第四章 研究結果
第四節 學生對於二次不等式表徵整合能力之分析
學習者以二次函數的數學結構為基礎，加入不等式解的意義的概念，形成二次 不等式的數學概念；對於二次不等式表徵整合能力的分析則分為解二次不等式 以及對於二次不等式正定性的瞭解兩個部份。結構方式如圖4–27。
在二次不等式的表徵認知中，函數的意義要探究學生在前測中表現較差的 二次函數圖形、數值等概念的理解情形；不等式解的意義則分為代數式、圖 形、表列三種不同的解的表徵形式。在對於二次不等式正定性的概念理解中，
探究正定性以代數或圖形表徵呈現，學生的理解程度為何，對於正定性與判別 式（表徵形式亦分為代數與圖形兩種）之間的關係是否瞭解。在解二次不等式 的表現上，探究學生不同的解題策略之運用情形與其中蘊含表徵思維的差異 性。
圖4–27 二次不等式表徵認知結構圖
以下對於二次不等式表徵認知中，四個主要的概念組成因子與概念表現，
均以量化與質化兩種方式，來分析兩組學生表現的異同之處。量化的方式為比 較兩組學生在各概念及表徵方式對應的試題其答對率的高低，來分析兩組學生 在二次不等式學習表現上的差異。質化的方式為從學生作答內容與訪談敘述 中，分析學生對於各數學概念的表徵結構方式以及產生之錯誤概念。
表4–3 後測測驗結果分析表5
後測正確率
探究學生解題的表徵方式其靈活性與豐富性，兩組學生的表現是否有所不同。
這裡所指稱的豐富性是學生能夠整合多種不同的表徵形式，能夠以愈多種不同 形式的表徵來解決問題者，即為表徵方式較具豐富性；靈活性則是指學生能夠 整合多重不同的表徵形式，能夠以較適當的表徵形式來解決問題者，即為表徵 方式較具靈活性。以下先從量化的數據，再從質化的資料來比較，兩組學生表 現的差異情況。
測驗結果分為兩個面向來分析：數學結構與表徵運用能力。本節以數學結 構為主軸來加以分析。測驗結果兩組學生的表現，在函數的意義、不等式解的 意義、二次不等式的正定性三者，實驗組學生表現雖然較佳，但與對照組學生 的差異，並未達到顯著水準。但在解二次不等式的部份，實驗組的學生表現較 佳，且與對照組學生的差異達到顯著水準。以下先以四個數學結構為主軸，分 析兩組學生的解題表現以及產生的錯誤概念，再針對兩組學生的解題表徵運用 策略來加以比較與討論。
一、 學生對於二次不等式的解題表現 (一) 函數的意義
圖4–29 函數的意義學生表現比較圖 函數的意義
0 20 40 60 80 100
圖形 表列數值 數值 解方程式 圖形轉代數 代數轉圖形
實驗組 對照組
經過教學活動之後，兩組學生對於二次函數圖形的辨識以及圖形的數值意 77.1％，對照組 77.1％），但在訪談中發現，部份學生仍對於函數圖形存在錯
誤概念：在函數圖形的部份，對於自變數與應變數的角色仍有混淆的情況。
（以下訪談內容，R 為研究者，S1～S6 為受訪學生）
R：解釋一下，你是怎麼做這一題的？
S5：……
R：比方說，這一題你有選 b 對不對？那說明一下你為什麼會選 b？
S5：……帶進去……是負的
此生在訪談中表示，將 x = –3 帶入為負，但事實上是，x 本身為負，但題目 表列表徵中顯示其對應的 y 值為正，顯示部份學生在經過教學活動之後，對於 二次函數表列表徵中自變數與應變數，仍與前測一樣存在兩者角色混淆的問 題。
(二) 不等式解的意義
不等式解的意義
0 20 40 60 80 100
代數 圖形 表列
實驗組 對照組 圖4–30 不等式解的意義學生表現比較圖
從量化的觀點來看，兩組學生對於不等式解的意義表現差異不大，對於圖 形的理解答對率較高，表列與代數則只有不到 50％的答對率。學生大多可以從 二次函數圖形中解讀出二次不等式的解範圍，但對照組學生對於開口向上的拋 物線，答對率較開口向下的拋物線高，實驗組則完全相同；在訪談中發現，部 份學生對於從圖形中解讀出不等式的解仍存在不等式大於 0 則解範圍為 x < α
或 x > β等錯誤概念，此錯誤概念會影響當學生面對開口方向不同拋物線時，
致。在訪談中，發現學生對於解的個數存在兩種錯誤概念：一是認為解應該為
R：那這題（訪談卷 11 題）數字跟原本這題有點不太一樣，那你也是代數
對於不等式解的表列表徵，答對率只有一半。分析學生的錯誤類型，比例
此生明顯無法利用二次不等式的表列表徵的意義來直接解題，因此所採取 的方式是利用表列中的數值將二次式的係數求出，再將表列中函數值為正者帶 入計算。對於二次不等式的各種表徵無法靈活運用的學生，常需要更為繁複的 代數操作來解題。
(三) 二次不等式之正定性
二次不等式的正定性
0 20 40 60 80 100
代數 圖形 判別式代數 判別式圖形
實驗組 對照組
圖4–31 二次不等式正定性學生表現比較圖
兩組學生在二次不等式正定性的解題表現上大多沒有差異，唯有代數表徵 的題目，測驗結果達到顯著差異水準，且亦為實驗組學生表現較佳。深究其中 的原因，發現與解二次不等式的差異性原因相同，亦是由於兩組學生解題策略 不同所造成。此題學生解題方式有兩類：一是計算判別式的正負之後，以拋物 線開口方向來判定，完全以代數表徵操作解題；二是計算判別式之後，配合 x2 係數正負，畫出圖形的整合多重表徵方式來解題。兩組學生在答對率以及解題 策略上，有很大的不同。實驗組三個小題答對率都明顯較高（三個小題答對 率：實驗組 74.3％、65.7％、60.0％；對照組 51.4％、54.3％、45.7％），而且 實驗組平均每小題有 5 位學生畫出圖形來輔助解題，對照組則完全沒有。其他 沒有差異的三種試題，兩組學生作答的解題策略亦沒有顯著差異。由此可見在 二次不等式的表徵認知測驗中，學生解題的表徵策略是影響答對率的重要因
素。分析學生的錯誤類型，對照組平均每小題有 4 人誤將函數值的正負當作判
圖4–32 函數圖形與判別式正負的思考歷程圖
在二次不等式正定性的相關概念中，兩組學生在代數表徵的差異較大，探 究其原因，是因為兩組學生所採用的解題策略不同所致。實驗組學生在解正定 性代數表徵類型的題目，部份學生能 夠整合代數與圖形表徵來解題（15.1
％），而對照組學生則全數（100％）採取記憶法則的方式來解題。分析學生在 此部份的錯誤概念，大致可分為下列幾個類型：
1. 不瞭解函數圖形所產生的錯誤
R：第 16 題，你怎麼樣判別這一題的答案是 d？可不可以簡單講一下？
S5：就這邊是負的（指 y 軸左方的區塊）。
R：所以意思是 y 軸的左邊？
S5：嗯，所以就這一個。（意指 d 圖）
R：因為這三個圖都有超過（y 軸）就對了？
S5：嗯嗯嗯。
學生認為 y 軸左方為負，y 軸右方為正的錯誤概念，但是在選擇的時候卻又 以圖形是否有跨越 y 軸左右兩邊為選擇標準。顯示學生對於自變數與應變數在 圖形上的表徵形式不瞭解，會對於正定性的概念產生解題錯誤。
2. 以拋物線開口方向來決定判別式正負的錯誤
部份學生由二次函數圖形的開口方向來決定判別式的正負。在前測結果中 發現，學生對於二次函數代數式中 x2項係數與二次函數圖形拋物線開口方向之 間的關係，有較高的答對率，顯示學生大多能夠瞭解兩者之間的關聯性，因此 在面對無法解決的題目時，部份學生雖知道可能是錯誤的，但仍以代數式中的 x2項係數正負，來判斷其判別式的正負：
（1）S3 生訪談
3. 將函數值與判別式混淆產生的錯誤
S5：（思考很久）……
作的純代數策略，以及整合代數表徵與圖形表徵用以解題的多重表徵策略。使
由於學生在二次方程式的學習經驗中，遇上無法因式分解的二次方程式，
可以公式解來求出解答。由公式解演繹出二次方程式的根與判別式正負性質的 連結為：
b2–4ac > 0 方程式有二相異實根 b2–4ac = 0 方程式有二相同實根 b2–4ac < 0 方程式無實根
因此對部份學生而言，受到既有學習經驗的影響，對於二次不等式求解時 亦會使用相同的策略：先嘗試因式分解，若無法因式分解，則以公式解求解。
在公式解中發現，判別式 b2–4ac 小於 0，則得出與二次方程式相同的結論：無 實根，亦即不等式無解。
R：13 題的這兩個小題，你是怎麼算的？
S4：我是直接帶公式，2a 分之–b 加減根號 b2–4ac（意指二次方程式的公式 解），其他……小於 0 就無解（意指判別式小於 0，則不等式無 解）……等於 0 的就是兩個相同實根，大於 0 的是兩個相異實根 R：所以你這一題（13–5）算出來是無解？
S4：嗯
R：這一題（13–6）也是一樣？
S4：嗯
在接受訪談的 12 位學生中，有四位學生產生同樣類型的錯誤，與不等式解 的意義相同的錯誤原因，均為對於二次不等式的解與判別式的正負性質，產生 錯誤連結所導致。
2. 受到直觀法則產生的錯誤
圖4–34 解二次不等式受到直觀法則產生的錯誤示例一
在完全平方式的二次不等式中，有部份學生的解題過程受到直觀法則的影 響，將不等式兩邊同時開方，因而得出錯誤的結果。這樣的學生兩組共有 11 人，佔所有錯誤學生的64.7%。
3. 無法因式分解的題目產生的錯誤
在訪談活動中，部份學生表示，無法因式分解的二次不等式，會造成學生 解題上的困難。因此我們發現有部份學生，受到解二次不等式的解題程序法則
在訪談活動中，部份學生表示，無法因式分解的二次不等式，會造成學生 解題上的困難。因此我們發現有部份學生，受到解二次不等式的解題程序法則