學生對於二次函數表徵的認知之分析

由教材地位來分析，二次不等式的先備知識最主要為二次函數與二次方程 式。讓學生從二次函數的分解式與圖形、二次方程式的解複習開始，再與不等 式解的意義連結，形成二次不等式的概念，為現今高中數學課程對於二次不等 式的課程安排方式，亦為本文所設計的二次不等式教學活動主要的設計架構。

因此在教學活動之前，必須先探討學生對於二次函數與二次方程式的表徵認 知，瞭解學生的起點行為，並對於教學活動的流程與解說方式進行適當的調 整，以期能夠達到最佳教學成效。

因此，在教學活動前的測驗（以下簡稱前測）試題設計上，以數學概念與 表徵運用能力為兩個向度來設計對應試題，測驗結果分析如下：

表4–1 前測答對率雙向細目表³

一、 學生的二次函數表徵運用能力 (一) 表徵理解與使用

在表徵理解與使用此部份的統計結果中可以看出，學生對於代數表徵形式 的題目（代數與點集），答對率較圖形表徵形式的題目（圖形與數值）來得 高。分析詳述如下：

答對率高⁴的代數試題與點集試題，均是以代數形式來呈現的二次函數基本 表徵。代數試題是要學生辨別出二次函數的代數式形式，並指定 x 為自變數，y 為應變數。學生大多能夠掌握，二次函數的代數式表徵自變數最高次應為二次 的觀念，且能夠從代數式表徵中，辨識出自變數與應變數的不同。點集試題是 要測驗學生是否理解點在二次函數圖形上的代數意義。大多數學生均能掌握，

要檢驗點是否在二次函數上，即是將點的座標數值分別帶入二次函數的 x 值與 y 值，若等式能成立者，表示點在函數圖形上，若等式不成立者，表示點不在圖 形上。此題答錯的學生，由學生答題的計算過程來檢視，全數均是由於計算錯 誤的疏忽而導致，並非不瞭解點集的數學概念。因此我們可以說全數學生均能 夠瞭解二次函數點集表徵的意義。

答對率中等的數值試題，是要測驗學生是否能理解二次函數圖形的數值意 義，並從中解讀出何者函數值為負。此題題型為選擇題，整體答對率只有 50.6

％。此題題目要求學生從二次函數圖形中，選擇出函數值為負者，而答錯的學 生中，最多的答案是選擇 x 值為負，達到錯誤學生中的三成。此類型的錯誤概 念是，將自變數與應變數角色混淆，題目原意是要求作答者選出應變數為負 者，而錯誤學生中有三成則是選出自變數為負者（如圖4–4）。

4答對率的高中低以整份試題全部樣本的平均答對率，加減1/2 標準差，來分析答對率的高中低 三種等級。前測的答對率 r 分析以 r  62.6％為高，45.3％ < r < 62.6％為中，r  45.3％為低。

圖4–4 數值錯誤概念示例

答對率低的圖形試題，是要測驗學生是否能夠正確辨識出何者為函數圖 形。函數圖形最明顯的特徵為，定義域內的 x 值必能對應至一個 y 值。其意義 來自函數中自變數必能對應到一個，且只有一個應變數，即為函數值。而自變 數與應變數的圖形表徵，即為點的 x 座標與 y 座標。此題沒有答對的學生，大 多是因為 E 選項勾選了否。E 圖是一個不連續的函數圖形，測驗結果顯示有 94.3％的學生認為，這樣的圖形並非函數圖形，顯示絕大多數的學生有著「函 數圖形必為連續圖形」的錯誤概念。而若以 ABCD 四個拋物線圖形（開口方向 分別為下、上、右、左）來統計，四個圖形均答對者，答對率為 53.3％，屬於 中等等級。顯示學生對於二次函數 y = f(x)的圖形表徵，亦有自變數與應變數混 淆的問題，因此無法分辨出開口向上下或開口向左右，兩者的自變數與應變數 有何差異。

答對率低者還有第 3 題二次函數的語意。此題是要測驗學生，是否能以適 當的文字符號來描述二次函數。本題以學生能夠描寫出二次函數為 y = ax² + bx +c （a ≠ 0）的概念定義為正確答案，其中未寫出 a ≠ 0 者，視為非系統性錯 誤的疏忽，而予以排除，亦算是寫出語意的正確形式。統計結果僅有 16.9％的 學生能夠答對。其餘學生多以概念心像的方式描述，例如：「圖形為拋物線」

「式子中有 x²項」「x 最高次方為 2」等心智圖像或概念性質的方式來描述（如 圖4–5、圖 4–6、圖 4–7）。

圖4–5 定義錯誤概念示例一

圖4–6 定義錯誤概念示例二

圖4–7 定義錯誤概念示例三

在表徵理解與使用此部份的統計結果中可以看出，學生對於代數表徵形式 的題目（代數與點集），答對率較圖形表徵形式的題目（圖形與數值）來得 高。Kaput（1989）曾經在著作中提過，學校教學大多偏重代數表徵。因此學生 對於代數表徵的意義較容易掌握，學生對於二次函數的表徵認知差異性由此可 推論應與學校教學活動所採用的表徵形式，以代數形式居多有關。

(二) 表徵內轉換

二次多項式的表徵內轉換，最主要的表徵形式為代數式表徵形式內的相互 轉換。基本表徵形式包含二次多項式代數式的三種表徵（一般式、配方式、分 解式）相互的轉換；解析運算則是解二次方程式，此外，求二次函數的極值亦 需要代數式表徵形式內的轉換能力。

二次多項式的三種表徵形式分別為：

1. 一般式（ax² + bx + c）

2. 配方式（a(x – h)² + k）

3. 分解式（a(x –α)(x –β)）

其中，一般式除了是最常見的二次多項式代數表徵所採用的形式外，亦是 配方式與分解式的展開結果，而多項式的展開對於大多數的學生而言，屬於較

為基礎且容易的計算能力，因此本測驗中未設計相關試題。研究者希望能夠瞭 解的是，從一般式形式，轉換至配方式，以及從一般式形式，轉換至分解式，

學生的轉換能力如何？學生的兩種轉換能力是否有所差異？

圖4–8 二次多項式三種代數表徵內的轉換

從測驗的結果可以發現，相對於一般式轉換至配方式，學生從一般式形式 轉換至分解式，答對率較高。顯示學生對於因式分解的表徵轉換能力，大多沒 有困難，亦沒有產生錯誤概念。此一轉換能力亦影響學生解二次方程式的能 力。在解二次方程式的測驗結果中，學生能從可分解型的方程式中，解出正確 解答的比率，遠較從不可分解型的方程式中，解出正確解答的比率來得高（整 體答對率分別為：可分解型方程式 91.6％，不可分解型方程式 50.6％）。雖然 學生在國中時期曾經學習過，對於不可分解型的二次方程式，可以公式解的方 式來解題，但測驗結果顯示出，學生對於因式分解的程序性知識較為熟習，而 面對不可分解型的二次方程式，雖大多能夠聯想到使用公式解，但容易產生背 錯公式（如圖4–9、4–10）等程序上的錯誤，因而導致未能解出正確解答。

圖4–9 公式解錯誤概念示例一

圖4–10 公式解錯誤概念示例二

從量化的數據來比較因式分解與配方法兩種代數表徵轉換能力，從一般式 轉換至配方式，答對率僅有 50.7%，顯示學生對於配方法此程序法則較不熟 習。此轉換能力的不足亦影響到求二次函數極值的解題表現。在測驗學生求出 二次函數極值的題目中，測驗結果答對率僅有 36.6％，顯示學生因為一般式轉 換至配方式能力的缺乏，以至於無法從一般式的轉換，得出配方式，更遑論更 進一步從配方式中解讀出二次函數的極值。（如圖4–11）

圖4–11 表徵內轉換圖

(三) 表徵間轉移

對於二次函數三種表徵形式：代數式（A）、圖形（G）、表列（T）。測 驗結果顯示學生受限於程序性解題法則的程度影響甚深。對於三種形式之間的 轉移，測驗結果學生表現呈現三種現象：大多能順利轉移、部份能順利轉移、

不易順利轉移。以下分別就三種現象加以分析：

圖4–12 三種表徵間轉移成功率示意圖

1. 大多能順利轉移：

二次函數代數式轉移至表列，作答率與答對率均高於 65％。絕大多數的學 生均能利用將表列中的數值，帶入代數式中計算的方式，求出表列中所求的對 應數值。此程序性知識亦為學生在學校的數學課程中較常運用的解題程序，因 此作答率與答對率均較高。

二次函數代數式轉移至圖形，作答率與答對率亦均高。此題較為值得注意 的現象有二：其一是大多數（42.9％）的學生均以數值表列表徵作為媒介，將 代數式以離散數值帶入求值，填入表列或寫出數對，再將表列中的數值轉移為 點，繪製在平面座標上，形成函數圖形。這樣的結果顯示，對學生而言，代數 式轉移至圖形，數值表列表徵是一個非常重要且不可或缺的媒介表徵。其二是 有將近四成的學生，先將代數式展開整理為一般式，再以一般式來繪製來代 值、繪圖。採取這樣忽略配方式或分解式與圖形結構的關係，反而將式子展開 為與圖形結構關係不明顯的一般式，顯示學生不了解配方式或分解式與圖形結 構之間的關係（如圖4–13）。

圖4–13 忽略配方式、分解式與圖形結構關係示例

二次函數表列轉移至圖形的測驗結果則是作答率中等（78.9％），但答對 率高（77.5％）。此題的解題方式學生只需將表列中的數值轉換為平面座標的 點，再以平滑曲線將點連接起來，即為二次函數的圖形。此程序雖然簡單而容 易，但作答率卻不如第 10 題代數式轉圖形，或第 11 題代數式轉移至表列的題 型。原因推測是因為學生所採取的解題方法與第 10 題完全相同，學生失去答題 動機所導致。

歸納上述資料，學生對於代數式、表列、圖形三種表徵形式之間的轉移，

歸納上述資料，學生對於代數式、表列、圖形三種表徵形式之間的轉移，