兩種。

題目二：x² + x + 1 > 0

解答二：學生的解題過程大多是：因為 x² + x + 1 = 0 無實數解，故此題無 解。

這兩種類型的問題，探究其根源，均是由於學生對於二次不等式的概念只 有程序法則的記憶，而沒有數學概念的理解，更無法整合圖形表徵來解二次不 等式的問題，因此容易產生解題錯誤與困難。又例如對於處理二次函數正定性 的問題，高職教材常以歸納方式編寫：

圖1–2 二次不等式正定性教材編寫方式（摘自工職數學 C，龍騰出版社，2009）

在缺乏函數圖形理解的情況之下，這樣的說明容易造成學生將歸納結果視 為判別式正負充分條件的錯誤概念：

圖1–3 判別式與不等式錯誤連結圖

對於二次不等式的教學未能配合二次函數圖形，在教學實務上發生的問 題，還有學生無法靈活運用二次不等式各種表徵。在研究者針對高中二年級 111 位學生，以二次不等式紙筆測驗方式進行的前導性研究中發現，學生在二 次不等式的解題策略上，表徵運用十分單一且僵化，亦即無法適當地運用不同 表徵來解決問題。例如學生面對下列問題時，其解題情況如下所述：

a.已知 x² + bx + c = 0有兩個解3,5，求x² + bx +c > 0的解。

這個題目若是能夠以圖形表徵來解題，則事半功倍，由方程式兩根配合領 導係數，畫出二次函數的略圖，從圖形中即可得出，函數大於0 的解即為 x > 5 或 x < 3。但是當學生在解此題時，答題者中卻有 83％學生採取代數策略來解 題！亦即先將兩根代入方程式，將方程式解出後，再做因式分解，從分解式中 求出不等式的解。為了要瞭解學生究竟是否受到題目的文字敘述方式影響，因 此設計了下題來做比較。

B.已知(6,0)、(1,0)兩點在拋物線y = 2x² +bx +c的圖形上，求2x² +bx +c < 0的 解。

此二題可以說是意義相同的題目，只是在後者敘述上有較為強烈的圖形表 徵字眼（點、拋物線、在……的圖形上）。測驗結果相當耐人尋味，學生在解 B 題時，果然有較高比例的學生試圖將(6,0)、(1,0)兩點在 x 軸上標出來，但是畫 完函數圖形之後，卻依舊以（與 a.題）相同的代數操作模式來解題。此題以代 數策略解題的比例，與前一題幾乎完全相同（在答題者當中以代數策略解題比 例，A 題 83％，B 題 84％）。這顯示出學生對於圖形表徵的理解存在困難，否 則不應捨棄較為便捷迅速的從圖形表徵中解讀出不等式的解，反而採用較為繁 瑣複雜的代數運算來解題。

研究者欲瞭解學生的問題是否真正出自於無法理解二次不等式的圖形表 徵，因此設計了 C 題來測驗學生：

C.圖為二次函數y = f(x)的圖形，求f(x) < 0的解。

此題設計的目的是在探究學生是否能夠從二次函數圖形中，解讀出二次不 等式的解範圍，測驗結果只有12％的學生可以答對，而且其中有 13％的學生嘗 試使用求出二次函數，再因次分解，最後求出二次不等式解範圍的繁複代數操 作方式，以得出解答。此結果顯示有很高比例的學生對於二次不等式的圖形表 徵無法理解與應用，因此無論面對何種類型的題目，均傾向使用代數操弄來解 決問題。

Vinner（1983）對於抽象概念的認知結構，主要有兩種元素，即概念心像

（concept images）與概念定義（concept definition）。而概念心像又可分為心智 圖像（mental pictures）與概念屬性兩個部份。一般初學者解題時所應用的是概 念心像而非概念定義（Vinner & Hershkowitz, 1980）。因此，若能以圖形表徵 建立學生對於二次不等式的概念心像，進而結合代數表徵、數值表列表徵等，

應更能幫助學生建立對於二次不等式初始的認知。

根據研究者的教學經驗，在教導二次不等式這個單元時，學生所接觸的教 學內容絕大多數是以代數表徵呈現，也許是由於考試領導教學的緣故，由於在 升學考試中，題目的形式大多以代數表徵形式出現，因此教師在教學的時候，

有很長比例的時間亦是以代數表徵來進行教學活動。因此學生對於圖形表徵不 熟習，因而產生了對於題目以圖形形式來呈現時，大多數學生無法讀取出正確 且足夠的資訊用以幫助解題；也因為對於圖形表徵的不瞭解，亦無法利用圖形

表徵的優點，適當運用以解決數學問題。因此，學習不同表徵之間的轉換，是 數學教學中不可或缺的一環（Kaput，1989）。因此，如何設計適當的多重表徵 形式的學習環境，是本文的研究問題之一。

由於電腦科技日益發達，資訊融入教學的困難度也日漸降低，許多學科均 利用電腦軟體來設計適當的多媒體輔助教材，來輔助教師教學，也幫助學生學 習。依據動態幾何學習理論來分析，學生在動態鏈結多重表徵環境中學習數學 概念，其所接觸到的訊息，以及產生的學習行為與思維，與傳統講述環境有很 大不同，兩者的不同是否會造成學習成效的差異？本文將嘗試改變高職數學在 二次不等式的教學方式，以多重表徵形式來呈現二次不等式的教學內容，並研 究在動態鏈結多重表徵的學習環境下學生學習二次不等式的結果，是否較能整 合不同形式表徵，進而以適當表徵形式來解決問題，以期能提出對於二次不等 式的教學更具體且實用的建議。