研究結論

一、 學生對於二次不等式的表徵認知

本研究對於二次不等式的表徵認知結構從二次函數的意義開始，加入不等 式解的概念，發展成二次不等式的數學概念，再分析學生在解二次不等式與對 於二次不等式正定性的表徵認知與運用能力，形成二次不等式的表徵認知結 構。

圖5–1 二次不等式表徵認知結構圖

二次函數在表徵理解使用的部份中，探討學生對於代數式、圖形、語意、

數值、點集等五個基本表徵的理解。測驗結果顯示學生對於代數式與點集的辨 識較無困難；對於二次函數的語意只有少數學生以代數式定義來說明，大多以 概念心像或概念性質的方式來解釋，顯示學生對於何謂二次函數，普遍存在拋 物線等心智圖像，或是存在極值、x²項係數不為 0 等概念性質，並以此作為二 次函數的定義。

在教學活動前，學生對於圖形表徵的辨識存在自變數與應變數角色混淆的 問題；對於數值表徵的理解亦存在困難。從學生答題的狀況與訪談的內容中可 以發現，學生對於數值表徵理解的困難有兩種類型：一是將二次函數的自變數 x 與應變數 y 角色混淆的錯誤；另一則是無法理解二次函數圖形其數值意義，亦 即無法從二次函數圖形中解讀出何謂 x 值、何謂函數值。經過二次不等式教學 活動之後，學生對於圖形表徵的辨識以及數值意義的理解均有大幅進步。

在不同表徵之間的轉移，前測結果顯示學生對於代數轉移至表列、表列轉 移至圖形、代數透過表列轉移至圖形這三種轉移程序較為熟練，答對率較高；

其他轉移程序均存在困難與錯誤概念。

在不等式解的意義的表徵認知上，學生對於代數表徵與圖形表徵，除了語 意上的誤解以外，大多可以理解與使用，但對於表列表徵，部份學生容易受限 於表列中離散數值的影響，無法分辨二次函數的連續性與表列表徵離散性兩者 之間的差異，進而影響二次不等式解範圍的解讀。

在解二次不等式與二次不等式正定性的表現上，學生對於恆正恆負型的二 次函數，其對應之二次不等式答對率較低，亦存在較多錯誤概念；對於判別式 的正負性質，則容易與拋物線開口方向、函數值、二次函數恆正恆負等產生錯 誤連結概念。

學生解二次不等式的表徵運用策略可分為純粹代數操作的純代數策略，以 及整合代數表徵與圖形表徵的多重表徵策略兩種。採用多重表徵策略解題者，

表徵運用具有靈活性，平均答對率較高，由解題過程與訪談資料中發現，其解 題思維結構亦較為簡單，因此較少出現錯誤概念；相較之下以純代數策略解題 者，表徵運用單一且僵化，平均答對率較低，解題過程較為繁雜，因此思維中 亦出現較多的錯誤概念。以統計來做量化的分析，發現若將整體學生分為高分 組、中分組、低分組（各組人數大約相等）來加以比較，三組之間學生的解題 表徵運用策略均存在顯著差異，愈高分學生愈傾向使用多重表徵策略來解題，

亦即在二次不等式的表徵認知較為完備的學生，較傾向使用多重表徵策略；對 於二次不等式的表徵認知較不完備者，則較傾向使用純代數表徵策略。

二、 動態鏈結多重表徵學習環境

本研究的教學活動設計，將二次不等式分解為二次函數的的點集及其圖 形、二次函數圖形與 x 軸的交點、解二次不等式、二次不等式的正定性等四個 教學活動單元，以表徵理論與動態幾何學習理論作為理論基礎，使用 GeoGebra 配合 JavaScript 語言，來設計動態鏈結幾何教學課程。

本研究所設計的動態鏈結多重表徵學習環境，與傳統講述學習環境相較之 下，能夠具體呈現二次不等式多重表徵之間的鏈結性為其最大特色。動態鏈結 的視窗環境將教學視窗分為代數表列說明區與圖形區兩個部份，視窗左邊為圖 形區，呈現二次不等式的圖形表徵，視窗右邊是代數表列說明區，呈現二次不 等式的代數表徵與表列表徵，並設計按鈕、數字軸、動點、文字解說、動畫 等，讓學生能夠透過教師的示範，以及學生本身親自操作與觀察，察覺到二次 不等式多重表徵之間的鏈結關係，學習到二次不等式多重表徵的整合。

透過動態鏈結多重表徵的設計，可以讓學生即刻觀察到二次函數代數式、

表列、圖形之間的連結性，無須受到紙筆運算對於數值複雜度與計算速度的限 制，以及粉筆黑板呈現方式的限制，只能利用少數的點來臆測函數圖形，或只 能觀察離散的、靜態的圖形，且無法從一個表徵的變化，觀察到另一個表徵立 即對應的變化。

三、 動態鏈結多重表徵環境之教學成效

在教學活動之後所實施的二次不等式概念測驗，以數學結構與表徵運用能 力為兩個向度來設計。結果發現，學生在數學結構中的解二次不等式，以及表 徵運用能力中的表徵整合於數學思考與應用部份，兩組學生的整體表現達到顯 著差異的程度，實驗組學生表現較佳。再深入分析兩組學生在解二次不等式的 表徵整合能力上，發現實驗組學生的表徵能力，較具有豐富性與靈活性，亦即 實驗組的學生較能夠整合多種不同形式的表徵，以較為適當的、較為多元的表 徵形式來解決問題。比較多重表徵策略與純代數操作策略，其答對率亦有很大 的差異：多重表徵策略答對率高達 98.6％，純代數操作策略答對率只有 55.3

％。且兩組學生的解題表現比較上，答對率具有顯著差異的試題，其解題表徵

運用策略的方式亦具有顯著差異，足見解題表徵運用策略是答對率是否具有差 異的最主要原因。

由於兩組學生在科別、性別分佈、年級、入學分數、教學教師、二次不等 式先備知識的表現上，均為相同或無差異的情況，因此我們可以說，兩組學生 在二次不等式的教學活動之前的起點行為是相同的。因此兩組學生在二次不等 式測驗的表現差異性，應可歸屬於學習環境不同所造成的差異。

雖然動態鏈結多重表徵環境的實驗組與傳統講述環境的對照組，其教學活 動分解與教學活動目標設定均為一致，但兩者除了所使用的教學媒體不同以 外，亦連帶影響學生所接收的訊息與知識的建構。在動態鏈結多重表徵環境 中，多重表徵的呈現方式是連續的、動態的、可操作的，學生能夠透過觀察與 操作，察覺到不同表徵之間的立即呈現出來的關聯性。動態幾何學習理論，強 調讓學生能夠從連續的、動態的圖形，觀察到圖形變化的模式，能夠幫助學生 建立動態心像。再加上電腦視窗化的呈現方式，能夠在同一個畫面中，呈現多 種不同形式的表徵，並能夠讓使用者自由的切換或觀察其中的連結，因此我們 可以說，動態鏈結多重表徵的學習環境能夠將數學概念中的表徵連結關係具體 且立即地展現出來，有助於學生學習數學概念中的多重表徵之間的連結關係，

進而幫助學生學習整合不同表徵用以解決問題的能力。