概念性知識與程序性知識及過程概念

所謂的概念（concept），何謂概念？韋氏辭典（Webster’s Seventh New Collegicate Dictionary, 1963）解釋：概念為在心中所接觸的一些事物，從特殊例 子所一般化抽象的想法。對於數學概念，Vinner（1983）認為數學概念的認知 結構，可以由概念心像（concept image）與概念定義（concept definition）兩個 部份所組成。

概念定義是能夠以正確且非循環式的方法來解釋概念的方式，其表現方式 常以文字或語意來呈現。概念心像又可分為心智圖像（mental picture）、性質 與運算（properties and process）兩個部份。心智圖像泛指任何可以視覺化的表 徵，包含實物、圖形、符號、代數式等等。性質與運算意指此概念所具備的特 殊性以及可加以操弄的方式。Vinner & Dreyfus（1989）在及調查大學生與中學 數學老師所擁有的函數概念心像與概念定義中指出：受試者雖然能給予函數下 概念定義，但在判別例子是否為函數時，卻往往使用概念心像，亦即受試者的 概念定義與概念心像兩者之間常有分岐之處。

由James Hiebert 於 1986 年所提出的概念性知識（concept knowledge）與程 序性知識（procedure knowledge）來分析學生的認知結構，兩者雖均是學習者 對於訊息轉換為知識的建構方式，但是無論是建構的方式或是所具備的性質，

兩者均有很大的差異，茲分析如下：

概念性知識可以視為一種知識的連結網路，將一些離散的知識片段連結起 來，連結遍及所有的知識個體，所有的知識都得以連結在網路當中。其最大的 特徵即是富有關聯性，所有的知識片段必定與網絡中的至少一個其他知識片段 之間有關連。以二次不等式解的概念為例，本文所欲設計的教學活動，不等式 解的概念發展由二次函數圖形而來，而二次函數圖形要發展出不等式解的概 念，又與二次項的係數（影響拋物線開口方向）、二次方程式的根（影響函數 圖形與 x 軸交點位置）、判別式的正負性質（影響函數圖形與 x 軸交點個數）

有關。其概念的發展如圖 2–4。每個知識片段都應至少與另一個知識片段之間 存在關聯，形成一個大型的知識網絡，此即為本文所稱二次不等式解之意義的 概念性知識。

代數表徵 也稱為「視覺管理順序」（visually–moderated sequence）每一個步驟的運算，

都是以符號表徵的形式來呈現。而程序性知識的運算邏輯與規則，則是一步一

概念性知識與程序性知識最主要的差別在於：概念性知識是一個網絡，所 有的知識片段之間都有關連，或是有可以通達的路徑串連起來；而程序性知識 則是一種具順序性的產程知識，如果要完成需要 n 個步驟，那麼在此之前就是 要做第 n–1 步。所以程序性知識是「知道如何做」（know how），而概念性知 識則是「知道為什麼這樣做」（know why）。學生對於數學概念的學習，如果 停留在程序性的理解，那麼一旦缺乏足夠的練習，很容易就會遺忘或產生錯 誤；再者，程序性的知識彼此之間是離散的，對於學習者而言，學習負荷亦較 重（Hiebert，1986）。Steinberg, Sleeman, & Ktorza 在 1900 的研究亦指出，學 生在學習代數時，大多以機械化的方式來列出解題式子，但是並不真正了解式 子的結構與意義。亦即學生對於解題的所需的數學知識大多以程序性法則來處 理，對於解題的數學知識亦以程序性知識來理解，並沒有建立解題過程中所運 用的數學觀念的概念性知識。

David Tall(2001)等人提出過程概念（procept）理論，說明符號(symbol)扮演 介於進行的程序(processes to be carried)與思考的概念(concepts to be thought about)之間切換樞紐的角色。好比是旋轉門軸一般，可以在程序性知識與概念性 知識之間轉換。例如「2 + 3」，計算加法運算(addition)得到 5 的結果為程序性 知識，將「2 + 3」視為和(sum)則為概念性知識。一個符號同時具有程序性與概 念性知識，結合成為過程概念(precept)如下圖：

圖2–5 符號具有程序性知識與概念性知識

典型傳統的符號數學概念的發展，是由程序步驟(Procedure)進展到過程 (Process)，進而發展出過程概念(Procept)（如圖 2–6）。學習者反覆練習一個步 驟（例如因式分解），可以幫助其正確地處理一些典型的問題。熟練了一個或 多個相關步驟（進入過程 Process 階段），學習者可以更靈活並有效率地解題。

當學生對數學符號發展出過程概念(Procept)時，表示該初學者能掌握此一數學 符號背後所隱含的運算過程（熟練計算），而且能瞭解其數學意涵與概念，並 能視情況需求而在程序與概念之間作切換。然而初學者的符號數學概念發展並 非是單純線性成長關係（procedual→conceptual→proceptual），而是在過程與 概念之間來來回回地修正，最後才形成穩定的過程概念。

圖2–7 過程概念的發展過程

以解二次不等式為例，學生由一般式（ax²+bx+c > 0）轉換為分解式（a(x–

α)(x–β) > 0）的過程（因式分解），即為一種 procedual；由代數分解式轉移 至函數圖形，亦為一種 procedual；由函數圖形中解讀出不等式的解，是另一 procedual。而這些 procedual 所形成的集合，即為 process；所有 process 可形成 一種解二次不等式的概念性知識 procept。

ax² + bx + c > 0

 a(x–α)(x–β) > 0 （因式分解）



（畫出略圖）

 解為 x <α或 x >β （解出二次不等式）

筆者欲設計針對二次不等式的動態鏈結多重表徵形式教學活動，並探究高 職學生在此環境下的學習，結果是否較能整合不同形式的表徵，並靈活運用以 解決關於二次不等式的問題，其中包含了探究學生解二次不等式的解題策略隱 含的數學概念與程序法則。比較在動態鏈結學習環境與傳統講述學習環境中學 習，學生對於二次不等式的過程概念是否有所差異。